九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中真題分類匯編(人教版)：專題07 旋轉(zhuǎn)(解析版)(人教版)

專題07旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)1．如圖，將ABC繞點C按照順時針方向旋轉(zhuǎn)35得到△ABC，AB交AC于點D．若ADC90，則A（

）A．45

B．50

C．55

D．60【答案】C【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出ACA，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵將ABC繞點C按照順時針方向旋轉(zhuǎn)35得到△ABC∴ACA35，∵AA，ADC90∴AA90ACA55，故選：C．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，明確旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊，對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在矩形ABCD中，AB1，CBD14，將矩形ABCD繞對角線BD的中點O旋轉(zhuǎn)角度0a90得到矩形ABCD，當(dāng)C，D的距離等于1時，α等于（

）A．28

B．42

C．48

D．56【答案】D【分析】如圖，連接OC，CD，由矩形性質(zhì)可證OCBOBC，得DOC28，易知DOC≌DOC，所以DOCDOC，進而求得COC72，即旋轉(zhuǎn)角度．【詳解】如圖，連接OC，CD，∵四邊形ABCD是矩形，∴ACBD，OC

12

1AC，OBODBD，2∴OBOCODOC，∴OCBOBC，∴DOCOBCOCB2CBD28．∵C，D的距離等于1，AB1CD，∴CDCD，∴DOC≌DOCSSS，∴DOCDOC，∴COC2DOC56．故選D．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形外角的知識；由圖形的旋轉(zhuǎn)變換轉(zhuǎn)化為全等三角形解決問題是求解的關(guān)鍵．3．如圖，在ABC中，CAB70，將ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到ABC的位置，使得CC∥AB，劃BAB的度數(shù)是（

）A．35

B．40

C．50

D．70【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，由等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求解即可得到答案．【詳解】解：∵CC∥AB，CAB70，∴CCACAB70，∵將ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到ABC的位置，∴CABCAB70，ACAC，∴ACCCCA70，∴CAC180707040，∵BABCABCAB，CACCABCAB，∴BABCAC40，即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是40，故選：B．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求角度，涉及平行線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，是解決問題的關(guān)鍵．4．如圖，在ABC中，BAC120，將ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到DEC，點A，B的對應(yīng)點分別為D,E，連接AD．當(dāng)點A,D,E在同一條直線上時，下列結(jié)論不一定正確的是（

）A．ACD是等邊三角形C．ABCADC

B．ABCDD．BCDE【答案】C【分析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABC≌DEC，然得到EDCBAC120，ACCD，即可證明出ACD是等邊三角形，進而判斷A選項；求出BADBACCAD60，然后結(jié)合ADC60即可證明出ABCD，進而判斷B選項；根據(jù)題目沒有說明B的度數(shù)，而ADC60即可判斷C選項；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到BBCD，然后由全等三角形的性質(zhì)得到BE，即可得到BCDE，進而可判斷D選項．【詳解】∵將ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到DEC，∴△ABC≌DEC∴EDCBAC120，ACCD∴ADC180EDC60∴ACD是等邊三角形，故A選項正確；∴CAD60∵BAC120∴BADBACCAD60∴BADADC60ABCD，故B選項正確；∵題目沒有說明B的度數(shù)，而ADC60∴B和ADC不一定相等，故C選項不一定正確；∵ABCD∴BBCD又∵△ABC≌DEC∴BE∴BCDE，故D選項正確；故選：C．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的判定．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．繞某一點旋轉(zhuǎn)問題5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為0,3，點B的坐標(biāo)為4,0，連接AB，若將ABO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到ABO，則點A的坐標(biāo)為（

）A．6,4

B．4,3

C．7,4

D．8,6【答案】C【分析】過A作ACx軸于點C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BCAOOA3，ACOBOB4，進而求解．【詳解】解：過A作ACx軸于點C，由旋轉(zhuǎn)可得O90，OBx軸，∴四邊形OBCA為矩形，∴BCAOOA3，ACOBOB4，∴OCOBBC7，∴點A坐標(biāo)為7,4．故選：C．【點睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系與圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握求點的坐標(biāo)的常用方法．6．在平面直角坐標(biāo)系中，將點M1,2繞點O旋轉(zhuǎn)180，得到的對應(yīng)點N的坐標(biāo)為（

