2020-2021高二數(shù)學(xué)人教版5學(xué)案：3.1 第2課時(shí)不等式的性質(zhì)含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案：3.1第2課時(shí)不等式的性質(zhì)含解析第2課時(shí)不等式的性質(zhì)[目標(biāo)］1.掌握不等式的有關(guān)性質(zhì)；2。能利用不等式的性質(zhì)比較大小、證明不等式、求代數(shù)式的取值范圍．［重點(diǎn)]不等式的性質(zhì)及應(yīng)用．［難點(diǎn)］對(duì)不等式性質(zhì)的理解．知識(shí)點(diǎn)不等式的性質(zhì)[填一填］[答一答]1．若a〉b，c>d，那么a＋c〉b＋d，是否有a〉b，c>d則a－c〉b－d成立?提示：不一定，如3>1，－1>－10，則3－(－1）〉1－(－10）不成立．2．兩個(gè)不同向不等式的兩邊可以分別相除嗎？提示:不可以．兩個(gè)不同向不等式的兩邊不能分別相除，在需要商時(shí),可利用不等式性質(zhì)轉(zhuǎn)化為同向不等式相乘．3．對(duì)不等式變形時(shí)，要注意什么？提示：對(duì)不等式的每一次變形，都要有相應(yīng)的性質(zhì)為依據(jù)，否則,變形就是錯(cuò)誤的．4．由a≥b,b≥c能否得到a≥c呢?如果a≥b，b>c，能否一定得到a≥c呢？提示:由a≥b，b≥c可以得到a≥c；而如果a≥b,b〉c，我們一定可以得到a>c.又“a≥c”包含“a>c”或“a＝c"，所以a≥c是一定成立的．故如果a≥b,b>c，一定可以得到a≥c.類型一不等式性質(zhì)的應(yīng)用命題視角1：判斷命題的真假［例1]判斷下列命題是否成立,若不成立,適當(dāng)增加條件使之成立．（1）若a〉b，則ac≤bc;（2）若ac2>bc2,則a2>b2；(3）若a>b，則lg（a＋1）〉lg（b＋1)；（4）若a〉b，c〉d,則eq\f(a，d）>eq\f(b,c).[分析]本題考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，可結(jié)合不等式的性質(zhì)找出所缺少的條件．［解］(1)不成立．命題“若a>b且c≤0，則ac≤bc”成立，即增加條件“c≤0”．（2)不成立．由ac2>bc2可得a>b,但只有b≥0時(shí)，才有a2〉b2，即增加條件“b≥0”．（3）不成立．由a>b可得a＋1>b＋1,但作為真數(shù),應(yīng)有b＋1>0，故應(yīng)增加條件“b〉－1”．（4）不成立。eq\f（a，d)>eq\f（b,c)成立的條件有多種（如a>b>0，c〉d>0），因此，可增加條件“b>0,d〉0”．1。判定一個(gè)命題是假命題，有下面兩種方法：1從已知條件入手,推出與結(jié)論相反的結(jié)論;2舉出反例,反例法簡(jiǎn)捷、快速、有效，是解決該類問題行之有效的好方法。,2。應(yīng)用不等式基本性質(zhì)時(shí)，一定要注意“保序”時(shí)的條件，如“非負(fù)乘方保序”,其中“乘負(fù)反序”“同時(shí)取倒反序”兩種情況極易忽視，應(yīng)特別注意。[變式訓(xùn)練1］已知a，b,c∈R，且c≠0，則下列命題正確的是（D）A．如果a>b，那么eq\f（a，c）>eq\f(b，c)B．如果ac<bc，那么a〈bC．如果a〉b,那么eq\f（1，a）<eq\f(1,b）D．如果a>b，那么eq\f(a,c2)〉eq\f（b，c2）解析：利用不等式的性質(zhì)或者舉反例進(jìn)行判斷．取a＝2，b＝－1，c＝－1，滿足選項(xiàng)A，B，C中的條件．對(duì)A有：eq\f(a,c)<eq\f（b，c)，故A錯(cuò)．對(duì)B有a〉b，故B錯(cuò)．對(duì)C有eq\f（1,a）〉eq\f(1,b），故C錯(cuò)．對(duì)于D，∵c≠0，∴eq\f(1，c2)>0，由不等式的性質(zhì)4知,D正確．