-新教材高中數(shù)學(xué)第11章解三角形3第1課時余弦定理正弦定理的基本應(yīng)用學(xué)案蘇教版必修第二冊

PAGEPAGE13第1課時余弦定理、正弦定理的基本應(yīng)用解三角形中的常見術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角與目標(biāo)視線在同一鉛直平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線上方時叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方時叫俯角.方位角從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角,如點B的方位角為α(如圖所示).方位角的取值范圍:0°~360°.方向角指以觀測者為中心,指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角,它是方位角的另一種表示形式.如圖,左圖中表示北偏東30°,右圖中表示南偏西60°.1．有一條與兩岸平行的河流，水速為1m/s，小船的速度為eq\r(2)m/s，為使所走路程最短，小船應(yīng)朝什么方向行駛()A．與水速成45° B．與水速成135°C．垂直于對岸 D．不能確定【解析】選B.如圖所示，AB是水速，AD為船速，AC是船的實際速度，且AC⊥AB，在Rt△ABC中，cos∠ABC＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(AB,AD)＝eq\f(\r(2),2).所以∠ABC＝45°，所以∠DAB＝90°＋45°＝135°，則小船行駛的方向應(yīng)與水速成135°.2．一海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處．在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()A．10eq\r(3)海里B．10eq\r(2)海里C．20eq\r(3)海里D．20eq\r(2)海里【解析】選B.根據(jù)已知條件可知在△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，由正弦定理有eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(20,sin45°)，所以BC＝eq\f(20×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝10eq\r(2).3．如圖所示，在山底A處測得山頂B的仰角∠CAB＝45°，沿傾斜角為30°的山坡向山頂走1000m到達S點，又測得山頂仰角∠DSB＝75°，則山高BC為()A．500eq\r(2)m B．200mC．1000eq\r(2)mD．1000m【解析】選D.可得∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS中，AB＝eq\f(AS·sin135°,sin30°)＝eq\f(1000×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝1000eq\r(2)(m)，所以BC＝AB·sin45°＝1000eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1000(m).4．某人從A處出發(fā)，沿北偏西60°方向行走2eq\r(3)km到達B處，再沿正東方向行走2km到達C處，則A，C兩地的距離為________km.【解析】如圖所示，∠ABC＝30°，又AB＝2eq\r(3)，BC＝2，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC＝12＋4－2×2eq\r(3)×2×eq\f(\r(3),2)＝4，AC＝2，所以A，C兩地的距離為2km.答案：25．海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離為12eq\r(6)海里；在A處看燈塔C，在貨輪的北偏西30°，距離為8eq\r(3)海里；貨輪向正北由A處航行到D處時看燈塔B在南偏東60°，求：(1)A處與D處之間的距離；(2)燈塔C與D處之間的距離．【解析】由題意，畫出示意圖．(1)在△ABD中，因為∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，所以B＝45°.由正弦定理得AD＝eq\f(AB,sin60°)·sin45°＝24(海里).所以A處與D處之間的距離為24海里．(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°＝242＋(8eq\r(3))2－2×24×8eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝(8eq\r(3))2，所以CD＝8eq\r(3)海里．所以C，D之間的距離為8eq\r(3)海里.一、單選題1．海上有A，B兩個小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B，C之間的距離為()A．2eq\r(6)nmile B．3eq\r(6)nmileC．5eq\r(6)nmile D．6eq\r(6)nmile【解析】選C.在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，所以∠C＝45°.因為eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，所以BC＝eq\f(AB·sinA,sinC)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq\r(6)(nmile).2.