小學(xué)應(yīng)用題解題方法

可編輯版/小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題

小學(xué)數(shù)學(xué)中把含有數(shù)量關(guān)系的實際問題用語言或文字敘述出來,這樣所形成的題目叫做應(yīng)用題。任何一道應(yīng)用題都由兩部分構(gòu)成。第一部分是已知條件〔簡稱條件,第二部分是所求問題〔簡稱問題。應(yīng)用題的條件和問題,組成了應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)。

應(yīng)用題可分為一般應(yīng)用題與典型應(yīng)用題。

沒有特定的解答規(guī)律的兩步以上運算的應(yīng)用題,叫做一般應(yīng)用題。

題目中有特殊的數(shù)量關(guān)系,可以用特定的步驟和方法來解答的應(yīng)用題,叫做典型應(yīng)用題。這本資料主要研究以下30類典型應(yīng)用題：

1、歸一問題

2、歸總問題

3、和差問題

4、和倍問題

5、差倍問題

6、倍比問題

7、相遇問題

8、追及問題

9、植樹問題

10、年齡問題

11、行船問題12、列車問題13、時鐘問題14、盈虧問題15、工程問題16、正反比例問題17、按比例分配18、百分數(shù)問題19、"牛吃草"問題20、雞兔同籠問題

21、方陣問題

22、商品利潤問題23、存款利率問題24、溶液濃度問題25、構(gòu)圖布數(shù)問題26、幻方問題27、抽屜原則問題28、公約公倍問題29、最值問題30、列方程問題

1

歸一問題[含義]

在解題時,先求出一份是多少〔即單一量,然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn),求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題。[數(shù)量關(guān)系]

總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量

1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量

另一總量÷〔總量÷份數(shù)＝所求份數(shù)[解題思路和方法]

先求出單一量,以單一量為標(biāo)準(zhǔn),求出所要求的數(shù)量。例1

買5支鉛筆要0.6元錢,買同樣的鉛筆16支,需要多少錢？

解〔1買1支鉛筆多少錢？

0.6÷5＝0.12〔元

〔2買16支鉛筆需要多少錢？0.12×16＝1.92〔元

列成綜合算式

0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92〔元

答：需要1.92元。例2

3臺拖拉機3天耕地90公頃,照這樣計算,5臺拖拉機6天耕地多少公頃？

解〔11臺拖拉機1天耕地多少公頃？

90÷3÷3＝10〔公頃

〔25臺拖拉機6天耕地多少公頃？10×5×6＝300〔公頃

列成綜合算式

90÷3÷3×5×6＝10×30＝300〔公頃

答：5臺拖拉機6天耕地300公頃。例3

5輛汽車4次可以運送100噸鋼材,如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材,需要運幾次？

解〔11輛汽車1次能運多少噸鋼材？

100÷5÷4＝5〔噸

〔27輛汽車1次能運多少噸鋼材？

5×7＝35〔噸

〔3105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？105÷35＝3〔次

列成綜合算式

105÷〔100÷5÷4×7＝3〔次

答：需要運3次。

2

歸總問題

[含義]

解題時,常常先找出"總數(shù)量",然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題,叫歸總問題。所謂"總數(shù)量"是指貨物的總價、幾小時〔幾天的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等。

[數(shù)量關(guān)系]

1份數(shù)量×份數(shù)＝總量

總量÷1份數(shù)量＝份數(shù)

總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量

[解題思路和方法]

先求出總數(shù)量,再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。

例1

服裝廠原來做一套衣服用布3.2米,改進裁剪方法后,每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布,現(xiàn)在可以做多少套？

解

〔1這批布總共有多少米？

3.2×791＝2531.2〔米

〔2現(xiàn)在可以做多少套？

2531.2÷2.8＝904〔套

列成綜合算式

3.2×791÷2.8＝904〔套

答：現(xiàn)在可以做904套。

例2

小華每天讀24頁書,12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁書,幾天可以讀完《紅巖》？

解

〔1《紅巖》這本書總共多少頁？24×12＝288〔頁

〔2小明幾天可以讀完《紅巖》？288÷36＝8〔天

列成綜合算式

24×12÷36＝8〔天

答：小明8天可以讀完《紅巖》。

例3

食堂運來一批蔬菜,原計劃每天吃50千克,30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見,每天比原計劃多吃10千克,這批蔬菜可以吃多少天？

解

〔1這批蔬菜共有多少千克？

50×30＝1500〔千克

〔2這批蔬菜可以吃多少天？

1500÷〔50＋10＝25〔天

列成綜合算式

50×30÷〔50＋10＝1500÷60＝25〔天

答：這批蔬菜可以吃25天。3

和差問題

[含義]

已知兩個數(shù)量的和與差,求這兩個數(shù)量各是多少,這類應(yīng)用題叫和差問題。

[數(shù)量關(guān)系]

大數(shù)＝〔和＋差÷2

小數(shù)＝〔和－差÷2

[解題思路和方法]

簡單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。

例1

甲乙兩班共有學(xué)生98人,甲班比乙班多6人,求兩班各有多少人？

解

甲班人數(shù)＝〔98＋6÷2＝52〔人

乙班人數(shù)＝〔98－6÷2＝46〔人

答：甲班有52人,乙班有46人。例2

長方形的長和寬之和為18厘米,長比寬多2厘米,求長方形的面積。

解

長＝〔18＋2÷2＝10〔厘米

寬＝〔18－2÷2＝8〔厘米

長方形的面積＝10×8＝80〔平方厘米

答：長方形的面積為80平方厘米。例3

有甲乙丙三袋化肥,甲乙兩袋共重32千克,乙丙兩袋共重30千克,甲丙兩袋共重22千克,求三袋化肥各重多少千克。

解

甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙,從中可以看出甲比丙多〔32－30＝2千克,且甲是大數(shù),丙是小數(shù)。由此可知

甲袋化肥重量＝〔22＋2÷2＝12〔千克

丙袋化肥重量＝〔22－2÷2＝10〔千克

乙袋化肥重量＝32－12＝20〔千克

答：甲袋化肥重12千克,乙袋化肥重20千克,丙袋化肥重10千克。例4

甲乙兩車原來共裝蘋果97筐,從甲車取下14筐放到乙車上,結(jié)果甲車比乙車還多3筐,兩車原來各裝蘋果多少筐？

解

"從甲車取下14筐放到乙車上,結(jié)果甲車比乙車還多3筐",這說明甲車是大數(shù),乙車是小數(shù),甲與乙的差是〔14×2＋3,甲與乙的和是97,因此

