大二學(xué)習(xí)概率論課件第5章

第5章隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望方差協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩條件數(shù)學(xué)期望§5.1數(shù)學(xué)期望

則當(dāng)時(shí)，稱為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望或均值，記作E，即有離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量的分布律為例１

甲、乙兩射手的穩(wěn)定成績(jī)分別為ξ（甲中環(huán)數(shù)）8910概率0.30.10.6η（乙中環(huán)數(shù)）8910概率0.20.40.4試比較甲、乙兩射手誰(shuí)優(yōu)誰(shuí)劣。

解

甲的平均環(huán)數(shù)因此，從某種角度說(shuō)，甲比乙射擊本領(lǐng)高。乙的平均環(huán)數(shù)

例２

ξ~B(n,p)，求Eξ。解例３

若ξ服從泊松分布P(λ)，試求Eξ。解幾何分布的期望證明：例4

例5

設(shè)想這樣一種博彩游戲，博彩者將本金1元壓注在1到6的某個(gè)數(shù)字上，然后擲三顆骰子，若所壓的數(shù)字出現(xiàn)i次（i=1，2，3），則下注者贏i元，否則沒(méi)收1元本金，試問(wèn)這樣的游戲規(guī)則對(duì)下注者是否有利?解：用隨機(jī)變量ξ表示下注者1元注金帶來(lái)的贏利，其可能取值是－1，1，2，3。顯然可以用考察Eξ是否等于零來(lái)評(píng)價(jià)這一游戲規(guī)則對(duì)下注者是否有利。ξ的分布列為即 由于平均贏利小于0，故這一游戲規(guī)則對(duì)下注者是不利的。離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望f()的數(shù)學(xué)期望為

例6

設(shè)ξ的分布律為ξ－1013概率求Eξ2及

E(－ξ+2)。解連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義

若隨機(jī)變量ξ有概率密度函數(shù)f(x)，并且積分收斂，則稱積分為ξ的數(shù)學(xué)期望，記為Eξ，即例7

設(shè)ξ服從均勻分布，其分布密度為解求Eξ。若ξ服從N(a，σ2)，求Eξ。例8解：例9

設(shè)ξ服從參數(shù)為a＞０的指數(shù)分布，其分布密度為解：設(shè)ξ服從柯西分布，即有密度函數(shù)證明ξ不存在數(shù)學(xué)期望。證

因?yàn)楣蔈ξ不存在。例10連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望如ξ的密度函數(shù)為f(x),若則g()的數(shù)學(xué)期望例11

若ξ服從[0，2π]上均勻分布，求E(sinξ)。解ξ的密度函數(shù)為二維隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1、離散型隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

設(shè)二維離散型隨機(jī)向量(ξ,η)的分布律為

特別有2、連續(xù)型隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)向量(ξ,η)的密度函數(shù)為φ(x,y),如果

絕對(duì)收斂，則f(ξ,η)的數(shù)學(xué)期望存在，且有

特別有例12設(shè)(ξ,η)服從半圓域內(nèi)的均勻分布，求ξ、η和ξ3η的數(shù)學(xué)期望。解：數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)常數(shù)c的數(shù)學(xué)期望等于這個(gè)常數(shù)，即Ec＝c。證隨機(jī)變量ξ服從單點(diǎn)分布，即P{ξ＝c}=1，所以，Eξ＝Ec＝c×1＝c(2)設(shè)c是常數(shù)，若Eξ存在，則E(cξ)也存在，并且有E(cξ)=cEξ。(3)(4)特別地(5)注：這些性質(zhì)可以推廣到多個(gè)隨機(jī)變量上。例13

在n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，每次成功的概率為p。設(shè)ξi表示第i次試驗(yàn)成功的次數(shù)，則ξi有分布律ξi01概率1－pp此外，我們可以推導(dǎo)出 η~B(n,p)則超幾何分布在一箱N件裝的產(chǎn)品中混進(jìn)了M件次品，今從中抽取n件(n≤M)，求從中查出次品的件數(shù)的概率分布.解超幾何分布的期望例14解：ξ表示n次抽樣抽出的廢品數(shù)，服從超幾何分布。并稱為ξ的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。§5.2方差 對(duì)隨機(jī)變量ξ，若E(ξ－Eξ)2存在，則稱E(ξ－Eξ)2為ξ的方差，記作Dξ或Varξ，即定義由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可導(dǎo)出計(jì)算方差的另一個(gè)公式：1、對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ，若有分布律p(xi)，則2、對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量ξ，若有分布密度φ(x)，則由方差的定義，有例1

ξ~B(n,p)，求Dξ和。

解于是例2

設(shè)ξ～P(λ)，試求Dξ。解幾何分布的方差證明：例3例4

證明事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)的方差不超過(guò)1/4。證

設(shè)ξ表示事件Ａ在一次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，即 設(shè)隨機(jī)變量ξ服從[a，b]上的均勻分布，求Dξ。

