江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)試題（有解析）

2019年連云港市初中畢業(yè)升學(xué)考試

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）

1.-2的絕對(duì)值是

11

A.-2B.------C.2D.一

22

【答案】c

【解析】負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，故選C.

2.要使GT有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

A.B.x20C.x2-1D.xWO

【答案】A

【解析】因?yàn)槎胃嚼锩娴腦—120,即,故選A

3.計(jì)算下列代數(shù)式，結(jié)果為爐的是

A.x2+X5B.x-x5C.x6-xD.2x5-x5

【答案】D

【解析】A和C選項(xiàng)的f+d,f-x不是同類型不能合并；B選項(xiàng)尤故不符合

題意；故選D.

4.一個(gè)幾何體的側(cè)面展開圖如圖所示，則該幾何體的底面是

【答案】B

【解析】依據(jù)展開圖可知該幾何體是一個(gè)正四棱錐，所以它的底面是一個(gè)正方形，故選C.

5.一組數(shù)據(jù)3,2,4,2,5的中位數(shù)和眾數(shù)分別是

A.3,2B.3,3C.4,2D.4,3

【答案】A

【解析】把數(shù)據(jù)按照從下到大排列為：2,2,3,4,5故中位數(shù)是3；出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是

2,即眾數(shù)是2.故選A.

6.在如圖所示的象棋盤（各個(gè)小正方形的邊長均相等）中，根據(jù)“馬走日”的規(guī)則，“馬”

應(yīng)落在下列哪個(gè)位置處，能使“馬”、“車”、“炮”所在位置的格點(diǎn)構(gòu)成的三角形與

“帥”、“相”，“兵”所在位置的格點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似

A.①處B.②處C.③處D.④處

【答案】B

【解析】依據(jù)相似的性質(zhì)可知，兩三角形相似，則對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，故選B.

7.如圖，利用一個(gè)直角墻角修建一個(gè)梯形儲(chǔ)料場(chǎng)ABCD,其中NC=120°.若新建墻BC

與CD總長為12m,則該梯形儲(chǔ)料場(chǎng)ABCD的最大面積是

A.18m?B.18Gm2c.24^3m2D.m2

【答案】C

【解析】過點(diǎn)C作CELAB于點(diǎn)E,設(shè)BC=2x,則CD=12-2x。

因?yàn)镹C=120°,所以NBCE=30°,；.CE=6x,BE=x,則AB=CD+BE=12-x。

▼,，□■乂?..,rz—3v3x2+24V3x

所以梯形ABCD的面積S=(CD+AB)?EC+2=(24-3x)-J3x+2=------------------------

2

-36(x-4>+48/

，所以當(dāng)x=4時(shí)，梯形ABCD面積最大=24百n?

2

8.如圖，在矩形ABCD中，AD=20AB.將矩形ABCD對(duì)折，得到折痕MN；沿著CM

折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,ME與BC的交點(diǎn)為F；再沿著MP折疊，使得AM與EM重

合，折痕為MP,此時(shí)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G.下列結(jié)論：①^CMP是直角三角形；②點(diǎn)C、

J7%

E、G不在同一條直線上；③PC=—MP；④BP=-AB；⑤點(diǎn)F是ACMP外接圓的

22

圓心.其中正確的個(gè)數(shù)為

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【解析】由折疊可知/MEG=NA=90°,ZMEC=ND=90°,故G,M,C在同一直線上，故

②錯(cuò)；

由折疊可知NAMP=/PME,/CME=NDMC”且NAMP+/PME+/CME+NDMC=180°,

所以NPMC=NPME+NCME=180°+2=90°,故①正確；③正確，④錯(cuò)；因?yàn)閍MPC為直

角，所以PC是直徑，故⑤正確.故選B.

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，本大題共24分.不需要寫出解答過程，只需

把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）

9.64的立方根是.

