專題三：彈簧類問題

專題三：彈簧類問題一、彈簧彈力大小問題彈簧彈力的大小可根據(jù)胡克定律計算（在彈性限度內(nèi)），即F=kx,其中x是彈簧的形變量（與原長相比的伸長量或縮短量，不是彈簧的實際長度）。高中研究的彈簧都是輕彈簧（不計彈簧自身的質(zhì)量，也不會有動能的）。不論彈簧處于何種運動狀態(tài)（靜止、勻速或變速），輕彈簧兩端所受的彈力一定等大反向。證明如下：以輕彈簧為對象，設(shè)兩端受到的彈力分別為F、F,根據(jù)牛頓第二定律，12F+F=ma,由于m=0,因此F+F=0，即FF—定等大反向。1212 1．2彈簧的彈力屬于接觸力，彈簧兩端必須都與其它物體接觸才可能有彈力。如果彈簧的一端和其它物體脫離接觸，或處于拉伸狀態(tài)的彈簧突然被剪斷，那么彈簧兩端的彈力都將立即變?yōu)榱?。在彈簧兩端都保持與其它物體接觸的條件下，彈簧彈力的大小F=kx與形變量x成正比。由于形變量的改變需要一定時間，因此這種情況下，彈力的大小不會突然改變，即彈簧彈力大小的改變需要一定的時間。（這一點與繩不同，高中物理研究中，是不考慮繩的形變的，因此繩兩端所受彈力的改變可以是瞬時的。）例1.質(zhì)量分別為m和2m的小球P、Q用細線相連，P用輕彈簧懸掛在天花板下，開始系統(tǒng)處于靜止。下列說法中正確的是：若突然剪斷細線，則剪斷瞬間P、Q的加速度大小均為g若突然剪斷細線，則剪斷瞬間P、Q的加速度大小分別為0和g若突然剪斷彈簧，則剪斷瞬間P、Q的加速度大小均為g若突然剪斷彈簧，則剪斷瞬間P、Q的加速度大小分別為3g和0分析與解：剪斷細線瞬間，細線拉力突然變?yōu)榱?，彈簧對P的拉力仍為3mg豎直向上，因此剪斷瞬間P的加速度為向上2g,而Q的加速度為向下g；剪斷彈簧瞬間，彈簧彈力突然變?yōu)榱?，細線對P、Q的拉力也立即變?yōu)榱?，因此P、Q的加速度均為豎直向下，大小均為g。選Co靜止時細線d、e水平，b、c與豎直方向夾角均例2.如圖所示，小球p、Q質(zhì)量均為m,分別用輕彈簧b和細線c懸掛在天花板下，再用另一細線d靜止時細線d、e水平，b、c與豎直方向夾角均6g75g剪斷d瞬間P的加速度大小為06g75g剪斷d瞬間P的加速度大小為0.剪斷e前c的拉力大小為0.8mg25mg剪斷e后瞬間c的拉力大小為1.25mg分析與解：剪斷d瞬間彈簧b對小球的拉力大小和方向都未來得及發(fā)生變化，因此重力和彈簧拉力的合力與剪斷前d對P的拉力大小相等，為0.75mg,因此加速度大小為0.75g,水平向右；剪斷e前c的拉力大小為1.25mg，剪斷e后，沿細線方向上的合力充當(dāng)向心力，因此c的拉力大小立即減小到0.8mg。選Bo

