立體幾何垂直證明題常見模型及方法

立體幾垂證明題見型及方證明空間線面垂直需注意以下幾點(diǎn)：①由已知想性質(zhì)，由求證想判,即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。②立體幾何論證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助(或面）是解題的常用方法之一。③明確何時(shí)應(yīng)用判定定理，何時(shí)應(yīng)用性質(zhì)定,用定理時(shí)要先申明條件再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。垂轉(zhuǎn)：線直

線垂

面垂;直○

等（等三角形中的中線錯(cuò)

錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)ABCD1111

中O為面ABCD的中心E為

CC1

，求證：

AOE1（2異面垂直（利用線面垂直來證明，高考中的意圖）例1

在正四面體ABCD中，求證BD變式如，在四棱錐

P

中，底面

是矩形,已知PAPD2,PAB

．證明：

ADPB

;

'錯(cuò)111'錯(cuò)111111變式如，在邊長(zhǎng)為的正方形中點(diǎn)E是AB的點(diǎn)，點(diǎn)是BC的點(diǎn)，eq\o\ac(△,)AED,分沿DEDF折，使,兩重合于AA求證

A'

EF

；E

DB

變式如，在三錐

PABC

中，⊿

PAB

是等邊三角形，∠=∠o明⊥利用線面例2

ABCD1111

中，O為面ABCD中心E為

CC1

，求證：A面BDE1變式：

ABCD1111

中,，求證：

AC平面11變式：如圖：直三棱柱ABC－ABC中=AA，∠ACB為的中點(diǎn)D點(diǎn)上且DE=錯(cuò)。求證：CD⊥平面A;

變式3：如圖，在四面體ABCD中,O、分別是BD、BC的點(diǎn)

CACDBD2,

A求證：面BCD;DOBEP,AD∥,ABCDADAB3

C

PAC

PA

DE錯(cuò)

B

例在三棱錐—ABC中底面ABC,面面PBC求：BC面PAC

。方法點(diǎn)撥：此種情形,條件中含有面面垂直。變式，在四錐面PAB底面BCD

求：

BC面AB變式：

B，B，類型：面面垂直的證.(本質(zhì)上是證明線面垂直）例1如，已知面ACD，DEADDE，為的中點(diǎn)。

平面

ACD

eq\o\ac(△,,)

ACD

為等邊三角形，

E）求：AF//平BCE;（2求證：平面面CDE;

AC

F

D例2

如圖，在四棱錐中，底面，AB，ACCDPAABBC（1證明CDAE（）證明面ABE；

，是PC中點(diǎn)．PEAD變式1已直四棱柱ABCD—A′B′C′D的底面是菱形,

B60

E分是棱CC與′上的且EC=BC．（求證:平面⊥平面′C′；

舉一反三設(shè)M表平面，a、b表直線，給出下列四個(gè)命:①

aba

②

abM

//

③

aMa

∥

④

a//ba其中正確的命題是(）A①②B①②③。②③④D。①②④。下列命題中正確的是（)若條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條直,這條直線垂直于這個(gè)平面若條線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面C。一條直線平行于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面的直線必定垂直于這條直線若條直線垂直于一個(gè)平面，垂直于這條直線的另一條直線必垂直于這個(gè)平面如圖所，在正方形ABCD中EF分是AB、的點(diǎn)現(xiàn)在沿、及把△ADE△CDF和△BEF折起，使、BC三點(diǎn)重合重合后的點(diǎn)記為P。那么，在四面體PDEF中必（)A.DP平面PEFB.⊥面PEFC.PM⊥平面DEFD。PF⊥平面DEF設(shè)a是異面直線，下列命題正確的（)A過不在、上的一點(diǎn)一可以作一條直線和a、b都交B過不在a、b上一點(diǎn)一可以作一個(gè)平面和、b都垂直C。a一定可以作一個(gè)平面與垂D。a定可以作一個(gè)平面與b平

第圖如果直線lm與面α,,γ足:l=βγ，lα，αm⊥γ，那必有(）αγ且l⊥Bα⊥γ且m∥βmβ且l⊥αβ且α⊥γ。AB是圓的直徑是圓周上一點(diǎn)PC垂直于圓所在平若，，則P到AB的離為（）A1B。C.

