中學(xué)數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題

二次函數(shù)壓軸題專項(xiàng)練習(xí)

一、解答題

1.如圖，拋物線y=a/+bx+3與x軸相交于點(diǎn)4(一1,0)、6(3,0),與y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)

P為線段OB上的動(dòng)點(diǎn)(不與。、B重合)，過(guò)點(diǎn)P垂直于x軸的直線與拋物線及線段BC

分別交于點(diǎn)E、F,點(diǎn)。在y軸正半軸上，OD=2,連接DE、OF.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)四邊形ODEF是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)過(guò)點(diǎn)A的直線將(2)中的平行四邊形ODEF分成面積相等的兩部分，求這條直線的解析

式.(不必說(shuō)明平分平行四邊形面積的理由)

2.如圖，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)＞1(-1,0),8(3,0).

(1)求b,c的值.

(2)如圖1設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m.記&BCQ的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式.

(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，分別與BC交于點(diǎn)G,與拋物線

交于點(diǎn)H.

①試問(wèn)拋物線上是否存在點(diǎn)F,使得AAPG的面積與APHF的面積相等，且線段HF的

長(zhǎng)度最?。咳绻嬖?，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，如果不存在，說(shuō)明理由.

②過(guò)點(diǎn)B,P,C的外接圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)H,則P點(diǎn)坐標(biāo)為—(直接寫(xiě)出答案).

3.已知拋物線y=x2+(2m+l)x+m(m-3)(m為常數(shù)，一A(-m-l,y,),

Bg,y2)是該拋物線上不同的兩點(diǎn)，現(xiàn)將拋物線的對(duì)稱軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到直

線a,過(guò)拋物線頂點(diǎn)P作尸H工a于H.

(1)當(dāng)m=l時(shí)，求出這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若無(wú)論m取何值，拋物線與直線y=x-km(k為常數(shù))有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的

值；

(3)當(dāng)1<PH46時(shí)，試比較yi,y2之間的大小.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y=ax-a為拋物線y=a/+力》+c(a,b,c為常數(shù)，

a*0)的“夢(mèng)想直線"；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其"夢(mèng)想三

角形”.

已知拋物線y=-竽/一竿刀+28與其“夢(mèng)想直線”交于4,8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左

側(cè))，與%軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C.

(1)填空：該拋物線的“夢(mèng)想直線”的解析式為—，點(diǎn)A的坐標(biāo)為一，點(diǎn)B的坐標(biāo)為—

(2)如圖，點(diǎn)M為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，將A/ICM以AM所在直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)C的對(duì)

稱點(diǎn)為N,若4AMN為該拋物線的“夢(mèng)想三角形”，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在該拋物線的“夢(mèng)想直線”上，是否存在點(diǎn)F,使得以

點(diǎn)4,C,E,F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E,F的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.如圖，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c(c>0)的圖象與x軸交于4,8兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)8

的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,且。8=OC=3,頂點(diǎn)為M.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

⑵點(diǎn)P為線段BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PQ,垂足為Q,若OQ=m，四

邊形ACPQ的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出m的取值范圍；

(3)探索：線段BM上是否存在點(diǎn)N,使4NMC為等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo);

如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx-3(a*0)與x軸交于點(diǎn)做一2,0),8(4,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)c.

(1)求拋物線的解析式.

(2)點(diǎn)P從4點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從

B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),

另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求運(yùn)動(dòng)多少秒使APeQ的面積最大，最大面積

是多少？

(3)當(dāng)4PBQ的面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線上存在點(diǎn)K,使SGCBK：S“BQ=5：2,求K

點(diǎn)坐標(biāo).

7.已知，經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(一4,4)的拋物線y=a/+bx與x軸相交于點(diǎn)B(-3,0).

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)A作/1HJ.X軸，垂足為H,平行于y軸的直線交線段AO于點(diǎn)Q,交拋

物線于點(diǎn)P,當(dāng)四邊形AHPQ為平行四邊形時(shí)?，求ZAOP的度數(shù).

Hx

圖1

(3)如圖2,試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)C,使ZCAO=ZBAO?若存在，請(qǐng)求出直線AC

解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

8.點(diǎn)P為拋物線y=/-2mx+m2(巾為常數(shù)，m>0)上任意一點(diǎn)，將拋物線繞頂點(diǎn)G逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。后得到的圖象與y軸交于4B兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)B的上方)，點(diǎn)Q為點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)

后的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

(1)拋物線y=x2-2mx4-m2的對(duì)稱軸是直線;當(dāng)m=2,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4時(shí)，點(diǎn)

Q的坐標(biāo)為—.

