實(shí)際問題與一元二次方程-講義（解析版）

專題9實(shí)際問題與一元二次方程

【知識(shí)點(diǎn)1列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟】

①審：認(rèn)真審題，分析題意，明確已知量、未知量及它們之間的關(guān)系；

②設(shè)：用字母表示題目中的一個(gè)未知量；

③列：根據(jù)等量關(guān)系，列出所需的代數(shù)式，進(jìn)而列出方程；

④解：解方程求出未知數(shù)的值；

⑤驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義，不符合實(shí)際意義的舍去；

⑥答：寫出答案，包括單位名稱.

【題型1面積問題】

【例1】（2020秋?紫陽縣期末）如圖，在一塊長為16〃?，寬為的矩形空地中，修建2條同樣寬的小路

（圖中陰影部分），剩下的部分種植草坪，要使草坪的面積為135,次,求道路的寬度.

【分析】本題可設(shè)道路寬為x米，利用平移把不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，如此一來，所有草坪面積之

和就變?yōu)榱耍?6-x）（10-x）米2,進(jìn)而即可列出方程，求出答案.

【解答】解：原圖經(jīng)過平移轉(zhuǎn)化如圖所示，

設(shè)道路寬為xm,

根據(jù)題意，得（16-x）（10-%）=135,

整理得：?-26x+25=0,

解得：xi=25（不合題意，舍去），X2=l.

則道路寬度為1m.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出題目中的等量關(guān)系,

列出相應(yīng)的方程.

【變式1-1]（2020秋?仙居縣期末）為創(chuàng)建“綠色校園”，某學(xué)校準(zhǔn)備將校園內(nèi)一塊長34,“，寬20〃?的長

方形空地建成一個(gè)矩形花園，要求在花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的地方種植花

草如圖所示，要使種植花草的面積為608m2,那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為多少米？（注：所有小道進(jìn)出

口的寬度相等，且每段小道均為平行四邊形）

【分析】設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為x米，然后利用其種植花草的面積為608,〃2列出方程求解即可.

【解答】解：設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為x米，依題意得

（34-2x）（20-x）=608,

整理，得/-37x+36=0.

解得xi=l,X2=36,

V36>20（不合題意,舍去），

??X~1.

答：小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為1米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了?元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找到正確的等量關(guān)系并列出方程.

【變式1-2]（2021春?邦州區(qū)期中）在“精準(zhǔn)扶貧”工作中，某單位建議貧困戶借助家里長25m的墻AB

建造面積為450^2的長方形區(qū)域來養(yǎng)一些家禽，該單位給貧困戶提供65加長的籬笆（全部用于建造長方

形區(qū)域），并提供如圖所示的兩種方案：

（1）如圖1,若選取墻AB的一部分作為長方形的一邊，其他三邊用籬笆圍成，則在墻A8上借用的CF

的長度為多少？

（2）如圖2,若將墻A8全部借用，并在墻A8的延長線上拓展8F,構(gòu)成長方形4OEF,BF,FE,ED

和D4都由籬笆構(gòu)成，求8F的長.

圖1圖2

【分析】（1）設(shè)CF的長度為xm,則由長方形的面積為450加2,即可得出關(guān)于》的一

元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合墻48的長為25,〃，即可確定x的值；

（2）設(shè)的長為）7",則AD=（20-y）m,由長方形的面積為450，/,即可得出關(guān)于y的一元二次方

程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

【解答】解：⑴設(shè)CF的長度為xm,則〃?，

65T

依題意得：x*----=450.

2

解得：xi=20,X2=45.

:墻A8的長為25〃?，

；.x=45不合題意，舍去，

：.CF=20.

答：在墻AB上借用的CF的長度為20m.

（2）設(shè)BF的長為ym,則40==（20-y）m,

依題意得：（25+y）（20-y）=450,

解得：yi=5,y2=-10（不合題意，舍去），

；.BF=5m.

答:BF的長為57n.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3]（2021春?蕭山區(qū)期中）某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)飼養(yǎng)場(chǎng)（矩形A8C。），兩面靠墻（AZ"立置的墻最大

可用長度為27米，A8位置的墻最大可用長度為15米），另兩邊用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成

兩個(gè)場(chǎng)地及一處通道，并在如圖所示的三處各留1米寬的門（不用木欄）.建成后木欄總長45米.

