何小亞概率教學問題探討

概率教學問題探討華南師范大學數(shù)學科學學院（510631）何小亞2022年11月，筆者參加新疆克拉瑪依”百人教師專業(yè)發(fā)展項目”,親臨一線課堂聽了一些初中數(shù)學教師的課，發(fā)現(xiàn)了不少概率教學問題，下面就這些問題談?wù)劰P者個人的看法.1.教材編排問題教材第二十五章是“概率初步”，主要內(nèi)容有隨機事件與概率；用列舉法求概率；用頻率估計概率．在第1節(jié)中介紹了必然事件、不可能事件、隨機事件的概念之后，介紹了古典概型的概率定義，接著在第2節(jié)與第3節(jié)中介紹了古典概型下兩種求概率的方法，即：用列舉法求概率與用頻率估計概率．在該教材中并沒有介紹幾何概型的概率定義，但卻出現(xiàn)了幾何概型的問題：第128頁：已知地球表面陸地面積與海洋面積的比為3:7如果宇宙中飛來一塊隕石落在地球上，“落在海洋里”與“落在陸地上”哪個可能性更大？第130頁的例2是1個轉(zhuǎn)盤問題，轉(zhuǎn)盤問題是一個幾何概型問題，題目中并沒有進行幾何概型的等可能性假設(shè)，而在問題分析中使用了這一假設(shè)，但更致命的是，在解答中居然不先指出這一問題符合古典概型的兩個條件，就按古典概型來求其概率．教材正文講的是古典概型的概率定義和用頻率來估計概率，但卻沒有配置與之相應(yīng)的實驗與探究，反而在第147頁“的估計”部分設(shè)計了運用幾何概型模型來估計的大小的探究實驗，削弱了正文的要求，增加了學生的負擔．在九年義務(wù)教育階段的課程標準中，無論是實驗稿，還是修訂稿均沒有要求學習幾何概型，一套面向全國絕大多數(shù)初中學生的教材如此超綱,且存在前述的問題是不恰當?shù)模疄榱烁玫乩斫飧怕蕟栴}，讓我們先從概率的幾種定義談起．概率的統(tǒng)計定義記某個隨機事件為，若在次彼此無關(guān)的試驗(或觀察)中出現(xiàn)了次，則稱為隨機事件在次獨立試驗中出現(xiàn)的頻率．事件發(fā)生的頻率會在某一常數(shù)附近擺動，且當越來越大時，頻率趨于穩(wěn)定值，我們稱常數(shù)為事件的概率，記為．在概率的統(tǒng)計定義中，要特別注意事件要有可重復性！即在相同的條件下，試驗可重復進行；或者可以同時進行多次相同的試驗．比如擲硬幣，大家都承認出現(xiàn)正、反面的概率均為1/2．為了驗證這一點，歷史上曾有不少人做過試驗．比如，法國數(shù)學家蒲豐，擲硬幣4040次；英國數(shù)學家K·皮爾遜，擲硬幣24000次，統(tǒng)計出的頻率都十分接近1/2．反之，美國的總統(tǒng)選舉就沒有可重復性．例如，說奧巴馬當選的概率是70%，或者說是90%，這只是說話人的主觀估計，并沒有一個公認的檢驗標準，這不是數(shù)學意義上的概率．對于概率的統(tǒng)計定義，我們認為：1）與長度，重量，時間，溫度等一樣，永遠無法測得精確值．對事件A的概率P(A)，無論做多少次試驗，也無法得到精確值；2）用頻率作的近似值雖然會有偏差，但這是最簡單，常用的方法，其理論根據(jù)是“數(shù)理統(tǒng)計”中的“最大似然法”；3）如何估計用頻率作可能造成的偏差及可信程度，可參見數(shù)理統(tǒng)計中的區(qū)間估計．古典概型定義對于古典概型，如果試驗的不同結(jié)果的總數(shù)目為，事件包含的基本結(jié)果數(shù)目為，我們用來描述事件出現(xiàn)的可能性大小，稱它為事件的概率，記作，即有=．在概率的古典定義中，需要特別注意的是，事先約定（或有公認）隨機試驗是古典概型，即：該隨機試驗只有有限個不同的基本結(jié)果，并且每個結(jié)果出現(xiàn)的機會是均等的．幾何概型定義古典概型要求隨機試驗的不同結(jié)果是有限的．若隨機試驗有無限個不同的基本結(jié)果時，古典概型就不再適用．