【答案】4

【解析】考查立方根的運(yùn)算。因?yàn)?3=64,所以64的立方根為4.

10.計(jì)算（2—X）2=.

【答案】4-4x+x2

【解析】根據(jù)完全平方公式即可得到(2-幻2=4-4x+/.

11.連鎮(zhèn)鐵路正線工程的投資總額約為46400000000元.數(shù)據(jù)“46400()00()00”用科學(xué)記數(shù)

法可表示為.

【答案】4.64X1O10

【解析】考查對(duì)科學(xué)記數(shù)法的特征：46400000000=4.64X1O10

12.一圓錐的底面半徑為2,母線長為3,則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為.

【答案】6兀

(解析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式5側(cè)=次/=2x3*萬=6%.

13.如圖，點(diǎn)A、B、C在。O上，BC=6,/BAC=30。，則的半徑為.

（第1519S）

【答案】6

【解析】連結(jié)OB,OC,因?yàn)镹BOC=2NA=60°,則△BOC為等邊三角形，所以半徑為6.

14.已知關(guān)于x的一元二次方程公2+2x+2—C=()有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則工+c的值等

a

于.

【答案】2

【解析】因?yàn)橐辉畏匠蘂：2+2X+2-C=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以

1

△=2?2-4x0(2-c)=0,即一+c=2.

a

15.如圖，將一等邊三角形的三條邊各8等分，按順時(shí)針方向(圖中箭頭方向)標(biāo)注各等分

點(diǎn)的序號(hào)0、1、2、3、4、5、6、7、8,將不同邊上的序號(hào)和為8的兩點(diǎn)依次連接起來，

這樣就建立了“三角形”坐標(biāo)系.在建立的“三角形”坐標(biāo)系內(nèi)，每一點(diǎn)的坐標(biāo)用過這

一點(diǎn)且平行(或重合)于原三角形三條邊的直線與三邊交點(diǎn)的序號(hào)來表示(水平方向開

始，按順時(shí)針方向)，如點(diǎn)A的坐標(biāo)可表示為(1,2,5),點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為(4,1,

3),按此方法，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可表示為.

【答案】(2,4,2)

【解析】按照箭頭方向C點(diǎn)第一個(gè)數(shù)是2,第二數(shù)是4,第三個(gè)數(shù)是2,所以C(2,4,2)

16.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,以點(diǎn)C為圓心作。C與直線BD相切，點(diǎn)P

AP

是OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP交BD于點(diǎn)T,則一的最大值是.

AT

【答案】3

【解析】依據(jù)題意可知，當(dāng)AP與圓相切時(shí)一的值最大，連結(jié)CP,AC,則NCPA=90°.

AT

由勾股定理得AC=5,依據(jù)等面積可得半徑『3X4+5=—.即CP=—.所以——最大值

55AT

是3.

三、解答題(本大題共11小題，共102分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文

字說明、證明過程或演算步驟)

（本題滿分6分）計(jì)算：（—l）x2+〃+（g）T.

17.

18.（本題滿分6分）解不等式組:

1—2(x—3)>x+1

19.（本題滿分6分）化簡(jiǎn)：一二一一（1+—2—）.

JTT-4m-2

19.（本題滿分8分）為了解某地區(qū)中學(xué)生一周課外閱讀時(shí)長的情況，隨機(jī)抽取部分中學(xué)生進(jìn)

行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，將閱讀時(shí)長分為四類：2小時(shí)以內(nèi)，2~4小時(shí)（含2小時(shí)），4?6

小時(shí)（含4小時(shí)），6小時(shí)及以上，并繪制了如圖所示尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

課外閱讀時(shí)長情況條彬蜻計(jì)圖課外閱讀時(shí)長情況扇形統(tǒng)計(jì)圖

人致小

4-6小時(shí)

（第20題圖）

（1）本次調(diào)查共隨機(jī)抽取了名中學(xué)生，其中課外閱讀時(shí)長“2~4小時(shí)”的有

人；

（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，課外閱讀時(shí)長“4~6小時(shí)”對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為。；

（3）若該地區(qū)共有2000名中學(xué)生，估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生一周課外閱讀時(shí)長不少于4小時(shí)

的人數(shù).