（I）若飼養(yǎng)場(chǎng)（矩形4BCD）的一邊CD長為8米，則另一邊BC=米.

（2）若飼養(yǎng)場(chǎng)（矩形A8C。）的面積為180平方米，求邊CZ）的長.

（3）飼養(yǎng)場(chǎng)的面積能達(dá)到210平方米嗎？若能達(dá)到，求出邊8的長；若不能達(dá)到，請(qǐng)說明理由.

力n

【分析】(1)由木欄總長為45米，即可求出8c的長：

(2)設(shè)C￡)=x(0<xW15)米，則8C=(48-3x)米，根據(jù)飼養(yǎng)場(chǎng)(矩形ABCD)的面積為180平方

米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合AD位置的墻最大可用長度為27米

(AO=8C),即可確定結(jié)論；

(3)設(shè)CO=y(0<yW15)米，則BC=(48-3y)米，根據(jù)飼養(yǎng)場(chǎng)(矩形ABCO)的面積為210平方

米，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，由根的判別式△=-24<0,即可得出飼養(yǎng)場(chǎng)的面積不能達(dá)到210

平方米.

【解答】解：(1)BC=45-8-2X(8-1)+1=24(米).

故答案為：24.

(2)設(shè)CD=x(0<x^l5)米，貝ij8C=45-x-2(x-I)+1=(48-3x)米，

依題意得：x(48-3x)=180,

整理得：x2-16A+60=0,

解得：xi=6,X2=10.

當(dāng)x=6時(shí)，48-3x=48-3X6=30(米)，30>27,不合題意，舍去；

當(dāng)x=10時(shí)，48-3x=48-3X10=18(米)，符合題意.

答：邊C。的長為10米.

(3)不能，理由如下：

設(shè)CD=y(0<yW15)米，則8c=45-y-2(y-1)+1=(48-3y)米，

依題意得：y(48-3y)=210,

整理得：y2-16y+70=0.

：△=(-16)2-4X1X70=256-280=-24<0,

該方程沒有實(shí)數(shù)根，

...飼養(yǎng)場(chǎng)的面積不能達(dá)到210平方米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【題型2平均變化率問題】

【例2】(2020秋?柘城縣月考)某農(nóng)機(jī)廠四月份生產(chǎn)零件40萬個(gè)，第二季度共生產(chǎn)零件162萬個(gè).設(shè)該

廠五、六月份平均每月的增長率為為那么x滿足的方程是()

A.40(1+x)2=162

B.40+40(1+x)+40(1+x)2=162

C.40(l+2x)=162

D.40+40(1+x)+40(l+2x)=162

【分析】主要考查增長率問題，一般增長后的量=增長前的量X(1+增長率)，如果該廠五、六月份平

均每月的增長率為X,那么可以用x分別表示五、六月份的產(chǎn)量，然后根據(jù)題意可得出方程.

【解答】解：依題意得五、六月份的產(chǎn)量為40(1+x)、40(l+x)2,

.?.40+40(1+x)+40(1+x)2=162.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出--元二次方程，增長率問題，-一般形式為a(1+x)2=江。為起

始時(shí)間的有關(guān)數(shù)量，6為終止時(shí)間的有關(guān)數(shù)量.

【變式2-1](2020秋?錫山區(qū)期中)根據(jù)疫情需要，某防疫物資制造廠原來每件產(chǎn)品的成本是100元，為

提高的生產(chǎn)效率改進(jìn)了生產(chǎn)技術(shù)，連續(xù)兩次降低成本，兩次降低后的成本是81元，則平均每次降低成本

的百分率是.

【分析】設(shè)平均每次降低成本的百分率是x,根據(jù)生產(chǎn)該產(chǎn)品原來的成本價(jià)及經(jīng)過連續(xù)兩次降低成本后

的成本價(jià)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)平均每次降低成本的百分率是X,

依題意，得：100(1-%)2=81,

解得：Xi=0.1=10%,X2=1.9(不合題意,舍去).

