彈性力學-第三章-應變狀態(tài)分析

1/1彈性力學_第三章_應變狀態(tài)分析第三章應變狀態(tài)分析知識點

位移與變形

正應變

純變形位移與剛性轉動位移

應變分量坐標轉軸公式主應變齊次方程組

體積應變

變形協(xié)調方程

變形協(xié)調方程證明變形與應變分量

切應變

幾何方程與應變張量

位移增量的分解

應變張量

應變狀態(tài)特征方程

變形協(xié)調的物理意義

變形協(xié)調方程的數(shù)學意義多連域的變形協(xié)調

一、內(nèi)容介紹

本章討論彈性體的變形，物體的變形是通過應變分量確定的。因此，首先確定位移與應變分量的基本關系－幾何方程。由于應變分量和剛體轉動都是通過位移導數(shù)表達的，因此必須確定剛體轉動位移與純變形位移的關系，才能完全確定一點的變形。

對于一點的應變分量，在不同坐標系中是不同的。因此，應變狀態(tài)分析主要是討論不同坐標軸的應變分量變化關系。這個關系就是應變分量的轉軸公式；根據(jù)轉軸公式，可以確定一點的主應變和應變主軸等。當然，由于應變分量滿足二階張量變化規(guī)律，因此具體求解可以參考應力狀態(tài)分析。

應該注意的問題是變形協(xié)調條件，就是位移的單值連續(xù)性質。假如位移函數(shù)不是基本未知量，由于彈性力學是從微分單元體入手討論的，因此變形后的微分單元體也必須滿足連續(xù)性條件。這在數(shù)學上，就是應變分量必須滿足變形協(xié)調方程。在彈性體的位移邊界，則必須滿足位移邊界條件。

二、重點

1、應變狀態(tài)的定義：正應變與切應變；應變分量與應變張量；

2、幾

何方程與剛體轉動；3、應變狀態(tài)分析和應變分量轉軸公式；4、應變

狀態(tài)特征方程和應變不變量；主應變與應變主軸；5、變形協(xié)調方程

與位移邊界條件。

§3.1位移分量與應變分量幾何方程

學習思路:

由于載荷的作用或者溫度的變化，物體內(nèi)各點在空間的位臵將發(fā)生變化，就是產(chǎn)生位移。這一移動過程，彈性體將同時發(fā)生兩種可能的變化：剛體位移和變形位移。變形位移是與彈性體的應力有著直接的關系。

彈性體的變形通過微分六面體單元描述，微分單元體的變形分為兩個部分，一是微分單元體棱邊的伸長和縮短；二是棱邊之間夾角的變化，分別使用正應變和切應變表示這兩種變形的。

由于是小變形問題，單元變形可以投影于坐標平面分析。根據(jù)正應變和切應變定義，不難得到應變與位移的關系－幾何方程，或者稱為柯西方程。

幾何方程給出的應變通常稱為工程應變。幾何方程可以表示為張量形式，應該注意的是，正應變與對應應變張量分量相等；而切應變等于對應的應變張量分量的兩倍。

幾何方程給出了位移分量和應變分量之間的關系。

學習要點：

1、位移函數(shù)；

2、變形與應變分量；

3、正應變表達式；

4、切應

變分量；5、幾何方程與應變張量。

1、位移函數(shù)

由于載荷作用或者溫度變化等外界因素等影響，物體內(nèi)各點在空間的位臵將發(fā)生變化，即產(chǎn)生位移。這個移動過程，彈性體將可能同時發(fā)生兩種位移變化。

第一種位移是位臵的改變，但是物體內(nèi)部各個點仍然保持初始狀態(tài)的相對位臵不變，這種位移是物體在空間做剛體運動引起的，因此稱為剛體位移。

第二種位移是彈性體形狀的變化，位移發(fā)生時不僅改變物體的絕對位臵，而且改變了物體內(nèi)部各個點的相對位臵，這是物體形狀變化引起的位移，稱為變形。

一般來說，剛體位移和變形是同時出現(xiàn)的。當然，對于彈性力學，主要是研究變形，因為變形和彈性體的應力有著直接的關系。

根據(jù)連續(xù)性假設，彈性體在變形前和變形后仍保持為連續(xù)體。那么彈性體中某點在變形過程中由M（x，y，z）移動至M'（x'，y'，z'），這一過程也將是連續(xù)的,如圖所示。在數(shù)學上，x'，y'，z'必為x，y，z的單值連續(xù)函數(shù)。設MM'=S為位移矢量，其三個分量u，v，w為位移分量。則

