2019屆高三理科數(shù)學(xué)全國大聯(lián)考試卷及解析

2019屆高三理科數(shù)學(xué)全國大聯(lián)考

試卷及解析

2019屆高三月考試卷答案版

數(shù)學(xué)（理科）

時量：120分耕滿分：150分

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分,

共60分，在每小題的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.設(shè)復(fù)數(shù)z=x+y九其中qy是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，

若r=x+i,則復(fù)數(shù)乙的共軌復(fù)1一1斗

數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(D)

A.第一象限B?第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解析】由已知，j=(l—i)(x+i)=x+l+(l—x)i,則

y=x+l9JL1—x=0,即x=l,y=2.

所以Tf一勿.三廠2i,所對應(yīng)的點(1,—2)位于

第四象限，選D-

2.已知向量Q與b的夾角是；，且14=1,01=4,

若(3a+肋)，①則實數(shù)/I的值為(B)

3322

A#B._寸C#D.彳

2233

【解析】由已知，(3a+勸)?o=0,即3以+26^=0,

所以3+22=0,即2=一*選B.

3.下列說法中正確的是(C)

A.若樣本數(shù)據(jù)xi,xi,???,的平均數(shù)為5,則

樣本數(shù)據(jù)2xi+1,2Q+1,2心+1的平均數(shù)為10

B.用系統(tǒng)抽樣法從某班按學(xué)號抽取5名同

學(xué)參加某項活動，若抽取的學(xué)號為5,16,27,

38,49,則該班學(xué)生人數(shù)可能為60

C.某種圓環(huán)形零件的外徑服從正態(tài)分布

N(4,0.25)(單位：cm),質(zhì)檢員從某批零件中隨機抽

取一個，測得其外徑為5.6cm,則這批零件不合格

D.對某樣本通過獨立性檢驗，得知有95%

的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，則在該樣本吸煙

的人群中有95%的人可能患肺病

【解析】對于A,若XI,兀2,…，心的平均

數(shù)為5,則2X1+1,2x1+1,…，2心+1的平均數(shù)

為2X5+1=11,所以說法錯誤；

對于B,由抽取的號碼可知樣本間隔為11,則對

應(yīng)的人數(shù)為11X5=55人.若該班學(xué)生人數(shù)為60,則樣

本間隔為60-5=12,所以說法錯誤.

對于C,因為“二4,(7二0.5,貝1J(w-3a,〃+3tr)=(2.5,

5.5),因為5?6贊(2.5,5.5),則這批

零件不合格，所以說法正確.

對于D,有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有

關(guān)系，是指對該樣本所得結(jié)論：“吸煙與患肺病有

關(guān)系”有95%的正確性，所以說法錯誤.選

21*

4.已知2x——\neN)的展開式中各項的二

1

項式系數(shù)之和為128,則其展開式中含?項的系數(shù)

是(A)

A.-84B.84

C.-24D.24

【解析】由已知，2n二128,得7,所以

Tr.1=C7(2X2)7r—；尸(―l)r-27rC7X143r.

iX/

1

令14—3r二一1,得r=5,所以展開式中含一項

的系數(shù)為(一I/,"。?二一84,選A.

5.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)

在R上單調(diào)遞增，若a,b,c成等差數(shù)列，且b〉0,則

下列結(jié)論正確的是(A)

A.f(b)〉O,且f(a)+f(c)>0

B.f(b)>0,且f(a)+f(c)v0

C.f(b)v0,且f(a)+f(c)>0

D.f(b)v0,且f(a)+f(c)v0

【解析】由已知,f(b)〉f(0)=0.因為a+c二

2b>0,則a>一c,從而f(a)〉f(一c)=一f(c),

即f(a)+f(c)>0,選A.

6.設(shè)x為區(qū)間［—2,2］內(nèi)的均勻隨機數(shù)，則計

算機執(zhí)行下列程序后，輸出的y值落在區(qū)間

2,3內(nèi)的概率為(C)

351

A.4B.8%x€[―2,0]時，y=2X€

【解析】因為當(dāng)

P1]?

4,"/

當(dāng)x€(0,2]時，y=2x+1C(1,5],

所以當(dāng)y€23時，x€[-1,1],其區(qū)間長

21

度為2,所求的概率P二4二2,選C.

