高等代數(shù)北大版教案-第6章線性空間1215

第六章線性空間§1集合映射一授課內(nèi)容:§1集合映射二教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握集合映射的有關(guān)定義、運(yùn)算，求和號(hào)與乘積號(hào)的定義.三教學(xué)重點(diǎn)：集合映射的有關(guān)定義。四教學(xué)難點(diǎn):集合映射的有關(guān)定義.五教學(xué)過程：1。集合的運(yùn)算,集合的映射（像與原像、單射、滿射、雙射）的概念定義：(集合的交、并、差）設(shè)是集合,與的公共元素所組成的集合成為與的交集,記作；把和B中的元素合并在一起組成的集合成為與的并集,記做；從集合中去掉屬于的那些元素之后剩下的元素組成的集合成為與B的差集，記做。定義:(集合的映射)設(shè)、為集合.如果存在法則,使得中任意元素在法則下對(duì)應(yīng)中唯一確定的元素（記做），則稱是到的一個(gè)映射，記為如果,則稱為在下的像,稱為在下的原像。的所有元素在下的像構(gòu)成的的子集稱為在下的像，記做，即.若都有則稱為單射.若都存在，使得,則稱為滿射。如果既是單射又是滿射，則稱為雙射,或稱一一對(duì)應(yīng).2.求和號(hào)與求積號(hào)（1）求和號(hào)與乘積號(hào)的定義為了把加法和乘法表達(dá)得更簡練,我們引進(jìn)求和號(hào)和乘積號(hào)。設(shè)給定某個(gè)數(shù)域上個(gè)數(shù)，我們使用如下記號(hào):，.當(dāng)然也可以寫成，。(2）求和號(hào)的性質(zhì)·６０·

容易證明，，,.事實(shí)上,最后一條性質(zhì)的證明只需要把各個(gè)元素排成如下形狀:分別先按行和列求和,再求總和即可.§2線性空間的定義與簡單性質(zhì)一授課內(nèi)容：§2線性空間的定義與簡單性質(zhì)二教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，掌握線性空間的定義與簡單性質(zhì).三教學(xué)重點(diǎn)：線性空間的定義與簡單性質(zhì).四教學(xué)難點(diǎn)：線性空間的定義與簡單性質(zhì)。五教學(xué)過程：1。線性空間的定義（1)定義4。1(線性空間)設(shè)V是一個(gè)非空集合，且V上有一個(gè)二元運(yùn)算“+”,又設(shè)K為數(shù)域,V中的元素與K中的元素有運(yùn)算數(shù)量乘法“"，且“+"與“”滿足如下性質(zhì)：1、加法交換律,有;2、加法結(jié)合律,有；3、存在“零元”,即存在,使得；4、存在負(fù)元，即,存在,使得;5、“1律”；6、數(shù)乘結(jié)合律，都有；7、分配律，都有；8、分配律，都有，則稱V為K上的一個(gè)線性空間，我們把線性空間中的元素稱為向量.注意：線性空間依賴于“+”和“”的定義,不光與集合V有關(guān)。(2)零向量和負(fù)向量的唯一性，向量減法的定義，線性空間的加法和數(shù)乘運(yùn)算與通常數(shù)的加、乘法類似的性質(zhì)命題4.1零元素唯一，任意元素的負(fù)元素唯一?！ぃ叮薄ぷC明：設(shè)與均是零元素，則由零元素的性質(zhì)，有；,設(shè)都是的負(fù)向量，則,于是命題得證.由于負(fù)向量唯一，我們用代表的負(fù)向量.定義4.2（減法)我們定義二元運(yùn)算減法“—"如下:定義為.命題4.2線性空間中的加法和數(shù)乘滿足如下性質(zhì)：1、加法滿足消去律；2、可移項(xiàng)；3、可以消因子且，則；4、.(3)線性空間的例子例4.1令V表示在上可微的函數(shù)所構(gòu)成的集合,令，V中加法的定義就是函數(shù)的加法，關(guān)于K的數(shù)乘就是實(shí)數(shù)遇函數(shù)的乘法,V構(gòu)成K上的線性空間.4.1.2線性空間中線性組合和線性表出的定義,向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義以及等價(jià)表述,向量組的秩，向量組的線性等價(jià)；極大線性無關(guān)組。定義4.3（線性組合）給定V內(nèi)一個(gè)向量組,又給定數(shù)域K內(nèi)s個(gè)數(shù),稱為向量組的一個(gè)線性組合.定義4。4（線性表出）給定V內(nèi)一個(gè)向量組，設(shè)是V內(nèi)的一個(gè)向量,如果存在K內(nèi)s個(gè)數(shù),使得,則稱向量可以被向量組線性表出。定義4。5（向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān))給定V內(nèi)一個(gè)向量組，如果對(duì)V內(nèi)某一個(gè)向量,存在數(shù)域K內(nèi)不全為零的數(shù)，使得，則稱向量組線性相關(guān)；若由方程必定推出,則稱向量組線性無關(guān).命題4。3設(shè)，則下述兩條等價(jià):1）線性相關(guān)；·６２·