如圖，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°方向，燈塔B在觀察站C的南偏東40°方向，則燈塔A與B的距離為()A．a(chǎn)km B．eq\r(3)akmC．eq\r(2)akmD．2akm【解析】選B.在△ABC中，因為AC＝BC＝a，∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理可得AB2＝a2＋a2－2a×a×cos120°＝3a2，所以AB＝eq\r(3)a.3．某人向正東方向走xkm后向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好是eq\r(3)km，那么x的值是()A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)或eq\r(3) D．3【解析】選C.如圖所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝eq\r(3)，∠B＝30°.由余弦定理，得(eq\r(3))2＝x2＋32－2×3×x×eq\f(\r(3),2)，所以x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解得x＝eq\r(3)或x＝2eq\r(3).4．已知A，B兩地的距離為10km，B，C兩地的距離為20km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A，C兩地的距離為()A．10km B．eq\r(3)kmC．10eq\r(5)kmD．10eq\r(7)km【解析】選D.在△ABC中，AB＝10km，BC＝20km，∠ABC＝120°，則由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos120°＝100＋400－2×10×20×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝700，所以AC＝10eq\r(7)km，即A、C兩地的距離為10eq\r(7)km.5．如圖所示，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于()A．30°B．45°C．60°D．75°【解析】選B.依題意可得AD＝20eq\r(10)(m)，AC＝30eq\r(5)(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理的推論得，cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(（30\r(5)）2＋（20\r(10)）2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq\f(6000,6000\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.二、填空題6．如圖所示為一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并測量得AC＝3mm，BC＝2eq\r(2)mm，AB＝eq\r(29)mm，則∠ACB＝________．【解析】在△ABC中，由余弦定理得cos∠ACB＝eq\f(32＋（2\r(2)）2－（\r(29)）2,2×3×2\r(2))＝－eq\f(\r(2),2)，因為∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝eq\f(3π,4).答案：eq\f(3π,4)7．當(dāng)太陽光與水平面的傾斜角為60°時，一根長為2m的竹竿如圖所示放置，要使它的影子最長，則竹竿與地面所成的角為________．【解析】設(shè)竹竿與地面所成的角為α，影子長為xm．由正弦定理，得eq\f(2,sin60°)＝eq\f(x,sin（120°－α）)，所以x＝eq\f(4\r(3),3)sin(120°－α)，因為30°<120°－α<120°，所以當(dāng)120°－α＝90°，即α＝30°時，x有最大值．故竹竿與地面所成的角為30°時，影子最長．答案：30°8．已知兩座建筑A，B與規(guī)劃測量點C的距離相等，A在C的北偏東40°方向，B在C的南偏東60°方向，則A在B的______方向；C在B的______方向．【解析】因為△ABC為等腰三角形，所以∠CBA＝eq\f(1,2)(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°.即A在B的北偏西10°方向．因為B在C的南偏東60°方向，所以C在B的北偏西60°方向．答案：北偏西10°北偏西60°9．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且2c＝eq\r(3)a，b＝6，D是AC邊上近A點的三等分點，且2∠ABD＝∠CBD，則∠CBD＝______；BC＝______．【解析】令∠1＝∠ABD，∠2＝∠CBD，在△ABD內(nèi)，根據(jù)正弦定理可得eq\f(AD,sin∠1)＝eq\f(BD,sinA)，在△BCD內(nèi)，eq\f(CD,sin∠2)＝eq\f(BD,sinC)，兩等式相除可得eq\f(2sin∠1,sin∠2)＝eq\f(sinA,sinC)，又2c＝eq\r(3)a，即2sinC＝eq\r(3)sinA，則eq\f(2sin∠1,sin∠2)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2sin∠1,2sin∠1cos∠1)，cos∠1＝eq\f(\r(3),2)，所以∠1＝eq\f(π,6)，∠2＝eq\f(π,3)，因此∠ABC＝eq\f(π,2)，則AC2＝b2＝a2＋c2，則36＝eq\f(3,4)a2＋a2，所以BC＝a＝eq\f(12\r(7),7).