21.（本題滿分10分）現(xiàn)有A、B、C三個(gè)不透明的盒子，A盒中裝有紅球、黃球、藍(lán)球各1

個(gè)，B盒中裝有紅球、黃球各1個(gè)，C盒中裝有紅球、藍(lán)球各1個(gè)，這些球除顏色外都

相同.現(xiàn)分別從A、B、C三個(gè)盒子中任意摸出一個(gè)球.

（1）從A盒中摸出紅球的概率為；

（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率.

22.（本題滿分10分）如圖，在4ABC中，AB=AC.將aABC沿著BC方向平移得到ADEF,

其中點(diǎn)E在邊BC上，DE與AC相交于點(diǎn)O.

（1）求證：AOEC為等腰三角形；

（2）連接AE、DC、AD,當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，四邊形AECD為矩形，并說明理由.

23.（本題滿分10分）某工廠計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品共2500噸，每生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品可獲得

利潤0.3萬元，每生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品可獲得利潤0.4萬元.設(shè)該工廠生產(chǎn)了甲產(chǎn)品x（噸），

生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品獲得的總利潤為y（萬元）.

（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若每生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品需要A原料0.25噸,每生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品需要A原料0.5噸.受

市場(chǎng)影響，該廠能獲得的A原料至多為1000噸，其它原料充足.求出該工廠生產(chǎn)

甲、乙兩種產(chǎn)品各為多少噸時(shí)，能獲得最大利潤.

24.（本題滿分10分）如圖，海上觀察哨所B位于觀察哨所A正北方向，距離為25海里.在

某時(shí)刻，哨所A與哨所B同時(shí)發(fā)現(xiàn)一走私船，其位置C位于哨所A北偏東53°的方向

上，位于哨所B南偏東37°的方向上.

（1）求觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離；

（2）若觀察哨所A發(fā)現(xiàn)走私船從C處以16海里/小時(shí)的速度向正東方向逃竄，并立即

派緝私艇沿北偏東76。的方向前去攔截.求緝私艇的速度為多少時(shí)，恰好在D處

成功攔截.(結(jié)果保留根號(hào))

（參考數(shù)據(jù)：sin37°=cos53°?,cos37=sin53°g去，tan37°g2,tan76°?）

76,

(第24題圖)

k

25.(本題滿分10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)》=一%+人的圖像與函數(shù))=-

x

(x<0)的圖像相交于點(diǎn)A(-1,6),并與x軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)D是線段AC上一點(diǎn)，^ODC

與AOAC的面積比為2：3.

(1)k=,b—\

(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)若將AODC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△△ODC，，其中點(diǎn)D，落在x軸負(fù)半軸上,

判斷點(diǎn)C是否落在函數(shù)y=A(x<0)的圖像上，并說明理由.

x

(第25題圖)

26.(本題滿分12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線L|：y=/+bx+c過點(diǎn)C(0,

1，3

-3),與拋物線L2：y=—x2——x+2的一個(gè)交點(diǎn)為A,且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,點(diǎn)P、

22

Q分別是拋物線Li、拋物線L2上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線L對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形恰為平行四邊形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點(diǎn)R為拋物線Li上另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且CA平分/PCR,若OQ〃PR,求出點(diǎn)Q的

坐標(biāo).

