高考數(shù)學(xué) 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛與高考突破 專題14 極 限

lim（2）求lim（2）求（n）值。342013年考學(xué)易點(diǎn)睛高突專題極限【點(diǎn)突】難1數(shù)歸法數(shù)中的用1．已知數(shù)列{an}滿足條件（）a=(n+1)(a-1)a=6,設(shè)=a+n(n∈N*),(1)求的項(xiàng)公式；11bb1

2．設(shè)函數(shù)對(duì)有的有理數(shù)、n都|f(m+n)-f(m)|≤

n

,

證明：對(duì)所有正整數(shù)k有ki

|f(2k)-f(2≤

k(k2

.2

2．設(shè)xn=

(n)

,求列x}的限?！窘馕觥坑蓴?shù)列。

的極限都不存在，所以應(yīng)先將變，使之變成極限可求的【答案】因x=

(n

=

(nn)(n)

n用除子和3

00【答案】

limx

=

limx

(x2)((4)(xx(xx

1

14

。難4函的續(xù)lim1．函數(shù)f(x)在x處定是xA．充分不必要條件

（fx）存在的（）4

nn【別醒1．深刻理解函數(shù)在x處續(xù)的概念，即函數(shù)f(x)x處有義在x處lim極限。x

f(x)=f(x).函f(x)在x處連反映在圖像上是f(x)處不間斷的。2．由連續(xù)的定義，可以得到計(jì)極限的一種方法：如果f(x)定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，lim則x

f(x)=f(x)，只要求出函數(shù)值f(x0)可【錯(cuò)點(diǎn)】易點(diǎn)數(shù)學(xué)歸法1．已知a>0,數(shù)列{a滿足=a,a=a+

1a

,n=1,2,lima(已知數(shù){}極限存在且大零，求A=

n

(將A用a表示)；(Ⅱ)設(shè)b=a-A,n=1,2…,證明：bn+1=-

nA)

;(若bn|≤2,對(duì)n=1,2都成立，求a的取值范圍。lim【錯(cuò)誤解答】(Ⅰ)由

n

lima，存在，且n

n

（A>0對(duì)a=a+

1a

兩邊取極限得，5

2kkkkkkk2kkkkkkk由于

A

2

而當(dāng)a≥

332時(shí)而a≥

時(shí)，

∴

bAb2

即A|b+A|≥2.3故當(dāng)a≥2時(shí)

12即時(shí)論成立。根據(jù)(i)和ii)，可知結(jié)論對(duì)一正整數(shù)都成立。6

=n=n①當(dāng)n=1時(shí)，=

1

,猜成立；②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)結(jié)論成立即a

2

3

1成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，為a2a所以a=

12

·

2

33k

k

這表明，當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)也成立由①，②可知，猜想對(duì)n∈N*都立。11

13不等式

2

+

3

+

n

>

2

n],其n為于2的數(shù)n]示不超過n的最大整數(shù)。設(shè)數(shù)列a}的各項(xiàng)正，且滿足=b(b>0),a≤

n,n=2,3,4,….7

8

【特別提醒】1．一般與自然數(shù)相關(guān)的命題，有關(guān)代數(shù)恒等式的證明，三角恒等式、三角不等式、整除性、與數(shù)列有關(guān)的問題和有關(guān)幾何問題都可用數(shù)學(xué)歸納法。2．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第步是關(guān)鍵、必須用到歸納假，則就不是數(shù)學(xué)歸納法的證明。【式練1.曲Cxy=1(x>0)與線l:y=x交于A,作⊥l于,作BA∥l交曲線C于…此類推。9

nn1nn12.設(shè)列a1,a2,…，an,…的n項(xiàng)和Sn和的關(guān)系是Sn=1-ban-

)n

其中b是n無的常數(shù)，且b。（1）求a和a的關(guān)系式；答案：=S-S=-b(a-a)-

(1)

n

)

n

a)

(1)

n

(解得an=

b(1)

n

(2)（2）猜想a的達(dá)式（用n和b示答案：∵a=S=1-ba-

ba(1)

210

nnx,limx.1．已知數(shù)列{x}滿x2x=2(xn-1+xn-2),n=3,4,….n3

=2,則x1=()A．

2

B．4D．511

n1232nn1232nA．2B．4C．

12

D．0111aaa

12

12

12∴

1122

1[1)]2112lim∴n

(

1)a1[1)]2lim=n

=1lim4、計(jì)算：

nn

=___________。12

nnn2n(an2)aS

)

213

2.對(duì)

型的數(shù)列極限，分子分母同除以最大數(shù)的最高次項(xiàng)，然后分別求極限。3．運(yùn)算法則中各個(gè)極限都應(yīng)存，都可推廣到任意有限個(gè)極限的情況，不能推廣到無限個(gè)?！臼骄?qlim1若q為項(xiàng)式（2）展開式的常數(shù)項(xiàng)，=___________.14