二、臨界問題兩個相互接觸的物體被彈簧彈出，這兩個物體在什么位置恰好分開？這屬于臨界問題?！扒『梅珠_”既可以認為已經(jīng)分開，也可以認為還未分開。認為已分開，那么這兩個物體間的彈力必然為零；認為未分開，那么這兩個物體的速度、加速度必然相等。同時利用這兩個結(jié)論，就能分析出當(dāng)時彈簧所處的狀態(tài)。特點：1．接觸；2．還沒分開所以有共同的速度和加速度；3．彈力減小為零。這種臨界問題又分以下兩種情況：1．僅靠彈簧彈力將兩物體彈出，那么這兩個物體必然是在彈簧原長時分開的。例3.如圖所示，兩個木塊A、B疊放在一起，B與輕彈簧相連，彈簧下端固定在水平面上，用豎直向下的力F壓A,使彈簧壓縮量足夠大后，停止壓縮，系統(tǒng)保持靜止。這時,若突然撤去壓力F，A、B將被彈出且分離。下列判斷正確的是：木塊A、B分離時，彈簧的長度恰等于原長木塊A.B分離時，彈簧處于壓縮狀態(tài)，彈力大小等于B的重力木塊A、B分離時，彈簧處于壓縮狀態(tài)，彈力大小等于A、B的總重力木塊A、B分離時，彈簧的長度可能大于原長分析與解：以A為對象，既然已分開，那么A就只受重力，加速度豎直向下，大小為g;又未分開，A、B加速度相同，因此B的加速度也是豎直向下，大小為g,說明B受的合力為重力，所以彈簧對B沒有彈力，彈簧必定處于原長。選A。此結(jié)論與兩物體質(zhì)量是否相同無關(guān)。WWWBA例4.如圖所示，輕彈簧左端固定在豎直墻上，右端與木塊B相連，木塊A緊靠木塊B放置，A、B與水平面間的動摩擦因數(shù)均為"。用水平力F向左壓A,使彈簧被壓縮一定程度后，系統(tǒng)保持靜止。若突然撤去水平力F，A、B向右運動，下列判斷夕正確的是：WWWBAA、B一定會在向右運動過程的某時刻分開 Z若A、B在向右運動過程的某時刻分開了，當(dāng)時彈簧一定是原長若A、B在向右運動過程的某時刻分開了，當(dāng)時彈簧一定比原長短若A、B在向右運動過程的某時刻分開了，當(dāng)時彈簧一定比原長長分析與解：若撤去F前彈簧的壓縮量很小，彈性勢能小于彈簧恢復(fù)原長過程A、B克服摩擦阻力做的功，那么撤去F后，A、B雖能向右滑動，但彈簧還未恢復(fù)原長A、B就停止滑動，沒有分離。只要A、B在向右運動過程的某時刻分開了，由于分離時A、B間的彈力為零，因此A的加速度是aA=pg；而此時A、B的加速度相同，因此B的加速度a=pg,即B受的合力只能是滑動摩擦力，所以彈簧必然是原長。選B。AB例5.如圖所示，輕彈簧的一端固定在地面上，另一端與木塊B相連，木塊A放在木塊B上，兩木塊質(zhì)量均為m在木塊A上施有豎直向下的力F,整個裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)。AB（1）突然將力F撤去，若運動中A、B不分離，則A、B共同運動到最高點時，B對A的彈力有多大？

(2)要使A、B不分離，力F應(yīng)滿足什么條件？【點撥解疑】力F撤去后，系統(tǒng)作簡諧運動，該運動具有明顯的對稱性，該題利用最高點與最低點的對稱性來求解，會簡單的多．(1)最高點與最低點有相同大小的回復(fù)力，只有方向相反，這里回復(fù)力是合外力．在最低點，即原來平衡的系統(tǒng)在撤去力F的瞬間，受到的合外力應(yīng)為F/2,方向豎直向上；當(dāng)?shù)竭_最高點時，A受到的合外力也為F/2，但方向向下，考慮到重力的存在，所以B對A的彈力為mg-F2。(2)力F越大越容易分離，討論臨界情況，也利用最高點與最低點回復(fù)力的對稱性.最高點時，A、B間雖接觸但無彈力，A只受重力，故此時恢復(fù)力向下，大小位mg。那么，在最低點時，即剛撤去力F時，A受的回復(fù)力也應(yīng)等于mg,但根據(jù)前一小題的分析，此時回復(fù)力為F/2,這就是說F/2=mg。則F=2mg.因此，使A、B不分離的條件是FW2mg。2.除了彈簧彈力，還有其它外力作用而使相互接觸的兩物體分離。那么兩個物體分離時彈簧必然不一定是原長。(彈簧和所連接的物體質(zhì)量不計分離時是彈簧的原長，但質(zhì)量考慮時一定不是彈簧的原長，)可看成連接體。例6.一根勁度系數(shù)為k質(zhì)量不計的輕彈簧，上端固定，下端系一質(zhì)量為m的物體，

