高屆高級高三文科數(shù)學(xué)三維設(shè)計一輪復(fù)習(xí)教師用書第五章 平面向量

第章平面量全卷5年情解第節(jié)

第頁共頁高命規(guī)把高考本一命個小分占分．高考本重考平向的性運、坐運、量數(shù)積應(yīng)、量平行垂,難度般小本一不及答題,在知識交上往三函、析何概等載進(jìn)行查平向的念線運一基知批—理深點．量有概(1)向的義表：有小有向的叫向．為起、B為點向―量作也用體單小字abc…表向．―――(2)向的度(模)：向量的大即量的長度模記|AB|.任向a的模是非實,即a≥0.．種殊量名零量

定長為0的向

備零量作其向任的單向

長等1個單的量

單向記a,a＝0

a|a平向

方相或反非向(也共

任向共線

相向相向

第頁共頁線量長相且向同向長相且向反兩向

相向一是行量平向不定相向若,b為相向,則a＝－單向有數(shù)它大相但向一相與量a平行單向有個aa即量和|aa．量線運向運

定求個

法(或幾何義)

運律交換律：a＋＝＋a；加減

量的算求a與b的相向－b和

三形則

平四形則?

結(jié)律a＋b＋＝a＋b＋ca－b＝＋－)運叫a與的差求數(shù)與

三形則λ＝λ||a；當(dāng)＞時λ的方與a

λμ＝(λ)aλ)a＝a數(shù)

向的積

的向同當(dāng)＜0時,λ的向的算

a的向反當(dāng)＝時a＝

＋a；λa＋)＝λa＋b?量法多形則多向相,利用三形則,應(yīng)首順連a＋＋表從點向點向

第頁共頁只心點終．線量理向a(a≠0)與共線當(dāng)且當(dāng)唯一實λ使＝a只a≠才證數(shù)λ的存性唯一二常結(jié)匯——規(guī)多點―→―→(1)若P為線中O為平面任點則＝(OA)．――→OA＝λOB＋λμ為實若A,B,三共則λ＋μ1.三基小強(qiáng)——功牢點一判的打√，的“”(1)向與向段一的因此可以有線來示量()(2)|a與b是否等a,b的方無．)――(3)若量AB向CD是共向,則A,B,D四點一直上)(4)當(dāng)個零量ab共線一有b＝λa,反之成．)答：×

(2)√

×

(4)√(二選一選．列法確是()A．位量相．為0的量任向共C．行量一是線量D．一量它相向不等解：B對于單位向的相方不定同所以A錯誤；于模為0的量零量零向和意量線所以正對C,線量方相或反非向,也平向所C錯誤對零量它的反量等所錯誤故選．平四形ABCD中下列論誤是()――A．|＝AD|一定成

―→―→．AC＝ABAD一定立

――C．AD＝一成立

第頁共頁――→D．BD＝AD－一成立解：選A

――→→→在行邊ABCD中AC＝AB＋AD一定立＝一成――→→→立BD＝－AB一成,但AB|＝AD|不定立故A.ab．b都非向量下四個項一能＋＝0成的()|a|bA．＝bC．＝－b

．a(chǎn)∥D．a(chǎn)⊥bab解：選C“＋＝0,a,b是零量等價“零量a,線反”|a|b故案(三填一填――→．菱的長2,－＋|＝――→→→―→解：－CB＋CD|＝＋BC＋|＝AD|＝2.答：2．知a與b是個共向,向＋λb－(b－a)共,則λ＝________.解：題知在∈R使a＋λb＝[－(b－3a)],－，所3，答：

＝解＝－.考一平向的關(guān)念[典給出下列題①a＝b＝則a＝c――②B,C,是共的點則AB＝是四形ABCD為平四形充條；

第頁共頁③a＝的充條是a＝b且a∥b；④a∥b∥則a∥c.其正命的號________．[解①正確．a(chǎn)＝∴,b的長相且向同又＝c∴c的長度等方相,∴a的長相且向相,故a＝c――→→→―→―②確∵AB＝DC∴＝DC且AB∥DC又AC,是共的點∴邊為平行邊；反若邊為平四邊――→→→―→則AB且|＝DC|,因此＝DC③正．a(chǎn)b且向反即a|＝b|,也不得a＝故a＝b且a∥b不是a＝b的充條,而是要不分件④正．慮b0這種殊況綜所,正命的號①.[答①②[解技向量關(guān)念關(guān)點(1)向定的鍵方和度(2)非共向的鍵方相或反長度有制(3)相向的鍵方相且度等．(4)單向的鍵長都一單長度(5)零量關(guān)是度0,規(guī)定向與意量線[題訓(xùn)．出列題①個有共點向一是線量②a＝0(實,λ為；③λ,μ為數(shù)若λ＝b,則a與共線其錯的題個為()A．C．

．D．

―(1)作示圖圖示＋AB第頁共頁―(1)作示圖圖示＋AB解：D①錯兩量線看方而是點或點②誤當(dāng)a＝0時,不論何a＝0.③錯誤,當(dāng)λ＝μ＝時a＝b＝0,此,a與b可以任向．錯的命有3個故選．為位量下列命題：若a為面的個向,則a＝|a|·a；②與0a平則a＝aa；③與a平且a＝1,則＝a,假命題個是)000A．C．

．D．解：D向量既大又方的量a與aa模同但方不定同故①0是命；a與a行則a與a的向兩情：是向二是向反時a＝0|aa故③是命．0綜所,假題個是3.考二平向的性算[典(1)(2018·全卷在△ABC中,AD為邊上中,E為AD的點則EB＝()―1―AB－―1―AB＋

―→3―B.AB－――＋―1―→→――(2)如,在直梯ABCD中DC＝,BE＝2且AE＝AB―＋AD,則r＋＝)A．C．

．D．[解析

――→1―→＝ED＋DB＝AD＋CB＝1―→―→→――×(＋)＋AB－AC＝AB－AC故244――→→2→―→―→―→1(2)根圖,由題意得AE＝ABBE＋BC＝AB＋(BA＋AD＋DC)33―→―→1―2―→―→―AB＋＋DC)＋＝AB.3323