備用圖

(第26題圖)

27.(本題滿分14分)問題情境：如圖1,在正方形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、

C重合)，垂直于AE的一條直線MN分別交AB、AE、CD于點(diǎn)M、P、N.判斷線段DN、

MB、EC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

問題探究：在“問題情境”的基礎(chǔ)上,

(1)如圖2,若垂足P恰好為AE的中點(diǎn)，連接BD,交MN于點(diǎn)Q,連接EQ,并延長

交邊AD于點(diǎn)F.求NAEF的度數(shù)；

(2)如圖3,當(dāng)垂足P在正方形ABCD的對(duì)角線BD上時(shí)，連接AN,將4APN沿著

AN翻折，點(diǎn)P落在點(diǎn)P處.若正方形ABCD的邊長為4,AD的中點(diǎn)為S,求

P'S的最小值.

問題拓展：如圖4,在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別為邊AB、CD上的點(diǎn)，

將正方形ABCD沿著MN翻折，使得BC的對(duì)應(yīng)邊BC恰好經(jīng)過點(diǎn)A,CN交AD于點(diǎn)

F.分別過點(diǎn)A、F作AG_LMN,FH±MN,垂足分別為G、H.若AG=*,請(qǐng)直接寫

2

出FH的長.

圖4

數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分建議

一、選擇題(每題3分，共24分)

1—4CADB5—8ABCB

二、填空題(每題3分，共24分)

9.4104-4x+411.4.64x10'°12.6-rr

13.614.215.(2,4,2)16.3

三、解答題(共102分)

17.原式=-2+2+3=3.......................................................................................................6分

18.解不等式2x>-4,得工>-2,..........................................................................................2分

解不等式1-2G-3)>x+1,得工<2,.........................................................................4分

所以原不等式組的解集是-2<x<2..............................................................................6分

m-2+2

19.原式子

(m+2)(m-2)m-2

mm-2

x--------4分

(m+2)(m-2)m

]

6分

m+2

20.(1)200,40；.............................................................................................................................4分

(2)144；.......................................................................................................................................6分

(3)20000x(40%+25%)=13000(A).

答：該地區(qū)中學(xué)生一周課外閱讀時(shí)長不少于4小時(shí)的約有13000人..............8分

21.(1)從4盒子中操出紅球的概率為｝；.......................................

3分

由圖可知，共有12種等可能結(jié)果，其中至少有一個(gè)紅球的結(jié)果有1。種.

所以,P(推出的三個(gè)球中至少有一個(gè)紅球)=卷=卷.

答:摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率是..............................1°分

O

22.(l)vAB=AC,：./.ABC=LACB.

?.-648C平移△到△OEF,r.AB//DE.

Z.ABC=乙DEF.J.乙DEF=LACH.

即AOEC為等腰三角形.....................................................

(2)當(dāng)￡為8c中點(diǎn)時(shí)，四邊形4EC0為矩形.AR…校

?:AB=AC,且E為BC中點(diǎn),

???△48C平移得到/\A1\

BE//AD,BE=AD./\

r.AD//EC.AD=EC.BgF

四邊形4￡C0為平行四邊形.'第22題圖)

又???AE1BC四邊形4EC0為矩形...................................10分

23.(1)y=*x0.3+(2500-x)x0.4=-0.lx+1000....................................4分

(2)由題意得：”0.25+(2500-%>0.5乏1000,解得工才1000.

又因?yàn)閤W2500,所以1OOOWXW25OO.

由(I)可知，-0.1<0,所以y的值隨著x的增加而減小.

所以當(dāng)了=1000時(shí),y取最大值，此時(shí)生產(chǎn)乙種產(chǎn)品2500-1000=1500(噸).

答:工廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品1000噸,乙產(chǎn)品1500噸時(shí)，能獲得最大利潤................10分

24.(1)在△48C中，44C8=180°-4B-4B/1C=】80°-37--53°=90°.

AC3

在RtA/IBC4',sinS=—AC=AB-sin370=25x《=15(海里).

AD□

答:觀察哨所4與走私船所在的位置。的距離為15海里.4分

(2)過點(diǎn)C作CM凡垂足為M,由題意易知,O、C、M在一條直線上.

4

在RtZUCM中，-sinZLG4Af=15xy=12,

3

AM=AC?cosLCAM-15x-=9.

