與平行線、角有關(guān)的輔助線學(xué)案

與平行線、角有關(guān)的輔助線學(xué)案為了解決幾何問題，在原圖基礎(chǔ)之上另外添加的直線或線段稱為輔助線．輔助線通常畫成虛線．輔助線的原則：添加輔助線，構(gòu)造新圖形，形成新關(guān)系，建立已知和未知之間的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化成自己已經(jīng)會解的情況．輔助線的作用：①把分散的條件轉(zhuǎn)為集中；②把復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形．添加輔助線的注意事項：明確目的，多次嘗試．例題示范例1：已知：如圖，∠BED=∠B+∠D．求證：AB∥CD．①讀題標(biāo)注：②梳理思路：要證AB∥CD，我們需要找相關(guān)的同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角．觀察圖形發(fā)現(xiàn)，AB，CD沒有截線，故需要構(gòu)造截線，然后證明．可嘗試延長BE交CD于點G．③過程書寫：證明：如圖，延長BE交CD于點G．∵∠BED是△DEG的一個外角∴∠BED=∠DGE+∠D∵∠BED=∠B+∠D∴∠DGE=∠B∴AB∥CD飛鏢原理：已知：如圖，在四邊形ABDC中．求證：∠BDC=∠A+∠B+∠C．（1）請根據(jù)圖下方的描述在圖上作出輔助線，并進行證明（不需要寫過程）；延長BD交AC于點E延長CD交AB于點E連接AD并延長AD到點E連接BC練習(xí)題如圖，AB∥CD，∠E=27°，∠C=52°，則∠EAB的度數(shù)為______________．如圖，∠BAF=46°，∠ACE=136°，CD⊥CE．求證：AB∥CD．已知：如圖，直線AB∥CD，∠EFG=130°，∠DGH=40°．你認為EF⊥AB嗎？請說明理由．已知：如圖，AB∥CD，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點．求證：∠EPF=∠AEP+∠CFP．如圖，l1∥l2，∠1=105°，∠2=40°，則∠3=___________．已知：如圖，AB∥EF，∠B=25°，∠D=30°，∠E=10°，則∠BCD=________．已知：如圖，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D．求證：β=2α．已知：如圖，CD∥EF，∠1+∠2=∠ABC．求證：AB∥GF．已知：如圖，在四邊形ABDC中．求證：∠BDC=∠A+∠B+∠C．已知：如圖，AB⊥EF于點O，BD與MN相交于點C，∠1=35°，∠ABC=125°．求證：EF∥MN．已知：如圖，a∥b，則∠1+∠2-∠3=_________．已知：如圖，∠B+∠E+∠D=360°．求證：AB∥CD．已知：如圖，AB∥CD，∠1=∠2．求證：∠3=∠4．已知：如圖，AB∥CD．求證：∠1+∠3∠2=180°．已知：如圖，∠3=∠1+∠2．求證：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．【參考答案】79°證明：如圖，延長DC到點G．∵CD⊥CE（已知）∴∠ECG=90°（垂直的定義）∵∠ACE=136°（已知）∴∠ACG=∠ACE-∠ECG=136°-90°=46°（等式性質(zhì)）∵∠BAF=46°（已知）∴∠ACG=∠BAF（等量代換）∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）解：EF⊥AB，理由如下：如圖，延長EF交CD于點M．∵∠DGH=40°（已知）∠DGH=∠FGM（對頂角相等）∴∠FGM=40°（等量代換）∵∠EFG是△FGM的一個外角（外角的定義）∴∠EFG=∠FGM+∠FMG（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∵∠EFG=130°（已知）∴∠FMG=∠EFG-∠FGM=130°-40°=90°（等式性質(zhì)）∵AB∥CD（已知）∴∠BNE=∠FMG=90°（兩直線平行，同位角相等）∴EF⊥AB（垂直的定義）證明：如圖，過點P作MN∥AB．∵CD∥AB（已知）∴AB∥MN∥CD（平行于同一直線的兩直線平行）∴∠1=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∠3=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∴∠2+∠4=∠1+∠3（等式的性質(zhì)）即∠EPF=∠AEP+∠CFP115°45°證明：如圖，過點C作MN∥AB．∵AB∥ED（已知）∴MN∥AB∥ED（平行于同一直線的兩直線平行）∴∠1+∠D=180°∠2+∠B=180°∠A+∠E=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）∵α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D（已知）∴α=180°，β=360°（等式性質(zhì)）∴β=2α（等式性質(zhì)）證明：如圖，延長CB交FG于點M，延長FE交CM于點N．∵CD∥EF（已知）∴∠2=∠FNM（兩直線平行，同位角相等）∵∠BMG是△FMN的一個外角（外角的定義）∴∠BMG=∠1+∠FNM=∠1+∠2（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∵∠ABC=∠1+∠2（已知）∴∠BMG=∠ABC（等量代換）∴AB∥GF（同位角相等，兩直線平行）證明：如圖，延長BD交AC于點E．∵∠BDC是△CDE的一個外角（外角的定義）∴∠BDC=∠1+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∵∠1是△ABE的一個外角（外角的定義）∴∠1=∠A+∠B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∴∠BDC=∠A+∠B+∠C（等量代換）解：EF∥MN理由如下：如圖，延長AB交MN于點G．∵∠1=35°（已知）∴∠BCG=35°（對頂角相等）∵∠ABC是△BCG的一個外角（外角的定義）∴∠ABC=∠BGC+∠BCG（三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∵∠ABC=125°（已知）∴∠BGC=∠ABC∠BCG=125°35°=90°（等式的性質(zhì)）∵AB⊥EF（已知）∴∠AOF=90°（垂直的定義）∴∠AOF=∠BGC（等量代換）∴EF∥MN（同位角相等，兩直線平行）180°證明：如圖，過點E作EF∥AB ．∴∠B+∠BEF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）∵∠B+∠BED+∠D=360°（已知）∴∠FED+∠D=180°（等式性質(zhì)）∴EF∥CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）∴AB∥CD（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）證明：如圖，延長BE交CD于點G．∵AB∥CD（已知）∴∠1=∠5（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵∠1=∠2（已知）∴∠2=∠5（等量代換）∴BG∥CF（同位角相等，兩直線平行）∴∠3=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）證明：如圖，延長EA交CD于點F．∵AB∥CD（已知）∴∠1=∠4（兩直線平行，同位角相等）∵∠4是△CEF的一個外角（外角的定義）∴∠4=∠2+∠ECF（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∵∠ECF=180°∠（平角的定義）∴∠4=∠2+180°∠（等量代換）∴∠4+∠3∠2=180°（等式性質(zhì)）∴∠1+∠3∠2=180°（等量代換）（方法不只一種）證明：如圖，延長EG交CF于點H．∵∠3是△GFH的一個外角（外角的定義）∴∠3=∠2+∠GHF（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∵∠3=∠1+∠2（已知）∴∠GHF=∠1（等式性質(zhì)）∴BE∥CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∴∠BMD+∠MNC=180°（兩直線平行，