第頁共頁――→2因AEr＋AD,所以r＝,＝則2r＋＝＋2＝3.3[答(1)A[解技向量性算解策用法是行邊法和三形則一般起的量和平四形法,差三形則求首相的量和三形則(2)找圖中相向、線量將所向與知量化同個行邊或角中解(3)用個本量示個量題基本巧①察向的置②找應(yīng)三形多形③用則找系④簡果與量線運有的數(shù)題一般是造角利向運的角法進(jìn)加或法算然后過立程即求相參的．[題訓(xùn)――．D為△在面一,BC則()―1―4―→A．AD＝－＋―4―1―C．AD＝AB＋

―――→．AD＝－AC―4―1→D．AD＝AB－

―→―→→―→―→1――1―解選A由題得AD＝AC＋＝AC＝AC＋AC－＝AB＋33―→AC――→(2019·太模)在方ABCD中M,N分是BC,的點若AC＝λAM＋μAN則數(shù)λ＋μ＝________.――→→1―→→―→解：圖∵AM＝＋BM＝＋BC＋①――→→―→＝AD＋DN＝＋DC,②――→―→4―→―→由②BC＝ANAMDC＝AMAN,33――→→―→―→2―4―2―→2―2→∴ACAB＋BC＝＋＝AM－AN＋AN－＝＋,33――→→24∵ACAM＋AN∴λ＝μ＝＋μ＝.答：

考三共向定的用

[解證明：第[解證明：[典設(shè)兩個非向a與b不共―――(1)若＝a＋,BC＝abCD＝3－b,求：A,三共；(2)試定數(shù)k,使ab和a＋b向―→――→＝a＋,＝2＋b＝a－3b,――→―∴BD＝＋CD＝a＋b＋3－3b＝a＋b)＝AB,―→∴ABBD共．又它有共∴A,三共．(2)∵a＋與a＋b同向∴在數(shù)λ(λ>0),使a＋＝(＋k),即a＋＝a＋∴－λ)a＝－1).∵ab是共的零量＝，，－，∴得或－1＝，1－1，又λ∴＝1.[解技．線量理個用證向共證三共求數(shù)值

對向ab,若存在數(shù)λ使a＝bb≠0),則a與b共線――→若在數(shù),使λAC則A,C三共線利共向定及量等條列程組求數(shù)值2.向共問題注事向共的要件當(dāng)向共時常有零量能示之線的他量注待定數(shù)和程想運．證三共問用量線解,但應(yīng)注向共與點線的別聯(lián)系當(dāng)向共且有共時才能到點線[題訓(xùn)

―――→―→第頁共頁―――→―→―――．四形中AB＝a＋bBC－4a－,CD＝a－b,則四形ABCD的形是)A．形C．形

．行邊D．上不――→→→→解：C由知得AD＝AB＋＋CD－a－＝2(－4a－＝BC,故――→→∥BC.又為與CD不平,所以邊梯．．知量e≠0,∈ae＋eb＝e,若量a與量b共則)12A．＝C．∥12

．e＝02D．e∥e或＝01解選因為量e≠0,∈R,a＝＋λb＝e,又因為量a和b共線存在數(shù)1使a＝kb所e＋e＝2ke所λe＝－e,所以e∥e或＝0.11212―1――→→→．知O為△內(nèi)一,且＝OBAD＝AC,若BOD三點線則t＝)

B.→→―→―→→→解選設(shè)E是BC邊的點則(OB＋OC),題得AO所＝―1―→―→1―→11AE＝＋AC)＝AB＋又為BOD三點線所以＋＝1,解得＝故4t44B.―――→AB．知,AB三不線為平內(nèi)點且＝OA＋則()|A．在段AB上．在段AB的長上C．在段AB的向長上D．在線AB上――→――→AB→→→1→解：D由OPOA＋,－OA＝,∴AP＝·AB,∴點在||ABAB線上,故選D.[課時跟檢

第10頁共頁――．D,EF分別為的邊BCCA,中則EB＋FC＝()―A．AD―BC

―B.AD―D．BC――→→→―→1―→―→―解：A由題得EB＋FC＝(AB＋CB)＋＋BC)＝AB＋AC)AD22．知量ab不共,且c＝λa＋d＝＋－1)b若c與d共線向則實值為)A．

．

C．或

D．1或－解：B由于與共線向則存實k使c＝(k＜于λ＋＝aλ－]整得λa＋b＝a＋λk－kb由ab不共所有

λ＝k，2－k＝，整得2λλ－＝解得＝或λ＝.又為＜0,所以λ＜故λ＝－.――→―→設(shè)向量ab共,＝2a＋b,＝a＋bCD＝－b若B,三共,則實數(shù)p值()A．C．

．1D．―→―→―→→解：因為＝＋bCD＝a－b,所以BD＝BC＋CD＝a－.又因,BD―→→→三共,所ABBD共．AB＝λBD,所以ap＝(2a－b),所以＝λp＝λ即λ＝＝1.―――．(2019·甘診)設(shè)D為ABC所平內(nèi)點BC＝－4CD則AD)―3―AB－

―→3―B.AB＋

－x＝－，―－x＝－，――1―→AB－

第11頁共頁1―→＋―→―→―→―→→―→―→解：B法一設(shè)AD＝AB＋,由＝－可得BA＋AC＝4－―→―→→→AD,－AB－3＝－xAB－yAC,y＝－，

解

＝＝，

―1→即＝AB―＋故――→1―→→―→――1―→法：△中＝－4即＝CD,則AD＝AC＋CD＝ACBC＝―→―→1―3→AC－＋AC)＝＋故44―――→1→||．平直坐系,O為標(biāo)點A,,C三滿＋OB則等→()A．C．解：

．――→→1―→―3→→→―3因BC＝－OB＝OA＋OB－BAAC＝－OA＝4――→―1―→||OAOB－OA＝AB所＝3.故C.AC――→→→―→．知ABC的的點,點滿GA＋BG＋CG＝0,且AG＝λGD則λ的是)C．

．D．

―→―→解：選C由＋BG＋＝0,得G為以,AC為鄰的平四形第個――點因AG＝－2則λ＝故選．列個論――→→→――→①ABBC＋CA＝；AB＋MB＋＋OM＝0――→→→――→③ABAC＋－＝；NQ＋QP＋MN－＝0,其一正的論數(shù))A．．

＋AN2322第12頁共頁＋AN2322C．D．4―→―→→―→→―→→解：C①＋＋＝AC＋＝①正；AB＋MB＋BO＋＝――→→→―→―→→―→―→―→→AB＋＋＝,②錯；AB－BD－＝CB＋BDDC＝＋――→→―→―＝0,③正；NQ＋Q＋－MP＝＋PN＝④確故③正．―8.如,在平行邊ABCD中MN別AB上點且AM＝―→―→→―AB,＝AD,AC,交于P若AP＝λAC則λ的值()