故答案為：10%.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2](2020秋?平江縣期中)習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā),

讓人滋養(yǎng)浩然之氣”.某市為響應(yīng)該市全民閱讀活動(dòng)，利用節(jié)假日面向社會(huì)開放圖書館.據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一

個(gè)月進(jìn)館128人次，進(jìn)館人次逐月增加，第三個(gè)月進(jìn)館288人次，若進(jìn)館人次的月平均增長率相同.

(1)求進(jìn)館人次的月平均增長率；

(2)因條件限制，該市圖書館每月接納能力不能超過500人次，在進(jìn)館人次的月平均增長率不變的條件

下，該市圖書館能否接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次，并說明理由.

【分析】(1)先分別表示出第二個(gè)月和第三個(gè)月的進(jìn)館人次，再根據(jù)第三個(gè)月進(jìn)館達(dá)到288次，列方程

求解；

(2)根據(jù)(1)所計(jì)算出的月平均增長率，計(jì)算出第四個(gè)月的進(jìn)館人次，再與500比較大小即可.

【解答】解：(1)設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長率為X,

根據(jù)題意，得：128（1+x）2=288

解得xi=0.5；X2--2.5（舍去）.

答：進(jìn)館人次的月平均增長率為50%.

（2）第四個(gè)月進(jìn)館人數(shù)為288（1+1）=432（人次），

由于432<500

答：市圖書館能接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，列出方程是解題的關(guān)鍵.本題難度適中，屬于中檔題.

【變式2-3］（2020秋?秦淮區(qū)期中）某小型工廠9月份生產(chǎn)的A、B兩種產(chǎn)品數(shù)量分別為200件和100件,

4、8兩種產(chǎn)品出廠單價(jià)之比為2：1,由于訂單的增加，工廠提高了4、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量和出廠單

價(jià)，10月份A產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的增長率和A產(chǎn)品出廠單價(jià)的增長率相等，8產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的增長率是A產(chǎn)

品生產(chǎn)數(shù)量的增長率的一半，8產(chǎn)品出廠單價(jià)的增長率是A產(chǎn)品出廠單價(jià)的增長率的2倍.設(shè)B產(chǎn)品生

產(chǎn)數(shù)量的增長率為x（%>0）.

（1）用含有x的代數(shù)式填表（不需化簡）：

9月份生產(chǎn)數(shù)量生產(chǎn)數(shù)量的增長率10月份生產(chǎn)數(shù)量

產(chǎn)品A200——

產(chǎn)品B100X—

（2）若9月份兩種產(chǎn)品出廠單價(jià)的和為90元，10月份該工廠的總收入增加了4.4x,求x的值.

【分析】（1）根據(jù)“10月份A產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的增長率和A產(chǎn)品出廠單價(jià)的增長率相等，8產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)

量的增長率是A產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的增長率的一半，8產(chǎn)品出廠單價(jià)的增長率是A產(chǎn)品出廠單價(jià)的增長率的

2倍”填空；

（2）根據(jù)（1）中相關(guān)量間的關(guān)系和9月份兩種產(chǎn)品出廠單價(jià)的和為9（）元列出方程并解答.

【解答】解：（1）由題意，得：

9月份生產(chǎn)數(shù)量生產(chǎn)數(shù)量的增長率10月份生產(chǎn)數(shù)量

產(chǎn)品A2002x200(l+2x)

產(chǎn)品B100X100(1+x)

故答案是：2x；200(l+2x)；100(1+x)；

7

(2)90x=60(兀)

90x2+]=30(兀)

60X200(i+2x)2+30X100(1+x)(1+4%)=(60X200+30X100)(l+4.4x)

i

解得XI=O(舍去)，X2=20.

即x的值是卷.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用.解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出

合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解.

【題型3銷售利潤問題】

【例3】(2020秋?無錫期中)某景區(qū)商店以2元的批發(fā)價(jià)進(jìn)了一批紀(jì)念品.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每個(gè)定價(jià)3元，

每天可以能賣出500件，而且定價(jià)每上漲0.1元，其銷售量將減少10件.根據(jù)規(guī)定：紀(jì)念品售價(jià)不能超

過批發(fā)價(jià)的2.5倍.

