專題11三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)中的易錯點-名師揭秘2019年高考數(shù)學(xué)文命題熱點全覆蓋教師版

專題11三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)中的易錯點一.學(xué)習(xí)目標(biāo).理解三角函數(shù)的定義域、值域和最值、奇偶性、單調(diào)性與周期性、對稱性..會判斷簡單三角函數(shù)的奇偶性，會求簡單三角函數(shù)的定義域、值域、最值、單調(diào)區(qū)間及周期..理解三角函數(shù)的對稱性，并能應(yīng)用它們解決一些問題.二?方法總結(jié).三角函數(shù)奇偶性的判斷與其他函數(shù)奇偶性的判斷步驟一致：(1)首先看定義域是否關(guān)于原點對稱；(2)在滿足(1)后，再看f—x)與fx)的關(guān)系.另外三角函數(shù)中的奇函數(shù)一般可化為y=Asinsx或y=Atanrnx，偶函數(shù)一般可化為y=Acosox+b的形式..三角函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)y=Asin(sx+q)(A>0,s>0)的單調(diào)區(qū)間的確定，其基本思想是把sx+伊看作一個整體，比如：由2n—上sx+歸2kn+；(k￡Z)解出x的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間.22若函數(shù)y=Asin(sx+q)中A>0,sV0,可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)閥=-Asin(—sx—q)，則y=Asin(—sx—q)的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的增區(qū)間.對函數(shù)y=Acos(sx+q),y=Atan(sx+q)等單調(diào)性的討論同上.(2)三角函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用主要有比較三角函數(shù)值的大小，而比較三角函數(shù)值大小的一般步驟：①先判斷正負(fù)；②利用奇偶性或周期性轉(zhuǎn)化為屬于同一單調(diào)區(qū)間上的兩個同名函數(shù)；③再利用單調(diào)性比較.3.求三角函數(shù)的最值常見類型：(1)y=Asin(sx+q)+B或y=Atan(sx+q)+B,(2)y=A(sinx—a)2+B,(3)y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx(其中A,B,a,b￡R,A/，a邦).三.函數(shù)圖象與性質(zhì)需要掌握的題型(一)三角函數(shù)圖象平移(二)三角函數(shù)的零點(三)函數(shù)的單調(diào)性(四)函數(shù)的解析式(五)三角函數(shù)圖象綜合(六)三角函數(shù)的奇偶性

（七）三角函數(shù)的對稱性（八）三角函數(shù)的最值（九）三角函數(shù)與數(shù)列的綜合（十）三角函數(shù)的周期性四.典例分析（一）三角函數(shù)圖象平移y=山j(luò)t/zk一口.工￡R例1.為了得到函數(shù) '上 的圖象，只需將函數(shù) .:：?'圖象上所有的點（ ）37T 3ttA.向左平行移動彳個單位長度 B.向右平行移動彳個單位長度n nC.向左平行移動I個單位長度 D.向右平行移動”個單位長度【答案】B［分析］根據(jù)誘導(dǎo)公式將函數(shù)『二工變?yōu)檎液瘮?shù)，再減去干得到二二三二;力-三：【解析】函數(shù)J=8二/=三二（功-］=三二十-泊-言二二二；二."3，故將畫數(shù)圖像上的點向右平移;巨個單位得到￥=S；-口。故答案為：B.【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的平移問題，首先保證三角函數(shù)同名，不是同名通過誘導(dǎo)公式化為同名，在平移中符合左加右減的原則，在寫解析式時保證要將X的系數(shù)提出來，針對x本身進(jìn)行加減和伸縮.練習(xí)1.為了得到）2,7、的圖像，只需把函數(shù) ?'的圖像（）nA.向左平移彳個單位長度nnA.向左平移彳個單位長度nC.向左平移,,個單位長度【答案】DB.D.n向右平移7個單位長度n向右平移7個單位長度【解析】【分析】逆用兩角和的余弦公式，，再分析兩個函數(shù)圖象的變換.【詳解】因為得：二.'：'」「"一=【分析】逆用兩角和的余弦公式，，再分析兩個函數(shù)圖象的變換.【詳解】因為得：二.'：'」「"一=，要得到函數(shù)， 人心？、，只需將7T、3二"；,-飛"的圖象向右平移6個單位長度即可.故選D.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與變換，考查了兩角和的余弦公式的應(yīng)用；解決三角函數(shù)圖象的變換問題，首先要把變換前后的兩個函數(shù)化為同名函數(shù).（二）三角函數(shù)的零點/（X）=SJttfjr+ +CQ52X-［小先國 例2.函數(shù) '<i :的零點個數(shù)為A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，通過函數(shù)為0，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象交點個數(shù)問題.【詳解】由已知令/⑴。，即【詳解】由已知令/⑴。，即，V小I在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)】”-'2‘和「的圖象，如圖所示，兩個函數(shù)圖象有兩個不同的交點，所以函數(shù)/（）的零點個數(shù)為2個，故選B.【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換，把函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題，在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.練習(xí)1.設(shè)函數(shù)"）為定義域為"的奇函數(shù)，且■"■--:當(dāng)E（）/時，/（；，則函數(shù)‘'?一?! '在區(qū)間［一3⑸上的所有零點的和為A.10B.8 C.16D.20【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)得函數(shù)；）：圖像關(guān)于原點對稱，又由：‘n一‘：'可得函數(shù)屋圖