B.―3―→→――→→→3―解選D∵AM＝,AN＝∴AP＝λ＝λ(＋AD＝λ→→36＝λAM＋λ∵M(jìn)NP三點線∴λ＋λ＝1,則λ＝故D.17．向b不平向λa＋與a＋行則數(shù)λ＝解：為量λ＋b與＋b平行，所可λ＋＝(a＋b2k，

所λ＝.答：

――→→．AP＝,AB＝(＋BP則λ――解：圖由AP＝PB可知點P是線AB上近的三分,―3―則AB－,結(jié)合題可λ＋＝所＝－答：――→→11．已平四形ABCD的對線和相交于且OA＝a,OB＝b則DC＝―＝________.(用ab表示)――→→→―→―→解：圖＝ABOB－OA＝b－aBC＝OC－＝OA

2333第13頁共頁2333―－＝－－b答：b－a

－－――→．長模擬在平四形ABCD中,M為的中．AB＝AM＋μDB則－＝________.―――→→解：圖在行邊中AB＝DC,所以AB＝＋MB―1→―→→―→―→――1→＝＋CB＋(DB－DC)＝AM＋(－AB)AM＋DB――→―1――2→―→21－所AB＝＋DB,所以＝AM＋DB所λ＝,μ＝,所λ－μ＝.答：

―――→．,e是兩個共的量已知＝e－eCB＝＋3＝e－e.12122(1)求：,B,三共；―(2)若BF＝e－e且,,F三點線求的．1――→解(1)證：已得BD＝－CB＝e－)－＋)＝－1121―∵AB2e,1――→∴AB2BD――又AB與BD有公點B∴A,三共．―(2)由(可知BD＝－,1―∵BF＝且BDF點線1――→∴在數(shù)λ,使BF＝BD即－ke＝λe－λe112，得＝－λ解k第節(jié)

平向基定及標(biāo)示

第14頁共頁一基知批—理深點．面量本理(1)定：果ee同平內(nèi)兩不共向那對這平內(nèi)任向1a,有只一實λ使a＝λee.112(2)基：共的量ee叫表這平內(nèi)有量一基．12底ee必是一面的個共向,零向不作為底12底定同向量分形唯；

121211222222111第15頁共頁121211222222111μ，果于組底e,e,有＝e＋λe＝e＋μe,則可以到μ2.．面量坐運(1)向的法減、乘量向的模設(shè)＝x,y),＝x,y122則＋b＝x＋y),121a－＝(x－,yy122λa＝(λx,λy),|a＝x＋111若a＝，則＝且＝12(2)向坐的法①向的點坐原則點標(biāo)為量坐．―②A(xy),B,y),則＝－－11―AB|＝－x＋.2121．面量線坐表設(shè)＝x,y),＝x,y),中b≠0,∥122

yxy＝0.122當(dāng)僅x時a∥b與＝等價兩不行坐軸共向的對坐22xy22成例二基小強(qiáng)—功牢點一判的打√，的“”(1)平內(nèi)任兩向都以為組基．()(2)一平內(nèi)無多不線量作為示平內(nèi)有量基．)平向的底唯只基確后面的何個量可這基底一示)y(4)若a＝x),＝x),則∥b的充條可示＝)12x2答：×

(2)√

√

(4)×(二選一選3．知面量a＝b＝(1,則a－b＝)A．(－2,－B．－2,1)

3，－，5，B.，5，－，5a＋b第16頁共頁3，－，5，B.，5，－，5a＋bC．(－1,0)D．(－1,2)解：選D

3因a＝b＝－所以a－b＝－(1,－1)＝2

，

－2

＝－．―1――→→．△,點在上,且BD＝DA設(shè)＝,CA＝b,則CD＝)aa

1B.a＋b3ab――→→→2――2→――2―1解：BCD＝＋AD＝＋＝＋＋)＝＋＝b＋a,故選――→已平四形ABCD中＝(3,7),AB＝(－對線與于,則CO的標(biāo))2

－，－5――→→→―解：D∵＝＋AD(－＋＝(1,10),∴OCAC＝―∴CO＝.(三填一填

．(2018·全卷)已向＝(1,2),＝(2,－＝λ．∥a＋則＝________.解：a＋＝因為c(2a＋),所＝解得λ＝

λ答：

――→→→在行邊ABCD中＝,AD＝b＝NC,M為BC的中則＝用ab示)．――→―3→→→解：因為AN＝3NC,以＝AC＝(a＋b),又為＝＋b,所以MN＝42―11－＝a＋)－＝＋.4

――如圖,以向量[解∵第17頁共頁――如圖,以向量[解∵答：a＋考一[典例

平向基定及應(yīng)＝,＝b為邊作平行四―――1→―→→OADB,＝BCCN＝CD用a,b示ONMN3――→＝OA－＝a－b――＝BA＝a－b,6――→1∴OM＝＋BM＝a＋b6―∵＝＋b――1→∴ON＝＋――→＝＋OD―22＝＝＋b,――→2511∴MN＝ON－OM＝＋－－b＝－36―15―→11綜,OM＝a＋b＝a＋,＝－b.6326[解技．面量本理決題一般路先擇組底,并運該底條和論示為量形,再通過量運來決(2)在底給的況合地取底給題來便另外熟運平幾何一性定．．用面量本理注的問(1)只兩向不線就可以作平向的組底基底以無多．

――→→→＝aBC＝b＝c且――→→→＝aBC＝b＝c且CM3,用知量示知量質(zhì)就利平四形則三形則行量的減算數(shù)運．[題訓(xùn)1―→―→在ABC中PQ分別BC三等分且＝AB＝BC若＝a,AC＝―b,則PQ＝)aa