(1)當(dāng)每個(gè)紀(jì)念品定價(jià)為3.6元時(shí)，商店每天能賣出件：

(2)如果商店要實(shí)現(xiàn)每天800元的銷售利潤，那該如何定價(jià)？

【分析】(1)直接利用每個(gè)定價(jià)3元，每天可以能賣出500件，而且定價(jià)每上漲0.1元，其銷售量將減

少10件，進(jìn)而得出當(dāng)每個(gè)紀(jì)念品定價(jià)為3.5元時(shí)，商店每天能賣出的件數(shù)；

(2)利用銷量X每件利潤=800,進(jìn)而得出等式求出答案.

【解答】解：(1)；每個(gè)定價(jià)3元，每天可以能賣出500件，而且定價(jià)每上漲0.1元，其銷售量將減少

10件，

當(dāng)每個(gè)紀(jì)念品定價(jià)為3.6元時(shí)，商店每天能賣出：500-1Ox選”=440(件)；

故答案為：440；

(2)設(shè)定價(jià)x元，

由題后、得：(x~2)(5(X)—Q-J-X10)=800,

解得：X1=4X2=6,

???售價(jià)不能超過批發(fā)價(jià)的2.5倍，

.,.x=4,

答：定價(jià)為4元.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查「一元二次方程的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

【變式3-1】(2021秋?正定縣期中)某水果店銷售一種水果的成本價(jià)是5元/千克，在銷售中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這種

水果的價(jià)格定為7元/千克時(shí)，每天可以賣出160千克，在此基礎(chǔ)上，這種水果的單價(jià)每提高1元/千克.該

水果店每天就會(huì)少賣出20千克，設(shè)這種水果的單價(jià)為x元(x>7),

(1)請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示：每千克水果的利潤元及每天的銷售量________千克.

(2)若該水果店一天銷售這種水果所獲得的利潤是420元，為了讓利于顧客.單價(jià)應(yīng)定為多少元？

【分析】(1)根據(jù)利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)和“水果的單價(jià)每提高1元/千克.該水果店每天就會(huì)少賣出20T-

克”填空；

(2)根據(jù)利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)列出方程并解答.

【解答】解：(1)每千克水果的利潤(x-5)元及每天的銷售量[160-20(x-7)]千克.

故答案是：(x-5)；[160-20(x-7)]；

(2)由題意知，(%-5)；[160-20(%-7)]=420.

化簡得：/-20x+96=0.

解得xi=8,X2—12.

因?yàn)樽尷陬櫩停?/p>

所以x=8符合題意.

答：單價(jià)應(yīng)定為8元.

【點(diǎn)評(píng)】考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適

的等量關(guān)系，列出方程，再求解.

【變式3-2】(2020秋?澧縣期末)某天貓店銷售某種規(guī)格學(xué)生軟式排球，成本為每個(gè)30元.以往銷售大數(shù)

據(jù)分析表明：當(dāng)每只售價(jià)為40元時(shí)，平均每月售出600個(gè)；若售價(jià)每上漲1元，其月銷售量就減少20

個(gè)，若售價(jià)每下降1元，其月銷售量就增加200個(gè).

(1)若售價(jià)上漲，"元，每月能售出個(gè)排球(用機(jī)的代數(shù)式表示).

(2)為迎接“雙十一”,該天貓店在10月底備貨1300個(gè)該規(guī)格的排球，并決定整個(gè)11月份進(jìn)行降價(jià)

促銷，問售價(jià)定為多少元時(shí)，能使11月份這種規(guī)格排球獲利恰好為8400元.

【分析】(1)由銷售數(shù)量=600-20X上漲價(jià)格，即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)每個(gè)排球降價(jià)x元，則11月份可售出該種排球(200X+600)個(gè)，根據(jù)月利潤=單件利潤X月銷

售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)根據(jù)題意得：600-20m.

故答案為：600-20m.

(2)設(shè)每個(gè)排球降價(jià)x元，則11月份可售出該種排球(200X+600)個(gè)，

根據(jù)題意得：（40-X-30）（200x+600）=8400,

解得：xi=3,X2—4.