）A．(-1,2)

B．1,2

C．(1,-2)

D．1,2【答案】C【分析】根據(jù)中心對稱的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：將點M1,2繞點O旋轉(zhuǎn)180，得到的對應(yīng)點的坐標(biāo)是(1,-2)，故選：C．【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握中心對稱的性質(zhì)，屬于中考常考題型．7．如圖，點B在x軸上，ABO90,A30,OA2，將OAB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)120，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束后，點B所在位置的坐標(biāo)是（）1A．2，

3

12

1322

D．1，【答案】A【分析】先判斷三角形OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)120，可得旋轉(zhuǎn)3次為一個循環(huán)．再分別求解第1次，第2次，第3次旋轉(zhuǎn)后B的坐標(biāo)，由規(guī)律得到第2023次旋轉(zhuǎn)后與第1次旋轉(zhuǎn)后的位置相同即可解答．【詳解】解：∵ABO90,A30,OA2，AOB60,OB1,AB22123,∵三角形OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)120，∴旋轉(zhuǎn)3次為一個循環(huán)．第1次旋轉(zhuǎn)，如圖，過B作BFx軸于F,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：FOB18012060,OBF30,∵OB1,OF

12

,BF12

122

32

,旋2B．，旋2B．，3C．，01,2

3第2次旋轉(zhuǎn)，如圖，過B作BFx軸于F,此時OA與x軸重合，AOB60,OBF30,同理可得：OF

12

122

32

,13點B所在位置的坐標(biāo)為,；第3次旋轉(zhuǎn)，如圖，三角形回到原位置，所以點B所在位置的坐標(biāo)為(1,0)；……∵202336741，∴第2023次旋轉(zhuǎn)后，與第2次旋轉(zhuǎn)后的位置相同，所以點B所在位置的坐標(biāo)為

12,

3故選：A．【點睛】本題考查的是與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的規(guī)律探究、含30的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、坐標(biāo)與圖形等知識點，發(fā)現(xiàn)每旋轉(zhuǎn)3次為一個循環(huán)是解題的關(guān)鍵．8．平行四邊形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖，AOC45,OA1,OC2，把平行四邊形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點A落在y軸正半軸上，則旋轉(zhuǎn)后點B的對應(yīng)點B的坐標(biāo)為（

）點B所在位置的坐標(biāo)為2點B所在位置的坐標(biāo)為2；,BF12222．A．(2,2)

B．(21,2)

C．(2,3)

D．(2,21)【答案】D【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求出點B的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖：作BEy軸于點E，∵四邊形OABC是平行四邊形，ABOC2，∵把平行四邊形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點A落在y軸正半軸上，AOAAOC45，OAOA1，ABABOC2，BAO135，BAE45，AEBE

22

AB

2，OEOAAE21，旋轉(zhuǎn)后點B的對應(yīng)點B的坐標(biāo)為(2,21)，故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的變換旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．9．已知在AOB中，B90，ABOB，點O的坐標(biāo)為0,0，點A的坐標(biāo)為0,4，點B在第一象限內(nèi)，將這個三角形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)75后，那么旋轉(zhuǎn)后點B的坐標(biāo)為

．【答案】2,6

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及含30直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，求解即可．【詳解】解：如圖所示，B是旋轉(zhuǎn)后點B的對應(yīng)點，過點B作BC⊥y軸于點C，則BOB75，∵B90，ABOB，點A的坐標(biāo)為0,4，∴ABO是等腰直角三角形，則OBOB∴BOC754530，

22

AO22，12

6，∴B2,6，故答案為：2,6．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵，難點在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．旋轉(zhuǎn)綜合10．如圖1，在ABC中，A90，ABAC21，點D，E分別在邊AB，AC上，且ADAE1，連接DE．現(xiàn)將VADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為(0360)，如圖2，連接CE，BD，CD．∴CBOB∴CBOB2，OCOB2BC2旋(1)當(dāng)0180時，如圖2，求證：CEBD；(2)當(dāng)90時，如圖3，延長CE交BD于點F，求證：CF垂直平分BD；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△BCD的面積最大時，直接寫出此時旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)和△BCD的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)135，

