-新教材高中數(shù)學(xué)第13章立體幾何初步2.3第2課時直線與平面平行的性質(zhì)學(xué)案蘇教版必修第二冊

PAGEPAGE13第2課時直線與平面平行的性質(zhì)【概念認(rèn)知】直線與平面平行的性質(zhì)定理【自我小測】1．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點，EH∥FG，則EH與BD的位置關(guān)系是()A．平行B．相交C．異面D．不確定【解析】選A.因為EH∥FG，F(xiàn)G?平面BCD，EH?平面BCD，所以EH∥平面BCD.因為EH?平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF∥平面AB1【解析】因為在正方體ABCD-A1B1C1D1所以AC＝2eq\r(2).又E為AD的中點，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1所以EF∥AC，所以F為DC的中點，所以EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)3．如圖，在三棱柱ABC-A′B′C′中，截面A′B′C與平面ABC交于直線a，則直線a與直線A′B′的位置關(guān)系為________．【解析】在三棱柱ABC-A′B′C′中，A′B′∥AB，AB?平面ABC，A′B′?平面ABC，所以A′B′∥平面ABC.又A′B′?平面A′B′C，平面A′B′C∩平面ABC＝a，所以A′B′∥a.答案：平行4．已知(如圖)A，B，C，D四點不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，則四邊形EFHG的形狀是________．【解析】平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，得EF∥CD；同理可證GH∥CD，EG∥AB，F(xiàn)H∥AB.所以GH∥EF，EG∥FH.所以四邊形EFHG是平行四邊形．答案：平行四邊形5．如圖，已知E，F(xiàn)分別是菱形ABCD邊BC，CD的中點，EF與AC交于點O，點P在平面ABCD外，M是線段PA上一動點，若PC∥平面MEF，試求PM∶MA的值．【解析】如圖，連接BD交AC于O1，連接OM，因為PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，所以O(shè)M∥PC，所以eq\f(PM,PA)＝eq\f(OC,AC)，在菱形ABCD中，因為E，F(xiàn)分別是邊BC，CD的中點，所以eq\f(OC,O1C)＝eq\f(1,2).又AO1＝CO1，所以eq\f(PM,PA)＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,4)，故PM∶MA＝1∶3.【基礎(chǔ)全面練】一、單選題1．已知直線a，b和平面α，下列命題中正確的是()A．若a∥α，b?α，則a∥bB．若a∥α，b∥α，則a∥bC．若a∥b，b?α，則a∥αD．若a∥b，a∥α，則b∥α或b?α【解析】選D.對于A，若a∥α，b?α，則a∥b或a與b異面；所以A錯；對于B，若a∥α，b∥α，則a∥b或a與b相交或a與b異面；所以B錯；對于C，若a∥b，b?α，則a∥α或a?α；所以C錯；對于D，因為a∥α，所以在α內(nèi)存在直線c使得a∥c，因為a∥b，所以b∥c，因為c?α，所以b?α或b?α，當(dāng)b?α?xí)r，因為c?α，b∥c，所以b∥α，故D正確．2．(2020·南京高一檢測)有一木塊如圖所示，點P在平面A′B′C′D′內(nèi)，棱BC平行平面A′B′C′D′，要經(jīng)過P和棱BC將木料鋸開，鋸開的面必須平整，有N種鋸法，N為()A.0種B．1種C．2種D．無數(shù)種【解析】選B.因為BC∥平面A′B′C′D′，所以BC∥B′C′，所以在平面A′B′C′D′上過P作EF∥B′C′，如圖：則EF∥BC，所以過EF，BC所確定的平面鋸開即可，又由于此平面唯一確定．所以只有一種方法．3．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點，點P在棱AA1上，且DP∥平面B1A.eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．1D．與AB的長有關(guān)【解析】選B.連接BD與AE交于點M，連接BP與AB1交于點N，連接NM，因為DP∥平面B1AE，且平面B1AE∩平面BPD＝MN，DP?