甲車筐數(shù)＝〔97＋14×2＋3÷2＝64〔筐

乙車筐數(shù)＝97－64＝33〔筐

答：甲車原來裝蘋果64筐,乙車原來裝蘋果33筐。

4

和倍問題[含義]

已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍〔或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾,要求這兩個數(shù)各是多少,這類應(yīng)用題叫做和倍問題。[數(shù)量關(guān)系]

總和÷〔幾倍＋1＝較小的數(shù)

總和－較小的數(shù)＝較大的數(shù)

較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)[解題思路和方法]

簡單的題目直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1

果園里有杏樹和桃樹共248棵,桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍,求杏樹、桃樹各多少棵？

解

〔1杏樹有多少棵？

248÷〔3＋1＝62〔棵

〔2桃樹有多少棵？

62×3＝186〔棵

答：杏樹有62棵,桃樹有186棵。例2

東西兩個倉庫共存糧480噸,東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4倍,求兩庫各存糧多少噸？

解

〔1西庫存糧數(shù)＝480÷〔1.4＋1＝200〔噸

〔2東庫存糧數(shù)＝480－200＝280〔噸

答：東庫存糧280噸,西庫存糧200噸。

例3

甲站原有車52輛,乙站原有車32輛,若每天從甲站開往乙站28輛,從乙站開往甲站24輛,幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？

解

每天從甲站開往乙站28輛,從乙站開往甲站24輛,相當(dāng)于每天從甲站開往乙站〔28－24輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作1倍量,這時乙站的車輛數(shù)就是2倍量,兩站的車輛總數(shù)〔52＋32就相當(dāng)于〔2＋1倍,

那么,幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為

〔52＋32÷〔2＋1＝28〔輛

所求天數(shù)為

〔52－28÷〔28－24＝6〔天

答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。

例4

甲乙丙三數(shù)之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三數(shù)各是多少？

解

乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系,因此把甲數(shù)作為1倍量。

因為乙比甲的2倍少4,所以給乙加上4,乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍；

又因為丙比甲的3倍多6,所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍；

這時〔170＋4－6就相當(dāng)于〔1＋2＋3倍。那么,

甲數(shù)＝〔170＋4－6÷〔1＋2＋3＝28

乙數(shù)＝28×2－4＝52

丙數(shù)＝28×3＋6＝90

答：甲數(shù)是28,乙數(shù)是52,丙數(shù)是90。5

差倍問題[含義]

已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍〔或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾,要求這兩個數(shù)各是多少,這類應(yīng)用題叫做差倍問題。[數(shù)量關(guān)系]

兩個數(shù)的差÷〔幾倍－1＝較小的數(shù)

較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)[解題思路和方法]

簡單的題目直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1

果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍,而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？

解

〔1杏樹有多少棵？

124÷〔3－1＝62〔棵

〔2桃樹有多少棵？

62×3＝186〔棵

答：果園里杏樹是62棵,桃樹是186棵。

例2

爸爸比兒子大27歲,今年,爸爸的年齡是兒子年齡的4倍,求父子二人今年各是多少歲？

解

〔1兒子年齡＝27÷〔4－1＝9〔歲

〔2爸爸年齡＝9×4＝36〔歲

答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。

例3

商場改革經(jīng)營管理辦法后,本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元,又知本月盈利比上月盈利多30萬元,求這兩個月盈利各是多少萬元？

解

如果把上月盈利作為1倍量,則〔30－12萬元就相當(dāng)于上月盈利的〔2－1倍,因此

上月盈利＝〔30－12÷〔2－1＝18〔萬元

本月盈利＝18＋30＝48〔萬元

答：上月盈利是18萬元,本月盈利是48萬元。

例4

糧庫有94噸小麥和138噸玉米,如果每天運出小麥和玉米各是9噸,問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？

解

由于每天運出的小麥和玉米的數(shù)量相等,所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差〔138－94。把幾天后剩下的小麥看作1倍量,則幾天后剩下的玉米就是3倍量,那么,〔138－94就相當(dāng)于〔3－1倍,因此

剩下的小麥數(shù)量＝〔138－94÷〔3－1＝22〔噸

運出的小麥數(shù)量＝94－22＝72〔噸

運糧的天數(shù)＝72÷9＝8〔天

答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。6

倍比問題[含義]

有兩個已知的同類量,其中一個量是另一個量的若干倍,解題時先求出這個倍數(shù),再用倍比的方法算出要求的數(shù),這類應(yīng)用題叫做倍比問題。[數(shù)量關(guān)系]

總量÷一個數(shù)量＝倍數(shù)

另一個數(shù)量×倍數(shù)＝另一總量[解題思路和方法]

先求出倍數(shù),再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。例1

100千克油菜籽可以榨油40千克,現(xiàn)在有油菜籽3700千克,可以榨油多少？解

〔13700千克是100千克的多少倍？

3700÷100＝37〔倍

〔2可以榨油多少千克？

40×37＝1480〔千克

列成綜合算式

40×〔3700÷100＝1480〔千克

答：可以榨油1480千克。例2

今年植樹節(jié)這天,某小學(xué)300名師生共植樹400棵,照這樣計算,全縣48000名師生共植樹多少棵？解

〔148000名是300名的多少倍？

48000÷300＝160〔倍

〔2共植樹多少棵？

400×160＝64000〔棵

列成綜合算式

400×〔48000÷300＝64000〔棵

答：全縣48000名師生共植樹64000棵。例3

鳳翔縣今年蘋果大豐收,田家莊一戶人家4畝果園收入11111元,照這樣計算,全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？解

〔1800畝是4畝的幾倍？

800÷4＝200〔倍

〔2800畝收入多少元？

11111×200＝2222200〔元

〔316000畝是800畝的幾倍？

16000÷800＝20〔倍

〔416000畝收入多少元？

2222200×20＝44444000〔元

答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元,

全縣16000畝果園共收入44444000元。

7

相遇問題[含義]

兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行,在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題。[數(shù)量關(guān)系]

相遇時間＝總路程÷〔甲速＋乙速

總路程＝〔甲速＋乙速×相遇時間[解題思路和方法]

簡單的題目可直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1

XX到上海的水路長392千米,同時從兩港各開出一艘輪船相對而行,從XX開出的船每小時行28千米,從上海開出的船每小時行21千米,經(jīng)過幾小時兩船相遇？

解

392÷〔28＋21＝8〔小時

答：經(jīng)過8小時兩船相遇。例2

小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步,小李每秒鐘跑5米,小劉每秒鐘跑3米,他們從同一地點同時出發(fā),反向而跑,那么,二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間？