命題視角2：證明不等式[例2](1）已知a〉b>0，求證：eq\f（1,a2)〈eq\f（1,b2)。(2)若bc－ad≥0,bd〉0,求證:eq\f（a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d)。［證明］（1)a〉b>0?a2>b2〉0?eq\f（1,a2)〈eq\f(1,b2).(2）bc－ad≥0,∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d）≥d(a＋b），又bd>0,兩邊同除以bd得,eq\f（a＋b，b)≤eq\f(c＋d，d).利用不等式性質(zhì)證明不等式的實(shí)質(zhì)就是依據(jù)性質(zhì)把不等式進(jìn)行變形.在此過程中,一要嚴(yán)格符合性質(zhì)條件；二要注意向特征不等式的形式化歸。［變式訓(xùn)練2］若a〉b>0，c<d〈0，e〈0，求證：eq\f（e，a－c2)>eq\f（e，b－d2).證明:∵c〈d〈0，∴－c〉－d〉0，∴a－c〉b－d〉0.∴（a－c）2〉(b－d)2〉0。∴0〈eq\f（1,a－c2）〈eq\f（1，b－d2）。又∵e〈0，∴eq\f(e,a－c2）〉eq\f(e，b－d2）。命題視角3:求取值范圍［例3]已知－6〈a<8,2〈b〈3，分別求2a＋b,a－b，eq\f（a，b）的取值范圍．［分析]解答本題可利用不等式的可加性和可乘性求解．［解]∵－6〈a<8,2<b<3，∴－12〈2a<16?！啵?0〈2a＋又∵－3〈－b<－2，∴－9〈a－b<6。又eq\f（1，3)<eq\f（1，b)<eq\f（1,2)，（1）當(dāng)0≤a<8時(shí)，0≤eq\f（a,b)〈4;（2）當(dāng)－6<a〈0時(shí)，－3<eq\f（a,b）〈0。由(1)(2)得－3<eq\f(a,b)<4.求含有字母的數(shù)或式子的取值范圍時(shí),要注意以下兩點(diǎn):1要注意題設(shè)中的條件；2要正確使用不等式的性質(zhì)，尤其是兩個(gè)同方向的不等式可加不可減;兩邊都是正數(shù)的同向不等式可乘不可除。[變式訓(xùn)練3](1)已知12〈a〈30,15<b〈48，則eq\f(a，b）的范圍是eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,4)，2)）。解析：∵15〈b<48，∴eq\f(1,48)<eq\f(1，b)<eq\f（1,15）.又12〈a<30,∴eq\f（12，48）〈eq\f（a,b）〈eq\f(30，15)，即eq\f(1，4）<eq\f（a,b)<2。(2)已知0≤a≤1，2≤a－b≤3，則a－2b的取值范圍是［3,6]．解析：∵0≤a≤1，2≤a－b≤3，∴－1≤－a≤0,4≤2a－2b∴3≤－a＋（2a－2b）≤6，即3≤a－2b類型二不等式的性質(zhì)與函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用[例4］(1）已知實(shí)數(shù)x,y滿足ax〈ay(0<a〈1），則下列關(guān)系式恒成立的是(）A。eq\f(1,x2＋1)〉eq\f（1，y2＋1) B．ln(x2＋1)>ln（y2＋1)C．sinx〉siny D．x3〉y3（2)設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，則(）A．c>b>a B．b〉c〉aC．a(chǎn)〉c>b D．a(chǎn)>b〉c[解析](1）由ax〈ay（0<a<1）及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得x〉y，而函數(shù)y＝x3是單調(diào)遞增函數(shù),所以x3>y3.