(2)設(shè)點(diǎn)Q(a,b),請(qǐng)你用含b的代數(shù)式表示a,則a=—.

(3)如圖，點(diǎn)Q在第一象限，點(diǎn)。在x軸的正半軸上，點(diǎn)C為。D的中點(diǎn)，Q。平分

ZAQC,AQ=2QC,當(dāng)Q。時(shí)，求血的值.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4,B分別是y軸正半軸，x軸正半軸上兩動(dòng)點(diǎn)，OA=2k,

OB=2k+3,以AO,BO為鄰邊構(gòu)造矩形AOBC,拋物線y=-1x2+3x+k交y軸于點(diǎn)D,

4

P為頂點(diǎn)，PMLx軸于點(diǎn)M.

(1)求。。，PM的長(zhǎng)(結(jié)果均用含k的代數(shù)式表示).

(2)當(dāng)PM=BM時(shí)，求該拋物線的表達(dá)式.

⑶在點(diǎn)A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中.

①若存在△ADP是等腰三角形，請(qǐng)求出所有滿足條件的k的值.

②當(dāng)點(diǎn)A關(guān)于直線DP的對(duì)稱點(diǎn)A,恰好落在拋物線y=-\x2+3x+k的圖象上時(shí),

請(qǐng)直接寫(xiě)出k的值.

(1)求拋物線的解析式；

⑵將直線0B向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)。，求小的

值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)如圖2,若點(diǎn)N在拋物線上，且/NBO=NABO,則在(2)的條件下，求出所有滿足△

PODs△NOB的點(diǎn)P坐標(biāo)(點(diǎn)P,。，D分別與點(diǎn)N,0,B對(duì)應(yīng)).

11.如圖，二次函數(shù)y=x2+bx-3的圖象與x軸分別相交于4,B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),

與y軸的交點(diǎn)為C,動(dòng)點(diǎn)T在射線AB上運(yùn)動(dòng)，在拋物線的對(duì)稱軸I上有一定點(diǎn)D,其縱坐

標(biāo)為26，/與x軸的交點(diǎn)為E,經(jīng)過(guò)A,T,D三點(diǎn)作OM.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)在點(diǎn)T的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中.

①/DMT的度數(shù)是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

②若MT=\AD,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)T在射線EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MHlx軸于點(diǎn)H,設(shè)“7=a,當(dāng)。"V

X407時(shí)，求y的最大值與最小值(用含a的式子表示).

12.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a*0)的對(duì)稱軸為直線x=-1,圖象經(jīng)過(guò)8(-3,0),

C(0,3)兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)A.

(1)求二次函數(shù)y=a/+bx+c(aH0)的表達(dá)式；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M,使AACM周長(zhǎng)最短，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直接寫(xiě)出使&BPC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

13.一次函數(shù)y=-2x-2分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A,B,頂點(diǎn)為(1,4)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)4

X

(1)求拋物線的解析式.

(2)點(diǎn)C為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m,△ABC面積的為S,當(dāng)也為

何值時(shí)，S的值最大，并求S的最大值.

(3)在(2)的結(jié)論下，若點(diǎn)M在y軸上，MCM為直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).

14.邊長(zhǎng)為2的正方形04BC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)D是邊。4的中點(diǎn)，連接

CD,點(diǎn)E在第一象限，且DEJ.DC,DE=DC.以直線AB為對(duì)稱軸的拋物線過(guò)C,E兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.過(guò)點(diǎn)P

作PFLCD于點(diǎn)F,當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)P,F,D為頂點(diǎn)的三角形與4C0D相似？

(3)點(diǎn)M為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M,N,使得以點(diǎn)M,

N,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

15.如圖，直線y=^x+a與x軸交于點(diǎn)4(4,0),與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y=^x2+bx+c經(jīng)

過(guò)點(diǎn)4,B.點(diǎn)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線分別交直線AB及拋

物線于點(diǎn)P,N.