解

"第二次相遇"可以理解為二人跑了兩圈。

因此總路程為400×2

相遇時間＝〔400×2÷〔5＋3＝100〔秒

答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時間。例3

甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行,甲每小時行15千米,乙每小時行13千米,兩人在距中點3千米處相遇,求兩地的距離。

解

"兩人在距中點3千米處相遇"是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快,乙騎得慢,甲過了中點3千米,乙距中點3千米,就是說甲比乙多走的路程是〔3×2千米,因此,

相遇時間＝〔3×2÷〔15－13＝3〔小時

兩地距離＝〔15＋13×3＝84〔千米

答：兩地距離是84千米。

8

追及問題[含義]

兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)〔或者在同一地點而不是同時出發(fā),或者在不同地點又不是同時出發(fā)作同向運動,在后面的,行進速度要快些,在前面的,行進速度較慢些,在一定時間之內(nèi),后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題。[數(shù)量關(guān)系]

追及時間＝追及路程÷〔快速－慢速

追及路程＝〔快速－慢速×追及時間[解題思路和方法]

簡單的題目直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1

好馬每天走120千米,劣馬每天走75千米,劣馬先走12天,好馬幾天能追上劣馬？解

〔1劣馬先走12天能走多少千米？

75×12＝900〔千米

〔2好馬幾天追上劣馬？

900÷〔120－75＝20〔天

列成綜合算式

75×12÷〔120－75＝900÷45＝20〔天

答：好馬20天能追上劣馬。例2

小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他們從同一地點同時出發(fā),同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米,求小亮的速度是每秒多少米。解

小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈,即200米,此時小亮跑了〔500－200米,要知小亮的速度,須知追及時間,即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒,則跑500米用［40×〔500÷200］秒,所以小亮的速度是

〔500－200÷［40×〔500÷200］

＝300÷100＝3〔米

答：小亮的速度是每秒3米。例3

我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人,敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑,解放軍在晚上22點接到命令,以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米,問解放軍幾個小時可以追上敵人？解

敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是〔22－16小時,這段時間敵人逃跑的路程是［10×〔22－6］千米,甲乙兩地相距60千米。由此推知

追及時間＝［10×〔22－6＋60］÷〔30－10

＝220÷20＝11〔小時

答：解放軍在11小時后可以追上敵人。例4

一輛客車從甲站開往乙站,每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站,每小時行40千米,兩車在距兩站中點16千米處相遇,求甲乙兩站的距離。解

這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車〔16×2千米,客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間,這個時間為

16×2÷〔48－40＝4〔小時所以兩站間的距離為

〔48＋40×4＝352〔千米列成綜合算式

〔48＋40×［16×2÷〔48－40］

＝88×4

＝352〔千米

答：甲乙兩站的距離是352千米。例5

兄妹二人同時由家上學(xué),哥哥每分鐘走90米,妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本,立即沿原路回家去取,行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學(xué)校有多遠？解

要求距離,速度已知,所以關(guān)鍵是求出相遇時間。從題中可知,在相同時間〔從出發(fā)到相遇內(nèi)哥哥比妹妹多走〔180×2米,這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走〔90－60米,那么,二人從家出走到相遇所用時間為

180×2÷〔90－60＝12〔分鐘

家離學(xué)校的距離為

90×12－180＝900〔米

答：家離學(xué)校有900米遠。例6

孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校,他以每小時4千米的速度從家步行去學(xué)校,當(dāng)他走了1千米時,發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘,因此立即跑步前進,到學(xué)校恰好準(zhǔn)時上課。后來算了一下,如果孫亮從家一開始就跑步,可比原來步行早9分鐘到學(xué)校。求孫亮跑步的速度。解

手表慢了10分鐘,就等于晚出發(fā)10分鐘,如果按原速走下去,就要遲到〔10－5分鐘,后段路程跑步恰準(zhǔn)時到學(xué)校,說明后段路程跑比走少用了〔10－5分鐘。如果從家一開始就跑步,可比步行少9分鐘,由此可知,行1千米,跑步比步行少用［9－〔10－5］分鐘。所以步行1千米所用時間為

1÷［9－〔10－5］

＝0.25〔小時

＝15〔分鐘跑步1千米所用時間為

15－［9－〔10－5］＝11〔分鐘跑步速度為每小時

1÷11／60＝5.5〔千米答：孫亮跑步速度為每小時5.5千米。

9

植樹問題[含義]

按相等的距離植樹,在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間,已知其中的兩個量,要求第三個量,這類應(yīng)用題叫做植樹問題。[數(shù)量關(guān)系]

線形植樹

棵數(shù)＝距離÷棵距＋1

環(huán)形植樹

棵數(shù)＝距離÷棵距

方形植樹

棵數(shù)＝距離÷棵距－4

三角形植樹

棵數(shù)＝距離÷棵距－3

面積植樹

棵數(shù)＝面積÷〔棵距×行距[解題思路和方法]

先弄清楚植樹問題的類型,然后可以利用公式。例1

一條河堤136米,每隔2米栽一棵垂柳,頭尾都栽,一共要栽多少棵垂柳？

解

136÷2＋1＝68＋1＝69〔棵

答：一共要栽69棵垂柳。例2

一個圓形池塘周長為400米,在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹,一共能栽多少棵白楊樹？

解

400÷4＝100〔棵

答：一共能栽100棵白楊樹。例3

一個正方形的運動場,每邊長220米,每隔8米安裝一個照明燈,一共可以安裝多少個照明燈？

解

220×4÷8－4＝110－4＝106〔個

答：一共可以安裝106個照明燈。例4

給一個面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚,所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米,問至少需要多少塊地板磚？

解

96÷〔0.6×0.4＝96÷0.24＝400〔塊

答：至少需要400塊地板磚。例5

一座大橋長500米,給橋兩邊的電桿上安裝路燈,若每隔50米有一個電桿,每個電桿上安裝2盞路燈,一共可以安裝多少盞路燈？解

〔1橋的一邊有多少個電桿？

500÷50＋1＝11〔個

〔2橋的兩邊有多少個電桿？

11×2＝22〔個

〔3大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22×2＝44〔盞

答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。

10

年齡問題[含義]

這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名,它的主要特點是兩人的年齡差不變,但是,兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。[數(shù)量關(guān)系]年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系,尤其與差倍問題的解題思路是一致的,要緊緊抓住"年齡差不變"這個特點。[解題思路和方法]