有一水平板將物體托住，并使彈簧處于自然長度。如圖所示?，F(xiàn)讓木板由靜止開始以加速度a且(a<g)勻加速向下移動。求經(jīng)過多長時間木板開始與物體分離。分析與解：設(shè)物體與平板一起向下運動的距離為x時，物體受重力mg,彈簧的彈力F=kx和平板的支持力N作用。據(jù)牛頓第二定律有：mg-kx-N=ma得N=mg-kx-mam(g-a)當(dāng)N=0時，物體與平板分離，所以此時x=k1 2m（g一a）因為x=2at2,所以因為x=例7.如圖所示，一個彈簧臺秤的秤盤質(zhì)量和彈簧質(zhì)量都不計，盤內(nèi)放一個物體P處于靜止，P的質(zhì)量m=12kg，彈簧的勁度系數(shù)k=300N/m?，F(xiàn)在給P施加一個豎直向上的力F，使P從靜止開始向上做勻加速直線運動，已知在t=0.2s內(nèi)F是變力，在0.2s以后F是恒力，g=10m/sZ則F的最小值是 ，F(xiàn)的最大值是.分析與解：因為在t=0.2s內(nèi)F是變力，在t=0.2s以后F是恒力，所以在t=0.2s時，P離開秤盤。此時P受到盤的支持力為零，由于盤和彈簧的質(zhì)量都不計，所以此時彈簧處于原長。在0?0.2s這段時間內(nèi)P向上運動的距離：x=mg/k=0.4m2x因為x=at2，所以P在這段時間的加速度a= =20m/s2t2當(dāng)P開始運動時拉力最小，此時對物體P有N-mg+Fmin二ma,又因此時N=mg，所以有Fmin=ma=240N.

當(dāng)P與盤分離時拉力F最大，F(xiàn)max=m(a+g)=360N.例8.一彈簧秤的秤盤質(zhì)量mi=1.5kg,盤內(nèi)放一質(zhì)量為m2=10.5kg的物體P,彈簧質(zhì)量不計，其勁度系數(shù)為k=800N/m,，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖所示。現(xiàn)給P施加一個豎直向上的力F,使P從靜止開始向上做勻加速直線運動，已知在最初0.2s內(nèi)F是變化的，在0.2s后是恒定的，求F的最大值和最小值各是多少？(g=10m/s2)分析與解：因為在t=0.2s內(nèi)F是變力，在t=0.2s以后F是恒力，所以在t=0.2s時，P離開秤盤。此時P受到盤的支持力為零，由于盤的質(zhì)量m1=1.5kg，所以此時彈簧不能處于原長，這與例2輕盤不同。設(shè)在0 0.2s這段時間內(nèi)P向上運動的距離為x，對物體P據(jù)牛頓第二定律可得：F+N-m2g=m2a對于盤和物體P整體應(yīng)用牛頓第二定律可得：F+k〔眈1+眈2)g_疋一(陀]+陀Jg=(鍥1+聊2)住mg-ma 1令N=0，并由述二式求得x= 2 1，而x=at2，所以求得a=6m/s2.k2當(dāng)P開始運動時拉力最小，此時對盤和物體P整體有F=(m+m)a=72N.min1 2當(dāng)P與盤分離時拉力F最大，F(xiàn)=m(a+g)=168N.max2例9.如圖所示，質(zhì)量均為m=500g的木塊A、B疊放在一起，輕彈簧的勁度為k=100N/m，上、下兩端分別和B與水平面相連。原來系統(tǒng)處于靜止?，F(xiàn)用豎直向上的拉力F拉A,使它以a=2.0m/s2的加速度向上做勻加速運動。求：(1)經(jīng)過多長時間A與B恰好分離？⑵上述過程中拉力F的最小值片和最大值F2各多大？⑶剛施加拉力F瞬間A、B間壓力多大？分析與解：⑴設(shè)系統(tǒng)靜止時彈簧的壓縮量為x1,A、B剛好分離時彈簧的壓縮量為x。kx=2mg,x=0.10m。A、B剛好分離時，A、B間彈力大小為零，且211a=a=a。以B為對象，用牛頓第二定律：kx-mg=ma得x=0.06m，可見分離AB 2 2時彈簧不是原長。該過程A、B的位移s=x-x=0.04m。由s=at2,得t=0.2s122⑵分離前以A、B整體為對象，用牛頓第二定律：F+kx-2mg=2ma,可知隨著A、B加速上升，彈簧形變量x逐漸減小，拉力F將逐漸增大。開始時x=X],F]+kX]-2mg=2ma,得.=2N；A、B剛分離時x=x,F+kx-2mg=2ma,得F=6N2222⑶以B為對象用牛頓第二定律：kx-mg-N=ma得N=4N三、彈簧振子的簡諧運動輕彈簧一端固定，另一端系一個小球，便組成一個彈簧振子。無論此裝置水平放置還是豎直放置，在忽略摩擦阻力和空氣阻力的情況下，彈簧振子的振動都是簡諧運動。

