2020-2021高二數(shù)學(xué)北師大版5學(xué)案：3.1.1不等關(guān)系含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)北師大版必修5學(xué)案：3.1.1不等關(guān)系含解析第三章不等式§1不等關(guān)系1．1不等關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一不等式的定義［填一填]我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“≠”“〉”“〈”“≤"“≥"連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系．含有這些不等號(hào)的式子，叫作不等式．[答一答］1．不等式“a≥b”讀作什么？其含義是什么?提示:“a≥b”讀作“a大于或等于b"，其含義為“a〉b或者a＝b"．知識(shí)點(diǎn)二在數(shù)學(xué)意義上的不等關(guān)系［填一填](1）常量與常量之間的不等關(guān)系；（2）變量與常量之間的不等關(guān)系；（3）函數(shù)與函數(shù)之間的不等關(guān)系；(4）一組變量之間的不等關(guān)系．[答一答]2．“不等關(guān)系"與“不等式”有怎樣的區(qū)別？提示：不等關(guān)系與不等式是不同的概念，前者強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號(hào)“≠”“〉”“<”“≥"“≤”來(lái)表示,而后者表示的是兩者的不等關(guān)系，可用“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b"或“a≤b”等式子表示，這二者之間的關(guān)系是可以通過(guò)不等式來(lái)體現(xiàn)的，離開了不等式,不等關(guān)系就無(wú)從體現(xiàn)．不等式的各個(gè)符號(hào)的含義不等式表示的是不相等的關(guān)系．對(duì)于“不相等”可以是“大于”或“小于”．對(duì)于不等式a≤b，表示的是a<b或a＝b，只需滿足其中一條，不等式就成立．如3≤3就是3〈3或3＝3,盡管3〈3不成立，但3＝3成立,因此，我們說(shuō)3≤3這個(gè)不等式成立.2≤3就是2<3或2＝3，盡管2＝3不成立，但2〈3成立，因此,我們說(shuō)2≤3這個(gè)不等式成立，只是不如2〈3更準(zhǔn)確．對(duì)于不等式a≥b，表示的是a〉b或a＝b，同樣也是只需滿足其中一條，不等式就成立．對(duì)于實(shí)數(shù)來(lái)講，只存在a＝b或a〉b或a<b三種關(guān)系中的一種，不可能同時(shí)滿足兩種．類型一用不等式表示不等關(guān)系【例1】糖水在日常生活中經(jīng)常見到，可以說(shuō)大部分人都喝過(guò)糖水．試從下列關(guān)于糖水濃度的問題中提煉出相應(yīng)的不等式．(1）向一杯糖水里加點(diǎn)糖，糖水變甜了;（2）把原來(lái)的糖水(淡）與加糖后的糖水（濃）混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡．【思路探究】糖水變甜的意思是糖水的濃度變大,可以用不等式表示出加糖前后的濃度的大小關(guān)系來(lái)說(shuō)明這一生活常識(shí)．【解】(1）設(shè)糖水b克，含糖a克，易知濃度為eq\f(a,b),加入m克糖后的濃度為eq\f（a＋m,b＋m）,則提煉出的不等式為：若b>a〉0，m>0,則eq\f(a，b)〈eq\f（a＋m，b＋m).（2)設(shè)淡糖水b1克，含糖a1克，易知濃度為eq\f(a1，b1)；濃糖水b2克，含糖a2克，易知濃度為eq\f（a2，b2）,則混合后的濃度為eq\f(a1＋a2，b1＋b2），所提煉出的不等式為:若b1〉a1〉0，b2〉a2>0,且eq\f(a1,b1）<eq\f(a2，b2)，則eq\f(a1，b1)〈eq\f(a1＋a2,b1＋b2）<eq\f（a2，b2)。規(guī)律方法(1）a,b,m∈R＋，且a〉b，則eq\f(b＋m，a＋m)>eq\f(b,a);（2）a，b，m∈R＋,且a<b，則eq\f(b＋m,a＋m）<eq\f(b,a）;（3）a，b，m∈R＋，且a<b，a>m，則eq\f（a－m，b－m)<eq\f（a，b）；(4）a，b，m,n∈R＋,且a〈b，n〈m，則eq\f（a＋n,b＋n）〈eq\f(a＋m,b＋m)；(5）a，b，m，n∈R＋,且a〉b，n<m，則eq\f(a＋n，b＋n）〉eq\f（a＋m,b＋m）；（6)a，b，c，d∈R＋，且eq\f(b，a）〈eq\f（d,c)，則eq\f(b＋d，a＋c)<eq\f（d，c）。用不等式（組）正確表示出不等關(guān)系,首先要弄清題意,分清是常量與常量、變量與常量、變量與變量,還是函數(shù)與函數(shù)之間的不等關(guān)系,然后找到表示不等關(guān)系的詞語(yǔ)，選準(zhǔn)不等號(hào)，將量與量用不等號(hào)連接．