-新教材高中數(shù)學(xué)第9章平面向量2.1第2課時(shí)向量的減法學(xué)案蘇教版必修第二冊

PAGEPAGE7第2課時(shí)向量的減法向量的減法(1)定義：若b＋x＝a，則向量x叫作a與b的差，記為a－b.求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫作向量的減法．(2)作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，如圖所示．1．已知非零向量a與b同向，則a－b()A．必定與a同向B．必定與b同向C．必定與a是平行向量D．與b不可能是平行向量【解析】選C.a－b必定與a是平行向量．2．(2021·忻州高一檢測)如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論正確的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))B．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))D．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0【解析】選C.在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，故A錯(cuò)誤；由向量減法法則得eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，故B錯(cuò)誤；由向量加法的平行四邊形法則知eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，即C正確；由于eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，故D錯(cuò)誤．3．下列四式不能化簡為eq\o(AD,\s\up6(→))的是()A．eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))B．(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→)))C．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋eq\o(BC,\s\up6(→))D．eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))【解析】選A.對B，(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故B正確；對C，(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故C正確；對D，eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故D正確．4．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，若|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝7，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝24，且∠AOB＝90°，則|a－b|＝________．【解析】如圖，在矩形OACB中，eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，則|a－b|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝eq\r(|a|2＋|b|2)＝eq\r(72＋242)＝25.答案：255．如圖所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.【解析】如圖所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d.則a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→))，c－d＝eq\o(DC,\s\up6(→)).一、單選題1．(2021·長沙高一檢測)化簡向量eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A．eq\o(DC,\s\up6(→))B．eq\o(OD,\s\up6(→))C．eq\o(CD,\s\up6(→))D．eq\o(AB,\s\up6(→))【解析】選A.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).2．(2021·安慶高一檢測)在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點(diǎn)，則eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))等于()A．eq\o(FD,\s\up6(→))B．eq\o(FC,\s\up6(→))C．eq\o(FE,\s\up6(→))D．eq\o(BE,\s\up6(→))【解析】選D.如圖所示，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點(diǎn)，可得eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))，則eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→)).3．設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則()A．a(chǎn)⊥bB．|a|＝|b|C．a(chǎn)∥bD．|a|>|b|【解析】選A.利用向量加法的平行四邊形法則．在?ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，由|a＋b|＝|a－b|知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＝))\o(DB,\s\up6(→))))，如圖所示．從而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.二、填空題4．(2021·襄陽高一檢測)如圖，在平行四邊形ABCD中，eq\o(AO,\s\up6(→))＝a，eq\o(DO,\s\up6(→))＝b，用向量a，b表示向量eq\o(CB,\s\up6(→))＝________．【解析】由題意可得eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝b－a.答案：b－a5．如圖所示，在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，用a，b表示向量eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝________，eq\o(BD,\s\up6(→))＝________．【解析】由向量加法的平行四邊形法則，及向量減法的運(yùn)算法則可知eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a.答案：a＋bb－a三、解答題6．已知△OAB中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，滿足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|與△OAB的面積.【解析】由已知得|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|，以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))為鄰邊作平行四邊形OACB，則可知其為菱形，且eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，由于|a|＝|b|＝|a－b|，則OA＝OB＝BA，所以△OAB為正三角形，所以|a＋b|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2×eq\r(3)＝2eq\r(3)，S△OAB＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).一、選擇題1．(2021·盤錦高一檢測)設(shè)非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b滿足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＝))b\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(，))a＋b\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＝))a－b))，則四邊形ABCD形狀是()A．平行四邊形 B．矩形C．正方形 D．菱形【解析】選C.因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，因?yàn)閨a|＝|b|，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，根據(jù)平行四邊形法則，所以四邊形ABCD是菱形，又因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|，所以四邊形ABCD是正方形．2．(2021·黃石高一檢測)已知O為四邊形ABCD所在的平面內(nèi)的一點(diǎn)，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))滿足等式eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，若點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，則eq\f(S△EAB,S△BCD)＝()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(2,3)【解析】選B.因?yàn)橄蛄縠q\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))滿足等式eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD為平行四邊形，因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以E為對角線AC與BD的交點(diǎn)，則S△EAB＝S△ECD＝S△ADE＝S△BCE，則eq\f(S△EAB,S△BCD)＝eq\f(1,2).3．(多選)(2021·南京高一檢測)八卦是中國文化中的哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中OA＝1，則給出下列結(jié)論中真命題為()A．eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(HF,\s\up6(→))＋eq\o(HD,\s\up6(→))＝0B．eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\r(2)eq\o(OF,\s\up6(→))C．eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))－eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))D．eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))【解析】選BC.對于A：因?yàn)閑q\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(HF,\s\up6(→))＋eq\o(HD,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(FH,\s\up6(→))＋eq\o(HD,\s\up6(→))＝eq\o(BH,\s\up6(→))＋eq\o(HD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))，故A錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)椤螦OC＝eq\f(360°,8)×2＝90°，則以O(shè)A，OC為鄰邊的平行四邊形為正方形，又因?yàn)镺B平分∠AOC，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\r(2)eq\o(OF,\s\up6(→))，故B正確；對于C：因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))－eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))，且eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(GB,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))－eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，故C正確，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))方向不同，所以eq\o(OA,\s\up6(→))≠eq\o(OC,\s\up6(→))，所以D錯(cuò)誤．二、填空題4．(2021·合肥高一檢測)如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD交于O點(diǎn)，則eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________．【解析】eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up6(→))－\o(BC,\s\up6(→))))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OD,\s\up6(→))－\o(OA,\s\up6(→))))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→)).答案：eq\o(CA,\s\up6(→))5．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝1，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))－\o(CD,\s\up6(→))))＝________．【解析】如圖所示，作出菱形ABCD，連接BD，AC，交于點(diǎn)O，由題意知，在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，所以△ABD為等邊三角形，BD＝1.所以|eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|.由四邊形ABCD為菱形可知，O為BD，AC的中點(diǎn)．又△ABD是邊長為1的等邊三角形，所以|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝eq\r(3).所以|eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(3).答案：eq\r(3)三、解答題6．(2021·北京高一檢測)如圖所示，已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))