專題03 分類討論思想(解析版)

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專題03分類討論思想

思想辦法詮釋

分類討論思想：是當(dāng)咨詢題的對(duì)象別能舉行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究的對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)舉行分類，然后對(duì)每一類分不研究，給出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)咨詢題的解答．實(shí)質(zhì)上分類討論算是“化整為零，各個(gè)擊破，再集零為整”的數(shù)學(xué)思想.

【典例說(shuō)解】

要點(diǎn)一由概念、性質(zhì)、運(yùn)算引起的分類討論

[解析](1)f(1)＝e1－

1＝e0＝1，要使f(1)＋f(a)＝2，則需f(a)＝1.

當(dāng)a≥0時(shí)，由f(a)＝ea－

1＝1得a－1＝0，即a＝1；

當(dāng)－12(k∈Z)，由－10，此刻a2＝12，∵－12

.

綜上，a＝1或－

2

2

，故選B.(2)當(dāng)n≥2時(shí)，∑i＝2n－1

ai2i－1＝3n

，又∑i＝2

nai2i－1＝3n＋1，兩式相減，得an2n－1＝2×3n，因此an＝6n.由于a1＝7別符合

an＝6n

，因此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝?

????

7，n＝1，

6n，

n≥2.

[答案](1)B(2)an＝?

????

7，n＝1，

6n，n≥2

解決由概念、法則、公式引起的分類討論咨詢題的步驟

第一步：確定需分類的目標(biāo)與對(duì)象．即確定需要分類的目標(biāo)，普通把需要用到公式、定明白決咨詢題的對(duì)象作為分類目標(biāo)．

第二步：依照公式、定理確定分類標(biāo)準(zhǔn)．運(yùn)用公式、定理對(duì)分類對(duì)象舉行區(qū)分．第三步：分類解決“分目標(biāo)”咨詢題．對(duì)分類出來(lái)的“分目標(biāo)”分不舉行處理．第四步：匯總“分目標(biāo)”．將“分目標(biāo)”咨詢題舉行匯總，并作進(jìn)一步處理．

【訓(xùn)練】1．若橢圓mx2＋ny2＝1的離心率為12，則m

n

＝()

A.3

4B.4

3C.

32或233

D.34或43

[解析]若焦點(diǎn)在x軸上，則方程化為x21m＋y21n＝1，依題意得1m－1n1m＝14，因此mn＝3

4；若焦點(diǎn)在y軸上，則

方程化為y21n＋x21m

＝1，同理可得mn＝43.因此所求值為34或4

3.

[答案]D

【訓(xùn)練】2．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋13時(shí)，

由

m3≥tan∠AMB2，得m

3

≥tan60°，

解得m≥9.

綜上，m的取值范圍是(0,1]∪[9，＋∞)．

(2)函數(shù)f(x)＝－????x－a22＋a2

4的圖象的對(duì)稱軸為x＝a2，應(yīng)分a21，即a2三種情形討論．

①當(dāng)a2時(shí)，由圖(3)可知f(x)在[－1,1]上的最大值為f(1)＝a－1，由a－1＝4，得a＝5，滿腳題意．綜上可知，a＝5或－5.[答案](1)A(2)5或－5

幾類常見(jiàn)的由圖形的位置或形狀變化引起的分類討論(1)二次函數(shù)對(duì)稱軸的變化；(2)函數(shù)咨詢題中區(qū)間的變化；(3)函數(shù)圖象形狀的變化；(4)直線由歪率引起的位置變化；

(5)圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化；(6)立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變化等．

【訓(xùn)練】3．已知變量x，y滿腳的別等式組????

?

x≥0，y≥2x，

kx－y＋1≥0，表示的是一具直角三角形圍成的平面區(qū)域，

則實(shí)數(shù)k＝()

A．－12B.12C．0D．－1

2或0

[解析]別等式組????

?

x≥0，y≥2x，

kx－y＋1≥0，表示的可行域如圖(陰影部分)所示，由圖可知，若要使別等式組

????

?

x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0，

表示的平面區(qū)域是直角三角形，惟獨(dú)當(dāng)直線y＝kx＋1與直線x＝0或y＝2x垂直時(shí)才滿腳．

結(jié)合圖形可知歪率k的值為0或－1

2，故選D.

[答案]D

4．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分不是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面積為2，則a的值為_(kāi)_______．

[解析]由三角形面積公式，得1

2×3×1·sinA＝2.

故sinA＝22

3

.

因?yàn)閟in2A＋cos2A＝1，

因此cosA＝±1－sin2A＝±

1－89＝±13

.

①當(dāng)cosA＝1

3

時(shí)，由余弦定理，得

a2＝

b2＋

c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×1

3＝8.

因此a＝22.

②當(dāng)cosA＝－1

3

時(shí)，由余弦定理，得

a2＝

b2＋

c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×????－1

3＝12，因此a＝23.綜上a＝22或23.[答案]22或23

要點(diǎn)三由參數(shù)變化引起的分類討論

[解](1)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．(ⅰ)若a≤0，則f′(x)0，則由f′(x)＝0得x＝－lna.