1．a(chǎn)＋b31D．a(chǎn)－b―→―→―→――1→――解選A由題知P＝PB＋Q＝AB＋BC＝＋(－AB)＝＋333―1AC＝a＋b3――→→．知△,點滿足＋＋OC＝0,點P是OC上于點任一點――→→且OPOA＋則＋n的值圍_．――解：題設(shè)＝λOC(0<λ<1),――→→→―→―→由OA＋＋OC＝知＝－(＋),―――所OP＝－OA－λ,由面量本理知,m＋n＝－λ,所以＋n－2,0)．答：－考二平向的標(biāo)算[典已知A(－－C(－－．＝b,(1)求3＋b－c―(2)求M,N的標(biāo)向MN的坐．[解由已得a＝－b＝(－－3),＝(1,8)．(1)3＋b－c－5)－－－＝(15－3,－－－24)＝－42)――→(2)設(shè)O坐原∵CM＝OM－OC＝c

＝，第19頁共＝，――∴OM＝cOC(3,24)＋－3,－＝(0,20)――→→∴M．又＝ON－＝－b,――∴ON＝2＋＝(12,6)(－－＝―∴N∴＝－．[變練

結(jié)論例條不,若a＝mb＋c則＝________,＝解：mb＋nc＝(－m＋n－3m＋8),＝－5),m＋n＝5，∴m＋＝，－1，解－答：1－1―――→→．知為標(biāo)點向量＝OB＝(4,1),AP＝3則|＝――解：設(shè)(x,y),由題可A,B兩點坐分為－AP＝3PB可得212，3＝－，―解故|OP＝.y0答：

[解技．面量標(biāo)算技(1)向的標(biāo)算要利向加減、乘算法來行解,若已有線兩點坐則先向的標(biāo)題程,利“量相則其坐相”一則過方(組)來進(jìn)求解．量標(biāo)算注事(1)向坐與的標(biāo)式似實質(zhì)同(2)向坐形的性算似項的運．(3)向平與直坐表形易淆需清結(jié)推過與果加以分

第20頁共頁考三平向共的標(biāo)示[典已知＝(1,0),b＝．(1)當(dāng)為何值,ka－b＋b共；――(2)若＝2a＋bBC＝a＋b,且AC三點共,求m值[解∵＝b＝∴k－＝k(1,0)－(2,1)＝k－2,1),a＋b＝＋2(2,1)＝∵k－與a＋共線∴－－－×5＝0,＝.―＝＋3(2,1)＝―BC＝(1,0)＋(2,1)(2＋1,m)．――∵AC三點共,∴∥BC,∴8－＋＝∴＝.[解技．面量線充條的種式(1)若a＝x),＝x),則∥b充條件xyxy1212(2)若ab≠則a＝．個量線充條的用判兩向是共(或行),可解三共線問；外利兩個量線充要件以出程(組求數(shù)值[題訓(xùn)．知量a＝b＝－若a＋)∥(a－b則實k的取為)A．

B.C．

D．解：Aa＋＝＋(－3,2)＝(－＋2)．a(chǎn)－b＝－－3,2)＝－則a＋b∥a－b)得

―222第21頁共頁―222(－3)×(－4)×(2k＋＝所以＝．唐山擬)已知在面角標(biāo)xOy中,P(－1,3),P,P,P三點線1213―→――向與向＝－共線若＝λ＋(1－λ)OP則＝()332A．C．

．D．1―→―→―――解：選D設(shè)OPxy),由∥a知＋于是＝x－)若P＝λOP＋331－＝，－)則x,－)λ(3,1)＋－－＝λ－1,3－2λ),即2＝x＋－2λ＝解λ＝故選

所－1．在形ABCD中,∥,且＝2AB三個點A(1,2),B(2,1),C則點D坐為________．解：在形ABCD中DC＝2ABAB∥,――→∴DC＝AB.――設(shè)D的坐為(x,y),＝(4－x,－),AB＝(1,－1),∴－2－y＝2(1,－1),即(42－)＝(2,－x2，2∴解得y－，，

故D的標(biāo)(．答：[課時跟檢．(2019·昆調(diào))已向a＝－b＝則a－|＝)10

．D．10解選C由已易ab＝－1,2)(1,3)＝(－所|a－＝3＋＝10.故C.．知量a＝b＝－4,－c＝x,),若3a－b＋c0,則c＝()A．(－C．

．(23,12)D．－7,0)解：A由題可a－b＋c－2(－－＋xy)＝(23＋＝(0,0),＝0，－，所解所c＝－23,－．＝，－，

n第22頁共頁n石家模擬)已向＝(1,),＝(m,1),則m＝1”是“∥”立()A．分必條C．要件

．要充條D．不分不要件解：A若a∥,則m＝即＝故“＝”是a∥b”充不要件,選A.――→．知M是的邊的中點點在AC上且EC2則＝()―1―AC＋―1―AC＋

―→1―B.AC＋――＋――→――→解：C如因EC＝,所以EC＝,所以EM＝EC――――1――→―→＋＝AC＋＝＋(AB－)AB＋AC3226．知－(1,－3),若點(2m－1,＋在線則數(shù)＝()A．12C．13

．13D．12―→―→→解選C因為C在線上所與AB同又AB＝－－AC＝(2－m＋3),故

－＋＝,所＝13.選－－2在面角標(biāo)xOy,知A(1,0),BC為標(biāo)面第一限點且∠π―→―→＝,|OC＝2,若＝λ＋μ,則λ＋＝)A．C．解：A

B.2D．π→―→―→因|＝2,＝以C2,2),又為＝＋μ所以(2)λ(1,0)＋(0,1)＝λ,μ所以λ＝μ＝2,λμ＝2.――→→→→→．知OA|1,|OB|＝⊥點C在線上∠AOC設(shè)＝―m＋n(∈R),則等于)

．

n2222第23頁共頁n2222――→→解：B如圖由知＝|＝OA⊥,得＝∠＝60°,因為C在線AB上∠AOC30所OC⊥過作CD→3→――→―→―→垂為則＝＝,以O(shè)D,即OC＝＋444

―OB所―深圳擬)如在方中,M是BC中若AC＝―→―λ＋μ則λ＋＝()

B.D．―→解：以點A為坐原,分別,AD的方為x軸y軸的方建平―直坐系(圖略．設(shè)方的長(0,0),M(2,1),BD(0,2),所以AC＝―――→―→→AMBD－所以λAM＋BD＝(2λ－μλ＋μ因為AC＝λ＋,－2＝2，所2μ，