2)某個(gè)可被其余向量線性表示。證明同向量空間.定義4.6(線性等價(jià))給定V內(nèi)兩個(gè)向量組(Ⅰ）,(Ⅱ）,如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ）線性表示，反過來，(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ）線性表示,則稱兩向量組線性等價(jià)。定義4.7(極大線性無關(guān)部分組)給定V內(nèi)一個(gè)向量組,如果它有一個(gè)部分組滿足如下條件：（i)、線性無關(guān);(ii）、原向量組中任一向量都能被線性表示,則稱此部分組為原向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)部分組.由于在向量空間中我們證明的關(guān)于線性表示和線性等價(jià)的一些命題中并沒有用到的一些特有的性質(zhì),于是那些命題在線性空間中依然成立.定義4。8（向量組的秩)一個(gè)向量組的任一極大線性無關(guān)部分組中均包含相同數(shù)目的向量,其向量數(shù)目成為該向量組的秩。例4.2求證：向量組的秩等于2(其中）。證明：方法一：設(shè)∈R，滿足，則，假若不全為零，不妨設(shè)，則有，而由于，等號(hào)左邊為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),矛盾于等號(hào)右邊為常數(shù).于是.所以線性無關(guān),向量組的秩等于2。證畢.方法二:若在上，兩端求導(dǎo)數(shù),得，以代入,有而,于是.證畢.§3維數(shù)、基與坐標(biāo)一授課內(nèi)容:§3維數(shù)、基與坐標(biāo)·６３·

二教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性空間的基與維數(shù)，向量的坐標(biāo)的有關(guān)定義及性質(zhì)。三教學(xué)重點(diǎn):基與維數(shù)、向量坐標(biāo)的有關(guān)定義.四教學(xué)難點(diǎn)：基與維數(shù)、向量坐標(biāo)的有關(guān)定義。五教學(xué)過程：1.線性空間的基與維數(shù)，向量的坐標(biāo)設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間,則有：定義4。9(基和維數(shù))如果在V中存在n個(gè)向量，滿足：1)線性無關(guān)；2)V中任一向量在K上可表成的線性組合，則稱為V的一組基.基即是V的一個(gè)極大線性無關(guān)部分組.基的個(gè)數(shù)定義為線性空間的維數(shù).命題4.4設(shè)V是數(shù)域K上的n維線性空間,而。若V中任一向量皆可被線性表出,則是V的一組基.證明:由與V的一組基線性等價(jià)可以推出它們的秩相等。命題4.5設(shè)V為K上的n維線性空間，,則下述兩條等價(jià):1)線性無關(guān)；2)V中任一向量可被線性表出.定義4.10（向量的坐標(biāo)）設(shè)V為K上的n維線性空間，是它的一組基.任給,由命題4。4，可唯一表示為的線性組合,即,使得,于是我們稱為在基下的坐標(biāo).易見,在某組基下的坐標(biāo)與V/K中的向量是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.§4基變換與坐標(biāo)變換一授課內(nèi)容：§4基變換與坐標(biāo)變換二教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握基變換與過渡矩陣的定義、運(yùn)算,坐標(biāo)變換公式.·６４·

三教學(xué)重點(diǎn):基變換與過渡矩陣的定義、運(yùn)算，坐標(biāo)變換公式.四教學(xué)難點(diǎn)：坐標(biāo)變換公式的應(yīng)用.五教學(xué)過程:1。線性空間的基變換，基的過渡矩陣設(shè)V/K是n維線性空間，設(shè)和是兩組基，且將其寫成矩陣形式。定義4.11我們稱矩陣為從到的過渡矩陣.命題4.6設(shè)在n維線性空間V/K中給定一組基.T是K上一個(gè)n階方陣.命則有是V/K的一組基,當(dāng)且僅當(dāng)T可逆.證明:若是線性空間V/K的一組基,則線性無關(guān).考察同構(gòu)映射，構(gòu)造方程，其中,,線性無關(guān)。構(gòu)成了過渡矩陣的列向量，所以過渡矩陣可逆;反過來，若過渡矩陣可逆,則構(gòu)造方程，其中，兩邊用作用,得到,。證畢。2.向量的坐標(biāo)變換公式;中的兩組基的過渡矩陣（1)向量的坐標(biāo)變換公式設(shè)V/K有兩組基為和，又設(shè)在下的坐標(biāo)為,即，在下的坐標(biāo)為,即·６５·