3252【分析】（1）利用“SAS”證得ACE≌ABD即可得到結(jié)論；（2）利用“SAS”證得ACE≌ABD，推出ACEABD，計算得出ADBC22，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）觀察圖形，當(dāng)點D在線段BC的垂直平分線上時，△BCD的面積取得最大值，利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意：ABAC，ADAE，CABEAD90，∵CAEBAEBADBAE90，CAEBAD，在△ACE和△ABD中，ACABAEADACE≌ABDSAS，CEBD；（2）解：根據(jù)題意：ABAC，ADAE，CABEAD90，在△ACE和△ABD中，CAECAEBAD，ACABAEADACE≌ABDSAS，ACEABD，∵ACEAEC90，且AECFEB，ABDFEB90，EFB90，CFBD，∵ABAC21，ADAE1，CABEAD90，BC2AB22，CDACAD

22，BCCD，∵CFBD，CF是線段BD的垂直平分線；（3）解：△BCD中，邊BC的長是定值，則BC邊上的高取最大值時△BCD的面積有最大值，當(dāng)點D在線段BC的垂直平分線上時，△BCD的面積取得最大值，如圖：∵ABAC21，ADAE1，CABEAD90，DGBC于G，AG

12

BC

222

，GAB45，DGAGAD

222

1

242

，DAB18045135，BCD的面積的最大值為：12

BCDG

12

24(22)2

3252

，旋轉(zhuǎn)角135．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．CAECAEBAD，11．如圖1，點E為正方形ABCD內(nèi)一點，AEB90，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90，得到△CBE（點A的對應(yīng)點為點C），延長AE交CE于點F，連接DE．(1)試判斷四邊形BEFE的形狀，并說明理由；(2)如圖2，若DADE，請猜想線段CF與FE的數(shù)最關(guān)系并加以證明；(3)如圖1，若VADE的面積為72，BC15，請直接寫出CF的長．【答案】(1)四邊形BEFE是正方形，理由見解析；(2)CFEF，理由見解析；(3)3．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到EAEB90，EBE90，再由題意可得FEB90，BEBE，即可得四邊形BEFE是正方形；（2）過點D作DHAE于點H，可證明VAEB≌VDHA，則有AHBE，根據(jù)正方形的性質(zhì)即可解決；（3）作DG⊥AE于G，設(shè)AEx，由SVADE72得BE，由CFEFCE即可求出CF．【詳解】（1）解：四邊形BEFE是正方形．理由如下：∵將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90，AEBCEB90,BEBE,EBE90．∵BEF90，∴四邊形BEFE是矩形．∵BEBE，∴四邊形BEFE是正方形．（2）解：CFEF；理由如下：如圖2，過點D作DHAE于點H，

12

DGAE求得AE，在Rt△ABE中，由勾股定理QDADE，DHAE，AH

12

AE，ADHDAH90．∵四邊形ABCD是正方形，ADAB，DAB90．DAHEAB90．ADHEAB．QADAB,AHDAEB90，VADH≌VBAEAAS．AHBE

12

AE．∵將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90，AECE．∵四邊形BEFE是正方形，BEEF．EFCE．CFFE；（3）解：CF3，理由如下：作DG⊥AE于G，如圖①．由（2）可知，RtVAEB≌RtVDGA，由將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90得Rt△EBC可知，RtVAEB≌RtVCEBRtVAEB≌RtVDGA≌RtVCEBDGAECE∵SVADE

72

12

DGAE，設(shè)AEx，則DG

144x∵AEDG，即x

144x

，解得x12，即DGAECE=12∵四邊形ABCD是正方形，ABBC在Rt△ABE中，∵AB15BE

AB2AE2=152122=9，∵四邊形BEFE是正方形，∴BEEF9，QCFEFCECFCEEF=129=3．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，證明VAEB≌VDHA是關(guān)鍵．中心對稱問題12．下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．【答案】D【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，進行判斷即可．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．【詳解】解：A、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D、該圖形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項合題意．故選：D．【點睛】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，常見的中心對稱圖形有平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等．常見的軸對稱圖形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．13．在平面直角坐標(biāo)系中，若點P(2m,3)與點Q(4,n)關(guān)于原點對稱，則mn的值為（