(2)當(dāng)點(diǎn)M在線段。4上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與點(diǎn)0,A重合)，

①當(dāng)m為何值時(shí)，線段PN最大值，并求出PN的最大值；

②求出使&BPN為直角三角形時(shí)m的值；

⑶若拋物線上有且只有三個(gè)點(diǎn)N到直線AB的距離是h,請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)由點(diǎn)。，B,N,

P構(gòu)成的四邊形的面積.

16.拋物線y=a/+bx+c(aH0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交

于點(diǎn)C(0,-4).已知4(-2,0),拋物線的對(duì)稱軸I交x軸于點(diǎn)￡)(1.0).

(1)求出a,b,c的值；

⑵如圖1,連接BC,點(diǎn)P是線段BC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接PB,PC.點(diǎn)M,N分別

在V軸，對(duì)稱軸I上，且MNly軸.連接AM,PN.當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，請(qǐng)求出

點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)AM+MN+NP的最小值；

(3)如圖2,連接AC,把XAOC按照直線y=x對(duì)折，對(duì)折后的三角形記為△?OC,把

△4OC沿著直線BC的方向平行移動(dòng)，移動(dòng)后三角形的記為△<'O'C",連接

DA",DC",在移動(dòng)過(guò)程中，是否存在△ZM"C"為等腰三角形的情形？若存在，直接寫(xiě)

出點(diǎn)C"的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/+2x-3與x軸交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)力在點(diǎn)B

的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線I,點(diǎn)￡>(-4,n)在拋物線上.

圖1圖2圖3

(1)求直線CD的解析式；

(2)E為直線CD下方拋物線上的一點(diǎn)，連接EC,ED,當(dāng)△ECD的面積最大時(shí)，在直線I

上取一點(diǎn)M,過(guò)M作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)N,連接EM,BN,若EM=BN時(shí)，求

EM+MN+BN的值.

(3)將拋物線y="+2x-3沿式軸正方向平移得到新拋物線y',y'經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0,y'

與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為F,設(shè)P是拋物線y,上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線I上，APFQ

能否成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若能，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+4x+5與y軸交于點(diǎn)4,與x軸的正半軸交

于點(diǎn)C.

(1)求直線AC解析式；

(2)過(guò)點(diǎn)A作AD平行于%軸，交拋物線于點(diǎn)D,點(diǎn)F為拋物線上的一點(diǎn)(點(diǎn)尸在4D上

方)，作EF平行于y軸交AC于點(diǎn)E,當(dāng)四邊形AFDE的面積最大時(shí)？求點(diǎn)F的坐標(biāo),

并求出最大面積；

(3)若動(dòng)點(diǎn)P先從(2)中的點(diǎn)F出發(fā)沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到拋物線對(duì)稱軸上點(diǎn)M處，再沿垂直

于7軸的方向運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上的點(diǎn)N處，然后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P

的運(yùn)動(dòng)路徑最短時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)，并求最短路徑長(zhǎng).

答案

一、解答題

1.【答案】

(1)"點(diǎn)4(-1,0)、5(3,0)在拋物線y-ax2+bx+3±,

(3k+b=0,

"U=3,

解得k=-1,b=2.

拋物線的解析式為y=-X2+2x+3.

(2)在拋物線解析式y(tǒng)=-%2+2x+3中，令x=。，得y=3,

???C(0,3).

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,將B(3,0),C(0,3)坐標(biāo)代入得

C-k.+b=0,

fc+h=2,

解得k=-1,6=3,

y=-x+3.

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(x,-x2+2x+3),則P(x,0),F(x,-x+3),

22

:，EF=yE-yF=-x+2x+3-(-x+3)=-x+3x.

???四邊形ODEF是平行四邊形，

EF=OD=2,

■--x2+3x=2,即%2-3x+2=0,

解得x=1或x=2,

■■P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)或(2,0).

(3)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心為兩條對(duì)角線的交點(diǎn)(或?qū)蔷€的中點(diǎn))，過(guò)對(duì)稱中

心的直線平分平行四邊形的面積，

因此過(guò)點(diǎn)A與平行四邊形ODEF對(duì)稱中心的直線平分平行四邊形ODEF的面積.

①當(dāng)P(l,0)時(shí)，點(diǎn)尸坐標(biāo)為(1,2),又￡>(0,2),

設(shè)對(duì)角線DF的中點(diǎn)為G,則Gg,2).