彈簧振子做簡諧運動過程中機械能守恒。水平放置的彈簧振子的總機械能E等于彈簧的彈性勢能E和振子的動能Ek之和，還等于通過平衡位置時振子的動能（即最大動能），pk或等于振子位于最大位移處時彈簧的彈性勢能（即最大勢能），即E=E+Ek=E=Ekpkpmkm簡諧運動的特點之一就是對稱性。振動過程中，振子在離平衡位置距離相等的對稱點，所受回復(fù)力大小、位移大小、速度大小、加速度大小、振子動能等都是相同的。例10.如圖所示，木塊P和輕彈簧組成的彈簧振子在光滑水平面上做簡諧運動，0為平衡位置，B.C為木塊到達的最左端和最右端。有一顆子彈豎直向下射入P并立即留在P中和P共同振動。下列判斷正確的是：若子彈是在C位置射入木塊的，則射入后振幅不變，周期不變?nèi)糇訌検窃贐位置射入木塊的，則射入后振幅不變，周期變小 彳幀楓可訂若子彈是在0位置射入木塊的，則射入后振幅不變，周期不變 彼務(wù)吃形若子彈是在0位置射入木塊的，則射入后振幅減小，周期變大分析與解：振動能量等于振子在最遠點處時彈簧的彈性勢能。在B或C射入，不改變最大彈性勢能，因此不改變振動能量，也不改變振幅；但由于振子質(zhì)量增大，加速度減小，因此周期增大。振動能量還等于振子在平衡位置時的動能。在0點射入，射入過程子彈和木塊水平動量守恒，相當(dāng)于完全非彈性碰撞，動能有損失，繼續(xù)振動的最大動能減小，振動能量減小，振幅減?。缓喼C運動周期與振幅無關(guān)，但與彈簧的勁度和振子的質(zhì)量有關(guān)。子彈射入后，振子質(zhì)量增大，因此周期變大。選D。例11.如圖所示，輕彈簧上端懸掛在天花板上，下端連接一個質(zhì)量為M的木筆M板，木板下面再掛一個質(zhì)量為m的物體，當(dāng)拿去m后，木板速度再次為零時,彈簧恰好恢復(fù)原長，求M與m之間的關(guān)系？M解析：考慮到拿去m后。M將做簡諧運動，則拿去m時M所處位置，與彈簧剛恢復(fù)原長時M所處位置分別為平衡位置兩側(cè)的最大位置處，由M做簡諧運動時力的對稱性可知，在兩側(cè)最大位移處回復(fù)力的大小應(yīng)相等，在最低位置處F=mg，方向向上，在最高位置處F=mg，方向向下，所以有M=m0例12.如圖所示，輕彈簧下端固定，豎立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球從靜止開始下落，在B位置接觸彈簧的上端，在C位置小球所受彈力大小等于重力，在D位置小球速度減小到零。小球下降階段下列判斷中正確的是： O-川在B位置小球動能最大在C位置小球加速度最大從A-C位置小球重力勢能的減少等于小球動能的增加從BfD位置小球重力勢能的減少小于彈簧彈性勢能的增加分析與解：AfC小球受的合力一直向下，對小球做正功，動能增加D小球受的合力一直向上，對小球做負功，使動能減小，因此在位置小球動能最大。從B到D小球的運動是簡諧運動的一部分，且C為平衡位置，因此在C.D間必定有一個B?點，滿足BC=B?C，