）A．2

B．5

C．5

D．8【答案】C【詳解】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，可得答案．【解答】解：由點P(2m,3)與點Q(4,n)關(guān)于原點對稱，得：2m4,n3，∴m2，n3，則mn235，故選：C．【點睛】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．14．如圖，ABC與DEC關(guān)于點C成中心對稱，AB5，AE3，DD=90°，則AC

．【答案】1【分析】根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，得出DEAB5，ACCD，再根據(jù)勾股定理求出AD2，即可求解．【詳解】解：∵ABC與DEC關(guān)于點C成中心對稱，AB5，∴DEAB5，ACCD，∵AE3，DD=90°，∴根據(jù)勾股定理可得：ADAE2DE22，∴ACCD

12

AD1，故答案為：1．【點睛】本題主要考查了中心對稱的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵在掌握成中心對稱圖形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，以及勾股定理的內(nèi)容．15．如圖，ABC與ABC關(guān)于點O成中心對稱，有以下結(jié)論：①點A與點A是對稱點；②BOBO；③AB∥AB；④ACBCAB．其中正確結(jié)論的個數(shù)為

．【答案】3個【分析】根據(jù)ABC與ABC關(guān)于點O成中心對稱，可得△ABC≌ABC，點O是對應(yīng)點連線的中點，可證BAOBAO，由此即可求解．【詳解】解：∵ABC與ABC關(guān)于點O成中心對稱，∴△ABC≌ABC，∵線段AA，BB，CC交于點O，即點O是對應(yīng)點連線的中點，∴結(jié)論①點A與點A是對稱點，正確；結(jié)論②BOBO，∵點O是中心對稱，∴點O線段BB的中點，∴BOBO，結(jié)論②正確；結(jié)論③AB∥AB，∵△ABC≌ABC，∴BACBAC，在△AOC,AOC中，OAOAOCOC∴△AOC≌AOC(SAS)，∴CAOCAO，AOCAOCAOC，∴BACCAOBACCAO，即BAOBAO，∴AB∥AB，結(jié)論③正確；結(jié)論④ACBCAB，∵ABC與ABC關(guān)于點O成中心對稱，∴ACBACB，CABCAB，ACB,CAB的關(guān)系不確定，結(jié)論④錯誤；綜上所述，正確的①②③，3個，故答案為：3個．【點睛】本題主要考查成中心對稱圖形的特點，掌握中心對稱的概念及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在等腰直角三角形ABC中，C90，BC2，點O是直角邊AC的中點．若這個三角形關(guān)于點O成中心對稱的圖形，則點B與它關(guān)于點O的對稱點B的距離是

．【答案】25【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可畫出這個三角形關(guān)于點O成中心對稱的圖形，繼而利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，ABC即為所求作的圖形．∵C90，ACBC2，又點O是直角邊AC的中點．OC

12

AC1，根據(jù)勾股定理，得OBBC2OC25，BB2OB25．所以點B與它關(guān)于點O的對稱點B的距離為25．故答案為：25．【點睛】本題考查了作圖旋轉(zhuǎn)變換、等腰直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．17．如圖，在Rt△ABC中，ABC90，C30，點D是線段BC上的動點，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60至AD，連接BD，若AB2cm，則BD的最小值為

．【答案】1【分析】在AC上截取AEAB2，作EFBC于F，如圖，先計算出AC2AB4，BC23，BAC60，則CE2，再在RtCEF中計算出EF1，F(xiàn)C