當(dāng)x∈(－∞，－lna)時(shí)，f′(x)0.因此f(x)在(－∞，－lna)單調(diào)遞減，在(－lna，＋∞)單調(diào)遞增．(2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一具零點(diǎn)．

(ⅱ)若a>0，由(1)知，當(dāng)x＝－lna時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(－lna)＝1－1

a＋lna.

①當(dāng)a＝1時(shí)，由于f(－lna)＝0，故f(x)惟獨(dú)一具零點(diǎn)；

②當(dāng)a∈(1，＋∞)時(shí)，由于1－1

a

＋lna>0，即f(－lna)>0，故f(x)沒(méi)有零點(diǎn)；

③當(dāng)a∈(0,1)時(shí)，1－1

a

＋lna－2e－

2＋2>0，故f(x)在(－∞，－lna)有一具零點(diǎn)．設(shè)正整數(shù)n0滿腳n0>ln????

3a－1，則f(n0)＝en0(aen0＋a－2)－n0>en0－n0>2n0－n0>0.由于ln????

3a－1>－lna，所以f(x)在(－lna，＋∞)有一具零點(diǎn)．綜上，a的取值范圍為(0,1)．

由參數(shù)變化引起分類討論的關(guān)注點(diǎn)

若遇到題目中含有參數(shù)的咨詢題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對(duì)結(jié)果的妨礙舉行分類討論，本例(1)中f′(x)＝0會(huì)得出aex＝1，因ex>0，故應(yīng)分a≤0，a>0討論．(2)中當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)與f(x)的最小值相關(guān)，故討論的依據(jù)是f(x)的最小值的正負(fù)事情．此種題目為含參型，應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化事情，參數(shù)有幾何意義時(shí)還要思考適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，分類要做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，別重別漏．

【訓(xùn)練】5．設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－ax，a是常數(shù)．

(1)若a＝1，且曲線y＝f(x)的切線l通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)，求該切線的方程；(2)討論f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．[解](1)a＝1時(shí)，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)是(m，em－m)，則k＝f′(m)＝em－1，

故切線方程是：y－(em－m)＝(em－1)(x－m)．由0－(em－m)＝(em－1)(0－m)，得m＝1，

所求切線為：y＝(e－1)x.

(2)f′(x)＝ex－a，①當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0得x＝lna.

若xlna，則f′(x)>0.

函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(lna，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)的最小值為f(lna)＝a(1－lna)．(ⅰ)00，f(x)無(wú)零點(diǎn)．

(ⅱ)a＝e時(shí)，f(lna)＝a(1－lna)＝0，

f(x)惟獨(dú)一具零點(diǎn)．

(ⅲ)a>e時(shí)，f(lna)＝a(1－lna)0與函數(shù)的單調(diào)性，

f(x)在區(qū)間(－∞，lna)和(lna，＋∞)各有一具零點(diǎn)，f(x)共有兩個(gè)零點(diǎn)．

②a＝0時(shí)，f(x)＝ex，f(x)無(wú)零點(diǎn)．

③ae時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．

【思想辦法總結(jié)】

1．分類討論的原則

(1)別重別漏．

(2)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明．

(3)能別分類的要盡可能幸免或盡可能推遲，決別無(wú)原則地討論．

2．分類討論的思維流程

明確討論的對(duì)象和動(dòng)機(jī)―→確定分類的標(biāo)準(zhǔn)―→逐類舉行討論―→歸納綜合結(jié)論―→檢驗(yàn)分類是否完備(即檢驗(yàn)分類對(duì)象彼此交集是否為空集，并集是否為全集)．

分類討論思想的本質(zhì)是“化整為零，積零為整”．

【強(qiáng)化訓(xùn)練】一、挑選題

1．設(shè)函數(shù)f(x)＝?????

????12x－7，x－3，此刻－3解法二：取a＝0,f(0)＝00時(shí)，則Δ＝m2－4m≤0，解得00，b>0)，漸近線方程為y＝±b

ax，

因此ba＝tanπ3＝3，故雙曲線的離心率e＝c

a

＝

1＋b2

a

2＝1＋3＝2；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，漸近線方程為y＝±abx，因此

a

b＝tanπ3＝3，則ba＝33，因此雙曲線的離心率e＝c

a

＝

1＋b2

a

2＝1＋??

?

?332＝233.故選B.

[答案]B

5．已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，則()

A．(a－1)(b－1)0

C．(b－1)(b－a)0

[解析]∵a，b>0且a≠1，b≠1，∴當(dāng)a>1，即a－1>0時(shí)，別等式logab>1可化為alogab>a1，即b>a>1，∴(a－1)(a－b)0，(b－1)(b－a)>0.

當(dāng)01可化為alogab0，(b－1)(b－a)>0.綜上可知，選D.[答案]D

6．如圖，過(guò)正方體ABCD－A1B1C1D1任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面CB1D1平行的直線有()

A．18條B．20條

C．21條D．22條

[解析]設(shè)各邊的中點(diǎn)如圖所示，其中與直線D1B1平行的有F1G1，E1H1，F(xiàn)G，EH，NL，共5條；與直線CD1平行的有G1M，GN，LE1，KE，H1F，共5條；與直線CB1平行的有F1M，