例5解：例6解：設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(a，σ2)，求Dξ。 設(shè)隨機(jī)變量ξ服從參數(shù)為a的指數(shù)分布，求Dξ。例7解：分布名稱數(shù)學(xué)期望方差二項(xiàng)分布B(n,p)npnpq泊松分布P(λ)λλ幾何分布g(k;p)正態(tài)分布N(a,σ2)a

σ2均勻分布U[a,b]指數(shù)分布(參數(shù)為a)方差的性質(zhì)證明：（1）Dc=0(c是常數(shù))（2）證明（3）證明（4）證明性質(zhì)4可以推廣到如下情形。（5）在n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，每次成功的概率為p。設(shè)ξi表示第i次試驗(yàn)成功的次數(shù)，則ξi服從參數(shù)為p的（0－1）分布。求ξ1+ξ2+…+ξn

的方差。例8解：§5.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)二維隨機(jī)變量(,)，其協(xié)方差定義為協(xié)方差由定義證明證明定理1對(duì)二維隨機(jī)變量(,)，(1)若,獨(dú)立，則cov(,)＝0證明相關(guān)系數(shù)隨機(jī)變量,的相關(guān)系數(shù)ρ(簡(jiǎn)記為ρ)ρ=0表示,不（線性）相關(guān)相關(guān)系數(shù)只是與間線性關(guān)系程度的一種量度。相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) 對(duì)二維隨機(jī)變量(,)，ρ為,的相關(guān)系數(shù)，則：（1）若,獨(dú)立，則ρ=0.（2）－1≤ρ≤1，當(dāng)且僅當(dāng),間有嚴(yán)格線性關(guān)系時(shí)等號(hào)成立。定理2

設(shè)(ξ,η)服從參數(shù)為μ1，μ2，σ1，σ2，r的二維正態(tài)分布，證明ξ、η的相關(guān)系數(shù)為r。 由ξ、η獨(dú)立的充要條件是r=0

得：獨(dú)立性與不相關(guān)性是等價(jià)的。例1證明例ξ和η均服從正態(tài)分布，但聯(lián)合分布卻不一定是正態(tài)分布。對(duì)n維正態(tài)分布，獨(dú)立和不相關(guān)的關(guān)系如下：定理：相互獨(dú)立的充要條件是它們兩兩不相關(guān)。定理：服從n元正態(tài)分布的充要條件是它的任一線性組合服從一維正態(tài)分布。若(,)是二維隨機(jī)變量，則（1）E()=E·

E+cov(,)（2）D(+)=D+D+2cov(,)定理3例2設(shè)二維隨機(jī)向量（ξ，η）的聯(lián)合密度為

試求數(shù)學(xué)期望Eξ，Eη，方差Dξ，Dη，協(xié)方差cov（ξ，η），相關(guān)系數(shù)ρ

，并求D（5ξ－3η）。

解：補(bǔ)充： 已知ξ1,ξ2相互獨(dú)立，均服從正態(tài)分布N(0,σ2),η1＝aξ1＋bξ2，η2＝aξ1－bξ2，其中a，b是常數(shù)。（1）求η1，η2的相關(guān)系數(shù);（2）問(wèn)η1，η2是否相關(guān)，是否獨(dú)立;

（3）當(dāng)η1，η2獨(dú)立時(shí)，求(η1，η2)的聯(lián)合密度函數(shù)。

例3解：（2）因?yàn)棣?，η2都是正態(tài)分布隨機(jī)變量，所以不相關(guān)與獨(dú)立是等價(jià)的。故

當(dāng)|a|=|b|時(shí)，ρ

=0，η1,η2相互獨(dú)立， 當(dāng)|a|≠|(zhì)b|時(shí)，ρ≠0，η1,η2是不獨(dú)立的。(3)當(dāng)η1，η2相互獨(dú)立時(shí)，即a2=b2