設(shè)直線AG的解析式為y=kx+b,將4(一1,0),Gg,2)坐標(biāo)代入得：

f—k+b=0,

gk+b=2,

解得k=b=^,

???所求直線的解析式為y=；x+j；

②當(dāng)P(2,0)時(shí)，

點(diǎn)F坐標(biāo)為(2,1),又0(0,2),

設(shè)對(duì)角線DF的中點(diǎn)為G,則G(l,|).

設(shè)直線AG的解析式為y=k》+b,將4(—1,0),G(l,|)坐標(biāo)代入得

(—k+b=0,

h=l.

解得k=b=\,

4

■.所求直線的解析式為y=；x+；.

4433

-X+-或y=-X+-

綜上所述，所求直線的解析式為y=3344

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定、y=ax八2+bx+c的圖象、一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的解析式

2.【答案】

(1)二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于4(一1,0),8(3,0).

[-li+c=0,解得｛:二;'

1—9+3b+c=0,

故b=2,c=3.

(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)Q作Q。1》軸，交BC于點(diǎn)。，又Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為m.

???S>BCQ=W。?8-維)+卬。(%8-XQ)

—^QDQB—xc)

又BC的解析式為y=-x+3,

QD=(—m24-2m+3)—(—m+3)=—m2+3m.

33c9

???SABCQ=S=-QD=--m2+-m.

此時(shí)Q在BC上方，0SmW3.

若Q點(diǎn)在直線BC下方，此時(shí)m<0或m>3.

S=-(-|m2+|m)=|nt2-lm.

/39

——m2o+-m,0<m<3

...S=?22

!7n2-1m,m<0或m>3

(3)①如圖所示，設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)n,設(shè)F點(diǎn)橫坐標(biāo)為t.

存在點(diǎn)F,使得AAPG的面積戌4PHF面積相等，且線段HF的長(zhǎng)度最小,

S^APG=gPG?AP,AP=n+1,PG=—n+3,

???S—PG=1(n+l)(3-n),

2

又^PHF=|PH|(n-t)|,PH=-n+2n+3=-(n+l)(n-3),

???SMHF=+1)(3-n)In-t\,

又SMPG=S“HF>

??.|n-t|=1即P與尸兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相差的絕對(duì)值等于1.

要使HF長(zhǎng)度最小，則“，尸兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸％=1對(duì)稱.

t=—trt/t=—

2隊(duì)2,

當(dāng)t=1時(shí)，y=_Rl+3=M

當(dāng)t=|時(shí)，y=-；+3+3=^.

故F點(diǎn)坐標(biāo)為(;，T)或竽)，

②(0,0)或(1,0)

【解析】

(3)②過(guò)點(diǎn)B,P,C的外接圓過(guò)點(diǎn)H,

???B,P,C,H外接圓的圓心在PH與BC垂直平分線的交點(diǎn),

BC中點(diǎn)坐標(biāo)為(|,|),BC的解析式為y=-x+3.

■■BC的垂直平分線為y=x,

PH=-n2+2n+3.

■■■PH的垂直平分線的解析式為了=土詈坦.

???外接圓圓心為(土等，也產(chǎn)).

又B,P是外接圓上兩點(diǎn)，

—712+271+3c—712+211+3區(qū)力/口八一puy

---------n=3--------------,解得：n=0或n=L

故P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)或(1,0).

【知識(shí)點(diǎn)】y=ax-2+bx+c的圖象、二次函數(shù)的解析式

3.【答案】

(1)vm=1,

■■y7+3%-2=(%+|)—

頂點(diǎn)坐標(biāo)W).

—、,(y=x24-(2m4-l)x+m(m—3),、業(yè)+.,一、八

⑵由｛.消去y得ZH％27+2mx+(zm24-fcm-3m)=0.

(y=x—km,

拋物線與直線y=x-km有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

J=0,即(k—3)m=0.

???無(wú)論m取何值，方程總是成立，

k-3=0.

k=3.

..b2m+l4ac-b24m(m-3)-(2m+l)2167n+l

⑶zv-^=-->F-=----------；---------=一~-'

拋物線y=X2+(,2m+l)x+m(m-3)的頂點(diǎn)為(一勺盧,一北戶口),

16m+l12m-l

PH=

4)1二I4

V1<PH<6,

12m-l12m-l

■■■當(dāng)>0時(shí)，有1V<6,又一1Wm44,

44

5/,25

*,?——<m三一；

1212’

12m-l

當(dāng)<0時(shí)，1<-gzl<6,

4

又-1<m<4,

???—1<TH<-

4

一

/.-1</m<7——1T或—5</m<—25.