像關(guān)于直線對稱，故而得出函數(shù)/()是以4為周期的周期函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合便可得解?！驹斀狻恳驗楹瘮?shù):"為定義域為"的奇函數(shù)，…一3又因為"一；”，所以「—乙可得人-即函數(shù)'('：；是周期為4的周期函數(shù)，且｝/(、)圖像關(guān)于直線工'二1對稱。t”在區(qū)間一⑸上的零點，即方程t”在區(qū)間一⑸上的零點，即方程?“一心的根，故的零點關(guān)于直線上'=1對稱，/小"+工4114rx6由圖像可知交點個數(shù)為8個，分別設(shè)交點的橫坐標(biāo)從左至右依次為+4=勺+，產(chǎn)4+4=2所以所有零點和為8,故選B。rr-Jinx,jf<0練習(xí)2.設(shè) '"，則函數(shù)"')()A.有極值 B.有零點 C.是奇函數(shù) D.是增函數(shù)【答案】D【解析】由x<0,求得導(dǎo)數(shù)判斷符號，可得單調(diào)性；再由三次函數(shù)的單調(diào)性，可得x>0的單調(diào)性，即可判斷正確結(jié)論.【詳解】由x<0,f(x)=x-sinx,導(dǎo)數(shù)為f(x)=1-cosx,且f(x)>0,f(x)遞增，f(x)>0；又x>0,f(x)=x3+1遞增，且f(0)=1>0-sin0,故f(x)在R上遞增；f(x)無極值和無零點，且不為奇函數(shù).故答案為：D

/（x）=sinx+y13cosx ?（芍=六月-m練習(xí)3.已知 ，若函數(shù) 在,「（）"；上有兩個不同零點,‘、〃，則cos（a+位=【答案】【解析】通過兩角和的正弦公式得到函數(shù)的解析式，再通過換元結(jié)合正弦函數(shù)的圖像得到兩根之和，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】/(x)= +yj3cosx已知/(x)= +yj3cosx已知，令函數(shù)"二在-；?！ㄘ吧嫌袃蓚€不同零點,即函數(shù)/（）和y=m兩個圖像有兩個不同的交點，做出函數(shù)y=sint，和y=m的圖像,通過觀察得到通過觀察得到工[+JT之=Zcos[a+//）=!進(jìn)而得到Q'1/'= “ ■'故答案為：.（五）三角函數(shù)圖象綜合【答案】D

【答案】D【解析】由題易得函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱，排除選項B、C,當(dāng)0<x<n時，f(x)>0,排除選項A.故選D.B.D.【答案】A的圖像大致是(B.D.【答案】A的圖像大致是(2sinx 2x2sinx【解析】因為函數(shù)y=f(x)=一廠可化簡為fx)= 可知函數(shù)為奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，可排除答案C；1+1 x2+1x24xsinx+2A-4cosx+2亡￡口弓工2xf2sinx+a^cosx+xcosx)('+ (V+ff同時有y=f(x)= =兀 兀故函數(shù)在x￡(0,)時f(x)>0,則xG(0,)上單調(diào)遞增，排除答案B和D,故選：A.點睛：識圖常用的方法⑴定性分析法：通過對問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題；(2)定量計算法：通過定量的計算來分析解決問題;⑶函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題./(x)=2_v-tanx <兀兀、一……練習(xí)2.函數(shù) 在一， 上的圖像大致為()I22J

【答案】C【答案】C關(guān)于原點對稱，且【解析】試題分析：因為函數(shù)fG)的定義域為|-^,g'關(guān)于原點對稱，且I22)所以函數(shù)f(%)的圖像關(guān)于原點對稱，排除A、B選項，在同一直角坐標(biāo).. ..一一 一「兀兀、 八 系中，作出函數(shù)y=2%，y=tan%在-不,—的圖像，由圖可知故在%>0時，靠近y軸的部分滿足I22)2%>tan%，比較選項C、D可得答案C正確.(六)三角函數(shù)的奇偶性(六)三角函數(shù)的奇偶性例6.已知函數(shù)fx)=sin(2x+a)在x=1?時有極大值,且fx—fl)為奇函數(shù)，則a,p的一組可能值依次為()A.幾幾A.幾幾【答案】DII【解析】依題意得2xz+a=2空+-即a=2k1n+：；,kfZ,【解析】依題意得2xz+a=2空+-%—份=-f%—份，即f(—%—B)+f%—份=0,函數(shù)f%)的圖象關(guān)于點(一B,0)對稱，f(—^)=0,sin(—2B+a)肛 一耳肛=0,sin(2B—a)=0,2B—a=k/，k2￡Z,結(jié)合選項C,D取a=：，得B=W+：,k2￡Z,故選D.

