江蘇省淮安市2023屆高三數(shù)學(xué)3月模擬測試試題（一）

PAGE1-江蘇省淮安市淮海中學(xué)2022屆高三數(shù)學(xué)3月模擬測試試題〔一〕一、填空題：本大題共14小題,每題5分,共70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1．集合，，那么▲.2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第▲象限.3．有100件產(chǎn)品編號從00到99，用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取5件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，分組后每組按照相同的間隔抽取產(chǎn)品，假設(shè)第5組抽取的產(chǎn)品編號為91，那么第2組抽取的產(chǎn)品編號為____▲____．4.根據(jù)如下列圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果為▲.5.某同學(xué)欲從數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)和生物4個學(xué)科中隨機(jī)選擇2個，那么數(shù)學(xué)被選中的概率為▲.6.假設(shè)實(shí)數(shù)，滿足那么的最大值為▲.7.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，那么點(diǎn)到雙曲線的漸進(jìn)線的距離為▲.8.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，假設(shè)，，那么的值為▲.9．假設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為5、圓心角為的扇形，那么該圓錐的體積為▲.10.在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，假設(shè)平移后得到的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，那么的值為▲.11.假設(shè)曲線在與處的切線互相垂直，那么正數(shù)的值為▲.12.如圖，矩形的邊長，.點(diǎn)，分別在邊，上，且，那么的最小值為▲.13.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，從直線上一點(diǎn)向圓引兩條切線，，切點(diǎn)分別為，.設(shè)線段的中點(diǎn)為，那么線段長的最大值為▲.14.函數(shù)，假設(shè)函數(shù)有4個零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是▲.二、解答題：本大題共6小題，共90分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(此題總分值14分)如圖，在三棱錐中，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：〔1〕平面；〔2〕平面平面.16.(此題總分值14分)在中，角，，所對的邊分別是，，，且，.〔1〕求的值；〔2〕求的值.17.(此題總分值14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓〔〕的離心率為，兩條準(zhǔn)線之間的距離為.〔1〕求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2〕橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，且的面積是面積的2倍，求直線的方程.18.(此題總分值16分)如圖，某小區(qū)中央廣場由兩局部組成，一局部是長邊為的正方形，另一局部是以為直徑的半圓，其圓心為.規(guī)劃修建的3條直道，，將廣場分割為6個區(qū)域：I、III、V為綠化區(qū)域〔圖中陰影局部〕，II、IV、VI為休閑區(qū)域、其中點(diǎn)在半圓弧上，分別與，相交于點(diǎn)，.〔道路寬度忽略不計(jì)〕〔1〕假設(shè)經(jīng)過圓心，求點(diǎn)到的距離；〔2〕設(shè)，.eq\o\ac(○,1)試用表示的長度；eq\o\ac(○,2)當(dāng)為何值時，綠化區(qū)域面積之和最大.19.(此題總分值16分)函數(shù)〔〕有極值，且函數(shù)的極值點(diǎn)是的極值點(diǎn)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).〔極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值時對應(yīng)的自變量的值〕〔1〕求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕當(dāng)時，假設(shè)函數(shù)的最小值為，證明：.20.(此題總分值16分)假設(shè)數(shù)列同時滿足：eq\o\ac(○,1)對于任意的正整數(shù)，恒成立；eq\o\ac(○,2)對于給定的正整數(shù)，對于任意的正整數(shù)〔〕恒成立，那么稱數(shù)列是“數(shù)列〞.〔1〕判斷數(shù)列是否為“數(shù)列〞，并說明理由；〔2〕數(shù)列是“數(shù)列〞，且存在整數(shù)〔〕，使得，，，成等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.數(shù)學(xué)II〔附加題〕21.(此題總分值10分)B.[選修4-2：矩陣與變換]，向量是矩陣的屬于特征值的一個特征向量，求與.C.(此題總分值16分)[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系中，直線與曲線〔為參數(shù)〕相交于，兩點(diǎn)，求線段的長.【必做題】第22、23題，每題10分，共計(jì)20份.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22.(此題總分值16分)如圖，在四棱錐中，，，兩兩垂直，，且，.〔1〕求二面角的余弦值；〔2〕點(diǎn)為線段上異于的點(diǎn)，且，求的值.23.(此題總分值16分)〔1〕用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，〔，且，〕；〔2〕求的值.

參考答案1.{-2}2.四3.314.105.6.57. 8.9.10.11.12.13.14.15.〔1〕在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所有.又因?yàn)槠矫?，平面，所有平?〔2〕在中，，是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋矫?，平面，，所有平?又因?yàn)槠矫?，所有平面平?16.〔1〕在中，根據(jù)余弦定理及，.又因?yàn)?，所?在中，由余弦定理得，.〔2〕因?yàn)椋?，及得，又，所有在中，，所?17.〔1〕設(shè)橢圓的焦距為，由題意得，，，解得，，所有，所以橢圓的方程為.〔2〕方法一：因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)闄E圓的方程為，所有.設(shè)，那么.所有eq\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,2)，由eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)得，解得，〔舍去〕.把代入eq\o\ac(○,1)，得，所有，因此，直線的方程為即，.方法二：因?yàn)椋?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)直線的方程為.由得，所有，解得.所有，，代入得，化簡得，即，解得，所以，直線的方程為即，.18.以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.〔1〕直線的方程為，半圓的方程為〔〕,由得.所有，點(diǎn)到的距離為.(2)eq\o\ac(○,1)由題意，得.直線的方程為，令，得.直線的方程為，令，得.所有，的長度為，.eq\o\ac(○,2)區(qū)域IV、VI的面積之和為，區(qū)域II的面積為，所以〔〕.設(shè)，那么，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時“=〞成立.所有，休閑區(qū)域II、IV、VI的面積的最小值為.答：當(dāng)時，綠化區(qū)域I、III、V的面積之和最大.19.〔1〕因?yàn)椋?，解?列表如下.-0+↓極小值↑所以時，取得極小值.因?yàn)?，由題意可知，且所以，化簡得.由，得.所以，.〔2〕因?yàn)椋杂?，那么，令，解得，列表如?-0+↓極小值↑所有時，取得極小值，也是最小值，此時，.令，解得.列表如下.-0+↓極小值↑所以時，取得極小值，也是最小值.所以.令，那么，記，，那么，.因?yàn)?，，所以，所有單調(diào)遞增.所以，所以.20.〔1〕當(dāng)為奇數(shù)時，，所以..當(dāng)為偶數(shù)時，，所以..所以，數(shù)列是“數(shù)列〞.〔2〕由題意可得：，那么數(shù)列，，,…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，數(shù)列，，,…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，數(shù)列，，,…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為.因?yàn)?，所以，所以，所以①，?假設(shè)，那么時，①不成立；假設(shè)，那么時，②不成立；假設(shè)，那么①和②都成立，所以.同理得：，所以，記.設(shè)，那么.同理可得：，所以，所以是等差數(shù)列.數(shù)學(xué)附加題答案21.B．由得，所以所以.設(shè)，那么即.所以，，.所以，.C．曲線的普通方程為.聯(lián)立解得或所以，，所以.22.以為正交基底，建立如下圖空間直角坐標(biāo)系.那么，，，，〔1〕由題意可知，，.設(shè)平面的法向量為，那么