4人1212

???A(-m-l,yj在拋物線上，

yi=(-m—I)2+(2m+1)(—m—1)+m(m+3)=-4m.

v6(-771,73)在拋物線上，

2

:.y3=(―m)+(2m+1)(—m)4-m(m—3)=-4m.

???yT=y3.

①令y<-m-1,則有m<-|,結(jié)合一14nz<-；，

-1<m<-|,

此時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)y隨刀的增大而減小，如圖1,

加>yi=丫3,即當(dāng)一1wM<-§時(shí)，有y2>yi=y3；

②令與=-血-1,則4與8重合，此情形不合題意，舍棄;

小人1口m,2m+l.

③令->-m-1,且-<...-n時(shí),

711

有一5<租工一］,結(jié)合一1式加<一1,

2,11

?…iWf

此時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨X的增大而減小，如圖2,

21

?,?%=為>丫2,即當(dāng)一5<血W一§時(shí)，有丫1=丫3>丫2；

④令一^Wy<-m,有一1Wm<0,結(jié)合-1Wm<-%

1,,1

"-3^m<

此時(shí)，在對(duì)稱軸的右側(cè)y隨式的增大而增大，如圖3,

?,?乃<乃=%;

⑤令緊一m,B,C重合，不合題意舍棄.

⑥令7>-m,有m>0,結(jié)合<m<2|,

5,?25

???石<m4石，

此時(shí)，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，如圖4,

%>%=為，

即當(dāng)時(shí)，有y2>y3=71-

綜上所述，T4血<一：或m41時(shí)，有丫2>丫1=丫3；

-3<m<-；時(shí)，有為<%=為?

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的增減性、二次函數(shù)與方程、y=axb+bx+c的圖象、二次函數(shù)的頂點(diǎn)

4.【答案】

⑴了=-苧%+竽；(-2,28)；(1,0)

(2)當(dāng)點(diǎn)N在y軸上時(shí)，△4MN為夢(mèng)想三角形，

如圖1,過(guò)4作ADLy軸于點(diǎn)D,則4。=2,

在y=一手/—殍％+2\/3中，令y=0可求得x=-3或x=1,

C(-3,0),且4(-2,273),

AC=J(-2+3)2+(2V3)2=V13,

由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=V13,

在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=>JAN2-AD2=V13-4=3,

???OD=2收

ON=2y/3-3或ON=2百+3,

當(dāng)ON=2百+3時(shí)，則MN>OD>CM,與MN=CM矛盾，不合題意,

■■N點(diǎn)坐標(biāo)為（0,273-3）;

當(dāng)M點(diǎn)在y軸上時(shí)，則M與。重合，

過(guò)N作NPJ.X軸于點(diǎn)P,如圖2,

在Rt△AMD中，AD=2,OD=273,

???tanZDAM=黑=總

???/DAM=60°,

VADIIx軸，

???ZAMC=ZDAO=60°,

又由折疊可知ZNMA=ZAMC=60°,

:./NMP=60°,且MN=CM=3,

MP=-MNNP=—MN,

22’22'

此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（I，竽）；

綜上可知N點(diǎn)坐標(biāo)為（0,275-3）或（|,竽）；

（3）豹或E（T—￥）,尸（―4,陰.

【解析】

2A/32473

（1）???拋物線y——，一，,工+2業(yè)

33

???其夢(mèng)想直線的解析式為y=-竽x+等,

273,2y[3

y=-—x+—'

聯(lián)立夢(mèng)想直線與拋物線解析式可得

y=一竽/一竽X+2V3,

x=-2,X=1,

解得,y=2V3或

y=o,

???4(-2,273),8(1,0).