,MD

在RlZk/IOM中Jan乙D4M=F，

AM

所以MOWM-tan76°=36.

所以爐=，9'+36J9尺、

CD=MD-MC=24.

設(shè)緝私艇的速度為"海里/小時(shí),則有意=噂.解得〃=647.

經(jīng)檢驗(yàn)國=6J萬是原方程的解.

答:當(dāng)緝私艇以每小時(shí)6JT7海里的速度行駛時(shí),恰好在D處成功攔截............10分

25.(1)-6,5；2分

(2)如圖1,過點(diǎn)。作軸,垂足為M,過點(diǎn)4作/IN_Lx軸,垂足為M

?—OC-DM

因?yàn)榘?2-------=2

s叩3'

2

而42

所以獷T

又因?yàn)辄c(diǎn)4的坐標(biāo)為(-1,6),所以4N=6,

所以0M=4,即點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為4.

把y=4代入y=-x+5中得x=I.

所以點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(1,4)..............6分

(3)由題意可知,=0D=+/)M=Ji7.

如圖2,過點(diǎn)。作C(_Lx軸,垂足為G,

因?yàn)镾AOX=SA00y,

所以O(shè)C-DM=OD'?C'G,

20

即5x4=J17C'G,所以C,G=—717.

在RtLOC'G中，因?yàn)镺G=JOC'JC9

520

所以點(diǎn)c’的坐標(biāo)為(-萬47,萬47).

因?yàn)?々＞/i7)x號(hào)々V-6,所以點(diǎn)C，不在函數(shù)y=)的圖像上............10分

1717x

13

26.(1)將工=2代入＞=-亍2-亍+2,得＞=-3,故點(diǎn)4的坐標(biāo)為(2,-3).

將4(2,-3),C(0,-3)代入y=a?+fcc+c,

^(-3=22+2b+c岫,，6=-2

得｛ccc，解得(7

l-3=0+0+c(c=-3

所以拋物線0對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=--2x-3...........................3分

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,/-2x-3).

第一種情況：/1C為平行四邊形的一條邊.

①當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x+2,/-2x-3).

13

將。(4+2,一一24一3Ht入y=-y.v2—y.x+2,W

i3

爐-2^-3=-—(^+2)2-—(x+2)+2,

整理得*2+%=0,解得X]=0,3=-1.

因?yàn)椋?0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，不符合題意，所以舍去,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,0).

②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P左側(cè)時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(欠-2,--2x-3).

將Q(x-2,工‘-2?-3)代入y=--—x2―白+2,得

13

x"-2x-3=——(X-2)'—―(X-2)+2,

4

整理得3--5%-12=0,解得巧=3尹2=-J?

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,0）或（一,￡）.

第二種情況：當(dāng)AC為平行四邊形的一條對(duì)角線時(shí).

由AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-3）,得PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-3）,

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2-x,--+2x-3）.

1-3

將。（2-%一一+2^-3）代入y=―一萬^+2,得

13

—x2+2x-3=—―（2-x）2"-（2-x）+2,

整理得/+3方=0,解得陽=0,七=-3.

因?yàn)閤=0時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)C重合，不符合題意，所以舍去，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3,12）.

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1,0）或（3,0）或（一,￡）或（-3,12）.....................8分

（3）當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí),拋物線￡,不存在動(dòng)點(diǎn)R使得CA平分心PCR.

當(dāng)點(diǎn)P在）,軸右側(cè)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)尸在的上方，點(diǎn)R在C4的下方，

過點(diǎn)P、R分別作y軸的垂線，垂足分別為S、T,

過點(diǎn)P作PH1TR,垂足為H,則有4PSC=乙RTC=90°.

由C4平分ZPCR,得ZJ>C4=乙a。1,則乙尸CS=Z.RCT,

救4PSCs△依C,所以叁祟

設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為（孫，孫2-2X「3）,

點(diǎn)/?坐標(biāo)為（叼,H/-2?2-3）.

