距離的計算教案

§6距的計算●三維目標(biāo)．知識與技能(1)理解立體幾何中點(diǎn)到直線的距、點(diǎn)到平面的距離的概念．(2)掌握各種距離的計算方法．．過程與方法(1)通過空間中距離的計算，培養(yǎng)生運(yùn)用算法化思想解決問題的能力．(2)通過對空間幾何圖形的探究，學(xué)生會恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系．．情感、態(tài)度與價值觀學(xué)生經(jīng)歷對空間圖形的研究從“定性推理”到“定量計算”的轉(zhuǎn)化過程高析問題、解決問題的能力．●重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面距離公式的推導(dǎo)及應(yīng)用．難點(diǎn)：把空間距離轉(zhuǎn)化為向量知識求解．引導(dǎo)學(xué)生探索空間距離的計算公式和計算方法探中化學(xué)生對空間距離求法的認(rèn)識通具體例子，讓學(xué)生感求空間距離時合法的“難”和向量法的“易”體會向量法在研究空間問題中的作用．三、教學(xué)建議．引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題，比如，為什么引入空間距離？怎求空間距離？用向量法去求的優(yōu)越性是什么？教學(xué)中以問題為主線導(dǎo)生體驗(yàn)探索全過程，在這個過程中，形成并深化對空間距離求法的認(rèn)識．．在教學(xué)中，要滲透符號化、模型化、運(yùn)算化和程序化的思想．．教學(xué)中，應(yīng)把立體幾何問題作為學(xué)習(xí)向量法的載體，以向量法作為主要教學(xué)目標(biāo)●教學(xué)流程

22探探索

應(yīng)設(shè)情引課――空距的義空距的算式―通例，化比

嘗空距的識→較合的難，量法“”――→通練進(jìn)反矯小提煉思想方法：數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化，形成整體認(rèn)識課標(biāo)解讀掌點(diǎn)直線的距離公式到面的距離公式．重點(diǎn)通轉(zhuǎn)，會利用空間向量解決距離問題，從而培養(yǎng)準(zhǔn)確的運(yùn)算能力(點(diǎn)【問題導(dǎo)思】

1.解點(diǎn)到直線的距離到平面的距離的概念．重)點(diǎn)到直線的距離．如圖，已知向量是線l的向向量，點(diǎn)在直l上點(diǎn)是空間中一點(diǎn)，則→向量在的投影是什么？其幾何意義是什么？→→→【提示】向量PA上投影.⊥l于′，則投影A的何意義是||有向線段′的數(shù)量．→．如何利用PA在上的投影點(diǎn)A到線l的距？【提示】由股定理得，＝

－PA

2

22222222∴d

→→－PA||利用向量求點(diǎn)A到直線l的離步驟：(1)找到直線l的向向量；(2)在直線l上任取一點(diǎn)；→(3)計算點(diǎn)到點(diǎn)的離；→→(4)計算在向量上投影；0→→(5)計算點(diǎn)到直線l的離d【問題導(dǎo)思】

－PA0點(diǎn)到平面的距離如圖，已知向量是面π的法向量，點(diǎn)P在面π內(nèi)點(diǎn)是空間中點(diǎn)，試用→向量在n上投影表示點(diǎn)A到面的離．→n【提示】＝|.|利用向量求點(diǎn)A到平面的離步驟：(1)找到平面π的向量；(2)在平面內(nèi)取一點(diǎn)；→→(3)計算在向量的投PA；0

計

算

點(diǎn)

A

到

平

面

π

的

距

離

d

＝

→PA

·n|.0求點(diǎn)到直線的距離在長方體ABCD－BCD中，＝AB，AD＝1，點(diǎn)F，G分是AB，11111CC的點(diǎn)，求點(diǎn)D到線GF的離．11

→1122→1122→→→→【思路探究】?DFG?GD?GDG?1【自主解答】以D為標(biāo)原點(diǎn)DADCDD所直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空1間直角坐標(biāo)系，則D，，G，1→于是有GF，－，－1)→GD＝，－，1→→GD2所以＝＝，GD＝5→3GF所以點(diǎn)到線距離1＝

→→→GFGD－＝11→GF|

5＝.Plll0→→→1已知ABCDEFGH是長為正方體若P在方體內(nèi)部且滿足＝＋AD2→＋AE，則到的距離為()1815B．C.D．66

22112211【解析】建如圖所示空間直坐標(biāo)系，則→1＝(1,0,0)＋＝，，)．2→又∵＝，→→→→AB3∴APA上的投影為A＝，→∴點(diǎn)到的離為【答案】A

→→－

→|＝AB→AB求點(diǎn)到平面的距離圖2－如圖－－直三棱柱－ABC的棱＝，底面ABC中C＝1190°，ACBC＝1求點(diǎn)到面的離．1【思路探究】→B11n→

ABn|

1111【自主解答】如建立空間直坐標(biāo)系，由已知得直棱柱各頂點(diǎn)坐標(biāo)如下(1,0,0)，B，，(0,0,0)，A，，，3)，11→→→∴＝(－1,1，－，AC＝－1,0－，BA＝，－1,0)．1設(shè)平面的個法向量為n，，)，1則

→nB＝01→nC1

y－3＝?z＝0

?

