空間向量應(yīng)用

1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.2.如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD5.如圖，長方體中,，，，點(diǎn)，分別在，上，．過點(diǎn)，的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形．（Ⅰ）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說出畫法和理由）；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．DDD1C1A1EFABCB16.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2.（Ⅰ）求證：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；（Ⅲ）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長.7.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,.（1）求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B-A1D-A的正弦值.8.如圖，已知四棱錐P–ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面PAB；（Ⅱ）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值．9.如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點(diǎn)E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求證：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC.((第15題)ADBCEF10.如圖所示，在多面體，四邊形，均為正方形，為的中點(diǎn)，過的平面交于F.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求二面角余弦值.11、如圖，在已A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是．（=1\*ROMANI）證明；平面ABEF平面EFDC；（=2\*ROMANII）求二面角E-BC-A的余弦值．12、如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB=5，AC=6，點(diǎn)E,F分別在AD,CD上，AE=CF=，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△的位置，.（I）證明：平面ABCD；（II）求二面角的正弦值.參考答案：1.【2022課標(biāo)1，理18】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.試題解析：（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.則，所以二面角的余弦值為.2.如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.（2）由題設(shè)及（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點(diǎn)，得.故3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.4．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB1＝1，D、F、G分別為CC1、C1B1、C1A1的中點(diǎn)．求證：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD.[證明](1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA、BC、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，設(shè)BA＝a，則A(a,0,0)，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝(a,0,0)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(0,2,2)，eq\o(B1D,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，eq\o(B1D,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，eq\o(B1D,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD，又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.(2)由(1)知，E(0,0,3)，G(eq\f(a,2)，1,4)，F(xiàn)(0,1,4)，則eq\o(EG,\s\up6(→))＝(eq\f(a,2)，1,1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(B1D,\s\up6(→))·eq\o(EG,\s\up6(→))＝0＋2－2＝0，eq\o(B1D,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF，又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.結(jié)合(1)可知平面EGF∥平面ABD.5.如圖，長方體中,，，，點(diǎn)，分別在，上，．過點(diǎn)，的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形．DDD1C1A1EFABCB1（Ⅰ）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說出畫法和理由）；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．6.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2.（Ⅰ）求證：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；（Ⅲ）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長.【答案】（1）證明見解析（2）（3）或試題解析：如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（Ⅰ）證明：=（0，2，0），=（2，0，）.設(shè)，為平面BDE的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2，），可得.因?yàn)槠矫鍮DE，所以MN7.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,.（1）求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B-A1D-A的正弦值.【答案】（1）（2）8.如圖，已知四棱錐P–ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面PAB；（Ⅱ）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．試題解析：MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角．設(shè)CD=1．在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，在Rt△MQH中，QH=，MQ=，所以sin∠QMH=，所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值是．9.如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點(diǎn)E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求證：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC.((第15題)ADBCEF【答案】（1）見解析（2）見解析10.如圖所示，在多面體，四邊形，均為正方形，為的中點(diǎn)，過的平面交于F.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求二面角余弦值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）證明：依據(jù)正方形的性質(zhì)可知，且，，從而為平行四邊形，則，根據(jù)線面平行的判定定理知面，再由線面平行的性質(zhì)定理知.（Ⅱ）因?yàn)樗倪呅?，，均為正方形，所以，且，可以建以為原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸單位正向量的平面直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出面的法向量.由得應(yīng)滿足的方程組，為其一組解，所以可取.同理的法向量.所以結(jié)合圖形知二面角的余弦值為.試題解析：（Ⅰ）證明：由正方形的性質(zhì)可知，且，所以四邊形為平行四邊形，從而，又面，面，于是面，又.設(shè)面的法向量，而該面上向量，由此同理可得.所以結(jié)合圖形知二面角的余弦值為.11、如圖，在已A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是．（=1\*ROMANI）證明；平面ABEF平面EFDC；（=2\*ROMANII）求二面角E-BC-A的余弦值．解：（I）由已知可得，，所以平面．又平面，故平面平面．（II）過作，垂足為，由（I）知平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由（I）知為二面角的平面角，故，則，，可得，，，．由已知，，所以平面．又平面平面，故，．由，可得平面，所以為二面角的平面角，．從而可得．所以，，，．設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可?。O(shè)是平面的法向量，則，同理可取．則．故二面角的余弦值為．12、如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB=5，AC=6，點(diǎn)E,F分別在AD,CD上，AE=CF=，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△的位置，.（I）證明：平面ABCD；（II）求二面角的正弦值.試題分析：（Ⅰ）證，再證，最后證；（Ⅱ）用向量法求解.試題解析：（I）由已知得，，又由得，故.因此，從而.由,得.由得.所以，.于是，，故.又，而，所以.（II）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可以取.設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可以取.于是，.因此二面角的正弦值是.13.【2022高考福建，理17】如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn).(Ⅰ)求證：平面；(Ⅱ)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)．【解析】解法一：（Ⅰ）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，又G是BE的中點(diǎn)，，又F是CD中點(diǎn)，，由四邊形ABCD是矩形得，，所以．從而四邊形是平行四邊形，所以，,又，所以．(Ⅱ)如圖，在平面BEC內(nèi)，過點(diǎn)B作,因?yàn)椋忠驗(yàn)锳B平面BEC，所以ABBE，ABBQ以B為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(xiàn)(2,2,1)．因?yàn)锳B平面BEC，所以為平面BEC的法向量，設(shè)為平面AEF的法向量.又由取得.從而所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為．14.如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．將沿折起到的位置，如圖．（I）證明：平面；（II）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（I）證明見解析；（II）．(II)由已知，平面平面，又由（I）知，，所以為二面