u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z），

v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z）

w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）

顯然，位移分量u，v，w也是x，y，z的單值連續(xù)函數(shù)。以后的分析將進一步假定位移函數(shù)具有三階連續(xù)導數(shù)。

2、變形與應變分量

為進一步研究彈性體的變形情況，假設從彈性體中分割出一個微分六面體單元，其六個面分別與三個坐標軸垂直。

對于微分單元體的變形，將分為兩個部分討論。一是微分單元體棱邊的伸長和縮短；二是棱邊之間夾角的變化。彈性力學分別使用正應變和切應變表示這兩種變形的。

對于微分平行六面體單元，設其變形前與x，y，z坐標軸平行的棱邊分別為MA，MB，MC，變形后分別變?yōu)镸'A'，M'B'，M'C'。

假設分別用εx,εy,εz表示x，y，z軸方向棱邊的相對伸長度，即正應變；分別用γxy,γyz,γzx表示x和y，y和z，z和x軸之間的夾角變化，即切應變。則

對于小變形問題，為了簡化分析，將微分單元體分別投影到Oxy，Oyz，Ozx平面來討論。

顯然，單元體變形前各棱邊是與坐標面平行的，變形后棱邊將有相應的轉動，但我們討論的是小變形問題，這種轉動所帶來的影響較小。特別是物體位移中不影響變形的計算，假設各點的位移僅為自身的大小和形狀的變化所確定，則這種微分線段的轉動的誤差是十分微小的，不會導致微分單元體的變形有明顯的變化。

3、正應變表達式

首先討論Oxy面上投影的變形。

設ma，mb分別為MA，MB的投影，m'a'，m'b'分別為M'A'，M'B'，即變形后的MA，MB的投影。

微分單元體的棱邊長為dx，dy，dz，M點的坐標為（x，y，z），u（x，y，z），v(x,y,z)分別表示M點x，y方向的位移分量。

則A點的位移為u(x+dx，y，z），v(x+dx，y，z）,B點的位移為u(x，y+dy，z），v(x，y+dy，z）。按泰勒級數(shù)將A，B兩點的位移展開，并且略去二階以上的小量，則A，B點的位移分別為

因為

所以

同理可得

由此可以得到彈性體內(nèi)任意一點微分線段的相對伸長度，即正應變。

顯然微分線段伸長，則正應變εx,εy,εz大于零，反之則小于零。

4、切應變分量

以下討論切應變表達關系。

假設βyx為與x軸平行的微分線段ma向y軸轉過的角度，βxy為與y軸平行的mb向x軸轉過的角度。則切應變

因為

上式的推導中，利用了小變形條件下位移的導數(shù)是高階小量的結論。同理可得

βyx和βxy可為正或為負，其正負號的幾何意義為：βyx大于零，表示位移v隨坐標x而增加，即x方向的微分線段正向向y軸旋轉。將上述兩式代入切應變表達式，則

同理可得

切應變分量大于零，表示微分線段的夾角縮小，反之則增大。

5、幾何方程與應變張量

綜上所述，應變分量與位移分量之間的關系為

上述公式稱為幾何方程，又稱柯西方程。

柯西方程給出了位移分量和應變分量之間的關系。如果已知位移，由位移函數(shù)的偏導數(shù)即可求得應變；但是如果已知應變，由于六個應變分量對應三個位移分量，則其求解將相對復雜。這個問題以后作專門討論。

幾何方程給出的應變通常稱為工程應變。

如果使用張量符號，則幾何方程可以表達為

上式表明應變分量ij將滿足二階張量的坐標變換關系，應變張量分量與工程應變分量的關系可表示為

§3.2純變形位移與剛性轉動位移

學習思路:

應變分量通過位移的偏導數(shù)描述了一點的變形，對微分平行六面體單元棱邊的伸長以及棱邊之間夾角的改變做出定義。但是這還不能完全描述彈性體的變形，原因是沒有考慮微分單元體的剛體轉動。

通過分析彈性體內(nèi)無限鄰近兩點的位臵變化，則可得出剛體的轉動位移與純變形位移之間的關系。剛體轉動通過轉動分量描述。

剛性轉動位移的物理意義：如果彈性體內(nèi)某點沒有變形，則無限鄰近它的任意一點的位移由兩部分組成，平動位移和轉動位移。如果發(fā)生變形，位移中還包括純變形位移。