可以利用"差倍問題"的解題思路和方法。例1

爸爸今年35歲,亮亮今年5歲,今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？

解

35÷5＝7〔倍

〔35+1÷〔5+1＝6〔倍

答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍,

明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。例2

母親今年37歲,女兒今年7歲,幾年后母親的年齡是女兒的4倍？解

〔1母親比女兒的年齡大多少歲？

37－7＝30〔歲

〔2幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30÷〔4－1－7＝3〔年

列成綜合算式

〔37－7÷〔4－1－7＝3〔年

答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。例3

3年前父子的年齡和是49歲,今年父親的年齡是兒子年齡的4倍,父子今年各多少歲？解

今年父子的年齡和應(yīng)該比3年前增加〔3×2歲,

今年二人的年齡和為

49＋3×2＝55〔歲

把今年兒子年齡作為1倍量,則今年父子年齡和相當(dāng)于〔4＋1倍,因此,今年兒子年齡為

55÷〔4＋1＝11〔歲

今年父親年齡為

11×4＝44〔歲

答：今年父親年齡是44歲,兒子年齡是11歲。例4

甲對乙說："當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時,你才4歲"。乙對甲說："當(dāng)我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時,你將61歲"。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？解這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析：

過去某一年今

年將來某一年

甲

□歲

△歲

61歲

乙

4歲

□歲

△歲

表中兩個"□"表示同一個數(shù),兩個"△"表示同一個數(shù)。

因為兩個人的年齡差總相等：□－4＝△－□＝61－△,也就是4,□,△,61成等差數(shù)列,所以,61應(yīng)該比4大3個年齡差,

因此二人年齡差為

〔61－4÷3＝19〔歲

甲今年的歲數(shù)為

△＝61－19＝42〔歲

乙今年的歲數(shù)為

□＝42－19＝23〔歲

答：甲今年的歲數(shù)是42歲,乙今年的歲數(shù)是23歲。

11

行船問題[含義]

行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度,船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。[數(shù)量關(guān)系]

〔順?biāo)俣龋嫠俣取?＝船速

〔順?biāo)俣龋嫠俣取?＝水速

順?biāo)伲酱佟?－逆水速＝逆水速＋水速×2

逆水速＝船速×2－順?biāo)伲巾標(biāo)伲佟?[解題思路和方法]

大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1

一只船順?biāo)?20千米需用8小時,水流速度為每小時15千米,這只船逆水行這段路程需用幾小時？解

由條件知,順?biāo)伲酱伲伲?20÷8,而水速為每小時15千米,所以,船速為每小時

320÷8－15＝25〔千米

船的逆水速為

25－15＝10〔千米船逆水行這段路程的時間為

320÷10＝32〔小時

答：這只船逆水行這段路程需用32小時。例2

甲船逆水行360千米需18小時,返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時,返回原地需多少時間？解由題意得

甲船速＋水速＝360÷10＝36

甲船速－水速＝360÷18＝20

可見

〔36－20相當(dāng)于水速的2倍,

所以,

水速為每小時

〔36－20÷2＝8〔千米

又因為,乙船速－水速＝360÷15,

所以,

乙船速為

360÷15＋8＝32〔千米

乙船順?biāo)贋?/p>

32＋8＝40〔千米

所以,

乙船順?biāo)叫?60千米需要

360÷40＝9〔小時

答：乙船返回原地需要9小時。例3

一架飛機飛行在兩個城市之間,飛機的速度是每小時576千米,風(fēng)速為每小時24千米,飛機逆風(fēng)飛行3小時到達,順風(fēng)飛回需要幾小時？解

這道題可以按照流水問題來解答。

〔1兩城相距多少千米？

〔576－24×3＝1656〔千米

〔2順風(fēng)飛回需要多少小時？

1656÷〔576＋24＝2.76〔小時

列成綜合算式

［〔576－24×3］÷〔576＋24

＝2.76〔小時

答：飛機順風(fēng)飛回需要2.76小時。

12

列車問題[含義]

這是與列車行駛有關(guān)的一些問題,解答時要注意列車車身的長度。[數(shù)量關(guān)系]

火車過橋：過橋時間＝〔車長＋橋長÷車速

火車追及：追及時間＝〔甲車長＋乙車長＋距離

÷〔甲車速－乙車速

火車相遇：相遇時間＝〔甲車長＋乙車長＋距離

÷〔甲車速＋乙車速[解題思路和方法]

大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1

一座大橋長2400米,一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋,從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？解

火車3分鐘所行的路程,就是橋長與火車車身長度的和。

〔1火車3分鐘行多少米？

900×3＝2700〔米

〔2這列火車長多少米？

2700－2400＝300〔米

列成綜合算式

900×3－2400＝300〔米

答：這列火車長300米。例2

一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋,用了2分5秒鐘時間,求大橋的長度是多少米？解

火車過橋所用的時間是2分5秒＝125秒,所走的路程是〔8×125米,這段路程就是〔200米＋橋長,所以,橋長為

8×125－200＝800〔米

答：大橋的長度是800米。例3

一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛,一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕,求快車從追上到追過慢車需要多長時間？解

從追上到追過,快車比慢車要多行〔225＋140米,而快車比慢車每秒多行〔22－17米,因此,所求的時間為

〔225＋140÷〔22－17＝73〔秒

答：需要73秒。例4

一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛,有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來,那么,火車從工人身旁駛過需要多少時間？解

如果把人看作一列長度為零的火車,原題就相當(dāng)于火車相遇問題。

150÷〔22＋3＝6〔秒

答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。例5

一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒,以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？解

車速和車長都沒有變,但通過隧道和大橋所用的時間不同,是因為隧道比大橋長?？芍疖囋凇?8－58秒的時間內(nèi)行駛了〔2000－1250米的路程,因此,火車的車速為每秒

〔2000－1250÷〔88－58＝25〔米

進而可知,車長和橋長的和為〔25×58米,

因此,車長為

25×58－1250＝200〔米

答：這列火車的車速是每秒25米,車身長200米。

13

時鐘問題[含義]

就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題,如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。[數(shù)量關(guān)系]

分針的速度是時針的12倍,

二者的速度差為11/12。

通常按追及問題來對待,也可以按差倍問題來計算。[解題思路和方法]