＝，解＝

所λ＋＝已向a＝b＝(1,－2),若a＋n＝(9,8)(,∈則－n的值．解：ma＋nb＝＋,－n＝(9,－8),＝，，∴∴＝8，∴m－＝－5＝3.答：3．知量a＝mb＝m有－b|)(a＋b)＝0,實數(shù)m＝解：為a＋b＝(5,2m≠0所由a－ba＋b)＝0得2|a－b|＝0,所|b＝2|所4＋＝1＋解＝答：11．南昌擬)已知量a＝nb＝－2),|a＝5,＝λ(λ<0),m－n

22第24頁共頁22解：a＝(,nb＝－2),∴|a＝得

＋n

＝①，由＝b(λ>0，－－＝0，

②由②解m＝n＝∴m－＝－6.答：6．已向＝b＝u＝a＋b,v＝2a－且u∥則數(shù)的值_．解：為a＝b＝(x,1),＝＋2,v2－b,所＝(1,2)1)＋v＝2(1,2)－(＝－．又為∥v,以＋1)－4(2－x)＝即x＝解x.答：

．平直坐系中已知A(2,3),(3,2),點(x,)在ABC三邊成的域(含界)上――→→(1)若PA＋PB＋PC＝0,求|OP；――→(2)設(shè)OP＝ABnAC(m,∈),用xy表－n――→→→―解(1)∵PA＋＋＝0,PA＋＋PC＝(1－x,－)＋－x,3－y＋－x,－y＝(6－3x,－3),3＝0，∴3＝0，

解x2,＝2,――→即＝故OP|＝2――→→→(2)∵OP＝ABnACAB＝＝．∴x)＝＋2m＋n),m＋，即m＋，

兩相得－n＝－x

第25頁共頁第節(jié)

平向的量一基知批——理深點．量夾――(1)定已兩非向a和b如所作＝,＝則＝(0°θ≤°叫做向ab的夾,記作ab只兩向的點合所應(yīng)角是向的角(2)范：角θ的范圍[0,．當(dāng)θ＝時兩量ab共線同；π當(dāng)θ＝時兩量a,b相垂記a⊥；當(dāng)θ＝π時兩量ab共但向．面量量的義已兩非向與b,我們數(shù)abcosθ叫做a與b的量(或積)記a·b,即a·b＝aθ其θ是a與b的夾．規(guī)：向與一量數(shù)積零．面量量的何義(1)一向在一向方上投設(shè)是a,的夾則b叫做量b在量a的方上投,|aθ叫做向在量b的向的影(2)的幾意數(shù)積·b等于的長度與b在a的方上投b|cosθ的積投和向的量都數(shù)，是量．量量的算(1)交律a·b＝·a.

2222222222第26頁共頁2222222222(2)數(shù)結(jié)律(λab＝λ(a·)＝·(b)(3)分律(a＋)·cacb·向數(shù)積運不足法合即a·b)·c不一等ab·c),是于(ab)·c表示個c共的量a·(b·)表示一與a共線向,而與a不一共．．面量量的質(zhì)設(shè)b為個零量是b向單向θe夾,則(1)＝a·e＝a|cosθ(2)⊥b?·b＝(3)當(dāng)a與同向,ab＝；與b向a·b＝－|a||b|特地a·a＝

2

或|a|

aa.a·b(4)cosθ|ab|(5)|ab|≤|a||b|．面量量的標(biāo)示已兩非向a＝x),b＝xy),θ與夾角則112(1)|a＝x＋；11

(3)a⊥b?x＋＝；1212(2)·b＝＋y1212;_

(4)cosθ＝

x＋y1212＋x＋11

二常結(jié)匯——規(guī)多點．面量量運的用式a＋ba－)＝a

－

2ab)＝aa·b＋．關(guān)量角兩結(jié)(1)兩向與b的夾為角則有a·b反之成因為角0時不立；(2)兩向與b的夾為角則有a·b反之成因為角π時不立)．三基小強(qiáng)——功牢點一判的打√，的“”

2222|ab第27頁共頁2222|ab(1)向在一向方上投為量而不向．()(2)兩向的量是個數(shù)向量加減數(shù)運的算果向．)(3)由a·＝可得a＝或＝)a·bcab·)．()π(5)兩向的角范是，)答：√

(2)√

×

(4)×

(5)×(二選一選．(2018·全卷)已向a,滿足a＝1,a·b＝1,則aa－＝()A．C．

．D．解：B∵|a|＝a·b＝∴·(2a－)＝2a·b＝a－·＝×＋＝3.．知a·＝－12a|＝a和b的夾為135°,則b|的值為()A．C．

．D．解：B因為ab＝a°＝12－12所|b＝＝×－．a(chǎn)|＝b＝且a＋)⊥a則a與b的夾為()24

πB.D．

2解：A∵a＋)⊥a,∴a＋＝a2π＝,∴ab〉故A.3

＋a·b＝∴ab＝－〈ab＝

a·b－4＝×(三填一填．(2018·北高)設(shè)量a＝(1,0),b＝(－)．若a⊥(a－),則m＝________.解：為a＝b＝－1,),

－第28頁共頁－所a－b＝m＋1,－m．由⊥ma－),得a·(a－＝即m＋＝所m＝答：1已a(bǔ)|＝b＝4,ab的夾角θ為120,則向量b在向a方上投為________．解：數(shù)積幾意知b在a方上投為b|cos＝4×cos120°＝2.答：2考一平向的量的算[典(1)(2018·新二若向量m(2k－)與量n＝共則＝)A．

．C．

D．

天高考)在圖示平圖中已知OM＝ON――→→―→→∠＝120＝2CN＝2則BCOM的為()A．15C．

．9D．[解(1)∵量m＝kk)與量＝(4,1)共線∴－－k＝0,解得＝

∴m＝

－2，

∴m·＝－×4＋

1×＝(2)法：圖連接.――→→→∵BM＝2MA,＝NA,AMAN∴＝＝.AB31∴∥BC且＝BC――→―→∴BC3＝3(ONOM)．

22，，222第29頁22，，222―→→―→∴BC＝ON－)＝3(2×cos°－)＝－法：△中,不妨∠＝°,取特情ON⊥以A為坐標(biāo)點AC所直分為,y軸立圖所的面角標(biāo),因

為∠

MON

＝

120ON

＝

2,

＝

所

以33O2C0，,M,

―→3315故BC＝－，·，－＝－＝－6.[答(1)D[解技求非向,b數(shù)積策(1)若向共點則兩量夾直可根定即求數(shù)積若兩量起點同則要通平使們起重再算(2)根圖之的系用長度和互間夾都知向分表出量b然后據(jù)面量數(shù)積定進(jìn)計求．(3)若圖適建立面角標(biāo)可立標(biāo),求ab的坐,通坐運求．[題訓(xùn)―→．(2019·濟(jì)模)已矩ABCD中＝BC＝1,則AC·＝()A．