孫

所以有

Z|2-2x|-3—(-3)

2

-3-(X2-2X2-3)'

整理得

xt+x2=4.

PH

在RtAPRH4,,tanZP/?//=—（笫26題（3）圖）

Rn

=3+%2-2=2.

i3

過點(diǎn)Q作QKLx軸，垂足為K.設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為

若貝I］需乙QOK=CPRH.所以tan乙QOK=lan乙PRH=2.

所以2m=-ym2—1-m+2,M:Wm=_~^~'?

所以點(diǎn)Q坐標(biāo)為(苫巴,-7+依)或(三空,-7-很).................................12分

27.(1)因?yàn)樗倪呅蜛8c。是正方形，

所以4ABE=Z.BCD=90°,AB=BC=CD,DC//AB.

過點(diǎn)B作BF//MN分別交AE.CD于點(diǎn)G、F.

所以四邊形MBFN為平行四邊形.

所以NF=MB.所以BF1AE,乙BCE=90°,

所以Z.C8F+Z_4E8=90°,

又因?yàn)閆.R4E+44E8=90°,

所以zCC8/=Z.84￡所以△/18ANZ\8C〃.所以BE=CF.（第27遨圖I）

因?yàn)镈N+NF+CF=BE+EC,所以DN+NF=EC,所以DN+MB=EC.................................3分

(2)連接4。,過點(diǎn)Q作H/〃/18,分別交4)、8C于點(diǎn)HJ.易得四邊形ABIH為矩形.

所以HILAD,HILBC且HI=AB=AD.

因?yàn)锽D是正方形ABCD的對(duì)角線，所以乙BDA=45°.

所以△OHQ是等腰直角三角形,HD=HQ.所以4H=QL

因?yàn)镸N是4E的垂直平分線，所以4。=?！?/p>

所以RtZUHQqRtAQ/E.所以44。//=乙Q￡/.

所以44QH+Z.EQ/=90。.所以aAQE=90°.

所以XAQE是等腰直角三角形，4￡4。=4/lEQ=45。,

BPr/IEF=45o..........................................................................6分(笫27題圖2)

(3)如圖所示，連接4C交8。于點(diǎn)。，由題意易得△4PN的直

角頂點(diǎn)P在。8上運(yùn)動(dòng).

設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，則點(diǎn)P'與點(diǎn)。重合；

設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)0正合，則點(diǎn)P的落點(diǎn)為。1易知440。'=45。.

當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

過點(diǎn)尸作C。的垂線，垂足為C,

過點(diǎn)尸作P'HLCD,垂足為點(diǎn)H.

易證：Rt△PGN業(yè)Rt△NHP',

所以PG=NH,GN=P'H,

因?yàn)?。是正方形ABCD的對(duì)角線，

所以4*9C=45。，易得PC=C，所以GN=DH.

所以Dll=P'H.

所以ZJ>7>H=45。，故4P'O4=45°.

所以點(diǎn)尸在線段。。'上運(yùn)動(dòng).

過點(diǎn)S作SK1DO'，垂足為K,因?yàn)辄c(diǎn)6為40的中點(diǎn)，

所以O(shè)S=2,則P'S的最小值為互.....................10分

(4)—.................................................................................................14分

14

初中數(shù)學(xué)重要公式

1、幾何計(jì)數(shù):

⑴當(dāng)一條直線上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，在這條直線上存在條線段.

⑵平面內(nèi)有"個(gè)點(diǎn)，過兩點(diǎn)確定一條直線，在這個(gè)平面內(nèi)最多存在條直線.

⑶如果平面內(nèi)有n條直線，最多存在個(gè)交點(diǎn).

⑷如果平面內(nèi)有n條直線，最多可以將平面分成部分.

（5）、有公共端點(diǎn)的n條射線（兩條射線的最大夾角小于平角），則存在個(gè)角.