(3)①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí),

如圖3,過(guò)F作對(duì)稱軸的垂線過(guò)A作4KJ.X軸于點(diǎn)K,

則有AC//EF且4C=EF,

???ZACK=ZEFH,

在AACK和4EFH中，

(ZACK=/EFH,

jZAKC=/EHF,

Gt?=EF,

■■.^ACK^^EFH(AAS),

???FH=CK=1,HE=AK=2>j3,

■■拋物線對(duì)稱軸為%=-1,

F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?；?2,

??,點(diǎn)F在直線AB上，

當(dāng)F點(diǎn)橫坐標(biāo)為0時(shí)，則尸(0,苧)，此時(shí)點(diǎn)E在直線AB下方，

■-E至ijx軸的距離為EH-OF=2聒-誓=當(dāng)、即E點(diǎn)縱坐標(biāo)為一竽，

,■,E(T—竽)；

當(dāng)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2時(shí)，則F與4重合，不合題意，舍去；

②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

???C(-3,0),且71(-2,273),

??線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(一2.5,⑹，

設(shè)E(-l,t),F(x,y),則x-l=2x(-2.5),y+t=26，

x=-4,y=2-\/3—t,

代入直線AB解析式可得2遮一t=一等x(-4)+9解得t=一竽，

???E(T-竽),唉4,竽).

綜上可知，存在滿足條件的點(diǎn)F,此時(shí)E(—1,—等)，F(xiàn)(0,等)或E(—1,一箏)，F(xiàn)(―4,

V

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的解析式、y=axM+bx+c的圖象、角角邊

5.【答案】

(1)OB=0C=3,

B(3,0),C(0,3).

m=-9+3b+c,解得(b=2,

二次函數(shù)的解析式為y=-X2+2x+3.

(2)y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

設(shè)直線MB的解析式為y=kx+n,

則有仁霹"得憶/

直線MB的解析式為y=-2x+6.

??1PQ1x軸，0Q=m,

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(科一2血+6).

S四邊形4CPQ=S&AOC+S梯形PQOC

(3)線段BM上存在點(diǎn)/vg.y),(2,2),(1+半，4一咿)，使4NMC為等腰三角形.

CM=V2,CN=Vxz+(-2x+3)2,MN=V(x-l)2+(-2x+2)2.

①當(dāng)CM=NC時(shí)，”+(-2彳+3)2=V2,

解得X1=l，x2=l(舍去),此時(shí)A/g,y)；

②當(dāng)CM=MN時(shí)，J(x—+(-2x+2/=V2,

解得x1=1+詈，x2=l-噂(舍去),此時(shí)N(1+誓,4—^

③當(dāng)CN=MN時(shí)-，yjx2+(-2x+3)2=J(X-1)2+(-2X+2)2,

解得x=2,此時(shí)N(2,2).

【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)平面內(nèi)圖形的面積、二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)與三角形綜合、等腰三角形的判

定、等腰三角形的概念、一次函數(shù)的解析式

6.【答案】

⑴把點(diǎn)4(一2,0),B(4,0)分別代入y=ax2+bx-3(aHO),得

(4a-2b-3=0,

I16a+4b-3=0,

'_3

解得「一%

b=

I4

所以該拋物線的解析式為：y=1x2-Jx-3.

⑵方法一：

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=3t,BQ=t.

：.PB=6-3t.

由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3).

在RtABOC中，BC=V32+42=5.

如圖1,

過(guò)點(diǎn)Q作QH1AB于點(diǎn)H.

QHHCO,

?,?&BHQsxBOC,

.絲一絲明生=￡

"OCBCy35'

??.HQ=13t.

"SAPBQ=,HQ=*6-3t).|t=-5產(chǎn)+白=一總。一I)2+2

當(dāng)APBQ存在時(shí)，0ct<2.

二當(dāng)t=1時(shí)，

q=—

」P8Q最大一行。

答：運(yùn)動(dòng)1秒使4PBQ的面積最大，最大面積是

(3)方法一：

設(shè)直線BC的解析式為y=依+c(kH0).

把B(4,0),C(0,-3)代入，得［4k+c=0,

解得卜=3

1c=—3,

???直線BC的解析式為y=jx-3.

???點(diǎn)K在拋物線上.

?1■設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為-|m-3).

如圖2,

過(guò)點(diǎn)K作KEIIy^,交BC于點(diǎn)E.則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(孫：巾-3).

EK=-m—3—(-m2--m—3]=--m2+-m.

4\84782

Q

當(dāng)△PBQ的面積最大時(shí)，,:S&CBK：SABQ=S:2,S^PBQ=—.

%CBK=1.

