(學)高中數(shù)學數(shù)列放縮專題用放縮法處理數(shù)列和不等問題

創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日數(shù)列和不等問題（教師版）之巴公井創(chuàng)始作創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日一．先乞降后放縮（主假如先裂項乞降，再放縮辦理）例1．正數(shù)數(shù)列的前項的和，知足，試求：（1）數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項的和為，求證：解：（1）由已知得，時，，作差得：，所以，又因為為正數(shù)數(shù)列，所以，即是公差為2的等差數(shù)列，由，得，所以（2），所以真題操練1：(06全國1卷理科22題)設數(shù)列的前項的和,，（Ⅰ）求首項與通項；（Ⅱ）設，，證明：.412解:(Ⅰ)由Sn=3an－3×2n+1+3,n=1,2,3，,①得a1=S1=4123a1－3×4+3所以a1=2412再由①有Sn－1=3an－1－3×2n+3,n=2,3，4,41將①和②相減得:an=Sn－Sn－1=3(an－an－1)－3×(2n+1－2n),n=2,3,創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,,因此數(shù)列{an+2n}是首項為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列,即:an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,,因此an=4n－2n,n=1,2,3,,4121(Ⅱ)將an=4n－2n代入①得Sn=3×(4n－2n)－3×2n+1+3=3×(2n+1－1)(2n+1－2)23×(2n+1－1)(2n－1)2n32n=31－1)Tn==×(2n+1－1)(2n×(2n+1－1Sn2－1)22n－1所以,=311)=31－)2－×(2i－12i+1－1221－13<2二．先放縮再乞降1．放縮后成等比數(shù)列，再乞降例2．等比數(shù)列中，，前n項的和為，且成等差數(shù)列．設，數(shù)列前項的和為，證明：．解：∵，，，∴公比．∴．．（利用等比數(shù)列前n項和的模擬公式猜想）∴．創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日真題操練2：(06福建卷理科22題)已知數(shù)列知足（I）求數(shù)列的通項公式；（II）若數(shù)列滿足，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：.（I）解：是以為首項，2為公比的等比數(shù)列即（II）證法一：①②②－①，得即③－④，得即是等差數(shù)列（III）證明：2．放縮后為“差比”數(shù)列，再乞降例3．已知數(shù)列知足：，．求證：創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日證明：因為，所以與同號，又因為，所以，即，即．所以數(shù)列為遞加數(shù)列，所以，即，累加得：．令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得．3．放縮后成等差數(shù)列，再乞降例4．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且.(1)求證：；(2)求證：解：（1）在條件中，令，得，，又由條件有，上述兩式相減，注意到得∴所以，，所以（2）因為，所以，所以創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日；練習：1.（08南京一模22題）設函數(shù)，已知不論為何實數(shù)，恒有且.關(guān)于正數(shù)列，其前n項和，.(Ⅰ)務實數(shù)b的值；（II）求數(shù)列的通項公式；（Ⅲ）若，且數(shù)列的前n項和為，試比較和的大小并證明之.解：(Ⅰ)（利用函數(shù)值域夾逼性）；（II）；（Ⅲ）∵，∴2.（04全國）已知數(shù)列的前項和知足：，（1）寫出數(shù)列的前三項，，；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）證明：對隨意的整數(shù)，有剖析：⑴由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：（n>1）化簡得：,創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日故數(shù)列{}是以為首項,公比為的等比數(shù)列.故∴∴數(shù)列{}的通項公式為：.⑶察看要證的不等式，左側(cè)很復雜，先要想法對左側(cè)的項進行適合的放縮，使之可以乞降。而左側(cè)=，假如我們把上式中的分母中的去掉，便可利用等比數(shù)列的前n項公式乞降，因為-1與1交織出現(xiàn)，簡單想到將式中兩項兩項地歸并起來一同進行放縮，測試考試知：，，所以，可將保留，再將后邊的項兩兩組合后放縮，即可乞降。這里需要對進行分類議論，（1）當為偶數(shù)時，（2）當是奇數(shù)時，為偶數(shù)，所以對隨意整數(shù)，有。此題的重點是并項后進行適合的放縮。（07武漢市模擬）定義數(shù)列以下：求證：（1）關(guān)于恒有建立；（2）當，有建立；3）剖析：（1）用數(shù)學概括法易證。（2）由得：創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日以上各式兩邊分別相乘得：，又（3）要證不等式，可先想法乞降：，再進行適合的放縮。又原不等式得證。此題的重點是依據(jù)題設條件裂項乞降。數(shù)列和不等問題（學生版）一．先乞降后放縮（主假如先裂項乞降，再放縮辦理）例1．正數(shù)數(shù)列的前項的和，知足，試求：（1）數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項的和為，求證：真題操練1：(06全國1卷理科22題)設數(shù)列的前項的和,，（Ⅰ）求首項與通項；（Ⅱ）設，，證明：.二．先放縮再乞降1．放縮后成等比數(shù)列，再乞降例2．等比數(shù)列中，，前n項的和為，且成等差數(shù)列．創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日設，數(shù)列前項的和為，證明：．真題操練2：(06福建卷理科22題)已知數(shù)列知足（I）求數(shù)列的通項公式；（II）若數(shù)列滿足，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：.2．放縮后為“差比”數(shù)列，再乞降例3．已知數(shù)列知足：，．求證：3．放縮后成等差數(shù)列，再乞降例4．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且.(1)求證：；(2)求證：練習：1.（08南京一模22題）設函數(shù)，已知不論為何實數(shù)，恒有且.關(guān)于正數(shù)列，其前n項和，.(Ⅰ)務實數(shù)b的值；（II）求數(shù)列的通項公式；（Ⅲ）若，且數(shù)列的前n項和為，試比較和的大小并證明之.創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創(chuàng)作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日2.（04全國）已