。現(xiàn)在設(shè)兩組基之間的過渡矩陣為T,即記，，于是.于是,由坐標(biāo)的唯一性，可以知道，這就是坐標(biāo)變換公式.（2)中兩組基的過渡矩陣的求法我們?cè)O(shè)中兩組基分別為和而按定義,T的第i個(gè)列向量分別是在基下的坐標(biāo)。將和看作列向量分別排成矩陣；，則有,將A和B拼成分塊矩陣,利用初等行變換將左邊矩陣A化為單位矩陣E,則右邊出來的就是過渡矩陣T，示意如下：?！?線性子空間一授課內(nèi)容:§5線性子空間二教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，掌握線性子空間的定義、判別定理.三教學(xué)重點(diǎn)：線性子空間的定義、判別定理.四教學(xué)難點(diǎn)：線性子空間的判別定理.五教學(xué)過程：1.線性空間的子空間的定義定義4.12(子空間)設(shè)V是數(shù)域K上的一個(gè)線性空間,M時(shí)V的一個(gè)非空子集.如果M關(guān)于V內(nèi)的加法與數(shù)乘運(yùn)算也組成數(shù)域K上的一個(gè)線性空間,則稱為V的一個(gè)子空間。·６６·

命題4。7設(shè)V是K上的線性空間,又設(shè)一個(gè)非空集合，則是子空間當(dāng)且僅當(dāng)下述兩條成立：i)對(duì)減法封閉;ii）對(duì)于K中元素作數(shù)乘封閉。證明:必要性由定義直接得出;充分性:各運(yùn)算律在V中已有，所以W滿足運(yùn)算律的條件。只需要證明且對(duì)于任意,,且對(duì)加法封閉即可.事實(shí)上,由于關(guān)于數(shù)乘封閉，則；，于是對(duì)于，，W關(guān)于加法封閉。于是W是V的一個(gè)子空間.證畢.事實(shí)上，W關(guān)于加法和數(shù)乘封閉也可以得出上述結(jié)論。命題4.8設(shè)W是V的一個(gè)有限維子空間，則W的任一組基可以擴(kuò)充為V的一組基。證明：設(shè)，，，若，則命題為真；若,對(duì)作歸納:設(shè)為W的一組基，取,則線性無關(guān)。于是令，易見，W'是V的一個(gè)子空間,且，此時(shí)，對(duì)其用歸納假設(shè)即可.§6子空間的交與和一授課內(nèi)容:§6子空間的交與和二教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，掌握子空間的交與和的定義、性質(zhì)及維數(shù)公式。三教學(xué)重點(diǎn)：子空間的交與和的定義及維數(shù)公式。四教學(xué)難點(diǎn)：子空間的交與和的性質(zhì)及維數(shù)公式.。五教學(xué)過程:1.子空間的交與和,生成元集定義4。13設(shè),則是V的一個(gè)子空間，稱為由生成的子空間，記為。易見，生成的子空間的維數(shù)等于的秩.定義4。14(子空間的交與和）設(shè)為線性空間V/K的子空間,定義，稱為子空間的交；·６７·

,稱為子空間的和.命題4.9和都是V的子空間。證明:由命題4。7，只需要證明和關(guān)于加法與數(shù)乘封閉即可.事實(shí)上,，則，。由于均是V的子空間，則,于是,關(guān)于加法封閉;，,，于是,關(guān)于數(shù)乘封閉.，則由的定義,，使得,而，則，關(guān)于加法封閉；，,使得,由于,則，關(guān)于數(shù)乘封閉。證畢。命題4.10設(shè)是V的子空間,則和均為V的子空間.2。維數(shù)公式。定理4。1設(shè)V為有限維線性空間，為子空間,則。這個(gè)定理中的公式被稱為維數(shù)公式。證明：設(shè)，，，,取的一組基(若=0,則,基為空集),將此基分別擴(kuò)充為的基,,只需要證明是的一組基即可.首先，易見中的任一向量都可以被線性表出。事實(shí)上，，則,其中,而于是可被線性表出.只要再證明向量組線性無關(guān)即可。設(shè),其中.則(＊)于是，,于是，記為.·６８·

