反常積分的斂散性判定方法

.z.--.--考試資料內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)本科學(xué)年論文反常積分?jǐn)可⑿缘呐卸ǚ椒ㄗ髡哧愔緩?qiáng)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級(jí)2012級(jí)**122094102指導(dǎo)教師魏運(yùn)導(dǎo)師職稱教授最終成績(jī)75分-.z.………………..…….….……………..1………………..…….….…………..1引言2…………..…….….…………….2…………..…….….……………..2……..…….….…………3……..…….….…………3………………..…….….………4……..…….….……………4(1).定義判別法…..…….….……………..……4(2).比較判別法…..…….….……………..……4(3).柯西判別法…..…….….……………..……5(4)阿貝爾判別法.…..…….….…………….6(5).狄利克雷判別法…..…….….……………7…..…….….…………….….…8(1).定義判別法…..…….….……………..……8……………..…….….……………..9…………………..…….….…………9(4).柯西判別法……………..…….….……………9(5).阿貝爾判別法……………..…….….……….10(6).狄利克雷判別法……..…….….…………….10-.z.--考試資料參考文獻(xiàn)………………..…….….………11-.z.摘要在很多實(shí)際問(wèn)題中，要突破積分區(qū)間的有窮性和被積函數(shù)的有界性，由此得到了定積分的兩種形式的推廣：無(wú)窮限反常積分和瑕積分。我們將這兩種積分統(tǒng)稱為反常積分。因?yàn)榉闯７e分涉及到一個(gè)收斂問(wèn)題，所以反常積分的斂散性判定就顯得非常重要了。本文將對(duì)反常積分的斂散性判定進(jìn)展歸納總結(jié)，并給出了相關(guān)定理的證明，舉例說(shuō)明其應(yīng)用，這樣將有助于我們靈活的運(yùn)用各種等價(jià)定理判斷反常積分的斂散性。關(guān)鍵詞：反常積分瑕積分極限斂散性引言近些年以來(lái)，一些數(shù)學(xué)工作者對(duì)反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e方法做了研究并取得了許多重要的進(jìn)展。如華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析〔上冊(cè)〕，對(duì)反常積分積分的定義，性質(zhì)的運(yùn)用及講義其判別收斂性的方法。華中科技大學(xué)出版的數(shù)學(xué)分析理論方法與技巧，也對(duì)反常積分?jǐn)可⑿耘袆e做了詳細(xì)的講解，還用圖形的方法說(shuō)明其意義。引申出反常積分?jǐn)可⑿缘牡葍r(jià)定義，并通過(guò)例題說(shuō)明其應(yīng)用。眾多學(xué)者研究的內(nèi)容全而廣，實(shí)用性很高，尤其是在研究斂散性的判別很明顯，這對(duì)我現(xiàn)所研究的論文題目提供了大量的理論依據(jù)和參考文獻(xiàn)，對(duì)我完成此次論文有很大的幫助，但絕大多數(shù)文獻(xiàn)只是對(duì)其一種方法進(jìn)展研究，而本文將對(duì)其進(jìn)展歸納總結(jié)，舉例說(shuō)明其應(yīng)用。一、預(yù)備知識(shí)1.無(wú)窮限反常積分定義1.1設(shè)函數(shù)在[ａ，＋∞〕有定義，假設(shè)在[ａ，A]上可積〔A>a〕且當(dāng)A→＋∞時(shí)，存在，稱反常積分收斂，否則稱反常積分與發(fā)散。對(duì)反常積分與注意：只有當(dāng)和都收斂時(shí)，才認(rèn)為是收斂的。內(nèi)有定義，且b為唯一瑕點(diǎn)，假設(shè)存在，稱瑕積分收斂定義3：設(shè)C且為f(*)的一個(gè)瑕點(diǎn)，假設(shè)和均收斂，則稱瑕積分3.