SMBK=S^CEK+S〉BEK=[EK,巾+[?EK?(4-m)

=1x4.EK

=2(-1m2+|m)

=--m24-3m.

4

即：-+3m=

解得mr=lym2=3.

《(I，一縱

【解析】

(2)方法二：

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=3t,BQ=t,PB=6-3t,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3),

8(4,0),

x3

???iBc-y=i->

過(guò)點(diǎn)Q作QHLAB于點(diǎn)H,

3

：?tan/H8Q=-,

4

3

???sinZHBQ=|,

vBQ=t,

HQ=3/

2

?1-S^PBQ=ipfi-HQ=i(6-3t)x|t=-^t+|t,

???當(dāng)t=l時(shí)，S*BQ最大=三

(3)方法二：

過(guò)點(diǎn)K作KE1久軸交BC于點(diǎn)E,

VSACBK：S?PBQ=5:2,S&PBQ=—,

.c_9

、XCBK=1，

設(shè)E(7n，t/n-3),K^7n,|m2——3^,

_

S〉CBK=Ky)(Bx-Cx)

=-x4x(-m—3--m2+-m+3)

2\2847

=一,m2+3%

/---m2+

443’K=-,

?*,TYl-y=1,TTl2=3,

"K1(1，一京，.(3,*)

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的解析式、y=axt+bx+c的圖象

7.【答案】

⑴將點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式：慰

tyu—ou—U,

解得：a=1,b=3.

二拋物線的解析式為y=x2+3x.

⑵設(shè)直線04的解析式為y=kx,

將4(—4,4)代入得：-4k=4,解得fc=-l,

直線。力的解析式為y=-x.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,a2+3a),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,-a).

???四邊形AHPQ為平行四邊形，

???AH=QP,

??一a-(a。+3a)4,解得：a——2.

??.P(-2,-2),(?(-2,2).

依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知0Q=2或，OP=2y[2,QP=4,

：.PQ2=OQ2+OP2.

???△OQP為直角三角形.

???ZAOP=90°.

(3)如圖2所示：在y軸上取點(diǎn)。，使。。=OB,則D(0,3),延長(zhǎng)AD交拋物線與點(diǎn)C.

當(dāng)點(diǎn)C在直線AB上時(shí)，ZC4。=ZBAO.

設(shè)AC'的解析式y(tǒng)=kx+b,將點(diǎn)4和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得:

匕晨仁？解得卜=-4,b=-12.

???直線AC的解析式為y=-4x-12.

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,4),

???ZAOB=45°,

???ZAOB=ZAOD.

???在bABO和△A。。中，

08=0Df

ZAOB=ZAOD,

AO=AO,

:.AABO0AAOD.

???/BAO=ZCAO.

設(shè)AC的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)4和點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：

鼠3=4,解得：T

所以直線AC的解析式為y=-；x+3.

綜上所述：直線AC的解析式為y=-4x—12或y=—(x+3.

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

8.【答案】

(1)x=4;(-2,2)

(2)m-b2

(3)如圖，

延長(zhǎng)QC到點(diǎn)E,使CE=CQ,連接0E,

■-C為0D的中點(diǎn)，

???0C—0D,

???/ECO=/QCD,

???△ECO斗△QCD,

：?0E=DQ=m,

?:AQ=2QC,

：?AQ=QE,

???Q0平分/AQC,

???Z1=Z2,

:AAQ09〉EQO,

??.AO=EO=m,

???A(0,m),

A(O,m)在新圖象上,

0=m-m2,

nil=1,m2=0(舍去)，

m=1.

【解析】

(1)當(dāng)m=2時(shí)，y=(x-2)2,則G(2,0),

??,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4時(shí)，且P在拋物線上，

將x=4代入拋物線解析式得：y=(4-2尸=4,

???P(4,4),

如圖，

連接QG,PG,過(guò)點(diǎn)Q作QFLx軸于F,

過(guò)點(diǎn)P作PElx軸于E,

由題意得：△GQF94PGE,

則FQ=EG=2,FG=EP=4,

FO=2,

???<2(-2,2).

(2)已知Q(a,b),則GE=QF=b,FG=m—a,

由(1)可知：PE=FG=m-a,GE=QF=b,即P(jn+b,m-d),

代入原拋物線的解析式得：m-a=+2m(jn+b')+m2,

m—a—m2+b2+2mb-2m2—2mb+m2,

a=m—b2.