學習要點：

1、剛體轉動位移；

2、轉動位移分量；

3、純變形位移與轉動位移；

4、位移的分解。

1、剛體轉動位移

應變可以描述一點的變形，即對微分平行六面體單元棱邊的伸長以及棱邊之間夾角的改變做出定義。但是這還不足以完全描述彈性體的變形，原因是應變分析僅僅討論了棱邊伸長和夾角變化，而沒有考慮微分單元體位臵的改變，即單元體的剛體轉動。

通過分析彈性體內(nèi)無限鄰近兩點的位臵變化，則可得出剛體的轉動位移與純變形位移之間的關系。

設P點無限鄰近O點，P點及其附近區(qū)域繞O作剛性轉動，轉過微小角度。

設轉動矢量為ω，OP之間的距離矢量為ρ，如圖所示。

則

引入拉普拉斯算符矢量

2、轉動位移分量

設P點的位移矢量為U，有

U=ui+uj+uk

由于位移矢量可以表示為U=ω×ρ,

所以

即

其中

ωx,ωy,ωz為轉動分量，是坐標的函數(shù)，表示了彈性體內(nèi)微分單元體的剛性轉動。

3、純變形位移與轉動位移

設M點的坐標為（x，y，z），位移（u，v，w）。與M點鄰近的N點，坐標為（x+dx，y+dy，z+dz），位移為（u+du，v+dv，w+dw）。

則MN兩點的相對位移為（du，dv，dw）。因為位移為坐標的函數(shù)，所以

同理可得

以上位移增量公式中，前三項為產(chǎn)生變形的純變形位移，后兩項是某點鄰近區(qū)域的材料繞該點像剛體一樣轉動的剛性轉動位移。

剛性轉動位移的物理意義為，如果彈性體中某點及鄰近區(qū)域沒有變形，則與某點無限鄰近這一點的位移，根據(jù)剛體動力學可知，是由兩部分組成。分別是隨

這點的平動位移和繞這點的轉動位移。對于彈性體中某一點，一般還要發(fā)生變形，因此位移中還包括純變形位移。

4、位移的分解

總得來講，與M點無限鄰近的N點的位移由三部分組成的：

1、隨同M點作平動位移。

2、繞M點作剛性轉動在N點產(chǎn)生的位移。

3、由于M點及其鄰近區(qū)域的變形在N點引起的位移。

轉動分量ωx,ωy，ωz對于微分單元體，描述的是剛性轉動，但其對于整個彈性體來講，仍屬于變形的一部分。三個轉動分量和六個應變分量合在一起，不僅確定了微分單元體形狀的變化，而且確定了方位的變化。

位移增量公式如果使用矩陣形式表示，可得

顯然，位移的增量是由兩部分組成的，一部分是轉動分量引起的剛體轉動位移，另一部分是應變分量引起的變形位移增量。

§3.3應變的坐標變換與應變張量

學習思路:

與應力狀態(tài)分析相同，一點的應變分量在不同坐標系下的描述是不相同的，因此討論應變狀態(tài)，就必須建立坐標變換，就是坐標轉動時的應變分量變換關系。

本節(jié)通過新坐標系與舊坐標系之間的位移變換關系式，根據(jù)幾何方程，通過復合函數(shù)的微分，就可以得到應變分量的轉軸公式。

轉軸公式表明應變張量也是二階對稱張量。

根據(jù)轉軸公式，一點的六個獨立的應變分量一旦確定，則任意坐標系下的應變分量均可確定，即應變狀態(tài)完全確定。

應變狀態(tài)分析表明：坐標變換后各個應變分量均發(fā)生改變，但是作為一個整體，一點的應變狀態(tài)是不會改變的。

學習要點：

1、坐標變換；

2、應變分量坐標轉軸公式；

3、應變張量。

1、坐標變換

上一節(jié)我們引入了應變分量，本節(jié)將討論不同坐標系下一點的應變分量的關系。與坐標轉軸時的應力分量的變換一樣，我們將建立應變分量轉軸的變換公式，即已知εij在舊坐標系中的分量，求其在新坐標系中的各分量εi'j'。

根據(jù)幾何方程，坐標平動將不會影響應變分量。因此只需坐標轉動時的應變分量變換關系，設新坐標系Oxyz是舊坐標系Ox'y'z'經(jīng)過轉動得到的，如圖所示。