3，接著證明ABD'≌AED得到DEBD，然后利用勾股定理得到DE2DF2EF2(BD3)21，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．【詳解】解：在AC上截取AEAB2，作EFBC于F，如圖，∵ABC90，C30，AC2AB4，BC3AB23，BAC60，CEACAE2，12在Rt在RtCEF中，EFCE1，F(xiàn)C3EF3，∵線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60至AD'，ADAD，DAD60，BADEAD，在ABD和VADE中ABAEABD≌AED，DEBD，在RtDEF中，DE2DF2EF2(3BD)212(BD3)21，當(dāng)BD3時，DE2有最小值1，BD的最小值為1．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．構(gòu)建VADE與AD'B全等是解決此題的關(guān)鍵．18．如圖，在ABC中，ABBC，ABC90，D是邊AC上一點，連接DB，過點C作CEBD交DB于點E．(1)如圖1，若DBC4DCE，BE2，求AC的長；(2)如圖2，在EC上截取EFEB，連接AF交DB于點G，求證：CF2EG；(3)如圖3，若CDCB，AC8，點M是直線BC上一動點，連接MD，將線段MD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段MD，點P是線段BC的中點，點Q是線段DB上一個動點，連接PQ，M'Q，當(dāng)PQM'Q最小時，請直接寫PBQ的面積．【答案】(1)42(2)見解析'BADEAD'BADEAD，'ADAD(3)22【分析】1）令DCE，則DBC4，ECB45，可得45490，求出15，進而求解；（2）過點A作AHBD交DB的延長線于點H，可證△CEB≌BHAAAS，從而得到BEAH，CEBH，進而證明△AGH≌FGEAAS即可證明；NACB45，可得點M在CN上，作點P關(guān)于BD的對稱點P，作PRCN，交BD于點Q，則當(dāng)M在R處，點Q在Q處，PQQM最小，從而得到QH

22

PQ

22

222，即可求解.【詳解】（1）解：∵ABBC，ABC90，∴ACB45，令DCE，則DBC4，∴ECB45，∵CEBD，∴ECBDBC90，即45490，∴15，∴ECB30，在RtBCE中，BE2，ECB30，∴BC4，∴AC42；（2）解：過點A作AHBD交DB的延長線于點H，如圖，∵ECBDBC90，ABHDBC90，（3）作DN（3）作DNAC，截取DNCD，連接NM'、CD，可證得NDM≌CDMSAS，從而得到（∴ECBABH，∵ABBC，∴△CEB≌BHAAAS，∴BEAH，CEBH，∵EFBE，∴AHEF，∵AGHFGE，∴△AGH≌FGEAAS，∴HGEG，∵CEBH，EFBE，∴CFHG2EG；（3）解：作DNAC，截取DNCD，連接NM'、CD，∴CDN90,N45，∵MDM'90，∴CDNMDM'，∴NDM'CDM，∵DMDM'，∴NDM≌CDMSAS，∴NACB45，∴點M在CN上，作點P關(guān)于BD的對稱點P，作PRCN，交BD于點Q，則當(dāng)M在R處，點Q在Q處，PQQM最小，∵BC

22

AC

22

842，∴BP

12

BC22，∴PQPQPB22，∵CDBC,CBDPBQ，∴BPQACB45，∴QH

22

PQ

22

222，∴S

PQB

12

PBQH

12

22222，∴PBQ的面積是22．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形.19．如圖，四邊形ABCD是菱形，邊長為2，ABC60，點P是射線BD上一動點（不與點B,D重合），將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60得到線段AQ，連接QP,QD．(1)如圖1，當(dāng)點P恰好為BD中點時，直接寫出線段QP與QD的數(shù)量關(guān)系為______________；(2)當(dāng)點P不是BD中點時，如圖2，（1）中的結(jié)論是否還成立？說明理由；(3)連接AC，當(dāng)DQP30時，請直接寫出四邊形ACDQ的面積．【答案】(1)QPQD(2)成立，見解析(3)31或232【分析】1）根據(jù)菱形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)推出APBD,BPDP,ADP30，根據(jù)含30角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；（2）連接AC,PC，根據(jù)菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出BD垂直平分AC,△ACD是等邊三角形，（（△APQ是等邊三角形，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)利用SAS證明ACP≌ADQ，根據(jù)去掉三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線性質(zhì)即可得解；（3）連接AC交BD于點O，則AOBD，設(shè)QD交AP于點E，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)利用SAS證明AQD≌DQP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出ADPD2，根據(jù)勾股定理求出OD3,AP2843，根據(jù)S四邊形ACDQ

SADQ

SACD

求解即可；【詳解】（1）解：QPQD，理由如下：∵四邊形ABCD是菱形，∴ABAD,BD平分ADC，∵點P恰好為BD中點，APBD,BPDP,在菱形ABCD中，ABCADC60,ADP

12

ADC30,AP

12

AD,根