2023高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何初步第2節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理教師用書文北師大版

PAGEPAGE8第二節(jié)空間圖形的根本關(guān)系與公理[考綱]1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題．1．空間圖形的公理(1)公理1：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面)．(2)公理2：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))．(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．(4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行．2．空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線,平行直線)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)))(2)異面直線所成的角①定義：過空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2(a∥l1，b∥l2)，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a，b所成的角．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況．(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．4．定理(等角定理)空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．1．(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√〞，錯(cuò)誤的打“×〞)(1)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說α，β相交于過A點(diǎn)的任意一條直線．()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面．()(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合．()(4)假設(shè)直線a不平行于平面α，且aα，那么α內(nèi)的所有直線與a異面．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改編)如圖7-2-1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，那么異面直線B1C與A．30° B．45°C．60° D．90°圖7-2-1C[連接B1D1，D1C(圖略)，那么B1D1∥EF故∠D1B1C又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B3．在以下命題中，不是公理的是()A．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B．過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C．如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線A[A不是公理，是個(gè)常用的結(jié)論，需經(jīng)過推理論證；B，C，D是公理．]4．(2022·山東高考)直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，那么“直線a和直線b相交〞是“平面α和平面β相交〞的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[由題意知aα，bβ，假設(shè)a，b相交，那么a，b有公共點(diǎn)，從而α，β有公共點(diǎn)，可得出α，β相交；反之，假設(shè)α，β相交，那么a，b的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面．因此“直線a和直線b相交〞是“平面α和平面β相交〞的充分不必要條件．]5．假設(shè)直線a⊥b，且直線a∥平面α，那么直線b與平面α的位置關(guān)系是________．b與α相交或bα或b∥α空間圖形的公理及其應(yīng)用如圖7-2-2，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA圖7-2-2[證明](1)如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，∴EF∥BA1.2分又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面.5分(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P那么由P∈直線CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD.8分同理P∈平面ADD1A1又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA[規(guī)律方法]1.證明線共面或點(diǎn)共面的常用方法：(1)直接法：證明直線平行或相交，從而證明線共面．(2)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．(3)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．2．證明點(diǎn)共線問題的常用方法：(1)根本性質(zhì)法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)根本性質(zhì)3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上．(2)納入直線法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上．[變式訓(xùn)練1]如圖7-2-3所示，四邊形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66482329】圖7-2-3[解](1)證明：由FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，得GH綊eq\f(1,2)AD.2分又BC綊eq\f(1,2)AD，∴GH綊BC，∴四邊形BCHG是平行四邊形.5分(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面，理由如下：由BE綊eq\f(1,2)AF，G為FA的中點(diǎn)知BE綊GF，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.8分由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面.12分空間直線的位置關(guān)系(1)(2022·廣東高考)假設(shè)直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，那么以下命題正確的選項(xiàng)是()A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交(2)(2022·鄭州模擬)在圖7-2-4中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，那么表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號(hào))．①②③④圖7-2-4(1)D(2)②④[(1)由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交．(2)圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面，所以在圖②④中，GH與MN異面．][規(guī)律方法]1.異面直線的判定方法：(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否認(rèn)假設(shè)，肯定兩條直線異面．(2)定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線．2．點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系．[變式訓(xùn)練2](2022·煙臺(tái)質(zhì)檢)a，b，c表示不同的直線，M表示平面，給出四個(gè)命題：①假設(shè)a∥M，b∥M，那么a∥b或a，b相交或a，b異面；②假設(shè)bM，a∥b，那么a∥M；③假設(shè)a⊥c，b⊥c，那么a∥b；④假設(shè)a⊥M，b⊥M，那么a∥b.其中正確的為()A．①④ B．②③C．③④ D．①②A[對于①，當(dāng)a∥M，b∥M時(shí)，那么a與b平行、相交或異面，①為真命題．②中，bM，a∥b，那么a∥M或aM，②為假命題．命題③中，a與b相交、平行或異面，③為假命題．由線面垂直的性質(zhì)，命題④為真命題，所以①④為真命題．]異面直線所成的角(1)如圖7-2-5，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，那么異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)圖7-2-5(2)(2022·全國卷Ⅰ)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，那么m，A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(1,3)(1)D(2)A[(1)連接BC1，易證BC1∥AD1，那么∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1，AA1那么A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).(2)設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可證CD1∥n.因此直線m與n所成的角與直線B1D1與CD1所成的角相等，即∠CD1B1為m，n所成的角．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為eq\f(\r(3),2).][規(guī)律方法]1.求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．2．求異面直線所成角的三個(gè)步驟：(1)作：通過作平行線，得到相交直線的夾角．(2)證：證明相交直線夾角為異面直線所成的角．(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，那么它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，那么它的補(bǔ)角才是要求的角．[變式訓(xùn)練3]如圖7-2-6，圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC圖7-2-6eq\r(2)[取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD，那么因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角，因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD.因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1所以C1D＝eq\r(2)AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為eq\r(2)，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為eq\r(2).][思想與方法]1．主要題型的解題方法(1)要證明“線共面〞或“點(diǎn)共面〞可先由局部直線或點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)(即“納入法〞)．(2)要證明“點(diǎn)共線〞可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上．2．判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過