變通為"追及問題"后可以直接利用公式。例1

從時針指向4點開始,再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？解

鐘面的一周分為60格,分針每分鐘走一格,每小時走60格；時針每小時走5格,每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時針多走〔1－1/12＝11/12格。4點整,時針在前,分針在后,兩針相距20格。所以分針追上時針的時間為

20÷〔1－1/12≈22〔分

答：再經(jīng)過22分鐘時針正好與分針重合。例2

四點和五點之間,時針和分針在什么時候成直角？解

鐘面上有60格,它的1/4是15格,因而兩針成直角的時候相差15格〔包括分針在時針的前或后15格兩種情況。四點整的時候,分針在時針后〔5×4格,如果分針在時針后與它成直角,那么分針就要比時針多走

〔5×4－15格,如果分針在時針前與它成直角,那么分針就要比時針多走〔5×4＋15格。再根據(jù)1分鐘分針比時針多走〔1－1/12格就可以求出二針成直角的時間。

〔5×4－15÷〔1－1/12≈6〔分

〔5×4＋15÷〔1－1/12≈38〔分

答：4點06分及4點38分時兩針成直角。例3

六點與七點之間什么時候時針與分針重合？解

六點整的時候,分針在時針后〔5×6格,分針要與時針重合,就得追上時針。這實際上是一個追及問題?！?×6÷〔1－1/12≈33〔分

答：6點33分的時候分針與時針重合。14

盈虧問題[含義]

根據(jù)一定的人數(shù),分配一定的物品,在兩次分配中,一次有余〔盈,一次不足〔虧,或兩次都有余,或兩次都不足,求人數(shù)或物品數(shù),這類應(yīng)用題叫做盈虧問題。[數(shù)量關(guān)系]

一般地說,在兩次分配中,如果一次盈,一次虧,則有：

參加分配總?cè)藬?shù)＝〔盈＋虧÷分配差如果兩次都盈或都虧,則有：

參加分配總?cè)藬?shù)＝〔大盈－小盈÷分配差

參加分配總?cè)藬?shù)＝〔大虧－小虧÷分配差[解題思路和方法]

大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1

給幼兒園小朋友分蘋果,若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？解

按照"參加分配的總?cè)藬?shù)＝〔盈＋虧÷分配差"的數(shù)量關(guān)系：

〔1有小朋友多少人？

〔11＋1÷〔4－3＝12〔人

〔2有多少個蘋果？

3×12＋11＝47〔個

答：有小朋友12人,有47個蘋果。例2

修一條公路,如果每天修260米,修完全長就得延長8天；如果每天修300米,修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？解

題中原定完成任務(wù)的天數(shù),就相當(dāng)于"參加分配的總?cè)藬?shù)",按照"參加分配的總?cè)藬?shù)＝〔大虧－小虧÷分配差"的數(shù)量關(guān)系,可以得知原定完成任務(wù)的天數(shù)為

〔260×8－300×4÷〔300－260＝22〔天這條路全長為

300×〔22＋4＝7800〔米

答：這條路全長7800米。例3

學(xué)校組織春游,如果每輛車坐40人,就余下30人；如果每輛車坐45人,就剛好坐完。問有多少車？多少人？解

本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于"參加分配的總?cè)藬?shù)",于是就有

〔1有多少車？

〔30－0÷〔45－40＝6〔輛

〔2有多少人？

40×6＋30＝270〔人

答：有6輛車,有270人。15

工程問題[含義]

工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中,常常不給出工作量的具體數(shù)量,只提出"一項工程"、"一塊土地"、"一條水渠"、"一件工作"等,在解題時,常常用單位"1"表示工作總量。[數(shù)量關(guān)系]

解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作"1",這樣,工作效率就是工作時間的倒數(shù)〔它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾,進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。

工作量＝工作效率×工作時間

工作時間＝工作量÷工作效率

工作時間＝總工作量÷〔甲工作效率＋乙工作效率[解題思路和方法]

變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例1

一項工程,甲隊單獨做需要10天完成,乙隊單獨做需要15天完成,現(xiàn)在兩隊合作,需要幾天完成？解

題中的"一項工程"是工作總量,由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量,因此,把此項工程看作單位"1"。由于甲隊獨做需10天完成,那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完成,每天完成這項工程的1/15；兩隊合做,每天可以完成這項工程的〔1/10＋1/15。由此可以列出算式：

1÷〔1/10＋1/15＝1÷1/6＝6〔天

答：兩隊合做需要6天完成。例2

一批零件,甲獨做6小時完成,乙獨做8小時完成。現(xiàn)在兩人合做,完成任務(wù)時甲比乙多做24個,求這批零件共有多少個？解

設(shè)總工作量為1,則甲每小時完成1/6,乙每小時完成1/8,甲比乙每小時多完成〔1/6－1/8,二人合做時每小時完成〔1/6＋1/8。因為二人合做需要［1÷〔1/6＋1/8］小時,這個時間內(nèi),甲比乙多做24個零件,所以〔1每小時甲比乙多做多少零件？

24÷［1÷〔1/6＋1/8］＝7〔個〔2這批零件共有多少個？

7÷〔1/6－1/8＝168〔個

答：這批零件共有168個。解二

上面這道題還可以用另一種方法計算：兩人合做,完成任務(wù)時甲乙的工作量之比為

1/6∶1/8＝4∶3由此可知,甲比乙多完成總工作量的

4－3

/

4＋3

＝1/7所以,這批零件共有

24÷1/7＝168〔個例3

一件工作,甲獨做12小時完成,乙獨做10小時完成,丙獨做15小時完成?，F(xiàn)在甲先做2小時,余下的由乙丙二人合做,還需幾小時才能完成？解

必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示,就會給計算帶來方便,因此,我們設(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù),例如最小公倍數(shù)60,則甲乙丙三人的工作效率分別是

60÷12＝5

60÷10＝6

60÷15＝4

因此余下的工作量由乙丙合做還需要

〔60－5×2÷〔6＋4＝5〔小時

答：還需要5小時才能完成。例4

一個水池,底部裝有一個常開的排水管,上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當(dāng)打開4個進水管時,需要5小時才能注滿水池；當(dāng)打開2個進水管時,需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿,至少要打開多少個進水管？解

注〔排水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項工程,水的流量就是工作量,單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時內(nèi)將水池注滿,即要使2小時內(nèi)的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量〔一池水。只要設(shè)某一個量為單位1,其余兩個量便可由條件推出。我們設(shè)每個同樣的進水管每小時注水量為1,則4個進水管5小時注水量為〔1×4×5,2個進水管15小時注水量為〔1×2×15,從而可知每小時的排水量為