故用含b的代數(shù)式表示a為：a=m-b2.

【知識(shí)點(diǎn)】角邊角、二次函數(shù)與方程、二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的對(duì)稱軸、全等三角形的性質(zhì)

(D)、邊角邊

9.【答案】

(1)把x=0,代入y=—:/+3%+配得y=k.

所以O(shè)D=k.

4ac-b24X(*3Z

=k+3,

因?yàn)?a4XH)

所以PM=k+3.

(2)因?yàn)椤獈=-----7-3\=2,

')2a2X(-)

所以O(shè)M=2,BM=OB-OM=2k+3-2=2k+l.

又PM=k+3,PM=BM,

所以k+3=2/c+1,解得k=2.

所以該拋物線的表達(dá)式為y=-：/+3x+2.

(3)①

(I)當(dāng)點(diǎn)P在矩形AOBC外部時(shí)，如圖，

過(guò)P作PK1。4于點(diǎn)K.

當(dāng)AD=AP時(shí)，

因?yàn)锳D=AO-DO=2k-k=k,

所以AD=AP=k,KA=KO-AO=PM-AO=k+3-2k=3-k,KP=OM=2,

在RtAKAP中，KA2+KP2=AP2,

所以(3-k)2+22=fc2,解得k=^.

o

n)當(dāng)點(diǎn)P在矩形AOBC內(nèi)部時(shí)，

當(dāng)PD=AP時(shí)，如圖，

過(guò)P作PH1于"，4。=k,HD=^,HO=DO+HD=胃

又因?yàn)镠O=PM=k+3,

所以費(fèi)=k+3,解得fc=6.

當(dāng)DP=DA時(shí)，如圖，

過(guò)。作PQ1PM于Q,

PQ=PM-QM=PM-OD=k+3-k=3,

DQ=OM=2,DP=DA=k,

在Rt△DQP中，OP=JDQ2+QP2=V22+32=V13.

所以k=DP=V13.

【解析】

(3)(DvP(2,fc+3),D(O,k),

???直線PD解析式為y=|x+fc.

???4(0,2k),

??直線AA'的解析式為y=-|x+2fc.

???直線PD和直線AA'的交點(diǎn)為gfc.gfc).

???4(仁亭)?

A'在拋物線y=+3%+k上，

一江(秘y+3x*+k睦"

[k=黑或k=0(舍).

【知識(shí)點(diǎn)】y=axb+bx+c的圖象、二次函數(shù)的解析式、勾股定理

10.【答案】

(1);拋物線y=ax2+bx{a豐0)經(jīng)過(guò)4(3,0),8(4,4),

二將4與B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得落：：：，解得《%二拋物線的解析式是丫=3-3札

(2)設(shè)直線OB的解析式為y=k1X,由點(diǎn)8(4,4),得4=4七，解得自=1,

直線OB的解析式為y=x,

直線OB向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為y=x-m,

,?1點(diǎn)D在拋物線y=/-3x上，

???可設(shè)D(x,x2-3x),

"點(diǎn)D在直線y=x-m上，

■■X2—3x=x—m,即x2—4x+m=0,

???拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，

2

4=16-4m=0,解得m=4,此時(shí)xr=x2=2,y=x-3x=-2,

■■D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-2).

(3)?；直線OB的解析式為y=x，且4(3,0),

???點(diǎn)A關(guān)于直線0B的對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)是(0,3),根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)和三線合一性質(zhì)得出

ZA'BO=ZABO.

設(shè)直線A'B的解析式為、=七》+3,過(guò)點(diǎn)(4,4),

4的+3=4,解得k2=

直線"B的解析式是y=；x+3,

VNNBO=/ABO,ZA'BO=/ABO,

BA,和BN重合，即點(diǎn)N在直線A'B上，

設(shè)點(diǎn)N(n,^n+3),又點(diǎn)N在拋物線y=x2-3x上，

2

^n+3=n-3n,解得%=n2=4(不合題意，舍去)，

■■N點(diǎn)的坐標(biāo)為(-裝).

方法一：

如圖，將4N0B沿x軸翻折，得到△MOB[，則MW),%(4,-4),

■0,D,B]都在直線y=-x±.

P]ODs△NOB,△N0B9△N1OB1,

P]ODs△N1OB1