答案：eq\f(π,3)eq\f(12\r(7),7)三、解答題10．如圖，甲船以每小時30eq\r(2)海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1處，此時兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2處，此時兩船相距10eq\r(2)海里．問：乙船每小時航行多少海里？【解析】如圖，連接A1B2，由已知A2B2＝10eq\r(2)海里，A1A2＝30eq\r(2)×eq\f(20,60)＝10eq\r(2)(海里)，所以A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2＝60°，所以△A1A2B2是等邊三角形，所以A1B2＝A1A2＝10eq\r(2)海里．由已知，A1B1＝20海里，∠B1A1B2＝180°－75°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理得B1Beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝A1Beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋A1Beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(10eq\r(2))2－2×20×10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝200，所以B1B2＝10eq\r(2)海里．因此，乙船的速度為eq\f(10\r(2),20)×60＝30eq\r(2)(海里/時).所以乙船每小時航行30eq\r(2)海里．11．在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A為eq\r(3)－1海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距離A為2海里的C處有一艘緝私艇奉命以10eq\r(3)海里/時的速度追截走私船，此時，走私船正以10海里/時的速度從B處向北偏東30°方向逃竄．(1)問C與B相距多少海里？C在B的什么方向？(2)問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時間．【解析】(1)根據(jù)題意作出示意圖，如圖．①則AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，在△ABC中由余弦定理得：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝6，所以BC＝eq\r(6)，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，即eq\f(2,sin∠ABC)＝eq\f(\r(6),\f(\r(3),2))，解得sin∠ABC＝eq\f(\r(2),2)，所以∠ABC＝45°，所以C在B的正西方向．(2)由(1)知BC＝eq\r(6)，∠DBC＝120°，設(shè)t小時后緝私艇在D處追上走私船，則BD＝10t，CD＝10eq\r(3)t，在△BCD中由正弦定理得eq\f(10\r(3)t,sin120°)＝eq\f(10t,sin∠BCD)，解得sin∠BCD＝eq\f(1,2)，所以∠BCD＝30°，所以△BCD是等腰三角形，所以10t＝eq\r(6)，即t＝eq\f(\r(6),10).所以緝私艇沿東偏北30°方向行駛eq\f(\r(6),10)小時才能最快追上走私船．一、選擇題1．已知船A在燈塔C北偏東85°且到C的距離為2km，船B在燈塔C北偏西65°且到C的距離為eq\r(3)km，則A，B兩船的距離為()A．2eq\r(3)kmB．3eq\r(2)kmC．eq\r(15)kmD．eq\r(13)km【解析】選D.如圖可知∠ACB＝85°＋65°＝150°，AC＝2km，BC＝eq\r(3)km，所以AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos150°＝13，所以AB＝eq\r(13)km.2．如圖所示，D，C，B在地平面同一直線上，DC＝10m，從D，C兩地測得A點的仰角分別為30°和45°，則A點離地面的高AB等于()A．10m B．5eq\r(3)mC．5(eq\r(3)－1)mD．5(eq\r(3)＋1)m【解析】選D.方法一：設(shè)AB＝xm，則BC＝xm.所以BD＝(10＋x)m.所以tan∠ADB＝eq\f(AB,DB)＝eq\f(x,10＋x)＝eq\f(\r(3),3).解得x＝5(eq\r(3)＋1).所以A點離地面的高AB等于5(eq\r(3)＋1)m.方法二：因為∠ACB＝45°，所以∠ACD＝135°，所以∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.由正弦定理，得AC＝eq\f(CD,sin∠CAD)·sin∠ADC＝eq\f(10,sin15°)·sin30°＝eq\f(20,\r(6)－\r(2))(m)，所以AB＝ACsin45°＝5(eq\r(3)＋1)m.3．如圖，某偵察飛機在恒定高度沿直線AC勻速飛行．在A處觀測地面目標(biāo)A，測得俯角∠BAP＝30°.經(jīng)2分鐘飛行后在B處觀測地面目標(biāo)P，測得俯角∠ABP＝60°.又經(jīng)過一段時間飛行后在C處觀察地面目標(biāo)P，測得俯角∠BCP＝θ且cosθ＝eq\f(4\r(19),19)，則該偵察飛機由B至C的飛行時間為()A.1.25分鐘 B．1.5分鐘C．1.75分鐘D．2分鐘【解析】選B.