〔1×2×15－1×4×5÷〔15－5＝1即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為

1×4×5－1×5＝15

又因為在2小時內(nèi),每個進水管的注水量為

1×2,

所以,2小時內(nèi)注滿一池水至少需要多少個進水管？

〔15＋1×2÷〔1×2

＝8.5≈9〔個

答：至少需要9個進水管。

16

正反比例問題

[含義]

兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定〔即商一定,那么這兩種量就叫做成正比例的量,它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。

兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定,這兩種量就叫做成反比例的量,它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。

[數(shù)量關(guān)系]

判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決,而且比較簡捷。

[解題思路和方法]

解決這類問題的重要方法是：把分率〔倍數(shù)轉(zhuǎn)化為比,應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。

正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。

例1

修一條公路,已修的是未修的1/3,再修300米后,已修的變成未修的1/2,求這條公路總長是多少米？

解

由條件知,公路總長不變。

原已修長度∶總長度＝1∶〔1＋3＝1∶4＝3∶12

現(xiàn)已修長度∶總長度＝1∶〔1＋2＝1∶3＝4∶12

比較以上兩式可知,把總長度當(dāng)作12份,則300米相當(dāng)于〔4－3份,從而知公路總長為

300÷〔4－3×12＝3600〔米

答：這條公路總長3600米。

例2

張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘,照這樣計算,91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？

解

做題效率一定,做題數(shù)量與做題時間成正比例關(guān)系

設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題

則有

28∶4＝91∶X

28X＝91×4

X＝91×4÷28

X＝13

答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。

例3

孫亮看《十萬個為什么》這本書,每天看24頁,15天看完,如果每天看36頁,幾天就可以看完？

解

書的頁數(shù)一定,每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系

設(shè)X天可以看完,就有

24∶36＝X∶15

36X＝24×15

X＝10

答：10天就可以看完。例4

一個大矩形被分成六個小矩形,其中四個小矩形的面積如圖所示,求大矩形的面積。A

252036B16

解

由面積÷寬＝長可知,當(dāng)長一定時,面積與寬成正比,所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等,第二行三個小矩形的寬也相等。因此,

A∶36＝20∶16

25∶B＝20∶16

解這兩個比例,得

A＝45

B＝20

所以,大矩形面積為

45＋36＋25＋20＋20＋16＝162

答：大矩形的面積是16217

按比例分配問題[含義]

所謂按比例分配,就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù),另一種是直接給出份數(shù)。[數(shù)量關(guān)系]

從條件看,已知總量和幾個部分量的比；從問題看,求幾個部分量各是多少。

總份數(shù)＝比的前后項之和[解題思路和方法]

先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾,把比的前后項相加求出總份數(shù),再求各部分占總量的幾分之幾〔以總份數(shù)作分母,比的前后項分別作分子,再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法,分別求出各部分量的值。例1

學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個班,已知一班有47人,二班有48人,三班有45人,三個班各植樹多少棵？

解

總份數(shù)為

47＋48＋45＝140

一班植樹

560×47/140＝188〔棵

二班植樹

560×48/140＝192〔棵

三班植樹

560×45/140＝180〔棵

答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。例2

用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形,三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米？

解

3＋4＋5＝12

60×3/12＝15〔厘米

60×4/12＝20〔厘米

60×5/12＝25〔厘米

答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。例3

從前有個牧民,臨死前留下遺言,要把17只羊分給三個兒子,大兒子分總數(shù)的1/2,二兒子分總數(shù)的1/3,三兒子分總數(shù)的1/9,并規(guī)定不許把羊宰割分,求三個兒子各分多少只羊。

解

如果用總數(shù)乘以分率的方法解答,顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解,則很容易得到

1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2

9＋6＋2＝17

17×9/17＝9

17×6/17＝6

17×2/17＝2

答：大兒子分得9只羊,二兒子分得6只羊,三兒子分得2只羊。例4

某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21,第一車間比第二車間少80人,三個車間共多少人？

人

數(shù)

80人一共多少人？對應(yīng)的份數(shù)

12－88＋12＋21

解

80÷〔12－8×〔8＋12＋21＝820〔人

答：三個車間一共820人。

18

百分數(shù)問題

[含義]

百分數(shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分數(shù)是一種特殊的分數(shù)。分數(shù)常?？梢酝ǚ?、約分,而百分數(shù)則無需；分數(shù)既可以表示"率",也可以表示"量",而百分數(shù)只能表示"率"；分數(shù)的分子、分母必須是自然數(shù),而百分數(shù)的分子可以是小數(shù)；百分數(shù)有一個專門的記號"%"。

在實際中和常用到"百分點"這個概念,一個百分點就是1%,兩個百分點就是2%。

[數(shù)量關(guān)系]

掌握"百分數(shù)"、"標(biāo)準(zhǔn)量""比較量"三者之間的數(shù)量關(guān)系：

百分數(shù)＝比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量

標(biāo)準(zhǔn)量＝比較量÷百分數(shù)[解題思路和方法]

一般有三種基本類型：

〔1

求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；

〔2

已知一個數(shù),求它的百分之幾是多少；

〔3

已知一個數(shù)的百分之幾是多少,求這個數(shù)。例1

倉庫里有一批化肥,用去720千克,剩下6480千克,用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？

解

〔1用去的占

720÷〔720＋6480＝10%

〔2剩下的占

6480÷〔720＋6480＝90%

答：用去了10%,剩下90%。

例2

紅旗化工廠有男職工420人,女職工525人,男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？

解

本題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量,男職工比女職工少的人數(shù)是比較

量

所以

〔525－420÷525＝0.2＝20%

或者

1－420÷525＝0.2＝20%

答：男職工人數(shù)比女職工少20%。

例3

紅旗化工廠有男職工420人,女職工525人,女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？

解

本題中以男職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量,女職工比男職工多的人數(shù)為比較量,因此

〔525－420÷420＝0.25＝25%

或者

525÷420－1＝0.25＝25%

答：女職工人數(shù)比男職工多25%。

例4

紅旗化工廠有男職工420人,有女職工525人,男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？

解

〔1男職工占

420÷〔420＋525＝0.444＝44.4%

〔2女職工占

525÷〔420＋525＝0.556＝55.6%

答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%,女職工占55.6%。

例5

百分數(shù)又叫百分率,百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛,常見的百分率有：

增長率＝增長數(shù)÷原來基數(shù)×100%

合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%

出勤率＝實際出勤人數(shù)÷應(yīng)出勤人數(shù)×100%

出勤率＝實際出勤天數(shù)÷應(yīng)出勤天數(shù)×100%

缺席率＝缺席人數(shù)÷實有總?cè)藬?shù)×100%

發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)÷試驗種子總數(shù)×100%

成活率＝成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%

出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%

出油率＝油的重量÷油料重量×100%

廢品率＝廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100%

命中率＝命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%

烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

及格率＝及格人數(shù)÷參加考試人數(shù)×100%19"牛吃草"問題

[含義]