新舊坐標軸之間的夾角的方向余弦為

設變形前的M點，變形后移至M'點，設其位移矢量MM'=U，則

2、應變分量坐標轉軸公式

所以，新坐標系的位移分量為

根據(jù)幾何方程，根據(jù)復合函數(shù)的微分關系

同理，可以推導其余五個應變分量的變換公式，即

3、應變張量

如果以nij（i，j=1，2，3）表示新舊坐標系之間的夾角的方向余弦，并注意到應變張量表達式，則上述應變分量變換公式可以寫作

εij=nii'njj'εij

因此，如果將應變分量寫作下列形式

則應變分量滿足張量變換關系。

與應力張量相同，應變張量也是二階對稱張量。

由公式可知，一點的六個獨立的應變分量一旦確定，則任意坐標系下的應變分量均可確定，即一點的應變狀態(tài)就完全確定了。不難理解，坐標變換后各應變

分量均發(fā)生改變，但它們作為一個整體，所描述的一點的應變狀態(tài)是不會改變的。

§3.4主應變和應變不變量

學習思路:

應變狀態(tài)分析需要確定一點的最大正應變及其方位，就是確定主應變和主平面。

對于任意一點，至少有三個垂直方向，在該方向僅有正應變而切應變?yōu)榱?。具有該性質的方向，稱為應變主軸或應變主方向，該方向的正應變稱為主應變。

本節(jié)根據(jù)位移增量與應變分量以及主應變的關系，推導求解主應變及其方向余弦的齊次方程組。根據(jù)齊次方程組非零解的條件，可以確定關于求解主應力的應變狀態(tài)特征方程。

根據(jù)特征方程，可以確定三個主應變。如果將主應變回代齊次方程組，并且注意到任意截面的三個方向余弦的平方和等于1，則可解應變主軸的方向余弦。

根據(jù)特征方程和應變不變量可知，主應變和應變主軸的特性與主應力和應力主軸是類似的。

學習要點：

1、位移微分表達式；

2、主應變齊次方程組；

3、主應變特征方程與不變量。

1、位移微分表達式

彈性體內(nèi)任一點的六個應變分量，即應變張量隨著坐標軸的旋轉而改變。因此是否可以像應力張量一樣，對于某一個確定點，在某個坐標系下所有的切應變分量都為零，僅有正應變分量不等于零。即能否找到三個相互垂直的方向，在這三個方向上的微分線段在物體變形后只是各自改變長度，而其夾角仍為直角。答案是肯定的。

在任何應變狀態(tài)下，至少可以找到三個這樣的垂直方向，在該方向僅有正應變而切應變?yōu)榱恪?/p>

具有該性質的方向，稱為應變主軸或應變主方向，該方向的應變稱為主應變。

設εij為物體內(nèi)某點在已知坐標系的應變張量，求其主應變ε1，ε2，ε3及應變主軸方向n1,n2,n3。設MN為M點的主軸之一，其變形前的方向余弦為l，m，n，主應變?yōu)棣?。令dρ表示MN的長度,則MN相對伸長為εdρ，如圖所示設M點的位移為（u，v，w），則N點的位移為（u+du，v+dv，w+dw）。因為

du=在x方向的變形位移分量+剛性轉動位移在x方向的分量

=εldρ+剛性轉動位移在x方向的分量

2、主應變齊次方程組

根據(jù)公式

即du等于純變形位移與剛性轉動位移在x方向的分量之和。根據(jù)上述公式，可得

或者寫作

同理可得

上述公式是關于l，m，n的齊次線性方程組。

3、主應變特征方程與不變量

對于l，m，n的齊次線性方程組，其非零解的條件為其系數(shù)行列式的值為零。即

將上式展開，可得主應變特征方程，

其中

顯然與應力不變量相同，J1，J2，J3為應變不變量，分別稱為第一，第二和第三應變不變量。

根據(jù)特征方程，可以求解得到三個主應變。將求解后的主應變代入公式，并注意到任意一點三個方向余弦的平方和等于1，則可解應變主軸的方向余弦。

由應力張量和應變張量，應力不變量和應變不變量之間的公式的比較可知，主應變和應變主軸的特性與主應力和應力主軸是類似的。

上圖是從別處截過來的。

§3.5體積應變

學習思路:

物體變形后的單位體積變化稱為體積應變。

討論微分平行六面體單元的體積變形，可以得到體積應變。體積應變等于3個正應變之和，就是第一應變不變量。

體積應變表示物體的體積變形是正應變引起的，與切應變無關。

學習要點：

1、單元體位移；

2、體積應變。

1、單元體位移

本節(jié)介紹物體變形后的單位體積變化，即體積應變。

討論微分平行六面體單元，如圖所示。

變形前，單元體的三條棱邊分別為MA，MB，MC，長dx，dy，dz，其體積為：V=dxdydz。設M點坐標為（x，y，z），則A，B，C點坐標分別為（x+dx，y，z），（x，y+dy，z）和（x，y，z+dz）。