4設(shè)a=1+q+q+…+q(n∈N,q≠±)，An=Ca+Ca+(1)用q和n表A;

a15

16

【別醒1．求函數(shù)的極限時(shí)，如果x→x即x是續(xù)的點(diǎn)。即使函數(shù)f(x)有意義的點(diǎn)，只需求f(x)的值。就是函數(shù)的極限值2．當(dāng)f(x)在x處連續(xù)時(shí)，即x=x代入使式子f(x)無義，應(yīng)考慮約去此因式，使之有意義時(shí)再求f(x)的值，為極限值。3．已知函數(shù)的極限，求出函數(shù)的系數(shù)時(shí)，應(yīng)滿足兩個(gè)條件，即存在性與極限值同時(shí)考慮?！臼骄?lim1設(shè)f(x)在x處導(dǎo)f(x)=0n-n)=___________.17

00易點(diǎn)4函數(shù)的續(xù)性lim1．極限x

f(x)存在是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x處續(xù)的（）A．充分而不必要的條件B．必要而不充分的條件C．充要條件D．既不充分也不必要的條件18

f(x)

13

∴f(x)的定義域?yàn)?∞，-1）（-1，+而在定域內(nèi)x=1時(shí)lim1

f(x)=0.

lim1

limf(x)=-1.∴x

f(x)不在。故在x=1處連續(xù)。在定義域內(nèi)不連續(xù)?！緞e醒19

lim1．在判斷函數(shù)的連續(xù)性時(shí)，充運(yùn)用它的重要條件，即xx在x處的限要存在。

f(x)=f(x

).前是2．在求函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)時(shí)，或連續(xù)區(qū)間。首先是定義之外的點(diǎn)或區(qū)域一定不連續(xù)。往往只須考慮定義域內(nèi)的不連續(xù)部分?！臼骄?.已(n)=(2n+7)·3+9,存自然數(shù)m，得對(duì)任意n∈N,都能使整f(n),則最大的m的為（）A．30．26C．36．620

nn2.記項(xiàng)式（1+2x）

展開式的各系數(shù)和為an,其二項(xiàng)數(shù)為，則

limn

n等于（）AB．-1C．0．不存在5.已數(shù){}是等差數(shù)列，b=1,b+b+…+b=145(1)求數(shù)列a}的通項(xiàng)公式b;答案：解：設(shè)數(shù)列為b}的公差由題知21

bb10bd1452

,bnn31（2設(shè)數(shù)列a}的通項(xiàng)a=loga(1+n)(其中a>0且a≠1)記S數(shù){a}前n項(xiàng)，1試比較與3logb的大，并證明你的結(jié)論。22

lim7.設(shè)數(shù)q滿|q|<1,數(shù)列{a}足=2,aan·a=-q,a表式果S<3,求q的值范圍。23

nnn22n2n222nnnn22n2n222nnn（Ⅱ）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線的率為且曲線有僅一個(gè)交點(diǎn)，與y軸交DD于D，記d=-(2+7)求d;答案：設(shè)ln:y=bx+m.由

bxx

得x由僅有一公共∴△=

m

n2)nly(,

令x=0得y=-(3n+1)∴D)D∴

D|[(34)

2

(3

2

]∴dn=

13

|D|-(2n+7)=4n-224

()()nnn1(Ⅲ)若x

ddn

lim(n∈N)求證n(x+x+…+x-n)=1.答案：

2)dd2d1)(2n2n2∴x1+…+x-n=(1-

11)))52n2lim(xxnn9.某學(xué)生在體育訓(xùn)練時(shí)弄傷了膝節(jié)生給開了一些消炎藥囑每天早晚8點(diǎn)服用一片藥片，已知該藥品每征220mg,他賢臟每次12小時(shí)體內(nèi)濾出這種藥的60%，如果這種藥在體內(nèi)殘留超過386mg,產(chǎn)生副作用。請(qǐng)問上8時(shí)第一次服藥后二天早晨服藥后在體內(nèi)還殘留多少？10.已知點(diǎn)集L={（x,y）|y=m·n},中m=(2x-b,1),n=(1,b+1),點(diǎn)列Pn(a,b)在L中，P為L(zhǎng)與y軸交點(diǎn)，等差數(shù)列a}公差為，n∈N.(1)求數(shù)列a},的通項(xiàng)公式25

22nnnn222a,nnn22nnnn222a,nnn111()()((2aaa2aa-a+1=a-nn∴a,<a,a<a>>a>…>2,即a是行列增后減數(shù)列）max=a2=

52

.（2）已知圓錐曲線C的程為：

(x)an

2

()nan

nN*)

lim設(shè)nC=C,求曲線C的方程并求曲線C的積。答案：由上可知，n所以圓錐曲線C為圓lima,limlima.由于{a}存在極限，所以可設(shè)nn26

22114．已知

1

=,且

*

（1）求

a

2

，

，

a

4（2）猜測(cè)

}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法明.解∵

n

,∴

n

27

15.自然狀態(tài)下的魚類是一種可生資源持續(xù)利用這一資源從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影.用x表某魚群在第n年年的總量∈N且x0.不考其它因素設(shè)在第年魚群的繁殖量及捕撈量都與x成比死量與比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)，b，c.

成正（Ⅰ）求x與x的關(guān)式；（Ⅱ）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x，，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初群的總量保持不變？（不要求證明