2023年第6屆中國(guó)女子數(shù)學(xué)奧林匹克(CGMO)試題(含答案)

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2023年女子數(shù)學(xué)奧林匹克

第一天

1．設(shè)m為正整數(shù)，假如存在某個(gè)正整數(shù)n，使得m可以表示為n和n的正約數(shù)個(gè)數(shù)（包括1和自身）的商，則稱(chēng)m是“好數(shù)”。求證：（1）1，2，…，17都是好數(shù)；（2）18不是好數(shù)。

2．設(shè)△ABC是銳角三角形，點(diǎn)D、E、F分離在邊BC、CA、AB上，線(xiàn)段AD、BE、CF經(jīng)過(guò)△ABC的外心O。已知以下六個(gè)比值

DCBD、EACE、FBAF、FABF、ECAE、DB

CD

中至少有兩個(gè)是整數(shù)。求證：△ABC是等腰三角形。

3．設(shè)整數(shù))3(>nn，非負(fù)實(shí)數(shù).2,,,2121=+++nnaaaaaa滿(mǎn)足求1

112

1232

221++++++aaaaaan的最小值。

4．平面內(nèi))3(≥nn個(gè)點(diǎn)組成集合S，P是此平面內(nèi)m條直線(xiàn)組成的集合，滿(mǎn)足S關(guān)于P中的每一條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。求證：nm≤，并問(wèn)等號(hào)何時(shí)成立？

其次天

5．設(shè)D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，滿(mǎn)足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E是邊BC的中點(diǎn)，

F是邊AC的三等分點(diǎn)，滿(mǎn)足AF=2FC。求證：DE⊥EF。

6．已知a、b、c≥0，.1=++cba求證：

.3)(4

1

2≤++-+

cbcba

7．給定肯定值都不大于10的整數(shù)a、b、c，三次多項(xiàng)式cbxaxxxf+++=2

3)(滿(mǎn)足條件32:.0001.0|)32(|+≥bbb

則而),2(2

1

2,0+≥

≥aaa

時(shí)則

.

4,3,2,1,0,0;2,1,0,1;0,2,.2.),3)(2(2

3

32======≤++>

abababbbaba因此故沖突

（i）當(dāng)0,2==ab時(shí)，式②為

).1()1(1013112+++=ka

kakppαα

（ii）當(dāng)2,1,0,1==ab時(shí)，式②為

).1()1)(2(2123121+++=?ka

kaaakppαα

（iii）當(dāng)4,3,2,1,0,0==ab時(shí)，式②為

).1()1)(2(31211+++=kakjaaakppαα

（i）（ii）（ii）均不成立。綜上，18不是好數(shù)。

2．從六個(gè)比值中取出兩個(gè)，共有兩種類(lèi)型：（1）涉及同一邊；（2）涉及不同的邊。（1）假如同一邊上的兩個(gè)比值同時(shí)是整數(shù)，不妨設(shè)為

DCBD、.DB

CD

因它們互為倒數(shù)，又同是整數(shù)，所以，必需都取1，則BD=DC。

因?yàn)镺是△ABC的外心，進(jìn)而得AD是邊BC的中垂線(xiàn)。于是，AB=AC。（2）記∠CAB=α，∠ABC=β，∠BCA=γ。

由于△ABC是銳角三角形，所以，∠BOC=2α，∠COA=2β，∠AOB=2γ。

于是，

.2sin2sinβ

γ

==??OACOABSSDCBD同理，

.2sin2sin,2sin2sinα

β

γα==FBAEEACE若上述六個(gè)比值中有兩個(gè)同時(shí)是整數(shù)且涉及不同的邊時(shí)，則存在整數(shù)m、n，使得

znyzmx2sin2sin2sin2sin==且①

或ynzxmz2sin2sin2sin2sin==且，②其中，x、y、z是α、β、γ的某種羅列。以下構(gòu)造△A1B1C1，使得它的三個(gè)內(nèi)角分離為

180°—2α，180°—2β，180°—2γ。如圖1，過(guò)點(diǎn)A、B、C分離作△ABC外接圓的切線(xiàn)，

所圍成的△A1B1C1即滿(mǎn)足要求。

按照正弦定理，知△A1B1C1的三邊與α2sin、β2sin、γ2sin成正比。在式①、②兩種狀況下，可知其三邊之比分離為1:m:n或m:n:mn.

對(duì)于式①，由三角形兩邊之和大于第三邊，可知必需m=n；

對(duì)于式②，要保證1)1)(1(,+nmmnnm即，由此，m、n中必有一個(gè)為1。無(wú)論哪種狀況，都有△A1B1C1是等腰三角形。因此，△ABC也是等腰三角形。

3．由=++naaa212，知問(wèn)題等價(jià)于求

.1

111

11212123232222

2

1212

32

22211的最大值++++++=+-+++-++-

aaaaaaaaaaaaaaaaaannn

由于0,0,,212

≥>≥+yxxx當(dāng)所以時(shí)，

.

,0;

2

1

1,12,1121222222上式也成立時(shí)當(dāng)即=≤++≥+≥xxyxyxxyxxyxxx.