"牛吃草"問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題,也叫"牛頓問題"。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。

[數(shù)量關(guān)系]

草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)

[解題思路和方法]

解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。

例1

一塊草地,10頭牛20天可以把草吃完,15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？

解

草是均勻生長的,所以,草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)。求"多少頭牛5天可以把草吃完",就是說5天內(nèi)的草總量要5天吃完的話,得有多少頭牛？

設(shè)每頭牛每天吃草量為1,按以下步驟解答：

〔1求草每天的生長量

因為,一方面20天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草,即〔1×10×20；另一方面,20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長量,所以

1×10×20＝原有草量＋20天內(nèi)生長量

同理

1×15×10＝原有草量＋10天內(nèi)生長量

由此可知

〔20－10天內(nèi)草的生長量為

1×10×20－1×15×10＝50

因此,草每天的生長量為

50÷〔20－10＝5

〔2求原有草量

原有草量＝10天內(nèi)總草量－10內(nèi)生長量＝1×15×10－5×10＝100

〔3求5天內(nèi)草總量

5天內(nèi)草總量＝原有草量＋5天內(nèi)生長量＝100＋5×5＝125

〔4求多少頭牛5天吃完草

因為每頭牛每天吃草量為1,所以每頭牛5天吃草量為5。

因此5天吃完草需要牛的頭數(shù)

125÷5＝25〔頭

答：需要5頭牛5天可以把草吃完。

例2

一只船有一個漏洞,水以均勻速度進入船內(nèi),發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進了一些水。如果有12個人淘水,3小時可以淘完；如果只有5人淘水,要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？

解

這是一道變相的"牛吃草"問題。與上題不同的是,最后一問給出了人數(shù)〔相當(dāng)于"牛數(shù)",求時間。設(shè)每人每小時淘水量為1,按以下步驟計算：

〔1求每小時進水量

因為,3小時內(nèi)的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時進水量

10小時內(nèi)的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時進水量

所以,〔10－3小時內(nèi)的進水量為

1×5×10－1×12×3＝14

因此,每小時的進水量為

14÷〔10－3＝2

〔2求淘水前原有水量

原有水量＝1×12×3－3小時進水量＝36－2×3＝30

〔3求17人幾小時淘完

17人每小時淘水量為17,因為每小時漏進水為2,所以實際上船中每小時減少的水量為〔17－2,所以17人淘完水的時間是

30÷〔17－2＝2〔小時

答：17人2小時可以淘完水。20

雞兔同籠問題

[含義]

這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳,求雞、兔各有多少只的問題,叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差,求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。[數(shù)量關(guān)系]第一雞兔同籠問題：

假設(shè)全都是雞,則有

兔數(shù)＝〔實際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)÷〔4－2

假設(shè)全都是兔,則有

雞數(shù)＝〔4×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)÷〔4－2

第二雞兔同籠問題：

假設(shè)全都是雞,則有

兔數(shù)＝〔2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差÷〔4＋2

假設(shè)全都是兔,則有

雞數(shù)＝〔4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差÷〔4＋2

[解題思路和方法]

解答此類題目一般都用假設(shè)法,可以先假設(shè)都是雞,也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞,然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔,然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè),再置換,使問題得到解決。

例1

長毛兔子蘆花雞,雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五,腳數(shù)共有九十四。請你仔細算一算,多少兔子多少雞？

解

假設(shè)35只全為兔,則

雞數(shù)＝〔4×35－94÷〔4－2＝23〔只

兔數(shù)＝35－23＝12〔只

也可以先假設(shè)35只全為雞,則

兔數(shù)＝〔94－2×35÷〔4－2＝12〔只

雞數(shù)＝35－12＝23〔只

答：有雞23只,有兔12只。

例2

2畝菠菜要施肥1千克,5畝白菜要施肥3千克,兩種菜共16畝,施肥9千克,求白菜有多少畝？

解

此題實際上是改頭換面的"雞兔同籠"問題。"每畝菠菜施肥〔1÷2千克"與"每只雞有兩個腳"相對應(yīng),"每畝白菜施肥〔3÷5千克"與"每只兔有4只腳"相對應(yīng),"16畝"與"雞兔總數(shù)"相對應(yīng),"9千克"與"雞兔總腳數(shù)"相對應(yīng)。假設(shè)16畝全都是菠菜,則有

白菜畝數(shù)＝〔9－1÷2×16÷〔3÷5－1÷2＝10〔畝

答：白菜地有10畝。

例3

李老師用69元給學(xué)校買作業(yè)本和日記本共45本,作業(yè)本每本3.20元,日記本每本0.70元。問作業(yè)本和日記本各買了多少本？

解

此題可以變通為"雞兔同籠"問題。假設(shè)45本全都是日記本,則有

作業(yè)本數(shù)＝〔69－0.70×45÷〔3.20－0.70＝15〔本

日記本數(shù)＝45－15＝30〔本

答：作業(yè)本有15本,日記本有30本。

例4

〔第二雞兔同籠問題雞兔共有100只,雞的腳比兔的腳多80只,問雞與兔各多少只？

解

假設(shè)100只全都是雞,則有

兔數(shù)＝〔2×100－80÷〔4＋2＝20〔只

雞數(shù)＝100－20＝80〔只

答：有雞80只,有兔20只。

例5

有100個饃100個和尚吃,大和尚一人吃3個饃,小和尚3人吃1個饃,問大小和尚各多少人？

解

假設(shè)全為大和尚,則共吃饃〔3×100個,比實際多吃〔3×100－100個,這是因為把小和尚也算成了大和尚,因此我們在保證和尚總數(shù)100不變的情況下,以"小"換"大",一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃〔3－1/3個。因此,共有小和尚

〔3×100－100÷〔3－1/3＝75〔人

共有大和尚

100－75＝25〔人

答：共有大和尚25人,有小和尚75人。21

方陣問題

[含義]

將若干人或物依一定條件排成正方形〔簡稱方陣,根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù),這類問題就叫做方陣問題。

[數(shù)量關(guān)系]

〔1方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：

四周人數(shù)＝〔每邊人數(shù)－1×4

每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1

〔2方陣總?cè)藬?shù)的求法：

實心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)

空心方陣：總?cè)藬?shù)＝〔外邊人數(shù)?－〔內(nèi)邊人數(shù)?