235(

有三個(gè)題：①垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；②過平面α的一條斜線l有且僅有一個(gè)平面與α垂直；③異面直線a、b不直那么過任一個(gè)平面與b都垂直其中正確命題的個(gè)數(shù)為(）A.0B。1C。2是面直線ab的垂線，平面α、β滿足aα，bβ，則下面正確的結(jié)論是）Aα與β必相交且交線∥d或m與重αβ相交且交線mdm與不重合C。與β必相交且交線m與定不平行αβ不一定相交。設(shè)l、為直線，α為平面，且l⊥α，給出下列命題

．．．1．．．11①若mα，則∥；②若⊥l，m∥α；③若∥α，則ml；④若ml則m⊥α，其中真命題的序號(hào)是（)A①②③①④C②③④D①③④。已知直線l⊥平面α，線平面β給出下列四個(gè)命:①若α∥β，則l；②若α⊥β，則lm;若l∥m則α⊥;若l，則α∥β其中正確的命題是(

）③④B.①與③二思激

②④

D。①②11。如圖所示，ABC是角三角形是邊，三個(gè)頂點(diǎn)在平面的同,它們?cè)讦羶?nèi)的射影分別為′，B′，′，如果eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′B′′是正三角形，且AA′＝3cmBB′＝5cmCC＝4cm，則eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′′′的面積是。第11題

第題圖第題圖所,在直四棱柱D-ABCD中當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD足條件有ACD（:上你認(rèn)為正確的一種條件即可,必考慮所有可能的情形）圖示棱錐V三條側(cè)棱VBVC之滿足條件有VCAB.(注填上你認(rèn)為正確的一種條件即可）三能提

時(shí)，時(shí)，如所三棱錐—中,AH側(cè)面VBC且H是△VBC的心是邊的高。）求證⊥AB；（若二面角——的小為30,求VC與面所成角的大.第14題15.如圖所示，PA矩形所平面、分是、的點(diǎn)

1111111111111（1求證:∥面。(2)求證：⊥.(3)若∠PDA＝45，求證:MN平面.。如圖所示，在四棱錐P—中底面是平行四邊形，∠BAD＝°AB＝4，＝2側(cè)棱PB15

PD＝

(1)求證：BD⊥平面PAD）若PD與面成60的角試求二面角—BC-A的小。

第15題圖第16題知直三棱柱ABC-A中∠ACB=90°∠BAC°=1AA的中點(diǎn)，求證：⊥A．

M是CC如圖所示方體—′′′′的棱長(zhǎng)為aM是AD的點(diǎn)是BD上一點(diǎn)且D′N∶＝∶與BD于P.）求證⊥面。）求平面與面′DD所的角。（求點(diǎn)C到面D′的離第18題圖

=11111=11111第4課線垂習(xí)解。A兩行中有一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直垂于同一平面的兩直線平行。由線面垂直的性質(zhì)定理可.3.A折⊥，⊥，PE。4.D過a上一點(diǎn)作直線′∥b，則ab確定的平面與直線b平5.A依題,⊥且α則必有α⊥γ為l=∩γ則有l(wèi)γ⊥γl⊥m，故選A。。D過P作PD⊥于D，連，則CD⊥AB，=AC

AC，AB5∴PD

PC

5

。由定理及性質(zhì)知三個(gè)命題均正確。8.A顯α與β不平行。。垂于同一平面的兩直線平行，兩條平行線中一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直。10B∵∥βlα，∴⊥m。

cm2

設(shè)正三角A′B′′的邊長(zhǎng)為a.∴AC2

=a，=a22+4,又AC2

BC2=

，∴a2．

eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)C

32

cm212直棱柱ABCD—中底面四邊形滿條件AC（或任何能推導(dǎo)出這個(gè)條件的其它條例如ABCD是方形，形等）時(shí)，有C⊥D(：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情。點(diǎn)：13⊥VA，VCAB.由⊥，⊥AB知⊥平面。14(1)明：H為△的垂心，∴VC⊥，又AH⊥面VBC∴為線AB在面上射,∴⊥.（2)解由（知⊥AB⊥，∴VC平面在平面上作ED，又AB⊥VC∴⊥面。

22∴⊥CD∴∠為二面角—-C的面角，∴∠°，∵⊥平面,∴在面上的射影為?！唷蠟榕c面所成角，又VCAB⊥∴VC面，∴VCDE∴∠°，故∠ECD=60°，∴VC與所成角為60。15證明：(1）如圖所示取中點(diǎn)，連結(jié),EN1則有EN∥AB∥AM，EN＝CD＝AB＝AM故AMNE為行四邊.2∴∥AE.∵平PADMN平面，∴MN∥平面PAD.）∵⊥平面ABCD，∴⊥AB.又AD⊥，∴AB⊥平面∴⊥AE，即⊥。又CD，∴⊥.（3PA平面ABCD，∴⊥.又∠PDA°E為PD的中點(diǎn)?！唷?，即MNPD又MN⊥，∴⊥面。如圖（1)證由已知AB，AD２∠BAD＝60°，