．1D．――解：B設(shè)AB＝,ADb則a·b＝∵a＝2,|b|＝1,―→∴AC＝(a＋)·(－b)＝a·b－＝．(2019·南調(diào))已向ab滿足ab＋)＝2,a＝則向b在a向的投為)

．

C．

D．

解：D由a＝(1,2),可|a＝5,由·(b＋)＝可得a＋

a·b22μ4μ2第30頁共頁a·b22μ4μ2∴a＝∴量在a方向的影＝－|a―――→．(2018·石莊檢)在△ABC中已知AB的夾為90°AB|＝2,||＝M為――→→―→λBC上一且AM＝λAB＋(λμ∈且·BC＝則的值________．μ――→→―→解：一∵＝－AM·BC＝――→→∴λ＋μAC)·(AC)＝―――→∵ABAC的夾角90°|＝|＝――λ1∴λ|AB＋μ＝0,－4λ＋μ＝∴＝法：據(jù)意建立圖示平直坐系則(0,0),(0,2),C――――→所AB＝(0,2),＝＝(1,－．設(shè)M(y),則＝(xy以―→→→→AMBCxy)·(1,－2)＝x－2y＝所＝2又＝λAB＋μAC即(x,y)yλ21＝(0,2)＝(,2λ所以x＝y(tǒng)＝λ所＝＝答：

考二平向數(shù)積性考(一)平面量模[典(1)(2019·昆適性檢已知零量ab滿a·b＝a＝且a與＋b的π夾為,則|b＝()A．C．

．2D．福四?？?已向ab單向,且a·b＝向c與a＋b共線則a＋|的小為)A．

B.

22222222222222π1[典(1)已平向ab的夾為22222×第31頁共頁22222222222222π1[典(1)已平向ab的夾為22222×[解析]

∵a·b＝a＝3,a·(b＝

π＋a·b＝aa＋b|cos∴a＋b將a＋b|＝32邊方得＋2·b＋＝18,解b＝故D.(2)∵量c與a＋b共線∴設(shè)c＝a＋)(∈R),∴a＋c(t＋1)a＋b,∴a＋)＝(＋1)a＋tt＋1)·a·b＋b∵量b為單向且a·b－,∴a＋c＝t＋tt＋1)＋＝＋＋1≥,∴a＋≥

,∴a的小為,故選D.[答(1)D[解技求平向模2種法公法

利|a＝

a·a及a±b)a±2ab＋b|把量的算化數(shù)積運幾法

利向的何義,即利向加減法平四形則三形則出量再用弦理方求考(二)平面量夾ππ

,且a＝1,|b＝則a＋2與b夾是()5B.3(2)已向a＝(1,3),b＝且b在a方向上投為則量a與b夾為．[解(1)因a＋b

π＝a＋b＋4＝＋1＋4×＝所|a＋b＝3.π3又a＋bb＝a·b＋2|b＝××cos＋×＝＋＝,＋bb3所〈＋bb〉＝＝|a＋2bb

22a·b22|a||b212222222223因∈[0,,以22a·b22|a||b212222222223因∈[0,,以θ＝π所a＋b與b的夾為.(2)因b在a方向的影－所以b〈,b＝3,又|a＝

＋3

＝2,所以a·b＝ab|cos〈a,b〉＝6,又a·b＝＋3m所33m＝－6,解m＝3,－1則＝(3,－3所以b＝＋3＝6,所以〈ab〉＝＝－,為222≤ab〉π,以a與b的夾為.[答(1)A(2)[解技求平向夾的種法當(dāng),b是非標(biāo)式求與b的夾θ時需求a及a|,|b或得它之的定法坐法

a·b關(guān)由cosθ＝求|a||b若知＝xy)與b＝,y則〈a,〉＝12

x＋y〈ab〉[0,＋＋11考(三)平面量垂[典例()

(1)若零量a,b滿足＝

|b(a－b⊥(3＋b則a與b的夾為π3

πB.D．π―――→―→→―→―已向AB與AC的夾角°且AB|＝＝若AP＝＋AC,且―⊥BC,則數(shù)的為_．[解(1)設(shè)a與b的夾為θ因|a＝

|b|,(－b)⊥a＋),2所(a－b)·(3a＋b)＝a2||－a·b＝|b－2||－|b|cosθ＝解cos＝

π4――→→→――→→―→由⊥BC,知·BC＝0,即APBC＝λ＋AC)·(－AB)＝

22－22222222222a·b－第33頁共頁22－22222222222a·b－―→→→―AB·－λ＋＝(λ－×3×2

17－×＋＝解得＝[答(1)A(2)[解技．用標(biāo)算明個量垂直題若明個量直先根共線夾等件算這個量坐；后據(jù)量的標(biāo)算式計算這個量數(shù)積0即可．知個量垂關(guān)求相參的根兩向垂的要件列出應(yīng)關(guān)式進(jìn)而解數(shù)[題訓(xùn)．(2018·深高中期)已向m(λ＋n＝λ＋若m＋n)⊥m－λ＝)A．．3C．D．1解：B∵(m＋)⊥m－n),(m＋n)·(－)

－n

＝λ＋1)＋－λ＋

－4＝0,解λ＝3.選B.．(2018·永二)已非向,b夾為°,且|b|＝a－＝則a|＝()

．D．|a|解：A∵非向量ab的角,且b|＝∴＝a×1×＝,∵－＝21,∴|2a－|a－4·b＋ba|－a＋1＝∴4|－|＝∴a＝故．(2019·陽湘潭研已向ab滿|a|＝1,|b＝a＋＝3),記向b的角θ,則tanθ＝解：|a＝ba＋＝(1,∴(ab)a＋b＋a＝＋2a·b＝＋∴a·b＝,∴θ＝＝－,∴sin＝|a|·|b答：15[課時跟檢

1θ－＝∴a＝＝－osθ

2222，9，3第34頁共頁2222，9，317．已向b滿a|1,|b＝2a與b的夾的弦為,則ba－b)等()A．C．

．1D．17解：D∵與b的夾的弦為sin＝－2∴a＝3,b·(2－)＝2a·b－b－18.．知面量a＝－2,3),b＝(1,2),向量λ＋與b垂直則實λ的值)

．

D．

解選D∵＝－2,3),b＝∴a＋＝－2λ1,3λ＋2)∵a＋b與b直,∴(λ＋＝0,∴(－2λ＋1,3＋＝0,即－＋1＋λ＝解得λ＝－．知量a,b滿a1,b＝(2,1),a·b＝則a|＝)C．解：A

B.5因|a＝＝且＝所|a－|＝a＋－2a·b1＋5－0＝所|a－b＝6.故A.．知量a＝b＝－．若量c滿足a＋c∥⊥(a＋b),則c)

7B.－，－7－，－解：D設(shè)c＝mn則＋c(1＋n),a＋b＝(3,1),因(a＋c∥則－＋＝＋n即＋＝－7,又c(a＋有－n＝0,＝7聯(lián)＝0.