要注意不等式與不等關(guān)系的對(duì)應(yīng)，做到不重不漏，切記在實(shí)際問題中需檢驗(yàn)變量的取值范圍．某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元的價(jià)格銷售,每天可銷售100件,現(xiàn)在他采用提高售價(jià),減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn)．已知這種商品的售價(jià)每提高1元,銷售量就相應(yīng)地減少10件．若把提價(jià)后商品的售價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示每天的利潤(rùn)不低于300元？解:若提價(jià)后商品的售價(jià)為x元,則銷售量減少eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（x－10,1)×10）)件，因此，每天的利潤(rùn)為(x－8）［100－10(x－10)]元,則“每天的利潤(rùn)不低于300元”可以表示為不等式(x－8）·［100－10(x－10)］≥300，即(x－8）（20－x)≥30.類型二用不等式組表示不等關(guān)系【例2】某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t需耗A種礦石10t，B種礦石5t,煤4t，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1t需耗A種礦石4t,B種礦石4t，煤9t；每1t甲種產(chǎn)品的利潤(rùn)是600元，每1t乙種產(chǎn)品的利潤(rùn)是1000元．工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中要求消耗A種礦石不超過(guò)300t,B種礦石不超過(guò)200t,煤不超過(guò)360t．試寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式組．【思路探究】所給材料中的限制條件較多，可選擇不等式組表示出這些不等關(guān)系．【解】可以設(shè)分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品xt、yt，根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系．（1)消耗A種礦石不超過(guò)300t;（2)消耗B種礦石不超過(guò)200t；（3)消耗煤不超過(guò)360t；（4)甲、乙兩種產(chǎn)品數(shù)均非負(fù),所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(10x＋4y≤300，,5x＋4y≤200，，4x＋9y≤360,，x≥0，，y≥0.)）規(guī)律方法解答此類問題時(shí),一定要留意所給材料中的每個(gè)數(shù)字，弄清其含義,特別是一些隱含關(guān)系，一定要完整地寫出，本題中極易漏掉條件x≥0,y≥0.【例3】某鋼鐵廠要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過(guò)500mm鋼管數(shù)量的3倍．寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式．【思路探究】設(shè)出變量，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言．【解】假設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根．根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系：（1)截得兩種鋼管的總長(zhǎng)度不能超過(guò)4000mm；（2)截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過(guò)500mm鋼管數(shù)量的3倍；（3)截得兩種鋼管的數(shù)量都是正整數(shù)．由以上不等關(guān)系，可得不等式組:eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（500x＋600y≤4000，,3x≥y，,x∈N＋，，y∈N＋，））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（5x＋6y≤40，,3x≥y，，x∈N＋,,y∈N＋。）)某汽車公司由于發(fā)展的需要需購(gòu)進(jìn)一批汽車，計(jì)劃使用不超過(guò)1000萬(wàn)元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為40萬(wàn)元、90萬(wàn)元的A型汽車和B型汽車．