(2）因?yàn)閍＝log36＝1＋log32,b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72,又y＝log2x是增函數(shù)，所以log27>log25>log23〉0因?yàn)閘og27＝eq\f(1，log72）,log25＝eq\f（1，log52），log23＝eq\f（1,log32)，所以log32〉log52>log72，所以a〉b>c。［答案]（1）D（2)D高考中這樣的考題較多,多是研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和單調(diào)性，熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是關(guān)鍵.［變式訓(xùn)練4]若x∈(e－1，1），a＝lnx,b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2）））lnx，c＝elnx，則(D)A．c>b>a B．b>a>cC．a(chǎn)>b>c D．b〉c〉a解析：c＝elnx＝x∈(e－1,1）,b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2））)lnx∈（1,2)，a＝lnx∈(－1，0)，所以b〉c>a.1．設(shè)a>b>c,且a＋b＋c＝0，則下列不等式恒成立的是（C）A．a(chǎn)b〉bc B．a(chǎn)c>bcC．a(chǎn)b>ac D．a(chǎn)|b|>c|b|解析:由a>b〉c且a＋b＋c＝0得a>0，c<0，b符號(hào)不確定，則由a>0，b〉c一定有ab〉ac成立．故選C。2．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－eq\f(c,a）〈－eq\f（d，b），則(B）A．bc<ad B．bc〉adC.eq\f(a,c）>eq\f(b,d)D。eq\f（a,c）<eq\f(b，d）解析：由－eq\f（c,a)〈－eq\f(d，b）得eq\f(c,a）〉eq\f（d，b）又ab>0得eq\f（c，a）·ab〉eq\f（d，b)·ab即bc〉ad.故選B.3．若－1<α〈β〈1，則下列各式中恒成立的是（A)A．－2<α－β<0 B．－2〈α－β<－1C．－1<α－β〈0 D．－1〈α－β<1解析:∵－1<α〈β<1，∴－1〈α〈1，－1<－β〈1，則有－2<α－β<2，又α〈β,∴α－β<0。綜上必有－2〈α－β〈0。4．給出下列命題:①a>｜b|?a2>b2；②a>b?a3>b3;③｜a｜>b?a2>b2。其中正確的命題是①②。5．已知a>b〉0,c<d〈0,求證：eq\r(3，\f（a,d))<eq\r（3,\f(b，c））。證明：∵c<d<0，∴－c>－d〉0?！?<－eq\f(1，c）<－eq\f（1,d).又a>b〉0，∴－eq\f（a，d）〉－eq\f（b，c)>0?！鄀q\r(3,\f(－a，d)）〉eq\r(3，\f(－b,c)），即－eq\r(3,\f（a，d）)〉－eq\r（3,\f(b,c))，兩邊同乘－1，得eq\r（3，\f（a,d))〈eq\r（3，\f（b,c))?！菊n須掌握的兩大問題1．對(duì)不等式性質(zhì)的六點(diǎn)說(shuō)明(1）性質(zhì)1和2，分別稱為“對(duì)稱性”與“傳遞性"，在它們的證明中，要用到比較大小的“定義”等知識(shí)．（2)性質(zhì)3(即可加性）是移項(xiàng)法則“不等式中任何一項(xiàng)的符號(hào)變成相反的符號(hào)后，可以把它從一邊移到另一邊"的依據(jù)．（3)性質(zhì)4(即可乘性)在使用中要特別注意研究“乘數(shù)的符號(hào)"．(4）性質(zhì)5(即加法法則),即“同向不等式只能相加，不等號(hào)方向不變,不能相減”．（5）性質(zhì)6,7(即乘法法則與乘方法則)，即均為正數(shù)的同向不等式相乘，得同向不等式，并無(wú)相除式．(6)性質(zhì)7，8可并為函數(shù)y＝xn(n〉0)在(0,＋∞）上遞增．2．證明不等式(1)不等式的性質(zhì)是證明不等式