內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)×2

〔3若將空心方陣分成四個相等的矩形計算,則：

總?cè)藬?shù)＝〔每邊人數(shù)－層數(shù)×層數(shù)×4

[解題思路和方法]

方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多,其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。

例1

在育才小學(xué)的運動會上,進行體操表演的同學(xué)排成方陣,每行22人,參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？

解

22×22＝484〔人

答：參加體操表演的同學(xué)一共有484人。

例2

有一個3層中空方陣,最外邊一層有10人,求全方陣的人數(shù)。

解

10－〔10－3×2?

＝84〔人

答：全方陣84人。

例3

有一隊學(xué)生,排成一個中空方陣,最外層人數(shù)是52人,最內(nèi)層人數(shù)是28人,這隊學(xué)生共多少人？

解

〔1中空方陣外層每邊人數(shù)＝52÷4＋1＝14〔人

〔2中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)＝28÷4－1＝6〔人

〔3中空方陣的總?cè)藬?shù)＝14×14－6×6＝160〔人

答：這隊學(xué)生共160人。

例4

一堆棋子,排列成正方形,多余4棋子,若正方形縱橫兩個方向各增加一層,則缺少9只棋子,問有棋子多少個？解

〔1縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)＝4＋9＝13〔只

〔2縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)＝〔13＋1÷2＝7〔只

〔3原有棋子數(shù)＝7×7－9＝40〔只

答：棋子有40只。

例5

有一個三角形樹林,頂點上有1棵樹,以下每排的樹都比前一排多1棵,最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？

解

第一種方法：

1＋2＋3＋4＋5＝15〔棵

第二種方法：〔5＋1×5÷2＝15〔棵

答：這個三角形樹林一共有15棵樹。

21

方陣問題

[含義]

將若干人或物依一定條件排成正方形〔簡稱方陣,根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù),這類問題就叫做方陣問題。

[數(shù)量關(guān)系]

〔1方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：

四周人數(shù)＝〔每邊人數(shù)－1×4

每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1

〔2方陣總?cè)藬?shù)的求法：

實心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)

空心方陣：總?cè)藬?shù)＝〔外邊人數(shù)?－〔內(nèi)邊人數(shù)?

內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)×2

〔3若將空心方陣分成四個相等的矩形計算,則：

總?cè)藬?shù)＝〔每邊人數(shù)－層數(shù)×層數(shù)×4

[解題思路和方法]

方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多,其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。

例1

在育才小學(xué)的運動會上,進行體操表演的同學(xué)排成方陣,每行22人,參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？

解

22×22＝484〔人

答：參加體操表演的同學(xué)一共有484人。

例2

有一個3層中空方陣,最外邊一層有10人,求全方陣的人數(shù)。

解

10－〔10－3×2?

＝84〔人

答：全方陣84人。

例3

有一隊學(xué)生,排成一個中空方陣,最外層人數(shù)是52人,最內(nèi)層人數(shù)是28人,這隊學(xué)生共多少人？

解

〔1中空方陣外層每邊人數(shù)＝52÷4＋1＝14〔人

〔2中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)＝28÷4－1＝6〔人

〔3中空方陣的總?cè)藬?shù)＝14×14－6×6＝160〔人

答：這隊學(xué)生共160人。

例4

一堆棋子,排列成正方形,多余4棋子,若正方形縱橫兩個方向各增加一層,則缺少9只棋子,問有棋子多少個？解

〔1縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)＝4＋9＝13〔只

〔2縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)＝〔13＋1÷2＝7〔只

〔3原有棋子數(shù)＝7×7－9＝40〔只

答：棋子有40只。

例5

有一個三角形樹林,頂點上有1棵樹,以下每排的樹都比前一排多1棵,最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？

解

第一種方法：

1＋2＋3＋4＋5＝15〔棵

第二種方法：〔5＋1×5÷2＝15〔棵

答：這個三角形樹林一共有15棵樹。22

商品利潤問題

[含義]

這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營中經(jīng)常遇到的問題,包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題。

[數(shù)量關(guān)系]

利潤＝售價－進貨價

利潤率＝〔售價－進貨價÷進貨價×100%

售價＝進貨價×〔1＋利潤率

虧損＝進貨價－售價

虧損率＝〔進貨價－售價÷進貨價×100%

[解題思路和方法]

簡單的題目可以直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1

某商品的平均價格在一月份上調(diào)了10%,到二月份又下調(diào)了10%,這種商品從原價到二月份的價格變動情況如何？

解

設(shè)這種商品的原價為1,則一月份售價為〔1＋10%,二月份的售價為〔1＋10%×〔1－10%,所以二月份售價比原價下降了

1－〔1＋10%×〔1－10%＝1%

答：二月份比原價下降了1%。

例2

某服裝店因搬遷,店內(nèi)商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52元,已知衣服原來按期望盈利30%定價,那么該店是虧本還是盈利？虧〔盈率是多少？

解

要知虧還是盈,得知實際售價52元比成本少多少或多多少元,進而需知成本。因為52元是原價的80%,所以原價為〔52÷80%元；又因為原價是按期望盈利30%定的,所以成本為

52÷80%÷〔1＋30%＝50〔元

可以看出該店是盈利的,盈利率為

〔52－50÷50＝4%

答：該店是盈利的,盈利率是4%。

例3

成本0.25元的作業(yè)本1200冊,按期望獲得40%的利潤定價出售,當(dāng)銷售出80%后,剩下的作業(yè)本打折扣,結(jié)果獲得的利潤是預(yù)定的86%。問剩下的作業(yè)本出售時按定價打了多少折扣？

解

問題是要計算剩下的作業(yè)本每冊實際售價是原定價的百分之幾。從題意可知,每冊的原定價是0.25×〔1＋40%,所以關(guān)鍵是求出剩下的每冊的實際售價,為此要知道剩下的每冊盈利多少元。剩下的作業(yè)本售出后的盈利額等于實際總盈利與先售出的80%的盈利額之差,即

0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20〔元

剩下的作業(yè)本每冊盈利

7.20÷［1200×〔1－80%］＝0.03〔元

又可知

〔0.25＋0.03÷［0.25×〔1＋40