)()(4)

,,,(:.)()(4),4(0,,,,).(2

1

1

112211132212122111322121132212

12123232222

2

1nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaafaaaaaaaaaaanaaaaaaaaaaaaaaaaaa+++-++++=+++≤++++≥≥+++≤

++++++--設(shè)引理的證實(shí)則若引理故

下面用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)

.0),,,(21≤naaaf①

當(dāng)4=n時(shí)，不等式①等價(jià)

.)())((4243214231aaaaaaaa+++≤++

由平均值不等式知，命題成立。假設(shè)不等式①對(duì))4(≥=kkn時(shí)成立。

對(duì)于1+=kn，不妨設(shè)

).

,,,,(),,,(,

0])[(4])()([4)

,,,,(),,,(},

,,,min{1121121111111111111121121121+-++-++-++-+-+++≤≤+--=+-+-++=+-=kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkaaaaafaaafaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaafaaafaaaa即則

由歸納假設(shè)知，上式右邊小于或等于0，即當(dāng)1+=kn時(shí)，不等式①成立。回到原題。由引理知

即故,2

1

111.2

1

281)(81)(21

212123232222

21222113221≤++++++=?=+++≤+++aaaaaaaaaaaaaaaaaannn.

,0,1.231

113212

1232221上式取等號(hào)時(shí)當(dāng)=====≥++++++nnaaaaaaaaaa

因此，所以最小值為.2

3

4．（1）記S中的n個(gè)點(diǎn)為A1，A2，…，An.建立直角坐標(biāo)系，設(shè)).,,2,1)(,(niyxAiii=

易證.)1,1(01

11∑∑∑===?=n

inin

iiiiynxnBBA

這說(shuō)明，平面內(nèi)存在唯一的一點(diǎn)B，使

.01

=∑=n

ii

BA

我們稱(chēng)B為點(diǎn)集S的“質(zhì)心”。

假如任取P中一條直線(xiàn)l為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則.01

∑==n

ii

y

故點(diǎn)B在l上。即P中每一條直線(xiàn)均過(guò)質(zhì)心B。

（2）設(shè)

}.

|),,{(},|),,{(},,,,|),,({21上在對(duì)稱(chēng)關(guān)于與三元有序組lXFlYXFYXFlYXFlYXPlSYXlYXF∈=≠∈=∈∈=

明顯，.,2121φ==FFFFF①

考慮P中任向來(lái)線(xiàn)l，X為S中任一點(diǎn)，X關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Y是唯一的。即對(duì)每一個(gè)

l，三元有序組（X，Y，l）有n個(gè)，故

.||mnF=②

對(duì)于F1中的三元有序組（X，Y，l），由于不同的兩點(diǎn)X、Y的對(duì)稱(chēng)軸惟獨(dú)1條，所以，

).1(22-==nnCn③

（i）當(dāng)S中任一點(diǎn)至多在P中的一條直線(xiàn)l上時(shí)，

.}|{||2nSXXF=∈≤④

由式①、②、③、④得.,)1(nmnnnmn≤+-≤即

（ii）當(dāng)S中存在一點(diǎn)同時(shí)在P中的兩條直線(xiàn)上時(shí)，由（1）所證，此點(diǎn)即為質(zhì)點(diǎn)B。

考慮集合PSBSS仍關(guān)于此時(shí)'=',},{\中的每條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，由（i）所證，得.1||-='≤nSm

綜合（i）、（ii）得.nm≤

（3）當(dāng)m=n時(shí)，由（2）所證，式③、④同時(shí)取等號(hào)，即S中隨意兩點(diǎn)的中垂線(xiàn)均屬于P，S中每點(diǎn)恰在P中的一條直線(xiàn)，同時(shí)，質(zhì)心B不在S中。

首先，指出),,2,1(niBAi=相等。否則，假如存在j、kjBABAnkjk≠≤

-≥--=-+-=+=+≥-≠-≠-≠≠∈≠+≠+<+≤-≤<=++=+++++++++=+++++++++=++++++=+nmnmnmnmnmnmnmfnmnmnmnmnmnmfnmnmnmnbamcbabacbacbbaaacbafZ

8．先證實(shí)兩個(gè)引理。

引理1當(dāng)nmn假如時(shí),≥個(gè)棋手的賽況具有性質(zhì))(mP，則必有一個(gè)棋手全勝。引理1的證實(shí)：當(dāng)n=m時(shí)，命題明顯成立。假設(shè)命題對(duì)n成立。

則對(duì)1+n個(gè)棋手，從中任取n個(gè)棋手，由歸納假設(shè)，這n個(gè)棋手中必有一個(gè)棋手全勝。不妨設(shè)121,,,AAAAn中全勝。

若A1勝全勝棋手中則在11,1,AnAn++；

若A1平,,,,,,11211+-+nnnAAAAA考察棋手這n個(gè)棋手中沒(méi)人全勝，不行能；若,,,,,,,143111++nnnAAAAAAA考察棋手勝這n個(gè)棋手中全勝的只能是

12143111,.,.,,,,+++++nnnnnAnAAAAAAA個(gè)棋手中在這因此也勝同理勝即全勝。

由歸納