時(shí)，η

1

～N（0，2a2σ2

），即

§5.4矩定義設(shè)ξ為隨機(jī)變量，c為常數(shù)，k為正整數(shù)，則1)E[(ξ－c)k]稱為ξ關(guān)于c點(diǎn)的k階矩。2）當(dāng)c＝0時(shí),ak=E(ξk)稱為ξ的k階原點(diǎn)矩;3）當(dāng)c=Eξ時(shí),μk=E[(ξ－Eξ)k]稱為ξ的k階中心矩。顯然： Eξ是一階原點(diǎn)矩 Dξ是2階中心矩。偏度系數(shù) 用于衡量ξ的分布與正態(tài)分布的偏離程度。 如偏度系數(shù)顯著異于零，說(shuō)明ξ的分布與正態(tài)分布有較大的偏離程度。峰度系數(shù) 用于衡量ξ的分布密度在均值附近的陡峭程度。 峰度系數(shù)越大，說(shuō)明ξ的密度曲線在均值附近越陡峭。反之，越平坦。ξ∽N(0,σ2)，求Eξk。例解§5.5條件數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的條件數(shù)學(xué)期望為ξ在(η=bj)發(fā)生條件下的條件數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱條件期望。連續(xù)型隨機(jī)變量的條件數(shù)學(xué)期望為ξ在(η=y)發(fā)生條件下的條件數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱條件期望。條件期望的性質(zhì)(1)(2)(3)特別地(4)例1在求職過(guò)程中得到了三個(gè)公司的面試通知，為簡(jiǎn)化計(jì)算，假定每個(gè)公司都有三類不同的空缺職位:一般的、好的、極好的。其工資分別為2.5萬(wàn)元、3萬(wàn)元、4萬(wàn)元。估計(jì)能得到這些職位的概率分別為0.4，0.3，0.2，有0.1的概率將得不到任何職位，由于每家公司都要求在面試結(jié)束時(shí)表態(tài)接受或拒絕所提供的職位，那么應(yīng)遵循什么策略來(lái)應(yīng)答呢?求職面試問(wèn)題解：極端的情況當(dāng)然容易處理，假設(shè)有一家公司聘任求職者擔(dān)任極好的職位，當(dāng)然就無(wú)需再去下一家公司面試了。若一家公司不聘任，求職者必然要到下一家公司去面試的。對(duì)于其他情況，作任何決定都是要冒風(fēng)險(xiǎn)的，有效的辦法是:采取使期望收益最大的行動(dòng)。結(jié)果概率一般：2.5萬(wàn)元0.4好的：3萬(wàn)元0.3極好：4萬(wàn)元0.2沒(méi)有工作：0萬(wàn)元0.1將求職者的數(shù)據(jù)列成下表:

設(shè)去第i個(gè)公司應(yīng)聘的收益為ξi，(i=1,2,3）。當(dāng)用期望值準(zhǔn)則對(duì)第一次面試作決策時(shí)就碰到了困難，因?yàn)榧僭O(shè)第一次面試落聘，但有可能在以后的面試中會(huì)獲得職位，因而這個(gè)結(jié)果（落聘）是帶有不確定性的。這幾乎是復(fù)雜決策問(wèn)題的共同特征:在將來(lái)的決策做出之前，當(dāng)前決策的結(jié)果是不能估算的，有一種避開(kāi)這個(gè)困難的方法，那就是先分析未來(lái)的決策，稱這種方法為逆推解法。首先考慮尚未接受職位而要去進(jìn)行最后一次（即第三次）面試，則可以確定公司提供工資的期望值為E(ξ3)=2.5×0.4+3×0.3+4×0.2+0×0.1=2.7(萬(wàn)元)

知道了第三次面試的期望值，就能倒推，以決定第二次面試應(yīng)采取的行動(dòng)。

若提供極好的職位，肯定接受。

若沒(méi)有職位肯定去進(jìn)行第三次面試。

若提供一般的工作，那么就須在接受這一工作(期望值2.5萬(wàn)元）和不接受而去碰第三次面試的運(yùn)氣（期望值2.7萬(wàn)元）這兩者間做出選擇，由于后者具有較大的期望值，故這就是應(yīng)采取的行動(dòng)。

若提供一個(gè)好職位，那么其期望值較高（3萬(wàn)元），故應(yīng)接受這一工作且放棄第三次面試?，F(xiàn)在考慮第二次面試：綜上所述，第二次面試的決策應(yīng)是:接受好的或極好的職位，拒絕一般的職位。 第二次面試的期望值可用下列數(shù)據(jù)求出:第二次面試結(jié)果工作期望值概率一般：進(jìn)行第3次面試2.7萬(wàn)元0.4好的：接受3萬(wàn)元0.3極好：接受4萬(wàn)元0.2沒(méi)有工作：進(jìn)行第3次面試2.7萬(wàn)元0.1E(ξ2)=0.4×E(ξ2|2.5)+0.3×3+0.2×4+0.1×E(ξ2|0)=0.4×2.7+0.3×3+0.2×4+0.1×2.7=3.05（萬(wàn)元）

現(xiàn)在考慮第一次面試：

如果提供一般職位，所面臨的選擇是接受（期望工資為2.5萬(wàn)元）或拒絕（進(jìn)行下一次面試，期望工資為3.05萬(wàn)元），后者期望值較高。故應(yīng)采取拒絕一般的工作，

對(duì)于好的職位，因其期望工資3萬(wàn)元低于下一次面試的期望工資3.05萬(wàn)元。故也應(yīng)放棄好的職位。因此，第一次面試時(shí)應(yīng)