根據(jù)需要,A型汽車至少買5輛，B型汽車至少買6輛，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式．解：設(shè)購(gòu)買A型汽車和B型汽車分別為x輛、y輛，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(40x＋90y≤1000，，x≥5，，y≥6，，x，y∈N＋,）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（4x＋9y≤100，，x≥5，,y≥6，，x，y∈N＋.）)——易錯(cuò)警示系列——題意理解錯(cuò)誤導(dǎo)致錯(cuò)解解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是審清題意，找出題目中的限制條件，利用限制條件找到不等關(guān)系，然后再利用不等式（組）表示．【例4】某礦山車隊(duì)有4輛載重為10t的甲型卡車和7輛載重為6t的乙型卡車，有9名駕駛員．此車隊(duì)每天至少要運(yùn)360t礦石至冶煉廠．已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次,寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式．【錯(cuò)解】設(shè)每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛．根據(jù)題意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(10×6x＋6×8y≥360，,0≤x≤4,，0≤y≤7，，x，y∈N＋，))即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(5x＋4y≥30，，0≤x≤4,，0≤y≤7，,x，y∈N＋。）)【錯(cuò)解分析】本題忽略甲型卡車和乙型卡車的總和不超過(guò)駕駛員人數(shù)而導(dǎo)致錯(cuò)誤．導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因是沒有真正理解題意，因此解決此問題的難點(diǎn)是找出題中顯性和隱性的不等關(guān)系．【正解】設(shè)每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛．根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系：（1)每天派出的甲型卡車和乙型卡車的輛數(shù)總和不能超過(guò)駕駛員人數(shù)．(2)車隊(duì)每天至少要運(yùn)360t礦石．（3)每天派出的甲型卡車不能超過(guò)4輛,乙型卡車不能超過(guò)7輛，且車輛數(shù)均為正整數(shù)．要同時(shí)滿足上述三個(gè)不等關(guān)系,可以用下面的不等式組來(lái)表示:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9，,10×6x＋6×8y≥360，，0≤x≤4，，0≤y≤7，,x，y∈N＋，））即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y≤9，，5x＋4y≥30，,0≤x≤4，，0≤y≤7，，x，y∈N＋.）)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種圖畫紙,計(jì)劃每種圖畫紙的生產(chǎn)量不少于8t，已知生產(chǎn)甲種圖畫紙1t要用蘆葦7t、黃麻3t、楓樹5t；生產(chǎn)乙種圖畫紙1t要用蘆葦3t、黃麻4t、楓樹8t．現(xiàn)在倉(cāng)庫(kù)內(nèi)有蘆葦300t、黃麻150t、楓樹200t，試列出滿足題意的不等式組．解：設(shè)甲、乙兩種圖畫紙的生產(chǎn)量分別為xt，yt,根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系：①生產(chǎn)甲、乙兩種圖畫紙需要的蘆葦不超過(guò)300t，用不等式表示為7x＋3y≤300；②生產(chǎn)甲、乙兩種圖畫紙需要的黃麻不超過(guò)150t，用不等式表示為3x＋4y≤150；③生產(chǎn)甲、乙兩種圖畫紙需要的楓樹不超過(guò)200t，用不等式表示為5x＋8y≤200;④甲、乙兩種圖畫紙的生產(chǎn)量都不少于8t,用不等式表示為x≥8,y≥8.所以滿足題意的不等式組為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（7x＋3y≤300，,3x＋4y≤150，，5x＋8y≤200,，x≥8，y≥8.))一、選擇題1．在下列式子中，不是不等式的是(C)A．m≤0 B．－1>－eq\f（7，2)C．x＝5 D．2x2＋x〉12．實(shí)數(shù)x大于eq\r（10)，用不等式表示為（C）A．x<eq\r(10) B．x≤eq\r(10）C．