7.已知函數(shù)f(x)=sin2x一Zsi/x+l,給出下

列四個結(jié)論：(B)

①函數(shù)f(x)的最小正周期是2n;②函數(shù)f(x)在

區(qū)間叮,?關(guān)于直上是減函數(shù)；③函數(shù)f(x)的圖象

線x=8對稱；④函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)y二」2sin

2x的圖象向左平移肓個單位得到.其中正確結(jié)論的

個數(shù)是

A.1B.2

C-3D.4

【解析】f(x)=sin2x+cos2x=2

n

sin2x+：r.

i4>

①因為3=2,則f(x)的最小正周期T=n,結(jié)

論錯誤.

②當(dāng)x€時，2x+4dn

8,842,2,

n5n

則f(x)在區(qū)間Efe,5言丁上是減函數(shù)，結(jié)論正確.

了冗、廠

③因為f8=2為f(x)的最大值，則f(x)的

n

圖象關(guān)于直線"8對稱，結(jié)論正確.

④設(shè)g(x)=V2sin2x,則gx+'J=/2sin2

x+n=2sin2x+；=2cos2CMf(x),結(jié)論錯誤，

選B.

8.已知命題p:若a>2且b>2,貝Va+bvab;命題q:

x>0,使(x—1)2X=1,則下列命

題中為真命題的是(A)

A.pAqB.p)Aq

C.pA廢弟q)D.(㈱p)A(㈱q)

11111

【解析】若a>2且b>2,則"<2且b<2,得1

a2b2a

1a+b

+b<l,即」<1,從而a+bvab,所以命題p為真?因為

直線y=x—1與函數(shù)y二才的圖象在

1X

（0,+x）內(nèi)有唯一交點，則方程x一1二-有正數(shù)解，

即方程（X-1）2X二1有正數(shù)解，所以命題q為真,

選A.

9.已知實數(shù)x,y滿足|x|+|y|w1,則z=2|x|

一|y|的最大值為（D）

A.5B.4

C.3D.2

a+b<l,

【解析】令|x|二a,|y|二b,貝Ua>0,且

b>0,

z=2a—b.作可行域，平移直線I:b=2a—z,由圖

知，當(dāng)直線I過點（1,0）時，直線I的縱截距最小，

從而Z為最大，且Zmax=2X1—0=2,選D.

7

c

10.如圖，在平面四邊形ABCD中，AB二AD二CD

=1,AB_LAD,BD_LCD.將該四邊形沿對角線BD折

成一個直二面角A—BD—C,則四面體ABCD的外接

球的體積為（B）

2Br^n

A-3n

D-3n

C-2n

r行如圖，因為平面ABD_L平面BCD,

L再牛

BDLCD,貝VCD_L平面ABD,從而CDI.AB.

因為AB_LAD,貝VAB，平面ACD,從而

AB，AC,所以BC是外接球的直徑.

在RtABDC中，BC=BD2+CD2=3,貝球半徑

所以外接球的體積V二4二號

22n,選

R=2\

B.

22

11.設(shè)雙曲線Xj2-by2=l(a>0,b>0)的左、右焦

點分別為/Fi,F2,0為坐標(biāo)原點，若雙曲線上存在點

M滿足|MFi|二21Moi二2|班引，則雙曲線的離心率為(C)

A.6B.3C.6D.3

【解析】過點M作x軸的垂線，垂足為A,因

為|M0|二|則|,則A為0F2的中點,所以|AF2|二2,

IAFi|=3C.設(shè)|MF21=m,貝1J|MFi|二2m.在Rt△MAFi中，

|MA|=4m2-42

在Rt△MAF2中，|MA|2=m2-C4,則4m2-9c2=m2-

c,W3m2=2c2.

44'

因為|MFi|-|MF21=2a,貝Vm=2a,所以

3X(2a)2=2c；即c2=6a2,所以e=￡二V6,選

a

C.

12.對于給定的正整數(shù)n,設(shè)集合Xn二{1,2,3,…,

n},A偃Xn,且AM記1(A)為集合A中的最大元素，當(dāng)

A取遍Xn的所有非空子集時,對應(yīng)的所有1(A)的和記

為S(n),則S(2018)

二⑻

A.2018X22018+1B.2018X22017+1

C.2017X22017+1D.2017X22018+1

【解析】對于集合Xn,滿足1(A)=1的集合A

只有1個，即{1};滿足1(A)=2的集合A有2個，

即{2},{1,2};滿足1(A)=3的集合A有4個，即

{3},{1,3},{2,3},{1,2,3};…；

滿足1(A)=n的集合A有2rH個，所以S(n)二1

+22+322+-+n2nl.