小球在B?點的速度和加速度大小都和在B點時相同；從C到D位移逐漸增大，回復(fù)力逐漸增大，加速度也逐漸增大，因此小球在D點加速度最大，且大于g。從A—C小球重力勢能的減少等于小球動能的增加和彈性勢能之和，因此重力勢能的減少大于動能的增大。從LD小球重力勢能減小，彈性勢能增加，且B點動能大于D點動能，因此重力勢能減少和動能減少之和等于彈性勢能增加。選D。四、彈性勢能問題機械能包括動能、重力勢能和彈性勢能。其中彈性勢能的計算式E=—kx2咼中不要p2求掌握，但要求知道：對一根確定的彈簧，形變量越大，彈性勢能越大；形變量相同時，彈性勢能相同。因此關(guān)系到彈性勢能的計算有以下兩種常見的模式：1．利用能量守恒定律求彈性勢能。例13.如圖所示，質(zhì)量分別為m和2m的A.B兩個木塊間用輕彈簧相連，放在光滑水平面上，A靠緊豎直墻。用水平力F將B向左壓，靜止后彈簧儲存的彈性勢能為E。若突然撤去F,那么A離開墻后，彈簧的彈性勢能最大值將是多大？也“—點廠芮尸 分析與解：A離開墻前A、B和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守冬舜爰繆以易* 恒，彈簧恢復(fù)原長過程，彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為B的動能，因此A剛離開墻時刻，B的動能為E。A離開墻后，該系統(tǒng)動量守恒，機械能也守恒。當(dāng)A、B共速時，系統(tǒng)動能最小，因此彈性勢能最大。A剛離開墻時刻B的動量和A、B共速時A、B的總動量相等，由動能和動量的關(guān)系Ek=p2/2m知，A剛離開墻時刻B的動能和A、B共速時系統(tǒng)的動能之比為3：2，因此A、B共速時系統(tǒng)的總動能是2E/3，這時的彈性勢能最大，為E/3。例14.A、B兩個矩形木塊用輕彈簧相連接，彈簧的勁度系數(shù)為k,木塊A的質(zhì)量為m，木塊B的質(zhì)量為2m，將它們豎直平放在豎直水平地面上，如右圖所示。如果將另一塊質(zhì)量為m的物塊C從距木塊A高H處自由落下,C與A相碰后，立即與A粘合在一起，不再分開，再將彈簧壓縮，此后，A、C向上彈起，最終能使木塊B剛好離開地面，如果mg

k3mgk1mv2木塊c的質(zhì)量減為m2，要使木塊B不離開水平地面，那么木塊C自由落下的高度hmg

k3mgk1mv2分析與解：C作用之前彈簧是壓縮的，壓縮量為Axi=B剛要離開地面時彈簧是拉伸的，伸長量為筆=B剛要離開地面時彈簧是拉伸的，伸長量為筆=k所以B剛要離開地面時，A上升的高度為山=辱+心設(shè)C與A碰撞前速度為v°，碰撞后為vi，則有mgH=C與A碰撞瞬間動量守恒有：mv°二（m+m兒