設(shè)飛機的飛行速度為v，根據(jù)飛機的飛行圖形，測得俯角∠BAP＝30°，經(jīng)過2分鐘飛行后在B處觀測地面目標(biāo)P，測得俯角為∠ABP＝60°，所以△ABP為直角三角形，過點P作PD⊥AC于點D，則AB＝2v，AP＝eq\r(3)v，BP＝v，解得DP＝eq\f(\r(3)v,2)，設(shè)CB＝xv，因為cosθ＝eq\f(4\r(19),19)，可得sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(\r(57),19)，所以tanθ＝eq\f(\r(3),4)，在直角△PCD中tanθ＝eq\f(\f(\r(3),2)v,\f(1,2)v＋xv)＝eq\f(\r(3),4)，解得x＝1.5，即該偵察飛機由B至C的飛行時間為1.5分鐘．二、填空題4．甲船在島B的正南A處，AB＝6km，甲船以每小時4km的速度向正北方向航行，同時乙船自B出發(fā)以每小時3km的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，甲、乙兩船相距最近的距離是________km.【解析】假設(shè)經(jīng)過x小時兩船相距最近，甲、乙分別行至C，D，如圖所示，可知BC＝6－4x，BD＝3x，∠CBD＝120°，CD2＝BC2＋BD2－2BC×BD×cos∠CBD＝(6－4x)2＋9x2＋2(6－4x)3x×eq\f(1,2)＝13x2－30x＋36.當(dāng)x＝eq\f(15,13)時甲、乙兩船相距最近，最近距離為eq\f(9\r(39),13)km.答案：eq\f(9\r(39),13)5．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在北偏西45°的方向上，仰角為α，行駛300米后到達B處，測得此山頂在北偏西15°的方向上，仰角為β，若β＝45°，則此山的高度CD＝________米，仰角α的正切值為________．【解析】設(shè)山的高度CD＝x米，由題可得∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，AB＝300米，∠CBD＝45°.在△ABC中，可得：∠ACB＝180°－45°－105°＝30°，利用正弦定理可得eq\f(AB,sin30°)＝eq\f(CB,sin45°)＝eq\f(AC,sin105°)，解得CB＝300eq\r(2)(米)，AC＝150eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)＋\r(2)))(米).在Rt△BCD中，由∠CBD＝45°可得：x＝CB＝300eq\r(2)(米)，在Rt△ACD中可得tanα＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(300\r(2),150\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)＋\r(2))))＝eq\r(3)－1.答案：300eq\r(2)eq\r(3)－16．一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且此時它們相距8eq\r(2)海里，此時的航速是________海里/小時．【解析】在△ABS中，易知∠BAS＝30°，∠ASB＝45°，且邊BS＝8eq\r(2)，利用正弦定理可得eq\f(AB,sin45°)＝eq\f(BS,sin30°)，即eq\f(AB,\f(\r(2),2))＝eq\f(8\r(2),\f(1,2))，得AB＝16，又因為從A到B勻速航行時間為半小時，所以速度應(yīng)為eq\f(16,\f(1,2))＝32(海里/小時).答案：327．甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°方向的B處，乙船以每小時a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時eq\r(3)a海里，問：甲船應(yīng)沿______方向前進才能最快與乙船相遇？【解析】如圖，設(shè)經(jīng)過t小時兩船在C點相遇，則在△ABC中，BC＝at，AC＝eq\r(3)at，∠B＝180°－60°＝120°.由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，則sin∠CAB＝eq\f(BC·sinB,AC)＝eq\f(atsin120°,\r(3)at)＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(3))＝eq\f(1,2).因為0°<∠CAB<90°，所以∠CAB＝30°，所以∠DAC＝60°－30°＝30°，即甲船應(yīng)沿北偏東30°的方向前進才能最快與乙船相遇．答案：北偏東30°三、解答題8．某地發(fā)現(xiàn)疫情，衛(wèi)生部門欲將一塊如圖所示的四邊形區(qū)域ABCD沿著邊界用固定高度的板材圍成一個封閉的隔離區(qū)．經(jīng)測量，邊界AB與AD的長都是200米，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°(eq\r(3)≈1.7321，eq\r(6)≈2.4495).(1)若∠ADC＝105°，求BC的長(結(jié)果精確到米)；(2)圍成該區(qū)域至多需要多少米長度的板材？(不計損耗，結(jié)果精確到米).【解析】(1)連接BD，則在△BCD中BD＝200，∠BDC＝45°，由eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，得：BC＝eq\f(200sin45°,sin120°)＝eq\f(200\r(6),3)≈163，所以BC的長約為163米；(2)設(shè)∠CBD＝θ(0<θ<eq\f(π,3))，則∠BDC＝eq\f(π,3)－θ，在△BCD中，由eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，得：BC＝eq\f(400,\