由錯位相減法，得S(n)二(n-1)7+1,所以S(2

018)=2017X22018+。選D.

二、填空題，本大題共4小題，每小題5分，共

20分.

n1

=3，則輸2

13?已知COSa—3人」

7

【解析】sin2a__652

1=

(n2-3—-9-

COS2a—o=2coS

9一?

“A1

14.如圖，在ZxABC

中，AD=3DC,P是線

1

段BD上一點，若AP=mAB+區(qū),則實數(shù)m的

值為扎

3—

【解析】因為AD=3DC,貝IAC=4AD,所以AP=mAB+

TAD.

因為B,P,D三點共線，則m+3=1,所以m」

15.已知函數(shù)f(x)二|2"—l|—a,若存在實數(shù)Xi,

x2(xrX2),使得f(Xi)=f(X2)二一1,則a的取值范

圍是—(1,2)_.

【解析】令f(x)=-1,則|2乂一11二a—1.據(jù)題意，

直線y二a—1與函數(shù)y二|公一11的圖象兩個不同的

交點，由圖可知,Ova—lv1,即Ivav2.

16.設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,已知Hi二

1,且Sn=4—1+nan（n€N），則數(shù)列｛an｝的通

<nJ

項公式是an=___2*___.

【解析】當(dāng)n>2時，an=Sn—Sn-1=(2>(

2、一12、了2

(1+n7?n-i—1+nan,貝U2^■一an=[1+

vn一1]inJin)vn-1

an1,

即an=24=4,所以數(shù)列邙是首項為1,公比為

2的等比數(shù)列，則￥二2,即an=2n-1.

三、解答題：共70分?解答應(yīng)寫出文字說明、

證明過程或演算步驟.第仃?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答?第22,23題為選考

題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：60分.

17.（本小題滿分12分）

如圖,在平面四邊形ABCD中，AB=4,AD=2,/

BAD=60°,/BCD=120°.

B

⑴若BC=22,求/CBD的大小；

⑵設(shè)△BCD的面積為S,求S的取值范圍.

【解析】（1）在ZxABD中，因為AB=4,AD

=2,/BAD=60°，貝V

BD2=AB2+AD2—2ABADcos/BAD=16

1

+4—2X4X2X2=12,所以BD=23.（3分）在公

BCD中，因為/BCD=120°,BC=

22,BD=23,由sin/CDB=sinZBCD,得BCsin/BCD^2sin

120°sin/CDB二BC""nJ亦一二

~2,貝VCDB=45°.（5BD分）所以/CBD=60°—/

CDB=15。.（6分）⑵設(shè)/CBD二出貝U/CDB二

C

60°—a在/BCD中，因為i（6B——

sin（60—0）

BD

二4,則BC=4sin（60°—0?（8分）

sin120

所以S=；BDBCsin/CBD=43sin（60°

—Osin0=4也！當(dāng)cos0一：sin0'sin0

=3sin20—23sin20=3sin20—3（1

一cos26）=3sin20+3cos26—3

二23sin（20+30°）—3.（11分）

因為0°V0V60°，貝y30°V20+30°V

150°,2<sin（2B+30°）〈1,所以O(shè)vSW3.

故S的取值范圍是（0,3].（12分）

18.（本小題滿分12分）

如圖，在三棱錐P—ABC中，PA_L底面ABC,

2■,AC=4,/BAC=120°,D為BC的中占八

⑴求證:AD±PB;

(2)若二面角A—PB—C的大小為45°，求三

棱錐P—ABC的體積.

【解析】(1)在ZxABC中，由余弦定理得

BC12=4+16—2X2X4Xcos120°二28,貝UBC二

27.

因為D為BC的中點，貝VBD二CD=7.(2

因為AD=；(AB+Ac),貝ijAD2=：(AB+Ac)2

=J(Afe2+AC2+2AfeAt)

1

=4(4+16+2X2X4Xcos120°)=3,所以

AD=3.(4分)

因為AB?+AD2=4+3=7=BD2,則

ABXAD.(5分)

因為PAJL底面ABC,貝VPA_LAD，所以AD

±

平面PAB,從而AD_LPB.（6分）

⑵解法一：因為ADJL平面PAB,過點A作

AE_LPB,垂足為E,連結(jié)DE.