為此引入了幾何概型．如果一個隨機試驗有無限個不同的基本結(jié)果，并且每個結(jié)果出現(xiàn)的機會是均等的，而且由所有結(jié)果構(gòu)成的樣本空間具有非零的、有限的幾何度量（或測度，如長度、面積、體積等），那么我們就稱這一隨機試驗是幾何概型．當隨機試驗的樣本空間是某個區(qū)域，并且任意一點落在度量相同的子區(qū)域是等可能的，則事件的概率可定義為，其中是樣本空間的度量，是構(gòu)成事件的子區(qū)域的度量．這類問題對“等可能性”的理解有時會出現(xiàn)更多的差異，會得出不同的答案．著名的貝特朗（Bertrand）悖論，常見的有三種理解，本質(zhì)上是看成“圓盤上的均勻分布”，“圓周上的均勻分布”，還是“直徑上的均勻分布”．三種理解的答案各不相同(參見文獻[2]，[3])．概率的公理化定義由于在實踐中，對事件的概率，事件組的等可能性做出公認的判定往往十分困難，純粹的概率論工作者將這些困難的判定交給統(tǒng)計學家去研究．而將滿足一定條件的“概率空間”作為研究工作的起點．這就是俄羅斯數(shù)學家.柯爾莫哥洛夫首先提出的“概率的公理化定義”．設(shè)是隨機試驗，是它的樣本空間．對于的每一事件賦予一個實數(shù)，記為，稱為事件的概率．這里是一個集合函數(shù)，要滿足下列條件：（1）非負性：對于每一個事件，有0；（2）規(guī)范性：對于必然事件，有=1；（3）可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，即對于，則有．需要注意的是，概率的公理化定義規(guī)定了“概率”所必須滿足的三條基本性質(zhì)，對概率論的邏輯演繹體系起到公理基礎(chǔ)的作用，它并沒有解決如何確定概率的問題，在實踐中，概率、等可能性的確定還是要用統(tǒng)計的方法．基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學只學習概率的前三種定義，概率的公理化定義要到大學才介紹．2.錯誤的概率例題與糊涂的名師在一節(jié)古典概型概率概念課上，教師先把全班同學分成10組，每組同學擲一枚硬幣50次，并記錄下出現(xiàn)正面、反面的次數(shù)，然后就依次統(tǒng)計累加每一組的正反面次數(shù)，由此得到從試驗50次至500次的正反面結(jié)果．最后，教師據(jù)此說明出現(xiàn)正面的頻率越來越接近．這里的問題是，10個小組分別擲硬幣的試驗是10種不同的試驗，有的小組是往地上仍，有的小組是在桌上拋，還有的是旋轉(zhuǎn)硬幣，根本不符合同一試驗條件的條件，怎么能簡單地將其結(jié)果相加呢？事實上，結(jié)果也并沒有明顯表示出越來越接近．由此可見，授課教師根本沒有隨機試驗的概念．不僅初中教師不懂概率，高中老師也不容樂觀．中央廣播電視大學出版的《百節(jié)名師風采課》錄像中，中國最著名的大學的附中的某名師認為“神州7號運載火箭的著落點”是隨機事件；她在講“狄青占卜平暴亂”的故事中說道：“狄青把100枚銅幣拋向空中，落在地面上后正面都朝上，這種可能性有沒有？那么在這次上拋的過程中，落在地面上一定就能保證這100枚硬幣的前面都朝上嗎？顯然這是一個隨機事件．”看來這位名師也沒有講清什么是隨機事件．3.學術(shù)刊物中的錯誤對于留學生從英國帶回來的一道題目：“某汽車旅游團出發(fā)前，不巧有一個人丟了他自己的乘車小票．他第一個上車，所以他只好隨便坐．之后上來的游客都有乘車座位號小票．如果自己的位置被人坐了，那就隨便坐；否則坐到自己的位置．問最后一個上車的游客坐到自己座位的機會有多大？并請論證你的結(jié)論．”作者用數(shù)學歸納法證明了：乘客數(shù)大于1且不超過座位數(shù)時，結(jié)論是常數(shù)．