則可被線性表示,設(shè)代入(＊),有，，由于是的一組基，所以線性無關(guān)，則,代回(*)，又有，于是向量組線性無關(guān)。證畢.推論2。1設(shè)都是有限為線性空間V的子空間，則：.證明：對(duì)t作歸納.§7子空間的直和一授課內(nèi)容：§7子空間的直和二教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握子空間的直和與補(bǔ)空間的定義及性質(zhì).三教學(xué)重點(diǎn):子空間的直和的四個(gè)等價(jià)定義。四教學(xué)難點(diǎn)：子空間的直和的四個(gè)等價(jià)定義.五教學(xué)過程:1。子空間的直和與直和的四個(gè)等價(jià)定義定義設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間，是V的有限為子空間.若對(duì)于中任一向量，表達(dá)式。是唯一的,則稱為直和，記為或.定理設(shè)為數(shù)域K上的線性空間V上的有限為子空間,則下述四條等價(jià):1）是直和；·６９·

2)零向量表示法唯一;3);4）。證明：顯然。設(shè)則.由2)知，零向量的表示法唯一,于是,即的表示法唯一.由直和的定義可知，是直和.假若存在某個(gè),使得,則存在向量且，于是存在,使得.由線性空間的定義，，則，與零向量的表示法唯一矛盾,于是。若2）不真,則有，其中且.于是，與3)矛盾,于是2)成立.對(duì)m作歸納。①=2時(shí),由維數(shù)公式得到.②設(shè)已證,則對(duì)于,而,都有;由歸納假設(shè),可以得到。·７０·

，都有，于是。證畢。推論設(shè)為V的有限維子空間，則下述四條等價(jià)：i）是直和；ii）零向量的表示法唯一；iii)；iv).2.直和因子的基與直和的基命題設(shè)，則的基的并集為V的一組基.證明：設(shè)是的一組基，則V中任一向量可被線性表出。又，由命題4.5,它們線性無關(guān),于是它們是V的一組基.證畢。3.補(bǔ)空間的定義及存在性定義設(shè)為V的子空間，若子空間滿足,則稱為的補(bǔ)空間.命題有限維線性空間的任一非平凡子空間都有補(bǔ)空間.證明:設(shè)為K上的n為線性空間V的非平凡子空間，取的一組基，將其擴(kuò)為V的一組基取,則有，且，于是,即是的補(bǔ)空間。證畢?！?線性空間的同構(gòu)一授課內(nèi)容:§1線性空間的同構(gòu)二教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性空間同構(gòu)的有關(guān)定義及線性空間同構(gòu)的判定.三教學(xué)重點(diǎn):線性空間同構(gòu)的判定.四教學(xué)難點(diǎn)：線性空間同構(gòu)的判定.五教學(xué)過程：1.線性映射的定義·７１·

定義設(shè)為數(shù)域上的線性空間,為映射，且滿足以下兩個(gè)條件:i);ii)，則稱為(由到的)線性映射.由數(shù)域上的線性空間到的線性映射的全體記為Hom,或簡記為Hom。定義中的i）和ii）二條件可用下述一條代替：.例是上的線性空間，也是上線性空間，取定一個(gè)上的矩陣,定義映射則是由到的線性映射。例考慮區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的全體，它是R上的線性空間,令再令則是由到的一個(gè)線性映射。定義設(shè)是線性映射i)如果是單射，則稱是單線性映射(monomorphism）；ii)如果是滿射,則稱是滿線性映射(endmorphism)；iii）如果既單且滿,則稱為同構(gòu)映射(簡稱為同構(gòu)，isomorphism)，并說與是同構(gòu)的，同構(gòu)映射也稱為線性空間的同態(tài)(homomorphism）,同構(gòu)映射的逆映射也是同構(gòu)映射；iv）的核（kernel)定義為;v)的像(image）定義為，也記為；命題和是的子空間。證明:容易證明它們關(guān)于加法和數(shù)乘封閉.vi)的余核定義為。命題線性映射是單的當(dāng)且僅當(dāng)ker，是滿的當(dāng)且僅當(dāng)coker。定理（同態(tài)