貝VDE_LPB,所以/AED為二面角A—PB—C

的平面角.（8分）

在Rt△DAE中，由已知，/AED=45°,

貝VAE二AD=3.（9分）

在Rt△PAB中，設(shè)PA=a,貝VPB=AB?+PA2=

4+a2.（10，分）

一因為ABXAP=PBXAE,貝V2a=.4+a2X3,即

4a2=3（4+a?）,解得a2=12,所以PA=a=

23.（11分）

所以VP-ABC=1XS△ABCXPA=X3

X2X4Xsin120°X23=4.（12分）

解法二：分別以直線AB,AD,AP為x軸，

y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

設(shè)PA=a,則點B(2,0,0),D(0,3,0),

311

P(0,0,a).

所以BD=(—2,3,0),BP=(—2,0,a).

(8

分）

長平面PBC的法向量為m二（x,y,z）,貝V

mBD=0,日—2x+3y=0,,

<八即、cyzx

Bp=0,一2x+az=0.

取x=3,則y=2,z=2_3,所以m二a

2a3."分）

3,2,n1（0,1,0）為平面PAB的法向量_1則

㈤聲n>|二cos45二￥,即杵?［二￡?

|cos3??

2=2八2幺

=a=23.（11分）

向的HVp-ABC2,解得a14=12,所以PA

送餐單33444

數(shù)89012

甲公司1111

5

天數(shù)0050

3XS△ABCXPA—3X2

x2X4Xsin120°X23=4.（12分）

19.（本小題滿分12分）

有甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方

案如下：甲公司底薪80元，送餐員每單抽成4元；

乙公司無底薪，40單以內(nèi)（含40單）的部分送餐

員每單抽成6元，超過40單的部分送餐員每單抽成

7元-現(xiàn)從這兩家公司各隨機選取一名送餐員，分別

記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)分布表：

乙公司1111

5

天數(shù)0500

(1)從記錄甲公司的50天送餐單數(shù)中隨機抽取3

天，求這3天的送餐單數(shù)都不小于40單的概率；

(2)假設(shè)同一個公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相

同，將頻率視為概率，回答下列兩個問題：

(i)求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學(xué)期

望；

(ii)小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘

送餐員，如果僅從日均工資的角度考慮，小張應(yīng)選擇

哪家公司應(yīng)聘？說明你的理由.

【解析】(1)由表知，50天送餐單數(shù)中有30天

的送餐單數(shù)不小于40單，記抽取的3天送餐單數(shù)都

不小于40為事件A,則P(A)=C3°=磊.(3分)

(2)(i)設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為n,日

工資為X元，則

當(dāng)n=38時，X=38X6=228;當(dāng)n=39時，

X=39X6=234;當(dāng)n=40時，X=40X6=240;當(dāng)

n=41時，X=40X6+7=247;當(dāng)n=42時，

X=40X6+14=254.

所以X的分布列為

X228234240247254

13111

P5105510

(7分)

228X5+23410+240X5+247X1

v1055

1

+254X訂=2386（9分）

（ii）依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)

為

38X0.2+39X0.2+40X0.3+41X0.2

+42X0.1=39.8,（10分）

所以甲公司送餐員的日平均工資為80+

4X39.8=2392元，（11，分）

因為238.6V239.2,所以小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.

（12分）

20.（本小題滿分12分）

22

已知橢圓C：X?活二1（a>b>0）的一個焦點與拋

物線y?二W3x的焦點重合，且直線y』x與圓ax?+y2一

10x+20=0相切.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)斜率為k且不過原點的直線I與橢圓C相

交于A、B兩點，0為坐標(biāo)原點，直線0A,

OB的斜率分別為ki,k2,若ki,k,k2成等比數(shù)列,

推斷|0A「+|0B『是否為定值？若是，求出此定值；

若不是，說明理由.