第題圖解故BD

＝

AB-2ADcos60＝×××

12

＝。又AB

＝2，∴△是直角三角形，∠ADB＝°，即AD⊥BD在△中＝3

，PB15

BD＝12,∴＝2，故得⊥.又PD∩ADD∴BD平面PAD。（2由⊥平面PADBD平?！嗥矫妗兔鍭BCD作PE⊥AD于,又PE平PAD，∴⊥平面ABCD∴∠是PD與面ABCD成的角。

第題圖解∴∠PDE°，∴＝PD°3作EF⊥BC于F連PF則⊥BF∴∠PFE二面角—BCA的面角。又EF＝＝12，eq\o\ac(△,Rt)中3∠＝3

3。2

111111111111111111111111111111111111111111111121故二面角P——的大小為arctan

AC連結(jié)，MC1

36

2

CC1CA1

2∴eq\o\ac(△,Rt)∽eq\o\ac(△,Rt)，∴∠=∠MA，∴∠A+AC=∠MC+∠MA=90.∴M⊥AC，又ABC為直三棱柱，∴⊥BC，CC，∴B⊥平面AC。由三垂線定理知AB⊥M。點(diǎn)1111111A118）明：在正方形中∵△MPD∽△CPB，且MD＝

12

，∴DPPB＝MD∶＝∶又已知DN∶＝∶，由平行截割定理的逆定理得NP∥DD，又DD⊥平面ABCD,∴NP平面ABCD.∵∥DD′∥′，∴NP、CC′在同一平面內(nèi)，CC′為平面與面CC′D′D成二面角的棱。又由CC′⊥平面，得′，CC⊥CM，∴∠為二面角的平面角.在eq\o\ac(△,Rt)MCD中知1∠＝，為所求二面角的大2由已知棱長(zhǎng)為a可得等△面＝,腰′面積S＝離為h,即為三棱錐CDMB的。1Sh，∵三棱錐D′—體為23

設(shè)所求距∴h

12

63

a

空間中的計(jì)算基礎(chǔ)技能篇類型一:點(diǎn)到面的距離方法1：直接法把點(diǎn)在面上的射影查出來，然后在直角三角形中計(jì)算例1：在正四面體，邊長(zhǎng)為a，求點(diǎn)A到面BCD的距離。變式在正四棱錐中，底面ABCD邊長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)為b。求頂點(diǎn)V到底面ABCD的距離.變式2正四棱錐，底面ABCD長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)為b.求頂點(diǎn)A到底面VCD的距離。方法2：等體積法求距離—--在一個(gè)三棱錐中利用體積不變?cè)?，通過轉(zhuǎn)換不同的底和高來達(dá)到目的.例2

已知在三棱錐VABC中，VA,VB,VC兩兩垂直，VA=VB=3，求點(diǎn)V到面ABC的距離。變式：

如圖所示的多面體是由底面為

ABCD

的長(zhǎng)方體被截面

1

所截而得到的，其中

ABBCBE1

．（1)

BF

的長(zhǎng);(2）求點(diǎn)

C

到平面

1

的距離．

．．．．變式如，在四錐OABCD中底ABCD是四邊長(zhǎng)為的菱形，

4

OA

面

，

OA2

．求點(diǎn)B到面OCD的距離．

變式3正四面體ABCD，邊長(zhǎng)為，求它的內(nèi)切求的半徑。類型二：其它種類的距離的計(jì)算(點(diǎn)到線,點(diǎn)到點(diǎn)）

例3如棱

OABCD

中ABCD四邊長(zhǎng)為1的形ABC

4

，

OA面ABCD,OA2

，M為中點(diǎn),AM和A到直線距離．

舉一反三1．正三棱錐P—ABC高側(cè)與底面所成角為，則點(diǎn)到面PBC的距離是A．

B．

C．6D．

62．如圖，已知正三棱柱

ABC1

的底面邊長(zhǎng)為1,高為8，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩到達(dá)

1

點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為A．10．20C．30．40二、填空題：3．太陽光照射高為3m的竿,它在水平地面上的射影為1m，同時(shí)，照射地面上一圓時(shí)，如圖所示，其影子的長(zhǎng)度AB等于3cm，則該球的積為_________．4．若一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所,則這個(gè)正三棱柱的高和底面邊長(zhǎng)分別_．2主視圖三、解答題：

左視圖

俯視圖

CC5．已知正三棱柱ABC—ABC的棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為，M底面BC邊上的中點(diǎn)N是側(cè)