2、AB//CD,分別探討下面四個(gè)圖形中N47T與/川氏/AN的關(guān)系。

3、全等三角形的判定方法：

a.三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為）.

b.兩個(gè)角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為）.

c.兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為）

d.兩條邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為）.

e.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)記為）.

4、坐標(biāo)系中的位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，位似

比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于.

5、0邊形的內(nèi)角和等于；多邊形的外角和都等于.

6、在四邊形的四個(gè)內(nèi)角中，最多能有—3一個(gè)鈍角，最多能有—3一個(gè)銳角.如果一個(gè)多邊

形的邊數(shù)增加1,那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和增加180—度.

4.n邊形有條對(duì)角線.

5、用、完全相同的一種或幾種進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙，

不重疊的鋪成一片，就是平面圖形的.

［注意］要實(shí)現(xiàn)平面圖形的鑲嵌，必須保證每個(gè)拼接點(diǎn)處的角恰好能拼成:

［總結(jié)］平面圖形的鑲嵌的常見形式

⑴用同一種正多邊形可以鑲嵌的只有三種情況：個(gè)正三角形或個(gè)正四邊

形或個(gè)正六邊形.

⑵用兩種正多邊形鑲嵌

①用正三角形和正四邊形鑲嵌：個(gè)正三角形和個(gè)正四邊形；

②用正三角形和正六邊形鑲嵌：用個(gè)正三角形和個(gè)正六邊形或者用

個(gè)正三角形和個(gè)正六邊形；

③用正四邊形和正八邊形鑲嵌：用個(gè)正四邊形和個(gè)正八邊形可以鑲嵌.

⑶用三種不同的正多邊形鑲嵌

用正三角形、正四邊形和正六邊形進(jìn)行鑲嵌，設(shè)用m塊正三角形、n塊正方形、k塊正六邊

形，則有60m+90n+120/c=360,整理得,因?yàn)閙、n、k為整數(shù)，所

以m=,n=，k=,即用塊正方形，塊正三角

形和塊正六邊形可以鑲嵌.

6、梯形常用輔助線做法:

7、如圖:Rtz^ABC中,ZACB=90°,CD±ABD,

則有：

(1)、ZACD=ZBZDCB=ZA

(2)由RtAABCsRtA/\CD得到AO=AD-AB

由MAABCsRtACBD得到BC?=BDAB

由Rt△八CDsRtACBD得到C?=ADBD

(3)、由等積法得到ABXCD=ACxBC

8、若將半圓換成正三角形、正方形或任意的相似形,

9、在解直角三角形時(shí)常用詞語:

1.仰角和俯角

在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做,視線在水平線下方的叫做

2.坡度和坡角

通常把坡面的鉛直高度h和

射45*60°水平寬度1之比叫________,

X用字母i表示，即i=

J_V2V3________，把坡面與水平面

Sina

2~TV的夾角叫做________,記作

a,于是i=________=tan

a,顯然，坡度越大，a角

叵J_

Cosa越大，坡面就越陡.

2~22

10.正多邊形的有關(guān)計(jì)算

邊長：Qn—

180°

2Rn?sin

n

周長：P?=n?a?

邊心距：rn=

180°1

R,cos面積：S?—a?*r*n

nn2Qn

—n—2X180°ME360°…n360°

內(nèi)角：外角：中心角：

nnn

11、特殊銳角三角函數(shù)值

tana旦1

3

V3

Cota1

3

12、某些數(shù)列前n項(xiàng)之和

l+2+3+4+5+6+7+8+9+...+n=n(n+l)/2

l+3+5+7+9+ll+13+15+...+(2n-l)=n2

2+4+6+8+10+12+14+...+(2n)=n(n+l)