文中假設(shè)，車中有個座位，有名乘客,并假定第名上車乘客的座位號是第號．

步驟一：先假定，這時有二種情況：

情況1，第一個丟了號的乘客，上車坐在非2號位上，這種情況有種可能，此時按題意，第二個上車的客人必然坐在2號位上；

情況2，第一個丟了號的乘客，上車坐在2號位上，按題意，第二個上車的客人隨機地選一座位，這時也有種可能情況．

在上面兩種情況中，總共有個基本事件，其中在第二個上車的客人坐在2號位上的第一種情況中，有個基本事件．于是第2號客人坐到第2號位的概率是/[]=1/2．

對于以上的解答，華南師范大學的孫道椿教授指出：結(jié)論居然與無關(guān)！而我們的直覺是，當很大，即座位很多時，第一位上車的人，隨機坐上2號位的可能性應(yīng)很小，即第2個上車游客坐到自己座位上的概率較大；當較小時，第一位客人上車后，坐上2號位的可能性較大，即第2個上車游客坐到自己座位上的概率就較?。Y(jié)論與無關(guān)應(yīng)不合常理．

原因何在？事實上，此文犯了沒注意等可能性的錯誤：情況1中每種情況出現(xiàn)的概率是1/；情況2中每種情況出現(xiàn)的概率是1/[]．兩種情況中，出現(xiàn)的可能性是不一樣的．錯誤的概率練習題、中考題“兩直線平行，內(nèi)錯角相等.”、“1小時等于60分”（2022福建晉江）、“是實數(shù)，”（2022杭州）、“甕中捉鱉”都是必然事件；“1+1=3”、“在裝有3個球的袋里摸出4個球”、“刻舟求劍”、“拔苗助長”、“守株待兔”均是不可能事件；“小貓在44格的地板（僅一條對角線上的4格涂黑色，其余涂白色）上行走，踩著黑色”、“所有的正規(guī)彩票”是隨機事件．這些錯誤主要分成3類：一是將數(shù)學定理、生活常識或?qū)W科的結(jié)論當成必然事件；二是將錯誤的數(shù)學命題、違背常理的東西當成不可能事件；三是忽略了等可能性，不知道隨機事件為何物．4．三個概念問題教材在第126頁給出了必然事件、不可能事件、隨機事件的概念：在一定條件下，必然發(fā)生的事件稱為必然事件；在一定條件下，不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件．這三個概念中均提到了“在一定條件下”，那么“在一定條件下”到底指的是什么條件呢？筆者問了很多一線老師，沒有一個能講清楚．這就是對前述錯誤的例題、練習題、中考題渾然不知的真正原因．事實上，在必然事件、不可能事件、隨機事件這三個概念，以及概率的4種定義中，均離不開隨機試驗這一核心概念．在概率論中，隨機試驗是滿足如下三個條件的一個概念：①每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果；②進行一次試驗前無法確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)；③試驗可以在同一條件下重復進行.教材中的必然事件、不可能事件、隨機事件這三個概念中的“在一定條件下”指的是隨機試驗的三個條件，也就是說，隨機試驗是這三個概念不可缺少的條件，它是我們判斷一個事件是什么事件的標準．5.建議（1）由于幾何概型等可能性假設(shè)的抽象性與實無限概念理解的困難，導致高中生，甚至是許多數(shù)學老師都難以理解貝特朗悖論問題，因此，不適合在初中階段介紹幾何概型，應(yīng)該放到高中再學習．（2）盡管教材中沒有介紹嚴謹?shù)碾S機試驗的概念，但教師在選擇問題時必須選擇嚴格符合隨機試驗條件的例子，否則會犯前面所指出的三類錯誤．如果忽略了隨機試驗這一核心條件，那么就無法回答學生在上課時提出的“‘我正在上課’是什么事件？”這一問題．（3）概率論研究的對象的核心不是“必然事件”，也不是“不可能事件”，而是“隨機事件”．教學時要淡化“必然事件”與“不可能事件”的概念，要重點圍繞著隨機事件進行．（4）作為一項大型的考試，中考、高考題不要去考一些隨機試驗都不清楚的所謂的“必然事件”、“不可能事件”和“隨機事件”，更不能去考一些等可能性不清楚的幾何概型的概率計算．參考文獻：[1]課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心．數(shù)學（九年級上冊）[M]．北京：人民教育出版社，2022年3月第2版．[2]王梓坤，概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M]．北京：北京師范大學出版社，2022．[3].格涅堅科著，丁壽田譯，概率論教程[M]．人民教育出版社（北京），1956．[4]孫道椿，何小亞．誰對？誰錯？[J]．中學數(shù)學研究，2022（9）．[5]袁智斌．風景往往在路上，熏陶常常于過程——師生探討一道乘車座位的概率問題的過程實錄[J]．數(shù)學通報，2022（5）．附錄：游客座位概率問題的正確解答.“某汽車旅游團出發(fā)前，不巧有一個人丟了他自己的乘車小票。他第一個上車，所以他只好隨便坐。之后上來的游客都有乘車座位號小票。如果自己的位置被人坐了，那就隨便坐；否則坐到自己的位置。問最后一個上車的游客坐到自己座位的機會有多大？并請論證您的結(jié)論?！奔僭O(shè)車中有n個座位，有k名乘客,并假定第i名上車乘客的座位號是第i號。在分析之前，先強調(diào)一個隱性假定：“每位上車的乘客，如果自己的坐位被人坐了，他選擇其余每一個空閑坐位的機會（概率）相等”。為了解題的需要，我想這應(yīng)該是一個大家可接受的假定，雖然在生活中的多數(shù)人，喜歡選擇靠前的座位。(A)除第1個上車的客人丟失了他自己的乘車小票外，第p(>1)個客人上車后，第p號位必定有人坐（要么是第一個乘客坐要么是他自己坐）。解：1,若k=n,由(A)，最后第k個客人上車前，2,3,…,k-1號座位已有人坐，空下的座位，只可能是1號,或k號位中的一個.由前面強調(diào)的隱性假定，這2個座位留下的