高考四元聚焦·理數(shù)-《對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練》 第69講　隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體、正態(tài)分布

第頁eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(第69講隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體、正態(tài)分布))1.(2023·山東省臨沂市3月一模)將參加夏令營的500名學(xué)生編號(hào)為：001,002，…，500，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號(hào)碼為003，這500名學(xué)生分住在三個(gè)營區(qū)，從001到200在第一營區(qū)，從201到355在第二營區(qū)，從356到500在第三營區(qū)，三個(gè)營區(qū)被抽中的人數(shù)分別為(B)A．20,15,15B．20,16,14C．12,14,16D．21,15,14解析：根據(jù)系統(tǒng)抽樣特點(diǎn)，被抽到號(hào)碼l＝10k＋3，k∈N，第353號(hào)被抽到，因此第二營區(qū)應(yīng)有16人，所以三個(gè)營區(qū)被抽中的人數(shù)分別為20,16,14，應(yīng)選B.2.隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，那么P(0＜ξ＜2)等于(C)A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P(ξ＜4)＝0.8知P(ξ＞4)＝P(ξ＜0)＝0.2，故P(0＜ξ＜2)＝0.3，應(yīng)選C.3.(2023·寧波市四中高三上期末)200輛汽車經(jīng)過某一雷達(dá)地區(qū)，時(shí)速頻率分布直方圖如下列圖所示，那么時(shí)速不低于60km/h的汽車數(shù)量為(A．65輛B．76輛C．88輛D．95輛解析：設(shè)時(shí)速不低于60km/h的汽車數(shù)量為那么eq\f(n,200)＝(0.028＋0.010)×10＝0.38，所以n＝0.38×200＝76.4.(2023·上海卷)設(shè)10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5＝105，隨機(jī)變量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均為0.2，隨機(jī)變量ξ2取值eq\f(x1＋x2,2)、eq\f(x2＋x3,2)、eq\f(x3＋x4,2)、eq\f(x4＋x5,2)、eq\f(x5＋x1,2)的概率也均為0.2.假設(shè)記Dξ1、Dξ2分別為ξ1、ξ2的方差，那么(A)A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1＝Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1與Dξ2的大小關(guān)系與x1、x2、x3、x4的取值有關(guān)解析：Dξ1＝eq\f(1,5)[(eq\o(x,\s\up6(－))－x1)2＋…＋(eq\o(x,\s\up6(－))－x5)2]＝eq\f(1,5)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)＋xeq\o\al(2,5))－eq\o(x,\s\up6(－))2，Dξ2＝eq\f(1,5)[(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\f(x1＋x2,2))2＋…＋(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\f(x5＋x1,2))2]＝eq\f(1,5)[(eq\f(x1＋x2,2))2＋…＋(eq\f(x5＋x1,2))2]－eq\o(x,\s\up6(－))2＜eq\f(1,5)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)＋xeq\o\al(2,5))－eq\o(x,\s\up6(－))2，所以Dξ1>Dξ2，應(yīng)選A.5.(2023·浙江省慈溪市5月模擬)某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，為掌握各類超市的營業(yè)情況，現(xiàn)按分層抽樣方法抽取一個(gè)容量為100的樣本，應(yīng)抽取中型超市20家．解析：n＝100×eq\f(400,200＋400＋1400)＝20.6.(2023·嘉興市高三教學(xué)測試)在一次運(yùn)發(fā)動(dòng)的選拔中，測得7名選手身高(單位：cm)分布的莖葉圖如下圖．記錄的平均身高為174cm，但有一名候選人的身高記錄不清楚，其末位數(shù)記為x，那么x的值為718011703x1689解析：將所有數(shù)據(jù)都減去170，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式可得eq\f(10＋11＋3＋x－2－1,7)＝4，解得x＝7.7.(2023·南通市教研室模擬)給出如下10個(gè)數(shù)據(jù)：63,65,67,69,66,64,66,64,65,68.根據(jù)這些數(shù)據(jù)制作頻率分布直方圖，其中[64.5,66.5)這組所對(duì)應(yīng)的矩形的高為eq\f(1,5).解析：落在區(qū)間[64.5,66.5)的數(shù)據(jù)依次為65,66,66,65，共4個(gè)，那么矩形的高等于eq\f(頻率,組距)＝eq\f(\f(4,10),66.5－64.5)＝eq\f(1,5).8.在某籃球比賽中，根據(jù)甲和乙兩人的得分情況得到如下圖的莖葉圖．(1)從莖葉圖的特征來說明他們誰發(fā)揮得更穩(wěn)定；(2)用樣本的數(shù)字特征驗(yàn)證他們誰發(fā)揮得更好．解析：(1)莖葉圖的直觀形狀像橫放的頻率分布直方圖，且保存了所有原始數(shù)據(jù)的信息，所以從數(shù)與形的特征來看，甲和乙的得分都是對(duì)稱的，葉的分布是“單峰〞的，但甲全部的葉都集中在莖2上，而乙只有eq\f(5,7)的葉集中在莖2上，這說明甲發(fā)揮得更穩(wěn)定．(2)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(20＋21＋25＋26＋27＋28＋28,7)＝25，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(17＋23＋24＋25＋26＋29＋31,7)＝25，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,7)[(20－25)2＋(21－25)2＋(25－25)2＋(26－25)2＋(27－25)2＋(28－25)2＋(28－25)2]≈9.14，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,7)[(17－25)2＋(23－25)2＋(24－25)2＋(25－25)2＋(26－25)2＋(29－25)2＋(31－25)2]≈17.43.因?yàn)閑q\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，所以甲發(fā)揮得更好．9.(2023·江南十校聯(lián)考)某制造商3月生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機(jī)抽樣100個(gè)進(jìn)行檢查，測得每個(gè)球的直徑(單位：mm)，將數(shù)據(jù)分組如下表：分組頻數(shù)頻率[39.95,39.97)10[39.97,39.99)20[39.99,40.01)50[40.01,40.03]20合計(jì)100(1)請(qǐng)?jiān)谏媳碇醒a(bǔ)充完成頻率分布表(結(jié)果保存兩位小數(shù))，并在下列圖中畫出頻率分布直方圖；(2)假設(shè)以上述頻率作為概率，標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的直徑為40.00mm，試求這批乒乓球的直徑誤差不超過0.03(3)統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值(例如區(qū)間[39.99,40.01)的中點(diǎn)值是40.00)作為代表．據(jù)此估計(jì)這批乒乓球直徑的平均值(結(jié)果保存兩位小數(shù))．解析：(1)頻率分布表及頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率eq\f(頻率,組距)[39.95,39.97)100.105[39.97,39.99)200.20