13、平行線段成比例定理

(1)平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比

例。

如圖：a〃b〃c,直線h與L分別與直線a、b、c相交與點(diǎn)A、8、C和D、E、F,

ABDEAB_DEBC_EF

~BC~~EF'~AC'~~DF,~AC~~DF

（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對(duì)

應(yīng)線段成比例。如圖：△48C中，DE//BC,DE與AB、AC相交與點(diǎn)。、E,則有：

AD_AEADAEDEDBEC

14、極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式:

①極差:

用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差

稱為極差，即：極差=最大值-最小值；

②方差：

數(shù)據(jù)不、X2……，貓的方差為52,

③標(biāo)準(zhǔn)差：

數(shù)據(jù)再、x2...,X“的標(biāo)準(zhǔn)差S,

一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大。

15、求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

22

①公式法：y=ax2++c=/xH---4ac—b

，頂點(diǎn)是

I2a+-4a-

色滬)’對(duì)稱軸是直線一h

2a

②配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=+%的形式,

得到頂點(diǎn)為(/7,左)，對(duì)稱軸是直線光=/7。

③運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸與

拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。

若已知拋物線上兩點(diǎn)(3,y)、(x2，y)(及y值相同)，則對(duì)稱軸方程可以表

示為：1=土也

2

16、直線與拋物線的交點(diǎn)

①y軸與拋物線y=ax2+hx+c得交點(diǎn)為(0,c)。

②拋物線與x軸的交點(diǎn)。

二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)X］、x2,是對(duì)應(yīng)一

元二次方程

奴？+/?X+C=()的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與X軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次

方程的根的判別式判定：

a有兩個(gè)交點(diǎn)<=>(△>())<=>拋物線與工軸相交；

b有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)o(A=0)o拋物線與x軸相切；

c沒有交點(diǎn)=(△v0)o拋物線與x軸相離。

③平行于工軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同②一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)

的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k,則橫坐標(biāo)是"2+hx+c=k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

④一次函數(shù)y=丘+n(kw0)的圖像/與二次函數(shù)y=ax2+Z?x+c(aw0)的圖

y=kx+n

像G的交聲，由方程組,9的解的數(shù)目來確定：

Jy-ax++<?

a方程組有兩組不同的解時(shí)。/與G有兩個(gè)交點(diǎn)；

b方程組只有一組解時(shí)=/與G只有一個(gè)交點(diǎn)；

c方程組無解時(shí)。/與G沒有交點(diǎn)。

⑤拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線y=ax2+bx+c與x軸兩交點(diǎn)

為4（X],0）,則AB-\x-x^

B（X2,6）,t

圖形的定義、性質(zhì)、判定

一、角平分線

性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的相等.

判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在上.

二、線段垂直平分線

L性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離.

2.判定：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的巳

［點(diǎn)撥］線段的垂直平分線可以看作到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.

三、等腰三角形

定義、性質(zhì)：

1.定義：有兩相等的三角形是等腰三角形.

2.性質(zhì)：

⑴等腰三角形兩個(gè)腰.

(2)等腰三角形的兩個(gè)底角(簡(jiǎn)寫成等邊對(duì)等角).

⑶等腰三角形的頂角，底邊上的,底邊上的互相重合.

⑷等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，有條對(duì)稱軸.

［注意］(1)等腰三角形兩腰上的高相等.

⑵等腰三角形兩腰上的中線相等.

⑶等腰三角形兩底角的平分線相等.

⑷等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半.

⑸等腰三角形頂角的外角平分線與底邊平行.

⑹等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高.

⑺等腰三角形底邊延長線上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之差等于一腰上的高.

判定：

1.定義法.

2.如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫為“等角對(duì)等邊“).

［注意］(1)一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形.

(2)一邊上的高與這邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是等腰三角形.

⑶一邊上的中線與三角形中這邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是等腰三角形.

四、等邊三角形

1.等邊三角形的性質(zhì)

⑴等邊三角形的三條邊都相等.

(2)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等并且每一個(gè)角都等于60°.

⑶等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且有