2020-2021人教版數(shù)學2課時4.2.3 直線與圓的方程的應用含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學年人教A版數(shù)學必修2課時分層作業(yè)：4.2.3直線與圓的方程的應用含解析課時分層作業(yè)（二十七）直線與圓的方程的應用(建議用時:60分鐘)一、選擇題1．一輛卡車寬2.7米，要經(jīng)過一個半徑為4。5米的半圓形隧道(雙車道，不得違章），則這輛卡車的平頂車蓬蓬頂距離地面的高度不得超過（）A.1。4米B．3。0米C．3。6米C[可畫出示意圖，如圖所示，通過勾股定理解得|OD｜＝eq\r（｜OC|2－｜CD|2）＝3.6(米)。］2．由y＝｜x｜和圓x2＋y2＝4所圍成的較小扇形的面積是()A。eq\f(π，4）B．πC．eq\f(3π,4）D．eq\f(3π,2）B[由題意知圍成的面積為圓面積的eq\f(1，4)，所以S＝eq\f（1,4)πr2＝π.]3．已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0，設該圓過點（3，5）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（)A.10eq\r（6） B．20eq\r（6)C。30eq\r（6） D．40eq\r(6)B［圓心坐標是（3，4），半徑是5，圓心到點（3，5)的距離為1。根據(jù)題意最短弦BD和最長弦（即圓的直徑)AC垂直，故最短弦的長為2eq\r（52－12）＝4eq\r（6)，所以四邊形ABCD的面積為eq\f(1，2）|AC｜|BD|＝eq\f(1,2)×10×4eq\r(6)＝20eq\r（6）。]4．已知點A（－1，1)和圓C：（x－5）2＋（y－7)2＝4，一束光線從點A經(jīng)x軸反射到圓C上的最短路程是（）A。6eq\r（2）－2B．8C．4eq\r（6)D．10B［點A關于x軸的對稱點A′（－1,－1)，A′與圓心(5，7)的距離為eq\r（（5＋1)2＋（7＋1）2)＝10?！嗨笞疃搪烦虨?0－2＝8.]5．若a2＋b2＝2c2（c≠0)，則直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2A。eq\f（1，2)B．1C．eq\f（\r（2)，2）D．eq\r（2)D[圓心到直線的距離d＝eq\f（｜c|,\r（a2＋b2)）＝eq\f（1,\r（2)），設弦長為l，圓的半徑為r,則eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(l，2)））eq\s\up10（2)＋d2＝r2,即l＝2eq\r(r2－d2）＝eq\r(2）.］二、填空題6．若圓（x－1)2＋（y－1)2＝2關于直線y＝kx＋3對稱,則k的值是________．－2[因為圓是軸對稱圖形,過圓心的直線都是它的對稱軸，所以直線y＝kx＋3過圓心（1，1)，即1＝k＋3，所以k＝－2。]7．圓C:(x－4)2＋（y－4）2＝4與直線y＝kx的交點為P,Q,原點為O，則｜OP｜·｜OQ｜＝________．28［如圖，過原點O作☉C的切線OA,連接AC，OC，在Rt△OAC中，|OA｜2＝|OC｜2－r2＝32－4＝28，由平面幾何知識可知，｜OP｜·｜OQ|＝|OA|2＝28.］8．方程eq\r（1－x2）＝x＋k有唯一解，則實數(shù)k的取值范圍是________．{k｜k＝eq\r（2)或－1≤k＜1｝［由題意知，直線y＝x＋k與半圓x2＋y2＝1(y≥0)只有一個交點．結合圖形（圖略）易得－1≤k〈1或k＝eq\r(2)。］三、解答題9．AB為圓的定直徑，CD為直徑，過D作AB的垂線DE,延長ED到P，使|PD｜＝|AB｜，求證:直線CP必過一定點．[證明]以線段AB所在的直線為x軸，以AB中點為原點，建立直角坐標系,如圖，設圓的方程為x2＋y2＝r2，直徑AB位于x軸上，動直徑為CD。令C(x0，y0），則D(－x0,－y0),所以P（－x0，－y0－2r）。所以直線CP的方程為y－y0＝eq\f(－2r－y0－y0，－x0－x0)(x－x0），即(y0＋r）x－(y＋r)x0＝0.所以直線CP過直線：x＝0,y＋r＝0的交點（0，－r)，即直線CP過定點．10．如圖,已知一艘海監(jiān)船O上配有雷達，其監(jiān)測范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處出發(fā),徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B處島嶼，速度為問：這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到？若能，持續(xù)時間多長?(要求用坐標法)[解］如圖，以O為原點，東西方向為x軸建立直角坐標系，則A（40，0)，B（0，30）,圓O方程x2＋y2＝252。直線AB方程:eq\f(x，40）＋eq\f（y,30）＝1，即3x＋4y－120＝0.設O到AB距離為d，則d＝eq\f（|－120｜，5）＝24<25，所以外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到．設持續(xù)時間為t，則t＝eq\f(2\r（252－242)，28)＝0。5(h),即外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到，時間是0.5h．1．已知集合M＝{（x，y）｜y＝eq\r（9－x2)，y≠0｝，n＝｛(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，則實數(shù)b的取值范圍是(）A。[－3eq\r（2)，3eq\r（2）] B．［－3，3］C。(－3,3eq\r（2）] D．[－3eq\r(2），3)C[數(shù)形結合法，注意y＝eq\r(9－x2)，y≠0等價于x2＋y2＝9(y〉0)，它表示的圖形是圓x2＋y2＝9在x軸之上的部分(如圖所示）。結合圖形不難求得，當－3<b≤3eq\r（2）時,直線y＝x＋b與半圓x2＋y2＝9(y>0)有公共點．］2．已知圓C：(x－1)2＋y2＝1，點A（－2，0)及點B(3,a）,從點A觀察點B,要使視線不被圓C擋住,則a的取值范圍為________．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f（5\r（2）,4)）)∪eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5\r(2）,4)，＋∞)）[由題意知，AB所在直線與圓C相切或外離時，視線不被擋住,直線AB的方程為y＝eq\f(a，5）(x＋2）,即ax－5y＋2a＝0，所以d＝eq\f（|3a｜,\r（a2＋（－5）2)）≥1，即a≥eq\f(5\r（2),4）或a≤－eq\f（5\r（2）,4）。]3．一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報:臺風中心位于輪船正西60km處,受影響的范圍是半徑長為20km的圓形區(qū)域．已知港口位于臺風中心正北30km處，[解]建立如圖所示的直角坐標系，取10km為單位長度，由題意知輪船的起點和終點坐標分別為(6，0），(0，3）所以輪船航線所在直線方程為eq\f（x,6）＋eq\f(y,3）＝1，即x＋2y－6＝0，臺風區(qū)域邊界所在圓的方程為x2＋y2＝4.由點到直線的距離公式，得圓心到直線的距離d＝eq\f（｜－6|,\r（12＋22）