平面BPD，所以DP∥MN，則eq\f(BM,MD)＝eq\f(BN,NP)，由于△ABM與△EDM相似，且E為CD的中點，則eq\f(BM,MD)＝eq\f(AB,DE)＝2，所以eq\f(BN,NP)＝2，又由△BB1N與△PAN相似，則eq\f(BN,NP)＝eq\f(BB1,AP)＝2，所以P為AA1的中點，所以AP＝eq\f(1,2).4．(2020·樂山高一檢測)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，AA1＝3，點M是線段D1C1的中點，點N在線段B1C1上，MN∥BD，則長方體ABCD-A1B1CA.5eq\r(6)B．7eq\r(6)C．8eq\r(6)D．10eq\r(6)【解析】選B.長方體ABCDA1B1C1D1中，BD∥B1D1因為MN∥BD，所以MN∥B1D1，因為點M是線段D1C1的中點，所以點N是線段B1C因為MN∥BD，BD?平面ABCD，MN?平面ABCD，所以MN∥平面ABCD，因為平面ABCD與平面AMN有一個公共點A，所以它們有一條過點A的交線，且該直線與MN平行，所以與BD平行，設(shè)此直線分別交直線BC，CD于點H，G，連接NH交BB1于點F，連接GM交DD1于點E，連接AF，AE，則五邊形AEMNF是長方體ABCDA1B1C1D1因為底面ABCD是正方形，則B，D分別為CH，CG的中點，所以△HBF∽△NB1F，所以eq\f(HB,NB1)＝eq\f(FB,FB1)＝2，所以BF＝2，F(xiàn)B1＝1，同理DE＝2，ED1＝1，所以E，F(xiàn)分別是DD1，BB1的三等分點，所以AE＝AF＝2eq\r(5)，EM＝FN＝eq\r(5)，MN＝2eq\r(2)，EF＝4eq\r(2)，等腰△AEF中，EF邊上的高h(yuǎn)＝eq\r(AE2－（\f(EF,2)）2)＝eq\r(（2\r(5)）2－（\f(4\r(2),2)）2)＝2eq\r(3)，所以△AEF的面積為：eq\f(1,2)×EF·h＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×2eq\r(3)＝4eq\r(6)，梯形MNFE為等腰梯形，如圖：梯形的高為eq\r(ME2－EP2)＝eq\r(5－2)＝eq\r(3)，所以梯形MNFE的面積為eq\f(1,2)(2eq\r(2)＋4eq\r(2))×eq\r(3)＝3eq\r(6)，所以截面面積為4eq\r(6)＋3eq\r(6)＝7eq\r(6).二、填空題5．如圖所示，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，若AB∥α，則CD與EF的位置關(guān)系是________.【解析】因為eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AB∥α,α∩β＝CD,AB?β))?AB∥CD，同理可證AB∥EF，所以EF∥CD.答案：平行6．(2021·杭州高一檢測)如圖，四邊形ABCD是空間四邊形，E，F(xiàn)，C，H分別是四邊上的點，它們共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝a，BD＝b，則當(dāng)四邊形EFGH是菱形時，AE∶EB＝________.(用a，b表示)【解析】因為AC∥平面EFGH，AC，EF在平面ABC內(nèi)，所以AC∥EF，所以△BEF∽△BAC，所以eq\f(BE,BA)＝eq\f(EF,AC)，同理，得eq\f(DH,DA)＝eq\f(HG,AC)，又因為EF＝HG，所以eq\f(BE,BA)＝eq\f(DH,DA)，所以EH∥BD，所以△AEH∽△ABD，所以eq\f(EH,BD)＝eq\f(AE,AB)，①同理得eq\f(EF,AC)＝eq\f(BE,AB)，②又因為EH＝EF，所以eq\f(①,②)，得：eq\f(AC,BD)＝eq\f(AE,BE)，所以AE∶EB＝a∶b.答案：a∶b三、解答題7．如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1上的一點，P是AD的延長線與A1C1延長線的交點，且PB1∥平面BDA1，求證：CD＝C【證明】如圖，連接AB1與BA1交于點O，連接OD，因為PB1∥平面BDA1，PB1?平面AB1P，平面AB1P∩平面BDA1＝OD，所以O(shè)D∥PB1，又AO＝B1O，所以AD＝PD，又AC∥C1P，所以CD＝C1D.8．求證：如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么該直線與相交平面的交線平行．【解析】已知a，l是直線，α，β是平面，a∥α，α∥β，且α∩β＝l，求證：a∥l.證明：如圖，在平面α內(nèi)任取一點A，且使A?l.