由②③解得：當(dāng)A上升到最高點時，由機械能守恒，與初始狀態(tài)相比，彈簧彈性勢能的增量為AE= （m+m）v2一（m+m）gxAx2由①④⑤解得：mgH6m2g2由①④⑤解得：/\E— 2mC換成—mC換成—后,」 7 1 ，有一mgh—mv22 2 0由⑦⑧解得：V—3gh當(dāng)B剛離地時彈簧勢能的增量與前一次相同，AE— （丄m+m）v'2一（丄m+m）gxAx2212由⑥⑨⑩解得：h—3H-9mgk所以h不能超過3H-9mg。kmv'—（丄m+m）v'⑧202由能量關(guān)系得求解策略：2、在彈簧、“關(guān)聯(lián)物”動能與勢能的能量交換中，有從壓縮狀態(tài)恢復(fù)原長的，有從伸長狀態(tài)恢復(fù)原長的，表現(xiàn)三種典型狀態(tài)：彈簧伸長最長、壓縮最短及恢復(fù)原長瞬間。對于在彈簧恢復(fù)原長的瞬間，除質(zhì)量相等的兩物體速度一個最大，另一個最小為零外，一般速度不會同時達到最大最小。原先在彈簧作用下加速的物體在彈簧恢復(fù)原長的瞬間速度一定最大，而對于受彈簧作用減速的物體則要據(jù)動量守恒和機械能守恒列方程求解。若解得它的速度為正值，則為最?。蝗魹樨撝?，表明已反向加速，則整個過程中此物體的最小速度應(yīng)為零。2．利用形變量相同時彈性勢能相同。例15.如圖所示，質(zhì)量均為m的木塊A、B用輕彈簧相連，豎直放置在水平面上，靜止時彈簧的壓縮量為1?，F(xiàn)用豎直向下的力F緩慢將彈簧再向下壓縮一段距離后，系統(tǒng)再次處于靜止。此時突然撤去壓力F,當(dāng)A上升到最高點時，B對水平面的壓力恰好為零。求：（1）F向下壓縮彈簧的距離x；⑵壓力F在壓縮彈簧過程中做的功W。分析與解：⑴如圖①、②、③、④分別表示未放A,彈簧處于原長的狀態(tài)、彈簧和A相連后的靜止?fàn)顟B(tài)、撤去壓力F前的靜止?fàn)顟B(tài)和撤去壓力后A上升到最高點的狀態(tài)。撤去F后，A做簡諧運動，②狀態(tài)A處于平衡位置。

②狀態(tài)彈簧被壓縮，彈力等于A的重力；④狀態(tài)彈簧被拉長，彈力等于B的重力；由于A、B質(zhì)量相等，因此②、④狀態(tài)彈簧的形變量都是1。由簡諧運動的對稱性，③、④狀態(tài)A到平衡位置的距離都等于振幅，因此x=21⑵②到③過程壓力做的功W等于系統(tǒng)機械能的增加，由于是“緩慢”壓縮，機械能中的動能不變，重力勢能減少，因此該過程彈性勢能的增加量△2=W+2mg1；③到④過程系統(tǒng)機械能守恒，初、末狀態(tài)動能都為零，因此彈性勢能減少量等于重力勢能增加量，即△E2=4mg1。由于②、④狀態(tài)彈簧的形變量相同，系統(tǒng)的彈性勢能相同，即△2=氐E，因此W=2mg1。2例16.質(zhì)量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地上。平衡時，彈簧的壓縮量為x0,如圖所示。一物塊從鋼板正上方距離為3x0的A處自由落下，打在鋼板上并立刻與鋼板一起向下運動,但不粘連。它們到達最低點后又向上運動。已知物塊質(zhì)量也為m時，它們恰能回到0點。若物塊質(zhì)量為2m,仍從A處自由落下，則物塊與鋼板回到0點時，還具有向上的速度。求物塊向上運動到達的最高點與0點的距離。分析與解.物塊與鋼板碰撞時的速度叫—尹麟?①設(shè)vi表示質(zhì)量為m的物塊與鋼板碰撞后一起開始向下運動的速度，因碰撞時間極短，動量守恒， mv°=2mV] ②剛碰完時彈簧的彈性勢能為EP。當(dāng)它們一起回到0點時，彈簧無形變，彈性勢能為零，根據(jù)題給條件，這時物塊與鋼板的速度為零，由機械能守恒，Ep+— =2mgx0'2③設(shè)v2表示質(zhì)量為2m的物塊與鋼板碰撞后開始一起向下運動的速度，則有2mv0=3mv2④仍繼續(xù)向上運動，設(shè)此時速度為v,則有E；+|(3m>2=3mgx0+|(3m)v在以上兩種情況中，彈簧的初始壓縮量都是xo,故有E'p當(dāng)質(zhì)量為2m的物塊與鋼板一起回到0點時，彈簧的彈力為零，物塊與鋼板只受到重力作用，加速度為g。一過0點，鋼板受到彈簧向下的拉力作用，加速度大于g。由于物塊與鋼板不粘連，物塊不可能受到鋼板的拉力，其加速度仍為g。故在0點物塊與鋼板分離，分離后，物塊以速度v豎直上升，則由以上各式解得，物塊向上運動所到最高點與0點的距離為1=v2/(2g)=(l/2)x° ⑦例17.如下圖所示，一質(zhì)量不計的輕質(zhì)彈簧豎立在地面上，彈簧的上端與