＝－，解＝－

3，∞2222223，∞222222所c－－

．襄陽研已i,為互垂的位量a＝－j,＝i＋且a與b的角銳,實λ取范圍()－，∪，∞

B.C．(－∞－2)∪

－2，

－，

解C不妨＝j(luò)＝(0,1),則a＝(1,－b＝(1,),因為它的角銳所a·b＝1－2且ab不共所λ<且≠故．(2019·石莊檢)若兩非零量b足a＋b＝ab＝|,則向a＋ba的角)π2解：選A

πB.5∵a＋b＝a－b|,∴a＋a－b|∴b＝又a＋|＝b|,∴a＋b＝＋ba＋a·b|a|aba＝|∴a＝3|b|,cos〈a＋a〉＝＝＝＝＝故a＋b|a＋aa＋ba2|babπ與a的角.．(2018·寶質(zhì))在直角角中角C為直,且＝BC＝1,P是邊的―→―→→一三分則CP·＋·＝()A．

．D．

―→解：B以點C坐原,分別以CB方為x軸y軸正向立面直坐系(圖),則(0,0),A(1,0),B妨P―→――→1CP·(＋CA＝＋＝1.故3

，

―→―→―→所以CPCB＋＝．武漢研)已知平向,be滿足e＝1,＝1,b＝2,|a＋＝2,a·b最值)A．B．2

222222222222第36頁共頁222222222222C．

D．

解：D不妨＝則＝(1,),＝－2,)(m,∈R),則＋b＝－＋n),所以a＋＝1n＝所以(m＋)＝3,即3m＋＋2≥＋2mn＝mn當(dāng)僅5當(dāng)m＝時號立所以mn≤所·＝－＋≤－綜可a·b最值－.4．已平向ab足a·(a＋b＝3,且a＝b＝1,則向的夾的弦為．解：a·(a＋b)＝a＋ab＝＋××〈a,b〉＋〈ab〉∴a,〉＝－,又ab〉[0,,∴sinab〉答：

－〈a，〉

．湖北校考已知平面量a,b的夾角

2且a＝b＝2,若(λ＋)⊥a－bλ＝2π1解：|a|＝b|＝2,且a,b的夾角,∴·b＝××－

＝1,又λa＋)⊥(a－b),∴λa＋b)·(ab＝即λa＋b)·(a－b)＝a－＋－λ)aλ8－(1－λ)＝解得＝答：311．(2018·合一檢已平向ab滿足a1,|b＝2,|a＋b＝3,則在b方上投等_．解：|a|＝b|＝2,|＋b＝∴a＋)＝a＋b＋2a·b5a·b＝3,∴a＝a·b∴a方向上的影－.|b答：

22222222――[解法一由BM＋AB22222222――[解法一由BM＋AB如所,在等腰角角――→OC·(－OA)＝

第37頁共頁――→AOB中,＝OB＝1,＝AC,則―→―→2解：已得＝2,|AC＝,――→→→―→―→―→―→3π則OC·(－)＝＋·＋AC·AB＝2cos×＝4－.答：．南質(zhì)檢設(shè)向ab滿|a＝b＝且2a－＝5.(1)求2a－b的值(2)求量a－與a－b的角解(1)∵a－ba－a·b＋b＝－a·b＋＝5,a·b＝∴|2－3b＝

a－12a·b＋b＝4＋＝－bb(2)cosθ＝a－ba－2|

a＋2aba＋b

＝

＝,×52π∵θ∈[0,∴θ＝.第節(jié)考一平向與面何

平向的合用[典石家模)在行邊中AB|＝＝8.點M,滿足――→→―→→＝3DN＝NC則AM·＝()A．C．

．15D．――→→＝MC＝NC知點M是的個等點且BMBC→→―→――→――點N是DC的一三分點且DNDC所以＝AB＋BM＝＋AD,AN＝＋4――→2→―→→―→→→―→DN＝AD＋AB,所以NM＝AM－ANAB＋AD－4

――＝AB－所4

AB＋ADAB－ADAB＋AB－－AD－AB＋ADAB－ADAB＋AB－－AD－×AB22＝――以AM·＝

――→→―→→―→·＝·

＝

―1

＝故選法：妨∠DAB為直,以所在線x所直為――→軸立圖示平直坐系M所AM＝NM―→＝(4,－所以AM·NM＝×＋×－＝故C.[答C[解技向量平幾綜問的2種解基量法坐法

適選一基利向間關(guān)構(gòu)關(guān)未量方程行解把何形在當(dāng)坐系則關(guān)與量可用標(biāo)示這樣能行應(yīng)代運和量算從使問得解[題訓(xùn)――→→―→．為△所平內(nèi)一且足－)·(＋OC2)＝則△ABC的形為()A．腰角C．三形

．角角D．腰角角――→→→解：A由OB－＋2)0,――→→→―得CBAB＋AC＝0,－＝――→→―→―→∴(－AC)·(AB＋)＝即AB|＝∴ABC等三形―→―→→→．西安檢)已知為ABC所平內(nèi)點AB＋PC＝0,||＝|PB|―＝＝則△ABC的積于()C．

．3D．―→―解：B由|PB＝PC得eq\o\ac(△,,)是等三形取BC的點D接(圖,――→→→→――1則⊥,又＋PC＝0,所以AB＝＋PC＝－PD,所以PD＝AB＝1,

0，6第39頁共頁0，6――→―→且PDAB,故AB,即△ABC是角角由PB＝PD＝可得BD|＝3,則＝所以ABC面為×2233.如,在扇形OAB中＝2,∠＝90,M是OA的中點在弧―→AB上則·PB的最值_______――解：圖以為坐原,為軸的半為軸的半建平直坐系,M設(shè)(2cos,2sinθ),∈

π2

所以―→PM·PB＝－θ－θ－－2sin)＝－θ－4sin－2(cosθ＋)＝2sin(θ＋)―→PM·PB的最值42答：－25考二平向與析何

52其φ＝，＝所以[典江蘇考)已向a＝x,sin),b＝(3,3),x∈[0,π]．(1)若a∥求x的；(2)記fx＝b求fx)的大和小以對的x的．[解因為a＝(cosxx),b＝(3,－3),a∥b,所－3cosx＝x．則tanx＝5又∈[0,π]所以＝.

