第十二章動(dòng)量矩定理

第十二章動(dòng)量矩定理§12-1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩1．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)

z軸的動(dòng)量矩

單位:kg·m2/s

2．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩

對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩

對(duì)軸的動(dòng)量矩

等于對(duì)點(diǎn)O的矩.

是代數(shù)量,從z軸正向看,逆時(shí)針為正,順時(shí)針為負(fù).（1）剛體平移.可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心,作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來計(jì)算.,（2）剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

即

§12-2動(dòng)量矩定理

1．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理設(shè)O為定點(diǎn),有其中:

（O為定點(diǎn)）投影式:因此

稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理:質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),等于作用力對(duì)同一點(diǎn)的矩.得稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理:質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和.2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理

由于

投影式:內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩.例12-1已知：,小車不計(jì)摩擦.求小車的加速度.解:由

,，得

例12-2水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪,進(jìn)口水速度,出口水速度

,它們與切線夾角分別為,,總體積流量.求水流對(duì)轉(zhuǎn)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩.設(shè)葉片數(shù)為,水密度為,有經(jīng)dt

時(shí)間,水由ABCD流到abcd動(dòng)量矩改變?yōu)榻猓豪?2-3：已知,,,,,,不計(jì)摩擦.求:（1）

（2）O處約束力

（3）繩索張力，

由

,得解：(1)

（2）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

（3）研究（4）研究3．動(dòng)量矩守恒定律若,則常矢量；若,則常量。例：面積速度定理有心力：力作用線始終通過某固定點(diǎn),

該點(diǎn)稱力心.由于,有

常矢量（2）b=常量即常量由圖,

因此,常量（1）與必在一固定平面內(nèi),即點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是平面曲線.

稱面積速度.

面積速度定理：質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下其面積速度守恒.求：剪斷繩后,角時(shí)的.例12-4：兩小球質(zhì)量皆為,初始角速度時(shí),

時(shí),由

,得解：

§12-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程主動(dòng)力:約束力:即:或或例12-5:已知:，求.解:擺動(dòng)的周期

.例12-6物理擺（復(fù)擺），已知求微小解：微小擺動(dòng)時(shí)，即：通解為

稱角振幅，稱初相位，由初始條件確定.周期例12-7：已知，動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)，求制動(dòng)所需時(shí)間.解：例12-8：已知求：.解：因，，得§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

單位：kg·m2

1.簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算(1)均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由，得（2）均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（3）均質(zhì)圓板對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量式中：

或2.回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）或3．平行軸定理

式中軸為過質(zhì)心且與軸平行的軸，為與軸之間的距離。即：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積.證明：因?yàn)橛?，得?2-9：均質(zhì)細(xì)直桿，已知.求：對(duì)過質(zhì)心且垂直于桿的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。要求記住三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（1）

均質(zhì)圓盤對(duì)盤心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（2）

均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（3）

均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則

對(duì)一端的軸，有解：4．組合法

求：.例10：已知桿長(zhǎng)為質(zhì)量為，圓盤半徑為質(zhì)量為.解：

解：其中由，得例12-11：已知：，

求.5．實(shí)驗(yàn)法例：求對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.將曲柄懸掛在軸O上，作微幅擺動(dòng).由其中已知,可測(cè)得，從而求得.解：6.查表法均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄壁圓筒細(xì)直桿體積慣性半徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量簡(jiǎn)圖物體的形狀薄壁空心球空心圓柱圓柱圓環(huán)圓錐體實(shí)心球矩形薄板長(zhǎng)方體橢圓形薄板§12-5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理1．對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩

（因）有由于得其中即：質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩，無論是以相對(duì)速度或以絕對(duì)速度計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩其結(jié)果相同.對(duì)任一點(diǎn)O的動(dòng)量矩：2相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理由于即質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理:質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩.得或或§12-6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程以上各組均稱為剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程.應(yīng)用時(shí)一般用投影式：