因為a∥α，所以A?a.故點A和直線a確定一個平面γ，設(shè)γ∩α＝m.同理，在平面β內(nèi)任取一點B，且使B?l，則點B和直線a確定平面δ，設(shè)δ∩β＝n，因為a∥α，a?γ，γ∩α＝m，所以a∥m，同理a∥n，則m∥n，又m?β，n?β，所以m∥β.因為m?α，α∩β＝l.所以m∥l.又a∥m，所以a∥l.【綜合突破練】一、選擇題1．如圖，四棱錐SABCD的所有的棱長都等于2，E是SA的中點，過C，D，E三點的平面與SB交于點F，則四邊形DEFC的周長為()A.2＋eq\r(3)B．3＋eq\r(3)C．3＋2eq\r(3)D．2＋2eq\r(3)【解析】選C.由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得AB∥CD，即AB∥平面DCFE，因為平面SAB∩平面DCFE＝EF，所以AB∥EF，因為E是SA的中點，所以EF＝1，DE＝CF＝eq\r(3)，所以四邊形DEFC的周長為3＋2eq\r(3).2．過平面α外的直線l，作一組平面與α相交，若所得交線為a，b，c，…，則這些交線的位置關(guān)系為()A．平行或交于同一點B．相交于同一點C．相交但交于不同的點D．平行【解析】選A.當(dāng)直線l與平面α平行時，可得l∥a，l∥b，l∥c，…，則a∥b∥c…，當(dāng)直線l與平面α相交時，設(shè)l∩α＝O，則直線a，b，c…是過O點的直線，所以這些交線的位置關(guān)系為都平行或都相交于同一點．3．(多選)如圖所示，有一正四面體形狀的木塊，其棱長為a，點P是△ACD的中心．勞動課上，需過點P將該木塊鋸開，并使得截面平行于棱AB和CD，則下列關(guān)于截面的說法中正確的是()A.截面與側(cè)面ABC的交線平行于側(cè)面ABDB．截面是一個三角形C．截面是一個四邊形D．截面的面積為eq\f(a2,4)【解析】選AC.因為正四面體的四個面都是等邊三角形，點P是△ACD的中心，所以P位于CD中線的eq\f(2,3)處，分別取BC，AC，BD，AD的三等分點E，M(靠近C點)，F(xiàn)，N(靠近D點)，則EM∥AB，EF∥CD，且截面EMNF經(jīng)過點P，滿足題意，因為EM∥FN且EM＝FN，所以四邊形EMNF是平行四邊形，平面EMNF∩平面ABC＝EM，EM∥FN，NF?平面ABD，所以EM∥平面ABD，所以選項A正確；截面是一個四邊形，故選項B不正確；選項C正確；四邊形EMNF是邊長為eq\f(a,3)的菱形，只知菱形邊長，無法求得其面積，故選項D不正確．二、填空題4．直線a∥平面α，過α內(nèi)一點A的所有直線中與直線a平行的直線條數(shù)為________.【解析】過直線a和點A的平面與平面α有一條交線l，只有l(wèi)滿足在平面α內(nèi)過點A且與a平行．答案：15．設(shè)m，n是平面α外的兩條直線，給出以下三個論斷：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中兩個為條件，余下的一個為結(jié)論，構(gòu)造三個命題，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：________.(用序號表示)【解析】設(shè)過m的平面β與α交于l.因為m∥α，所以m∥l，因為m∥n，所以n∥l，因為n?α，l?α，所以n∥α.答案：①②?③(或①③?②)6．如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為AD的中點，F(xiàn)為PC上一點，當(dāng)PA∥平面BEF時，eq\f(PF,FC)＝________.【解析】如圖，連接AC交BE于點G，連接FG，因為PA∥平面BEF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FG，所以PA∥FG，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC)，因為AD∥BC，E為AD的中點，所以eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，即eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，點E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點，點M是線段AC上的動點，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，則eq\f(AM,MC)＝________．【解析】過F，B，M作平面FBMN交AE