反常積分的性質(zhì)(1)Cauchy收斂原理：收斂>0，>a,當(dāng)>>時(shí)，有<(2)線性性質(zhì)：假設(shè)與都收斂，則對(duì)任意常數(shù)，也收斂，且有=(3)積分區(qū)間可加性，假設(shè)收斂，則b,=.(4)假設(shè)收斂，則≤。，例1.1計(jì)算無(wú)窮積分〔是常數(shù)，且〕解：在有定義，且〔a〕<<〔b〕=+=+例1.2討論的收斂性解：由于，因?yàn)闉槭諗?，所以根?jù)比較判別法為絕對(duì)收斂。在有定義，且非負(fù)，且則：〔a〕當(dāng)<<〔b〕=〔c〕<<時(shí)，，具有一樣點(diǎn)斂散性。證：〔1)假設(shè)，由極限的性質(zhì)，存在常數(shù)A〔A>a〕使得當(dāng)時(shí)成立即于是由比較判別法，當(dāng)收斂時(shí)也收斂〔2〕假設(shè)，由極限的性質(zhì)，存在常數(shù)A〔A〕，使得當(dāng)時(shí)成立其中0于是由比較判別法，當(dāng)發(fā)散時(shí)也發(fā)散例1.3討論的斂散性解：，而收斂，所以收斂總結(jié)：使用比較判別法，需要一個(gè)斂散性判別結(jié)論明確，同時(shí)又形成簡(jiǎn)單的函數(shù)作為比較對(duì)象，在上面的例子中我們都是取為比較對(duì)象的，因?yàn)樗鼈冋媚軡M足這倆個(gè)條件(4).柯西判別法：設(shè)在有定義，在任何有限區(qū)間上可積，且則有：當(dāng)時(shí)，收斂當(dāng)，時(shí)，發(fā)散(5).阿貝爾判別法：滿足：〔a〕單調(diào)有界〔b〕收斂則收斂證：由于存在M>0，使再由〔2〕可知，>0,,當(dāng)時(shí)，有<又=〔+〕=2再次由柯西準(zhǔn)則知Abel定理成立。例1.4證(0<)收斂利用阿貝爾判別法，因?yàn)槭諗浚衷谏蠁握{(diào)有界，故是收斂的(6).Dirichlet判別法：滿足〔1〕f(*)單調(diào)且趨于0〔*0〕〔2〕有界〔a>A〕則收斂。證：由于存在M>0，有界，所以有又由于f〔*〕0〔*)故對(duì)>0,,當(dāng)時(shí)，有即，，所以同理有，故當(dāng)時(shí)，有例1.5證積分收斂，但不絕對(duì)收斂證：，而單調(diào)且當(dāng)時(shí)趨于0，故由Dirichlet判別法知收斂；但=而，單調(diào)趨于0，故收斂，而發(fā)散，故發(fā)散例1.6積分的斂散性當(dāng)時(shí)是可積的；當(dāng)時(shí)，它是不可積的，因?yàn)檫@時(shí)被積函數(shù)在上無(wú)界。但作為反常積分，當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散；因?yàn)楫?dāng)時(shí)有而當(dāng)時(shí)有例1.7積分作為反常積分，當(dāng)時(shí)它收斂；當(dāng)時(shí)它發(fā)散。這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)有而當(dāng)p=-1時(shí)有，例2.1計(jì)算瑕積分的值解：被積函數(shù)在上連續(xù)，從而在任何上可積，為其瑕點(diǎn).依定義求得瑕積分〔瑕點(diǎn)為a〕收斂的充要條件是：任給，存在，只要總有=0<，a為其瑕點(diǎn)，且在任何上可積，如果當(dāng)時(shí)，收斂當(dāng)，時(shí)，發(fā)散(4).柯西判別法設(shè)*=a是f(*)的瑕點(diǎn)，如果則絕對(duì)收斂；如果則發(fā)散例2.2討論的斂散性〔〕解：*=0是其唯一奇點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，取，則，由柯西判別法知，收斂類(lèi)似的，當(dāng)時(shí)，取，則由柯西判別法知，發(fā)散當(dāng)時(shí)，可以直接用Newton-leibniz公式得到因此,當(dāng)時(shí)，反常積分收當(dāng)斂;當(dāng)時(shí)，反常積分發(fā)散(5).阿貝爾判別法設(shè)f(*)在*=a有奇點(diǎn)，收斂，g(*)單調(diào)有界，