當(dāng)x=3時(shí)，銷量為1200<1300,適合題意；

當(dāng)x=4時(shí)，銷量為1400>130（）,舍去.

.*.40-x=37.

答：每個(gè)排球的售價(jià)為37元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3】（2020?廣西一模）每年的3月15日是“國際消費(fèi)者權(quán)益日”，許多家居商城都會(huì)利用這個(gè)契

機(jī)進(jìn)行打折促銷活動(dòng).甲賣家的某款沙發(fā)每套成本為5000元，在標(biāo)價(jià)8000元的基礎(chǔ)上打9折銷售.

（1）現(xiàn)在甲賣家欲繼續(xù)降價(jià)吸引買主，問最多降價(jià)多少元，才能使利潤率不低于20%?

（2）據(jù)媒體爆料?，有一些賣家先提高商品價(jià)格后再降價(jià)促銷，存在欺詐行為.乙賣家也銷售相同的沙發(fā),

其成本、標(biāo)價(jià)與甲賣家一致，以前每周可售出8套，現(xiàn)乙賣家先將標(biāo)價(jià)提高，"％,再大幅降價(jià)40小元，

使得這款沙發(fā)在3月15日那一天賣出的數(shù)量就比原來一周賣出的數(shù)量增加了］"%,這樣一天的利潤達(dá)到

了50000元，求m的值.

【分析】（1）設(shè)降價(jià)x元，根據(jù)利潤=售價(jià)-成本結(jié)合利潤率不低于20%,即可得出關(guān)于x的一元一次

不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)總利潤=每套的利潤X銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出

結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)降價(jià)x元，

依題意,得:8000X0.9-%-50003:5000X20%,

解得：XWI200.

答：最多降價(jià)1200元，才能使利潤率不低于20%.

（2）依題意，得：［8000（1+m%）-40/n-5000］X8（l+1/n%）=50000,

整理，得：“尸+275〃？-16250=0,

解得："”=50,"?2=-325（不合題意，舍去）.

答：的值為50元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量

之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程.

【題型4傳播問題】

【例4】（2020秋?東?？h期末）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長出同樣數(shù)目的小分支,

主干，支干、小分支的總數(shù)是91.設(shè)每個(gè)支干長出x個(gè)分支，則可列方程為（）

A.f+x+i=9］B.（x+1）2=91C.X2+X=91D.?+1=91

【分析】由題意設(shè)每個(gè)支干長出x個(gè)小分支，因?yàn)橹鞲砷L出x個(gè)（同樣數(shù)目）支干，則又長出了個(gè)小分

支，則共有f+x+1個(gè)分支，即可列方程.

【解答】解：設(shè)每個(gè)支干長出x個(gè)小分支，

根據(jù)題意列方程得：/+x+l=91.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，要根據(jù)題意分別表示主干、支干、小分支的數(shù)目，

找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2020秋?和平區(qū)校級(jí)月考）某種細(xì)胞分裂，一個(gè)細(xì)胞經(jīng)過兩輪分裂后，共有a個(gè)細(xì)胞，設(shè)每

輪分裂中平均一個(gè)細(xì)胞分裂成〃個(gè)細(xì)胞，那么可列方程為（）

A.B.（l+/j）2—aC.1+"+"2=〃D.n+r^—a

【分析】第一輪分裂成〃個(gè)細(xì)胞，第二輪分裂成"?“=“2個(gè)細(xì)胞，結(jié)合題意可得答案.

【解答】解：設(shè)每輪分裂中平均一個(gè)細(xì)胞分裂成〃個(gè)細(xì)胞，那么可列方程為〃2=小

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查?元二次方程的應(yīng)用，要根據(jù)題意列出第一輪分裂后細(xì)胞的人數(shù)，再根據(jù)題意得

出第二輪分裂后細(xì)胞的人數(shù)，而已知第二輪分裂后細(xì)胞的人數(shù)，故可得方程.

