2020-2021人教版數(shù)學(xué)2學(xué)案：第2章 2.3 2.3.1直線與平面垂直的判定含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)必修2學(xué)案：第2章2.32.3.1直線與平面垂直的判定含解析2。3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2。3.1學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。了解直線與平面垂直的定義．（重點(diǎn))2．理解直線與平面垂直的判定定理，并會用其判斷直線與平面垂直．（難點(diǎn))3．理解直線與平面所成角的概念，并能解決簡單的線面角問題．（易錯(cuò)點(diǎn))1.通過學(xué)習(xí)直線與平面垂直的判定，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．2．通過學(xué)習(xí)直線與平面所成的角，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．1．直線與平面垂直定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．它們惟一的公共點(diǎn)P叫做垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直2。直線與平面垂直的判定定理文字語言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直符號語言l⊥a,l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α圖形語言3。直線和平面所成的角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線與平面α相交,但不和平面α垂直，圖中直線PA斜足斜線和平面的交點(diǎn)，圖中點(diǎn)A射影過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為AO直線與平面所成的角定義:平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角．規(guī)定:一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°的角取值范圍［0°,90°］思考：直線與平面垂直定義中的關(guān)鍵詞“任意一條直線"是否可以換成“所有直線”“無數(shù)條直線”？[提示]定義中的“任意一條直線”與“所有直線"是等效的,但是不可說成“無數(shù)條直線",因?yàn)橐粭l直線與某平面內(nèi)無數(shù)條平行直線垂直，該直線與這個(gè)平面不一定垂直．1．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于（）A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABCC[由線面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC。］2．一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C.相交不垂直 D.不確定B[一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直，則其垂直于三角形所在平面，從而垂直第三邊．]3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD45°［如圖所示,因?yàn)檎襟wABCD。A1B1C1D1中B1B⊥平面ABCD,所以AB即為AB1在平面ABCD中的射影,∠B1AB即為直線AB1與平面ABCD所成的角．由題意知，∠B1AB＝45°,故所求角為45°。]直線與平面垂直的判定【例1】如圖，在三棱錐S。ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，且SA＝SB＝SC.(1）求證：SD⊥平面ABC；(2）若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC。［證明](1）因?yàn)镾A＝SC，D是AC的中點(diǎn),所以SD⊥AC。在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC,所以SD⊥平面ABC。（2)因?yàn)锳B＝BC，D為AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC。由(1)知SD⊥BD。又因?yàn)镾D∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC.證線面垂直的方法:(1）線線垂直證明線面垂直:①定義法(不常用,但由線面垂直可得出線線垂直）；②判定定理最常用：要著力尋找平面內(nèi)哪兩條相交直線（有時(shí)作輔助線）；結(jié)合平面圖形的性質(zhì)(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等）及一條直線與平行線中一條垂直，也與另一條垂直等結(jié)論來論證線線垂直．（2）平行轉(zhuǎn)化法（利用推論）：①a∥b，a⊥α?b⊥α;②α∥β，a⊥α?a⊥β.eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練］）如圖,AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，垂足為N。求證：AN⊥平面PBM.［證明］設(shè)圓O所在的平面為α，∵PA⊥α，且BM?α，∴PA⊥BM.又∵AB為⊙O的直徑,點(diǎn)M為圓周上一點(diǎn)，∴AM⊥BM.由于直線PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN?平面PAM，∴BM⊥AN.∴AN與PM、BM兩條相交直線互相垂直．故AN⊥平面PBM.直線與平面所成的角[探究問題］1．若圖中的∠POA是斜線PO與平面α所成的角，則需具備哪些條件？[提示]需要PA⊥α，A為垂足，OA為斜線PO的射影，這樣∠POA就是斜線PO與平面α所成的角．2．空間幾何體中，確定線面角的關(guān)鍵是什么？[提示］在空間幾何體中確定線面角時(shí)，過斜線上一點(diǎn)向平面作垂線，確定垂足位置是關(guān)鍵，垂足確定,則射影確定,線面角確定．【例2】在正方體ABCD。A1B1C1D1中(1）求直線A1C與平面ABCD（2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．［證明]（1）∵直線A1A⊥平面ABCD∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD所成的角設(shè)A1A＝1,則AC＝eq\r（2)，∴tan∠A1CA＝eq\f（\r(2)，2)。（2)連接A1C1交B1D1于O在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1∴BB1⊥A1C1又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角,在Rt△A1BO中,A1O＝eq\f(1,2）A1C1＝eq\f（1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°，即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°。在本例正方體中，若E為棱AB的中點(diǎn),求直線B1E與平面BB1D1D所成角的正切值．[解]連接AC交BD于點(diǎn)O，過E作EO1∥AC交BD于點(diǎn)O1，易證AC⊥平面BB1D1D，∴EO1⊥平面BB1D1D,∴B1O1是B1E在平面BB1D1D內(nèi)的射影，∴∠EB1O1為B1E與平面BB1D1D所成的角．設(shè)正方體的棱長為a，∵E是AB的中點(diǎn)，EO1∥AC，∴O1是BO的中點(diǎn)，∴EO1＝eq\f（1，2）AO＝eq\f(1，2)×eq\f（\r(2）a,2)＝eq\f（\r（2）a,4),B1O1＝eq\r(BOeq\o\al(\s\up1（2)，\s\do1（1）)＋BBeq\o\al(\s\up1(2)，\s\do1(1））)＝eq\r(\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（\r(2）a，4)）)\s\up10(2)＋a2)＝eq\f(3a，2\r（2))，∴tan∠EB1O1＝eq\f(EO1,B1O1)＝eq\f（\f（\r（2)a，4)，\f（3a,2\r（2））)＝eq\f（1，3）.求斜線與平面所成角的步驟：1．線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化:2．證明線面垂直的方法:(1)線面垂直的定義．(2)線面垂直的判定定理．（3）如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．（4)如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,那么它也垂直于另一個(gè)平面．1．直線l⊥平面α,直線m?α，則l與m不可能（)A．平行B．相交C．異面D．垂直A[若l∥m，l?α，m?α，則l∥α，這與已知l⊥α矛盾．所以直線l與m不可能平行．]2．垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關(guān)系是()A．垂直 B．相交但不垂直C．平行 D．不確定A[因?yàn)樘菪蝺裳谥本€為兩條相交直線，所以由線面垂直的判定定理知,直線與平面垂直．選A.］3．如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60° B．45°C．30° D．120°A［∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角，在Rt△AOB中,AB＝2BO,所以cos∠ABO＝eq\f（1，2），即∠ABO＝60°.故選A。]4．在正方體ABCD.A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面BC1[證明]如圖，連接AC,∴AC⊥BD，又∵BD⊥A