π(2)(x＝a＝xx)·(3,－＝3cos－＝3cosx＋π7因x[0,π]所以＋∈

π從－≤cosx＋

≤ππ于當(dāng)＋＝即x＝時fx取最值；π5當(dāng)＋＝即＝時f(x)取最值23.[解技向量解幾中2個作

2222002202－y),2222002202－y),＝(x,y),以＝x(＋1)y＝x＋x＋202―22載作工作

第40頁共頁向在析何題出多于包”,解決類問時鍵利向的義運脫“量衣,導(dǎo)出線點坐之的關(guān),從解有距、斜、角軌、值問利a⊥?·b＝；a∥b?a＝≠0),可決垂、行題特別向垂、平的標(biāo)示解解幾中垂、行題一比簡捷方[題訓(xùn)―――→已知向OA＝k,OB＝(4,5),＝(10,k),A,三點線當(dāng)時若為直線斜,則點－的直線程_．――→→→―→――→解：AB＝OB－OA＝(4k－＝OC－OB＝(6,k5),且∥,∴(4－)(k－＋6×＝解得＝2或＝由k<0,知k＝－2,過－1)斜為的直線程y＋1＝－2),即2x＋－＝0.答：2＋－3＝0y．點和點F分別橢＋＝1的心左點點P為橢上任一,則―→OPFP的最大為_______．y解：題得F－1,0),設(shè)P),則解0030

＝1－

―因FP＋0――→→2x00000

＝x＋應(yīng)拋―→2線對軸程＝因－≤≤2,當(dāng)＝2時·取得大＋2＋＝6.00答：6考三

平向與角數(shù)[典已知點,BC在圓x＋2＝1上運動且⊥BC若P的標(biāo)2,0),|PA＋――→PB＋的最值)A．C．

．D．[解由AC圓x＋2＝上且AB⊥,知段AC為圓直,設(shè)圓為――→故＋2PO＝－4,0),―設(shè)Bab則a＋＝1且a∈－,PB(a－),―――→所PA＋PC＝a－)．

224第41頁共頁224――→故PA＋PC|＝－a＋37,―→―→所當(dāng)＝時＋PB＋PC取得最值49[答B(yǎng)[解技平向與角數(shù)綜問的題路若出向坐中有角數(shù)求角的小,題路運向共或直的坐表,或式立條等得三函的關(guān)式然求．若出向坐中有角數(shù)求向量模者量其表形,解題路是用量運結(jié)三函在義內(nèi)有性基不式行解[題訓(xùn)．南昌擬)已知a＝(cosααb＝－α－)),那么a＝0是α＝＋π(∈Z))A．分必條．要充條C．要件D．不分不要件解：B∵a＝α)＋sinα·sin(－α)＝cosα－sinαcosα若b＝0,πππ則α＝0,∴2α＝2π±∈Z),解得α＝π±(∈．a(chǎn)·＝是α＝＋(∈Z)的必不分件故B.．知a,b,為△的三內(nèi)A,B,C的對,向量＝－1),＝A)．⊥n且aB＋b＝sinC則AB的小別)

(cosππ,3ππ,6

2πB.,ππ,3解C由m⊥,得m＝0,即3cos－sin＝0,由題得≠∴an＝3,π又A∴＝又aB＋A＝RBRsincos＝sin(A＋)＝Rsin＝(R為ABC外接半)且a＋cosAcsinC,所以c＝sinC所C＝又C

26222第42頁共頁26222πππ∈所＝,所以＝－＝.[課時跟檢A級保大分練ππ55．知量a＝c，,b＝c，sin

則a－b|＝)A．解：

因－b＝

B.π5π5os－c，sin－6

＝(所a－|＝3,故選――．向O＝(1,1),OF＝(－－分表兩力則F＋|為()121110

．515解：C由于F＋F＝＋(－3,－＝(－－1),1所|F＋F＝－＋1＝5.12―．(2019·牡江一級學(xué)考)已圓△ABC的接,其半徑1,且AB＋―→――→AC＝＝則CA＝)

．D．―→―→解：B因為＋＝2AO所點O是BC的點即是的徑又―→―→―→＝圓的徑所∠＝30且AC＝3,則CA·CB＝CA|·|CB|cos∠＝3.已向msin，則的小)ππ

2

與量n＝A3cosA共其是ABC的角πB.π解：C因為m∥所AA＋)－＝0,所2sin＋2AA＝可化－＋A＝3,

2222222222所－

π

第43頁共頁ππ11π＝因A∈(0,,所以－∈－，

πππ因2－＝,解＝.2．(2017·全卷)已△ABC是邊為的邊角,P為平ABC內(nèi)點則―→――→PA·(＋PC的最小是)A．

．

C．

D．1解選B如圖以等三形ABC的邊在線軸以BC的垂直分為y軸建立面角標(biāo)則A3),(－―――→1,0),C(1,0),設(shè)P(xy),＝(－x,3－PB＝－－,－y),PC＝(1――→－－所以PB＋)(－x－－－y＝2x＋→―→―→y－當(dāng)x＝＝時·(＋PC)取最值為－22已向＝(4,0),＝非零量c滿足(a－)·(b－c＝c的大與小值分為mn則－的值)A．C．解：D

．D．設(shè)c(,因為(a－)·(b－＝0,以4－x,－)·(2－x,23y＝x＋－－3＋8＝0,所(x－3)＋(－3)＝4,以足件向c的點在3)為圓,為半的上所以c的大與小分為＝＋＝23所以m－＝―→―→．已△中,為邊BC的,且＝2AD＝AC則－y――→→→→―2―→―→解：由量加法知AD＝AB