【變式4-2］（2020秋?莆田期中）“泱泱華夏，浩浩千秋.于以求之？場(chǎng)谷之東.山其何輝，福卞和之美

玉…”這是武漢16歲女孩陳天羽用文言文寫70周年閱兵的觀后感.小汀州同學(xué)把這篇?dú)鈩?shì)磅礴、文采

飛揚(yáng)的文章放到自己的微博上，并決定用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播.他設(shè)計(jì)了如下的傳播規(guī)則：將文章發(fā)表

在自己的微博上，再邀請(qǐng)〃個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)，每個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)之后，又邀請(qǐng)〃個(gè)互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)，依此類

推.已知經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有111個(gè)人參與了宣傳活動(dòng)，則〃的值為.

【分析】根據(jù)經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后共有111個(gè)人參與了宣傳活動(dòng)，即可得出關(guān)于”的一元二次方程，解之取

其正值即可得出結(jié)論.

【解答】解：依題意得：

整理得：/+"-110=0,

解得："1=10,〃2=-11（不合題意，舍去）.

故答案為：10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2020秋?扶風(fēng)縣期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻開

始持續(xù)蔓延，這是對(duì)人類的考驗(yàn)，將對(duì)全球造成巨大影響.新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病

毒，未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患新冠肺炎（假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同）.求：

（1）每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了幾個(gè)人？

（2）如果這些病毒攜帶者，未進(jìn)行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有多少人患??？

【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了『個(gè)人，根據(jù)一人患病后經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患病,

即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論：

（2）根據(jù)經(jīng)過三輪傳染后患病人數(shù)=經(jīng)過兩輪傳染后患病人數(shù)X（1+12）,即可求出結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了x個(gè)人，

依題意，得：1+x+x（1+x）=169.

解得：xi=12,X2=-14（不合題意，舍去）.

答：每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了12個(gè)人.

（2）169X（1+12）=2197（人）.

答：按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有2197人患病.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【題型5循環(huán)問題】

【例5】（2020秋?西城區(qū)期末）某校要組織“風(fēng)華杯”籃球賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽一場(chǎng)）.

（1）如果有4支球隊(duì)參加比賽，那么共進(jìn)行場(chǎng)比賽；

（2）如果全校一共進(jìn)行36場(chǎng)比賽，那么有多少支球隊(duì)參加比賽？

【分析】（1）根據(jù)參加比賽球隊(duì)的數(shù)量及賽制，即可求出結(jié)論；

（2）設(shè)有x支球隊(duì)參加比賽，根據(jù)全校一共進(jìn)行36場(chǎng)比賽，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取

其正值即可得出結(jié)論.

【解答】解：⑴工x4X3=6（場(chǎng)）.

2

故答案為：6.

（2）設(shè)有x支球隊(duì)參加比賽，

1

依題意，得：-x（x-1）=36,

解得：xi=9,X2=-8（不合題意，舍去）.

答：如果全校一共進(jìn)行36場(chǎng)比賽，那么有9支球隊(duì)參加比賽.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一兀二次方程是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1]（2021秋?涼州區(qū)校級(jí)月考）畢業(yè)之際，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)相約到同一家禮品店

購買紀(jì)念品，每兩個(gè)同學(xué)都相互贈(zèng)送一件禮品，禮品店共售出禮品30件，則該興趣小組的人數(shù)為多少？

【分析】設(shè)該興趣小組的人數(shù)為x人，則每個(gè)同學(xué)需送出（x-1）件禮物，根據(jù)禮品店共售出禮品30件,

即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)該興趣小組的人數(shù)為x人，則每個(gè)同學(xué)需送出（x-1）件禮物，

依題意，得：x（x-1）=30,

解得：加=6,%2=-5（不合題意，舍去）.

答：該興趣小組的人數(shù)為6人.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2】象棋比賽中，每個(gè)選手與其他選手將比賽一場(chǎng)，每局勝者記2分，敗者記0分，如果平局，每

人各記1分，今有4位同學(xué)統(tǒng)計(jì)了比賽中全部選手得分的總和分別為2025,2070,2080,2085分，經(jīng)核

實(shí)，其中只有一位同學(xué)是正確的，試求這次比賽中共有多少名選手參加？

【分析】每局的得分均為2分，2人的比賽只有一局；局?jǐn)?shù)=；x選手?jǐn)?shù)X（選手?jǐn)?shù)-1）；等量關(guān)系為:

2X局?jǐn)?shù)=所得分?jǐn)?shù)，根據(jù)所得分?jǐn)?shù)應(yīng)是2的倍數(shù)可舍去2025,2085,把剩下的分?jǐn)?shù)代入看哪個(gè)有整數(shù)

解即可.

