題型09 圓錐曲線中的直角弦（原卷版）

秒殺高考題型之圓錐曲線中的直角弦直角弦定義：直線與圓錐曲線相交于A、B兩點(diǎn)，若存在點(diǎn)P，使得PAPB，則弦AB叫做相對于點(diǎn)P的直角弦。直角弦有三種考法：=1\*GB3①PAPB以AB為直徑的圓過點(diǎn)P；=2\*GB3②APB是鈍角點(diǎn)P在以AB為直徑的圓內(nèi)；=3\*GB3③APB是銳角點(diǎn)P在以AB為直徑的圓外；【秒殺題型一】：橢圓中的直角弦?！好霘⒉呗浴唬悍椒ㄒ淮痤}規(guī)范模板：Step1：設(shè)直線的方程；Step2：直線與曲線聯(lián)立，整理成關(guān)于x(或y)的一元二次方程；Step3：寫出根與系數(shù)的關(guān)系；Step4：利用，把根與系數(shù)的關(guān)系代入。方法二答題規(guī)范模板：Step1：設(shè)直線的方程；Step2：直線與曲線聯(lián)立，整理成關(guān)于x(或y)的一元二次方程；Step3：利用根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)，把點(diǎn)的坐標(biāo)中的換為得到點(diǎn)的坐標(biāo)；Step4：由兩點(diǎn)式求出的方程，進(jìn)而求出直線的特點(diǎn)?！绢}型1】：相對于橢圓中心的直角弦?！好霘⒉呗浴唬褐本€與曲線交于兩點(diǎn)，若(為曲線中心)，則稱為相對于中心的直角弦，由，得秒殺公式：中心到直線的距離為定值：。1.(2008年新課標(biāo)全國卷20)在直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，也是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為與在第一象限的交點(diǎn)，且。（1）求的方程；（2）平面上的點(diǎn)滿足直線，且與交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程?！绢}型2】：相對于其它點(diǎn)的直角弦?！好霘⒉呗浴唬豪谩Ｃ霘⒐剑荷弦稽c(diǎn)，過作互相垂直的兩條直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，則恒過定點(diǎn)。秒殺方法：一般情況，直線AB（設(shè)直線AB方程為：y=kx+m。)與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，使，會出現(xiàn)一個固定型關(guān)系式：（記住，因運(yùn)算較繁瑣.)，即，AB恒過定點(diǎn)（舍去），注意：若條件中以或以AB為直徑的圓過點(diǎn)P的形式給出，則不能舍去，答案有兩個值?；颍珹B恒過定點(diǎn)。1.(2020年新高考全國卷22)已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)A（2，1）．（1）求C的方程：（2）點(diǎn)M、N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值。2.(2014年遼寧卷)圓的切線與軸正半軸、軸正半軸圍成一個三角形，當(dāng)該三角形面積最小時，切點(diǎn)為(如圖)，雙曲線過點(diǎn)且離心率為。（1）求的方程；（2）橢圓過點(diǎn)且與有相同的焦點(diǎn)，直線過的右焦點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，若以線段為直徑的圓過點(diǎn)，求的方程。3.(高考題)已知橢圓:過點(diǎn)，且離心率為。（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由。4.(高考題)已知橢圓：.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)為原點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，且，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論?！久霘㈩}型二】：拋物線中的直角弦。【題型1】：相對于原點(diǎn)的直角弦?！好霘⒉呗浴唬簰佄锞€中相對于曲線中心的直角弦：直線交于()，()兩點(diǎn)(注意設(shè)點(diǎn)技巧），為原點(diǎn)，若，把叫做相對于的直角弦，得秒殺結(jié)論：=1\*GB3①直線恒過定點(diǎn)，，反之亦然。推導(dǎo)過程：設(shè)直線AB：，與拋物線聯(lián)立得：，設(shè)A、B，由，得，，恒過定點(diǎn)。=2\*GB3②面積的最小值為：;推導(dǎo)過程：先證明恒過定點(diǎn)，，當(dāng)時，即時，。=3\*GB3③點(diǎn)的軌跡為：;推導(dǎo)過程：先證明恒過定點(diǎn)，設(shè)，則有，即，化簡即得。=4\*GB3④弦的中點(diǎn)的軌跡方程為：。推導(dǎo)過程：先證明恒過定點(diǎn)，利用點(diǎn)差法可得，即，化簡即得。1.(2017年新課標(biāo)全國卷=3\*ROMANIII20)已知拋物線,過點(diǎn)的直線交于,兩點(diǎn)，圓是以線段為直徑的圓。（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上；（2）設(shè)圓過點(diǎn)，求直線與圓的方程。2.(2020年新課標(biāo)全國卷=3\*ROMANIII7)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線C：交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．（，0） B．（，0） C．（1，0） D.（2，0）【題型2】：相對于其它點(diǎn)的直角弦?！好霘⒉呗浴唬豪谩Ｃ霘⒐剑荷弦稽c(diǎn)，過作互相垂直的兩條直線，與拋