【解析】(1)因為拋物線/二4打的焦點為

(3,0),則c=3,所以a2—b2=3.(2分)

因為直線bx一ay=0與圓(x-5)2+y2=5相切,

則5,即a2=4b2.(4分)

2

解得a2=4,2=1所以橢圓C的方程是:+y2=1.(5

分)

(2)設(shè)直線I的方程為y=kx+m(m^0),點

A(xi,yi),B(X2,y2),

將直線I的方程代入橢圓方程,得x?+4(kx+in)?二

4,SP(4k2+l)x2+8kmx+4m2-4=0,

胡_L8km遍4

2

由已知k=kik2北

則xi+X2-----4k2+i,xi-4k2+i.0分)

(kx“+m)(kX2+m)，貝ijk2xiX2-(kxi+m)(kx2

X1X2,+m)X,

8k22

即km(xi+X2)+m2=0,所以一喬善+m2—0,

即(1—4k2)m2-0.

因為mH0,貝Uk2=4,即k二弓，從而Xi+

X2=2m,XiX2=2m2-2.(10分)

所以|OAf+|OBf=xi+y2+X2+y2=xi+(kxi

+m)2+X2+(kx2+m)2

=(k2+1)(xi+X2)+2km(xi+X2)+2m2=(k2+

1)[(xi+X2)2-2xiX21+2km(xi+X2)+2m2.

二；[4m2—2(2m2—2)]—2m2+2m2=5為定

C(i2分)

2i.(本小題滿分i2分)已知函數(shù)f(x)=ex-

a(x一i),a€R,e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若存在存€(i,+)使f(X0)VO,求實數(shù)a

的取值范圍；

(2)若f(x)有兩個不同零點Xi,X2,證明:Xi

+X2>XiX2.

【解析】(i)解法一：f'x)=ex-a.(i分)

①若a<0,因為ex>0,貝【Jf'x)>0,止匕時f(x)在R

上單調(diào)遞增.

當(dāng)x€(i,+x)時,f(x)>f(i)=e>0,不合

題意.(2分)

②若a>0,由f'x(>0,得ex>a,即x>Ina,

則￡&)在(111@,+八)上單調(diào)遞增，在(一%,Ina)上

lna

單調(diào)遞減，所以f(x)min=f(Ina)二e—a(lna

據(jù)題意，lna>ha(2—皿則心幺,即

a)<0,

一i)=a(2—Ina).(4分)

a>e2,所以a的取值范圍是(e；)?(5分)

解法二：當(dāng)x€(1,)時，由f(x)v0,得

eX

exva(x-1),即a>x1,(1，分)

、e

設(shè)g(x)=(x>l),據(jù)題意，當(dāng)x€(1,+

X—1

&時,a〉g(x)能成立，則a>g(x)min.(2分)因為，

(?4)—e(x—2)a-

因為旦刈二6—1)2=(x-1)2

(X>1),(3分)

則當(dāng)x〉2時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)

1vxv2時，g"(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.(4分)所

以g(x)min二g(2)二e；故a的取值范圍是(e2,+8).

(5分)

(2)由題設(shè),f(Xi)f(X2)0,即

exi=a(XI—1).

2

(X2-zT)(X2—

ovo=a、貝Uexi?ex2=a(Xi

1),

SPexq+X2=a2(X1X2—Xq—X2+1).(7分)要

證Xi+X2>XiX2,只要證exi+X2<a2,即證

Xi+X2<21na,即證Xi<21na—X2?(8分)

不妨設(shè)XiVX2,由(1)可知'a>e2,且XiVInavX2,

從而21na-X2VIna.

因為f(x)在(一8,Ina)上單調(diào)遞減，所以只

要證f(xi)>f(21na—X2),即證f(X2)>f(21na—X2)

?(9分)

設(shè)h(x)=f(x)-f(21na—x),貝V

h，(x)=fx)+f(2Sk,—x)=ex-2a+e21nax2

=ex+ex—2a〉2ex*：x—2a=0,

所以h(x)在R上單調(diào)遞增.因為X2>Ina,

則h(X2)>h(Ina)二f(Ina)一f(Ina)=0,

即f(X2)—f(21na—X2)>0,即f(X2)>f(21na—

X2),所以原不等式成立.(12分)

(二)選考題：共10分.請考生在22、23兩題中

任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

22.(本小題滿分10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參

數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點0為極點，X

軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線Ci的極

坐標(biāo)方程為P=4cos0,直線1的參

一25

樣、x-1-5I

數(shù)方程為彳-5(t為參數(shù)).

v=1+5t

(1)求曲線Ci的直角坐標(biāo)方程及直線1的普