全等三角形-【題型·技巧培優(yōu)系列】七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精講精練(北師大版)

4.3全等三角形知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二全等三角形的判定1.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”.2.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”.3.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”.4.兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”.5.直角邊和斜邊相等分別的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫成“HL”題型一全等三角形的性質(zhì)【例題1】（2022秋?固始縣期末）如圖，與交于，，添加一個(gè)條件，仍不能使的是A． B． C． D．解題技巧提煉本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：，，，，．添加時(shí)注意：，不能判定兩個(gè)三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022秋?代縣期末）在與中，，，要使這兩個(gè)三角形全等，還需具備的條件是A． B． C． D．【變式1-2】（2022秋?周口期中）如圖，點(diǎn)，分別在的兩邊上，點(diǎn)在的角平分線上，連接，，下列不能保證的條件是A． B． C． D．【變式1-3】（2022秋?無(wú)棣縣期中）如圖，，只添加一個(gè)條件，使．下列條件中正確的是①；②；③；④．A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④題型二全等三角形的判定——SSS【例題2】工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角．做法如下：如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合．過(guò)角尺頂點(diǎn)C的射線OC即是∠AOB的平分線．這種做法是利用了全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，圖中判斷三角形全等的依據(jù)是．解題技巧提煉本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)．要熟練掌握確定三角形的判定方法，利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題是一種重要的能力，要注意培養(yǎng)．【變式2-1】如圖，兩根長(zhǎng)12m的繩子，一端系在旗桿上的同一位置，另一端分別固定在地面上的兩個(gè)木樁上（繩結(jié)處的誤差忽略不計(jì)），現(xiàn)在只有一把卷尺，如何來(lái)檢驗(yàn)旗桿是否垂直于地面？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式2-2】如圖△ABC中，點(diǎn)D在AC上，E在AB上，且AB＝AC，BC＝DC，AD＝DE＝BE．（1）求證：△BCE≌△DCE；（2）求∠EDC的度數(shù)．【變式2-3】如圖，AB＝AC，AD＝AE，CD＝BE．求證：∠DAB＝∠EAC．題型三全等三角形的判定——SAS【例題3】在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是射線CB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，且∠BAC＝90°時(shí)，那么∠DCE＝度；（2）設(shè)∠BAC＝α，∠DCE＝β．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，∠BAC≠90°時(shí)，請(qǐng)你探究α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上，∠BAC≠90°時(shí)，請(qǐng)將圖3補(bǔ)充完整，寫出此時(shí)α與β之間的數(shù)量關(guān)系并證明．解題技巧提煉本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BAD≌△CAE是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】如圖，在△ABC中，AD，CE分別是BC、AB邊上的高，AD與CE交于點(diǎn)F，連接BF，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，使得AG＝BC，連接BG，若CF＝AB．（1）求證：△ABG≌△CFB；（2）在完成（1）的證明后，愛思考的琪琪想：BF與BG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？它們之間又有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)你幫琪琪解答這一問(wèn)題，并說(shuō)明理由．【變式3-2】（1）如圖1，已知在△ABC中，AD為中線，求證AB+AC＞2AD．（2）如圖2，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥DF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：BE+CF＞EF．【變式3-3】如圖所示，A、B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明想用繩子測(cè)量A、B間的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，請(qǐng)你利用三角形全等的相關(guān)知識(shí)帶他設(shè)計(jì)一種方案測(cè)量出A、B間的距離，寫出具體的方案，并解釋其中的道理．題型四全等三角形的判定——ASA【例題4】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．（1）求證：△ABD≌△ECB．（2）若∠BDC＝70°．求∠ADB的度數(shù)．解題技巧提煉本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，還考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題目比較典型，難度適中．【變式4-1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC上，連接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延長(zhǎng)AF至點(diǎn)D，使AD＝AC，連接CD．（1）求證：△ABE≌△ACF；（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度數(shù)．【變式4-2】如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于點(diǎn)P．（1）求∠APC的度數(shù)；（2）若AE＝4，CD＝4，求線段AC的長(zhǎng)．【變式4-3】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，E為邊BC上的任意點(diǎn)，D為線段BE的中點(diǎn)，AB＝AE，EF⊥AE，AF∥BC．（1）求證：∠DAE＝∠C；（2）求證：AF＝BC．題型五全等三角形的判定——AAS【例題5】如圖所示，已知△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）若AE∥BC，且∠E=13∠CAD，求∠解題技巧提煉本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，判定三角形全等是證明線段或角相等的重要方式，在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．【變式5-1】如圖，若AB⊥BC于點(diǎn)B，AE⊥DE于點(diǎn)E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，則∠BAE的度數(shù)是．【變式5-2】如圖，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)F，且AB＝DE．若BD＝8cm，則AC的長(zhǎng)為．【變式5-3】如圖，把一個(gè)長(zhǎng)為10m的梯子AB斜靠在墻上，測(cè)得BM＝6m，梯子沿墻下滑到CD位置，測(cè)得∠ABM＝∠DCM，DM＝8m，求梯子下滑的高度．題型六全等三角形的判定——HL【例題6】如圖