/(--VI=/1-VI/（m]=sin（g+pj+仁8（很/(--VI=/1-VIA.f(x)在.f（x）在—,_^單調(diào)遞減C.f(x)在（兀）0,-單調(diào)遞增12）.f（x）在百圣〕單調(diào)遞增【答案】A、 2<r . /—1【解析A.f(x)在.f（x）在—,_^單調(diào)遞減C.f(x)在（兀）0,-單調(diào)遞增12）.f（x）在百圣〕單調(diào)遞增【答案】A、 2<r . /—1【解析1試題分析：由丁=—="得0)=-fflx)=sin(2x+爐I+cos(2x+伊)=V2sin又同工），則中即〃工）==08蝗工.當(dāng)工E；0;2s叫了㈤遞或故選A./（n]=Jsin @）考點：函數(shù), ’的解析式函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性.（七）三角函數(shù)的對稱性例7.函數(shù)f（,x）=2cos@x+樞）?4謝任意x都有，則‘斤等于（A.2或0 B.-2或2C.0 D.-2或0【答案】B【解析】由故選B.=±2,得％=了是函數(shù)fx）的一條對稱軸，所以/[x]=2sin（3x+9）練習(xí)1.已知函數(shù)對任意x都有A.2B.0 C.-2或2 D.-2【答案】C【解析】因為函數(shù)對任意x都有所以f（x）關(guān)于直線x=；對稱.6/冗、的最大值或最小值，即f-=-2或2.

16)故選C.(八)三角函數(shù)的最值2九，一一例8.已知函數(shù)f(x)=Asin(sx+w)(A,8,9均為正的常數(shù))的最小正周期為n,當(dāng)％=-時，函數(shù)嶇)取得最小值，則下列結(jié)論正確的是()A.f(2)<f(-2)<f(0) B.f(0)Vf(2)Vf(—2)C.f(-2)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(-2)【答案】A2 2?！窘馕觥恳驗楹瘮?shù) 的最小正周期為兀，所以①二2，又當(dāng)了=-時，函數(shù)f(x)取2冗冗兀得最小值，則x=2n是經(jīng)過函數(shù)f(了)最小值的一條對稱軸， ,二：是經(jīng)過函數(shù)f(了)最大值的一條對稱軸，因為所以6 6 6 一1歹3,，且 ’，所以 ，即</(0), , ，故選A.點睛：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)；比較三角函數(shù)值的大小時，往往將角轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上，而本題中將2,-2,0難以轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上，而是利用對稱性和開口方向進(jìn)行比較條對稱軸，因為所以6 6 6 一1歹3,，且 ’，所以 ，即</(0), , ，故選A.點睛：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)；比較三角函數(shù)值的大小時，往往將角轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上，而本題中將2,-2,0難以轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上，而是利用對稱性和開口方向進(jìn)行比較=4sin--cos-^(iy>0)練習(xí)1.已知函數(shù) 二二一?兀2兀 乂”,在區(qū)間一I，T上是增函數(shù)，且在區(qū)間［。,兀］上恰好取得一次最大值，則①的取值范圍是()A.(。,1] B,f0,3 C.。,+8)I4」D.132,4【答案】Df[x\=4sin【解析】 cos2 2 二2sin劭ct,J\^ 兀2兀 上,,又函數(shù)f(x)在區(qū)間-不,—上是增函數(shù)(x)，且在區(qū)間［。,兀］上恰好取得一次最大值，解得:解得:故選：Df[x\=jiHiiyjccostyjr{&>0）練習(xí)2.已知函數(shù)11 ，若存在實數(shù)5，使得對任意的實數(shù)x，都有o1

A 20161B4032fo1

A 20161B40321C.———2016兀【答案】B/（X）=Se）x=—方油/（X）=Se）x=—方油25（口>0）【解析】，所以周期T=-，存在實數(shù)x，使得對任意的實數(shù)x〃士+如1阻都有fG）<fGL 恒成立032016^>-=—