彈性體變形后，其三條棱邊分別變?yōu)镸'A'，M'B'，M'C'。其中

2、體積應變

若用V'表示變形后的微分單元體體積，則

將行列式展開并忽略二階以上的高階小量，則

若用θ表示單位體積的變化即體積應變，則由上式可得

顯然體積應變θ就是應變張量的第一不變量J1。因此θ常寫作

體積應變θ大于零表示微分單元體膨脹，小于零則表示單元體受壓縮。若彈性體內(nèi)θ處處為零，則物體變形后的體積是不變的。

§3.6應變協(xié)調方程

學習思路:

變形協(xié)調方程的數(shù)學意義是：要使以三個位移分量為未知函數(shù)的六個幾何方程不矛盾，則應變分量必須滿足的必要條件。

應變協(xié)調方程的物理意義可以從彈性體的變形連續(xù)性質作出解釋。如果變形不滿足一定的關系，變形后的物體將出現(xiàn)縫隙或嵌入現(xiàn)象，不能重新組合成連續(xù)體。

為使變形后的微分單元體連續(xù)，應變分量必須滿足一定的關系，這一關系就是應變協(xié)調方程，又稱圣維南（SaintVenant）方程。

假如彈性體是單連通域的,應變協(xié)調方程不僅是變形連續(xù)的必要條件，而且也是充分條件。

利用位移函數(shù)的微分沿任意路徑重新積分可以確定的位移必然是單值位移的條件，可以證明應變協(xié)調方程。

對于多連通域問題，應變分量滿足變形協(xié)調方程只是位移連續(xù)的必要條件，只有加上位移連續(xù)補充條件作為充分條件。

學習要點：

1、變形協(xié)調例題；

2、變形協(xié)調方程；

3、變形協(xié)調方程的意義；

4、變形協(xié)調方程證明；

5、變形協(xié)調方程證明2；

6、多連域的變形協(xié)調。

1、變形協(xié)調例題

幾何方程表明，六個應變分量是通過三個位移分量表示的，因此六個應變分量將不可能是互不相關的，應變分量之間必然存在某種聯(lián)系。

這個問題對于彈性力學分析是非常重要的。因為如果已知位移分量，容易通過幾何方程的求導過程獲得應變分量；但是反之，如果已知應變分量，則幾何方程的六個方程將僅面對三個未知的位移函數(shù)，方程數(shù)顯然超過未知函數(shù)的個數(shù)，方程組將可能是矛盾的。

隨意給出六個應變分量，不一定能求出對應的位移。例如：

例1設應變分量為：，，求其位移

解：

顯然該應變分量沒有對應的位移。

要使這一方程組不矛盾，則六個應變分量必須滿足一定的條件

以下我們將著手建立這一條件。

2、變形協(xié)調方程

首先從幾何方程中消去位移分量，把幾何方程的第一式和第二式

分別對x和y求二階偏導數(shù)，然后相加，并利用第四式，可得

若將幾何方程的第四，五，六式分別對z，x，y求一階偏導數(shù)，然后四和六兩式相加并減去第五式，則

將上式對x求一階偏導數(shù)，則

分別輪換x,y,z，則可得如下六個關系式

上述方程稱為應變協(xié)調方程或者變形協(xié)調方程，又稱圣維南（SaintVenant）方程。

3、變形協(xié)調方程的意義

變形協(xié)調方程的數(shù)學意義是：要使三個位移分量為未知函數(shù)的六個幾何方程不相矛盾，則應變分量必須滿足的必要條件。

應變協(xié)調方程的物理意義可以從彈性體的變形連續(xù)作出解釋。假如物體分割成無數(shù)個微分六面體單元，變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)

象。

為使變形后的微分單元體仍能重新組合成連續(xù)體，應變分量必須滿足一定的關系，這一關系就是應變協(xié)調方程。

假如彈性體是單連通域的,則應變分量滿足應變協(xié)調方程不僅是變形連續(xù)的必要條件，而且也是充分條件。

為證明應變協(xié)調方程是變形體連續(xù)的必要和充分條件，我們可利用彈性體變形連續(xù)的物理意義，反映在數(shù)學上則要求位移分量為單值連續(xù)函數(shù)的性質。