【解答】解：設(shè)這次比賽中共有x名選手參加.易得分?jǐn)?shù)一定不是2025,2085,

1

2xxx（x-1）=2070,

解得xi=46,X2=-45（不合題意，舍去）

???只有一位同學(xué)是正確的，

正確的分?jǐn)?shù)是2070,共有46名選手參加比賽.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；得到局?jǐn)?shù)是解決本題的難點(diǎn)；判斷出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)是解決本題

的易錯(cuò)點(diǎn).

【變式5-3]（2021秋?和平區(qū)期末）注意：為了使同學(xué)們更好地解答本題，我們提供了一種解題思路，你

可以依照這個(gè)思路按下面的要求填空，完成本題的解答，也可以選用其他的解題方案，此時(shí)不必填空，

只需按解答題的一般要求進(jìn)行解答.

參加一次商品交易會(huì)的每兩家公司之間都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，共有多少

家公司參加商品交易會(huì)？

設(shè)共有x家公司參加商品交易會(huì).

(I)用含x的代數(shù)式表示：

每家公司與其他家公司都簽訂一份合同，由于甲公司與乙公司簽訂的合同和乙公司與甲公司

簽訂的合同是同一份合同，所以所有公司共簽訂了份合同；

(II)列出方程并完成本題解答.

【分析】(I)用X表示出每家公司與其他公司簽訂的合同數(shù)，則用X表示出所有公司共簽訂的合同數(shù);

(II)利用所有公司共簽訂的合同數(shù)列方程得到彳(X-1)=45,然后解方程、檢驗(yàn)、作答.

【解答】解：(I)每家公司與其他(x-1)家公司都簽訂一份合同，由于甲公司與乙公司簽訂的合同

和乙公司與甲公司簽訂的合同是同一份合同，所以所有公司共簽訂了(A-1)份合同；

(II)根據(jù)題意列方程得:-x(X-1)=45,

2

解得xi=10,X2=-9(舍去)，

檢驗(yàn)：x=-9不合題意舍去，

所以x=10.

答：共有10家公司參加商品交易會(huì).

故答案為：(X-1)；-X(X-I).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用：列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列

出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)和作答.

【題型6數(shù)字問題】

【例6】(2020秋?漢壽縣期末)小明同學(xué)是一位古詩文的愛好者，在學(xué)習(xí)了一元二次方程這一章后，改編

了蘇軾詩詞《念奴嬌?赤壁懷古》：“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流人物.而立之年督東吳，早逝英年兩位

數(shù).十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽同.哪位學(xué)子算得快，多少年華數(shù)周瑜？”假設(shè)周瑜去世時(shí)年齡的

十位數(shù)字是無，則可列方程為()

A.10x+(x-3)=(x-3)2B.10(x+3)+x=/

C.10x+(x+3)=(x+3)2D.10(x+3)+x=(x+3)2

【分析】設(shè)周瑜去世時(shí)年齡的十位數(shù)字是x,根據(jù)“十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽同”知10X十位數(shù)

字+個(gè)位數(shù)字=個(gè)位數(shù)字的平方，據(jù)此列出方程可得答案.

【解答】解：假設(shè)周瑜去世時(shí)年齡的十位數(shù)字是X,則可列方程為10x+(A-+3)=(x+3)2,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的

關(guān)鍵.

【變式6-1](2020秋?沙河口區(qū)期中)一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4,且個(gè)位數(shù)字與十

位數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小4,若設(shè)個(gè)位數(shù)字為m則可列方程為()

A.a2+(a-4)2=10(a-4)+a-4

B.a~+(a+4)10a+a-4-4

C.a2+(a+4)2=10(?+4)+