北師大版選擇性必修第一冊6-5正態(tài)分布作業(yè)

課時作業(yè)(三十七)正態(tài)分布1．設(shè)一符合正態(tài)分布的總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2\r(2π))eeq\s\up15(－eq\f(?x－10?2,8))的圖象，則這個符合正態(tài)分布的總體的均值與方差分別是()A．10與8 B．10與4C．8與10 D．2與10答案：B2．設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，則函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ不存在零點的概率是()A.eq\f(1,4)B.eqB.\f(1,3)C.eqC.\f(1,2)D.eqD.\f(2,3)答案：C3．若隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\s\up15(eq\f(x2,2))，X在(－2，－1)和(1,2)內(nèi)取值的概率分別為p1，p2，則p1，p2的關(guān)系為()A．p1>p2 B．p1<p2C．p1＝p2 D．不確定答案：C4．已知X～N(0，σ2)且P(－2≤X<0)＝0.4，則P(X>2)為()A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4答案：A5．已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生的成績X～N(110,52)，據(jù)此估計，大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)()A．(90,110) B．(95,125)C．(100,120) D．(105,115)答案：C解析：由于X～N(110,52)，所以μ＝110，σ＝5.因此考試成績在區(qū)間(105,115)，(100,120)，(95,125)上的概率應(yīng)分別是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人參加考試，所以成績位于上述三個區(qū)間的人數(shù)分別是60×0.6826≈41(人)，60×0.9544≈57(人)，60×0.9974≈60(人)．6．(2022江蘇泰州中學(xué)模擬)(多選題)若隨機變量ξ～N(0,1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，下列等式成立有()A．φ(－x)＝1－φ(x)B．φ(2x)＝2φ(x)C．P(|ξ|<x)＝2φ(x)－1D．P(|ξ|>x)＝2－φ(x)答案：AC解析：∵隨機變量ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，∴正態(tài)曲線關(guān)于ξ＝0對稱，如圖所示，∵φ(x)＝P(ξ≤x，x>0)，根據(jù)曲線的對稱性可得：A．φ(－x)＝φ(ξ≥x)＝1－φ(x)，所以該命題正確；B．φ(2x)＝φ(ξ≤2x)，2φ(x)＝2φ(ξ≤x)，所以φ(2x)＝2φ(x)錯誤；C．P(|ξ|<x)＝P(－x≤ξ≤x)＝1－2φ(－x)＝1－2[1－φ(x)]＝2φ(x)－1，所以該命題正確；D．P(|ξ|>x)＝P(ξ>x或ξ<－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝1－φ(x)＋1－φ(x)＝2－2φ(x)，所以該命題錯誤．故選AC.7．(2022湖北荊州中學(xué)模擬)(多選題)已知某校高三年級有1000人參加一次數(shù)學(xué)模擬考試，現(xiàn)把這次考試的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)分，標(biāo)準(zhǔn)分的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為(60,300]，若使標(biāo)準(zhǔn)分X服從正態(tài)分布N(180,900)，則下列說法正確的有()參考數(shù)據(jù)：①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973A．這次考試標(biāo)準(zhǔn)分超過180分的約有450人B．這次考試標(biāo)準(zhǔn)分在(90,270]內(nèi)的人數(shù)約為997C．甲、乙、丙三人恰有2人的標(biāo)準(zhǔn)分超過180分的概率為eq\f(3,8)D．P(240<X≤270)＝0.0428答案：BC解析：選項A：因為正態(tài)分布曲線關(guān)于x＝180對稱，所以這次考試標(biāo)準(zhǔn)分超過180分的約有eq\f(1,2)×1000＝500(人)，A不正確；選項B：由正態(tài)分布N(180,900)，可知：μ＝180，σ＝30，所以P(90<X≤270)＝P(180－3×30<X≤180＋3×30)＝0.9973，因此這次考試標(biāo)準(zhǔn)分在(90,270]內(nèi)的人數(shù)約為1000×0.9973≈997(人)，B正確；選項C：因為正態(tài)分布曲線關(guān)于x＝180對稱，所以某個人標(biāo)準(zhǔn)分超過180分的概率為eq\f(1,2)，因此甲、乙、丙三人恰有2人的標(biāo)準(zhǔn)分超過180分的概率為Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,8)，C正確；選項D：由題中所給的公式可知：P(90<X≤270)＝P(180－3×30<X≤180＋3×30)＝0.9973，P(120<X≤240)＝P(180－2×30<X≤180＋2×30)＝0.9545，所以由正態(tài)分布的性質(zhì)可知：P(240<X≤270)＝eq\f(1,2)[P(90<X≤270)－P(120<X≤240)]＝eq\f(1,2)×(0.9973－0.9545)＝0.0214，D不正確．故選BC.8．設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(X<2a－3)＝P(X>a＋2)，則a答案：eq\f(7,3)解析：因為μ＝3，所以eq\f(?2a－3?＋?a＋2?,2)＝3，得a＝eq\f(7,3).9．某地區(qū)高二女生的體重X(單位：kg)服從正態(tài)分布N(50,25)，若該地區(qū)共有高二女生2000人，則體重在50～65kg之間的女生人數(shù)為________．答案：997解析：已知μ＝50，σ＝5，體重在50～65kg之間的概率為P(50<X<65)＝eq\f(1,2)P(35<X<65)＝eq\f(1,2)P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝eq\f(0.9974,2)＝0.4987.所以體重在50～65kg之間的女生人數(shù)為2000×0.4987≈997(人)．10．某人從某城市的A地乘公交車到火車站，由于交通擁擠，所需時間(單位：分鐘)X～N(50,102)，則他在時間段(30,70)內(nèi)趕到火車站的概率為________．答案：0.9544解析：因為X～N(50,102)，所以μ＝50，σ＝10.所以P(30＜X<70)＝P(50－20＜X<50＋20)＝0.9544.11．某校某次數(shù)學(xué)考試的成績X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線如圖所示．(1)試根據(jù)密度函數(shù)曲線寫出正態(tài)分布參數(shù)μ，σ的值；(2)若參加考試的共1200人，你能估計及格人數(shù)嗎？(滿分100分，60分及格)解：(1)通過觀察圖象，可知μ＝60，根據(jù)峰值可知σ＝8，故參數(shù)μ＝60，σ＝8.(2)根據(jù)圖象利用對稱性知及格人數(shù)占參加考試總?cè)藬?shù)的一半，即600人．12．設(shè)X～N(0,1)．(1)求P(－1<X≤1)；(2)求P(0<X≤2)．解：(1)X～N(0,1)時，μ－σ＝－1，μ＋σ＝1，所以P(－1<X≤1)＝0.6826.(2)μ－2σ＝－2，μ＋2σ＝2，正態(tài)曲線f(x)關(guān)于直線x＝0對稱，所以P(0<X≤2)＝eq\f(1,2)P(－2<X≤2)＝eq\f(1,2)×0.9544＝0.4772.13．某廠生產(chǎn)的T型零件的外直徑X～N(10，0.22)，一天從該廠上午、下午生產(chǎn)的T型零件中