則 :二:二解得:14032,故選B（九）三角函數(shù)與數(shù)列的綜合例9.若' ' : ' ，則 中值為0的有（）個A.200B.201C.402 D.403【答案】C3g=sin—+jzw—H 1-sin-=U【解析】不難發(fā)現(xiàn)’’Ac=sin?+sin二H Fsin =Q5 5國一足一…一5■期1 201x2=402在10個位一組里面有兩個值為0,那么在' ”中有故答案選。?。üぃ?2sin|?工+。J=睡8[?工一：）一？/+義濯>0）練習(xí)1.函數(shù) 、 " 、 " ，若對任意xg0二，存1 4使得屋巧）二,㈤成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）rA.1,3B.使得屋巧）二,㈤成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）rA.1,3B.C.3,1D.1,3【答案】D【解析】???當(dāng)xe0,g對于時,，，fX)￡[1,2],【解析】???當(dāng)xe0,g對于時,，，fX)￡[1,2],[x]=meow|2m一，j—2m+3當(dāng)xe0,占時,(m>0),:對任意Xe0,j存在xe0,卜使得虱兩）=〃巧）成立，—7K+3<2一[制+3之1解得實數(shù)m的取值范圍是1，3.故選：D.點睛：函數(shù)中的方程有解問題:（1）若為一元方程，通常有兩個方法：要么畫函數(shù)的圖象，研究圖象與x軸的交點即可；要么將方程整理成兩個函數(shù)相等，畫兩個函數(shù)的圖象求解即可;（2）若為二元方程，通常是轉(zhuǎn)成研究方程左右兩邊的函數(shù)的值域的包含關(guān)系即可，（五）=A行芾（w工干3 —練習(xí)2.函數(shù) !（⑴〉。）的圖象與軸正半軸交點的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個公差為'的等差數(shù)列,若要得到函數(shù).‘ ‘‘‘‘‘的圖象，只要將/）的圖象（nA.向左平移【答案】DIT7T）個單位若要得到函數(shù).‘ ‘‘‘‘‘的圖象，只要將/）的圖象（nA.向左平移【答案】DIT7T）個單位nB.向右平移C.向左平移匚' D.向右平移I：'【解析】正弦函數(shù)圖象與1軸相鄰交點橫坐標(biāo)相差為半個周期，又因為，幻"京門即+，) sin[2(x+y1)] n則 = ',所以只要將函數(shù)/。)的圖象向右平移二個單位就能得到亦、；?、?的圖象，故選A.考點：1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；2、三角函數(shù)圖象的平移變換.(十)三角函數(shù)的周期性f(X)—|S!JW-CGSX\例10.函數(shù) 的最小正周期為()37r nA. B. C. D.【答案】CJ(sinx一cosx)2= 一一EZi【解析】化簡/"門二' ，利用周期公式可得結(jié)果.|5inx-casx\【詳解】因為函數(shù)=^(sinx-cosx)2=在-癡心,2tt =7T所以,?！?最小正周期為； ，故選C.【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的關(guān)系、二倍角的正弦公式，以及正弦函數(shù)的周期公式，屬于中檔題.函y=4sjn(di>r+tp) 2冗數(shù) 的最小正周期為相工練習(xí)1.給出以下命題：①若"均為第一象限角，且C，且、"/;y=2cos{ax--) a=-②若函數(shù) "的最小正周期是"I則’;?in2x-sirvc③函數(shù) 是奇函數(shù)；y=sinx--④函數(shù) 2的周期是％y—srnj+sinlrl⑤函數(shù) 的值域是[0,2]其中正確命題的個數(shù)為( )A.3B.2C.1 D.0【答案】D【解析】利用三角函數(shù)周期公式，奇偶性以及圖像即可得出結(jié)果【詳解】①若心團(tuán)句為第一象限角，且值二力如近二屯門一》另二工可但是"5二"，因此不正確.②若函數(shù)1=外5力.”熱的最小正周期是4%則三=況解得由=二抑此不正確.③由困數(shù)丁=E二二可知二心--：二3而由二二二-二一得到『；=三工:可知此畫數(shù)的定義域關(guān)于原點不對稱,因此不是奇兇數(shù),故不正確；y=④若函數(shù)sinx-；的周期是'由周期定義知故函數(shù)’sinx-；的周期不是、故不正確y=④若函數(shù)sinx-；的周期是'由周期定義知故函數(shù)’sinx-；的周期不是、故不正確.y=sinx+sin|x|⑤2sinxpc>00,x<0，當(dāng)「‘（）時，1/，可知函數(shù)的值域為［-2,2］故不正確;綜上可知:①②③④⑤都不正確.故選：D.練習(xí)2.（2018年全國卷in文）函數(shù)1+tanx練習(xí)2.（2018年全國卷in文）函數(shù)1+tanx的最小正周期為n17T" D.詳解：由已知得tanxfM= -=-1+tan2x詳解：由已知得tanxfM= -=-1+tan2x1+("與匚口舉.—sinxcosjc=2n

T=——=n1的最小正周期故選C.練習(xí)3.下列函數(shù)的周期為，的是（）y-=5jh2x+① ：②A.①④B.①③④y=si