3z＝即n＝－3，→B|所以，點(diǎn)到面的距離d＝11n．(1)(2)圖2－如圖－6－所示正體ABCD－BD中棱為1求A到面AD的111距離．→→→【解】以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，A＝(0,0,1)，＝－，AD＝－111,0,1)，設(shè)平面ADC的個法向量為n＝(x，y,，1

11則

→n＝01→n＝，，得則，→AA1∴＝，d＝＝.|3求直線與平面的距離圖2－如圖－－所示，在已知直四棱柱ABCDAC中底面為直角梯形，111∥，且∠＝，＝1，＝，＝，＝2，E是CC的中點(diǎn)．求111與平面ABE的離．【思路探究】AAB11ABAABEABE111【自主解答】如所示以為點(diǎn)以DADD所在直線分別為x軸軸1z軸立空間直角坐標(biāo)系，則A，AE(0，3，1)，1過作的線交AB于F，易得＝3∴30)，

1111→→∴AB(0,23，BE＝－，－，．設(shè)平面法向量為＝(x，y，z，則由

→n＝，→n＝0

y＝0得y＋＝，∴y＝，x＝，妨取n＝(1,0,1)．∵直線B∥面，1∴直線B到面ABE的離等于點(diǎn)到面的離．11→∵AA＝(0,0,2)，1→n∴B到平面ABE的距離AA＝＝2.|2四棱錐P－中四邊形ABCD正方形PD⊥平面，＝＝，，E分為AD，的點(diǎn)．(1)證明：DE∥平面PFB(2)求點(diǎn)到平面PFB的離．【解】證：以為點(diǎn)，建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．→→→則(0,0,2)，，(2,2,0)，(0,1,1)，＝－1,0,2)，＝(1,2,0)DE，→→→→∴＝FP＋FB∴∥平面又∵D平面，∴DE∥面．(2)∵DE平面PFB，∴E到平面的離等于D到面的離．設(shè)平面PFB

22的一個法向量＝x，y，)，則

→n＝0，→n＝

，0，→令x＝2，得y，＝∴＝，－1,1)，F(xiàn)D＝(－．→∴

D

到

平

面

PFB

的

距

離

為

d

|FD·n＝＝|

＝

利用向量求點(diǎn)到平面的距離的常錯誤在四棱錐－中底面是形PA平面，＝AD，＝2以AC為徑的球面交PD于M，點(diǎn)，求點(diǎn)N到面的距離【錯因分析】ACPDMN(2)N→(3)0【防范措施】(1)認(rèn)真分析圖形性質(zhì)進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化；(3)掌握好公式，尤其是公式中各個量的幾何意義．【正解】分以ABADAP為x軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，P，B，(2,4,0)，，(0,2,2)，→

→

→∴＝，AM＝(0,2,2)設(shè)平面的一個法向量＝(，yz，由，n→⊥AM，可0，

令z＝1，則＝(2，－1,1)．由已知得⊥在eq\o\ac(△,Rt)PAC中＝PNPC以＝＝PC－PN，3

－22－22NC5＝.PC→P所以所求距離為點(diǎn)P平面ACM距的點(diǎn)到平面ACM距離為＝.n3所以點(diǎn)到面的離為空間距離包括：點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)到線、點(diǎn)到面、線到線、線到面、面到面之間的距離．其中以點(diǎn)到面的距離最為重要，其他距離，如線到面、面到面的距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離

直線l過點(diǎn)A向量為n＝P到l的離為()B．2

D．2【解析】

→→→nPA＝(－2,0，－，|＝5，＝，點(diǎn)P到線l的離＝n2→→nPA－|＝|【答案】A

3－＝2圖2－．如圖－6－所示，正方體ABCD－ABD的長為1，O是面CD的中11111心，則O到面的距離()12B．4C.

3D．2

11111111【解析】建如圖所示坐標(biāo)系則D(0,0,0)，11O(，，1)，2→則A＝(1,0,1)，1→1AO＝－，，0)，12→由題意DA為面D的向量，O平面ABCD的離為111→→

DA2＝＝＝.→24DA1【答案】B．已知長方體－AD中AB，BC＝，＝，則點(diǎn)B到平面1111的距離為．【解析】如所示建立空間直坐標(biāo)系，則B，11→→AC＝(－4,6,0)，＝，－3)11→→BC＝(－，B＝(0,6,0)，1設(shè)平面的向量為n＝x，y，)114解得＝，，)．3→AB29∴d＝|

→nA＝，11→nA＝，1【答案】

29

11．已知棱長為1的方體ACE、分別是B、CD的點(diǎn)．1111(1)求證：E、、、B共；(2)求點(diǎn)到面的DBEF的離．1【解】如，建立空間直角坐標(biāo)系D－.則知，B，(0,0,0)，(，1,1)(0，，．12→→1(1)證明：由D(－，－，＝－，，0)，→→→得F＝D，EF∥，∴EF∥DB∴、F、、B共．(2)設(shè)n＝(x，y，z是平面的向量．→→→→由n⊥DB，⊥DF，DBDF＝(0，，1)得

→n＝x＋y＝0，→DF＝＋＝，

y，則z＝－y.→令y＝1，得＝(1,1，－)，DA＝，→則

A

1

到

平

面

DBEF

的

距

離

d

DA＝＝一、選擇題．已知正方體ABCDCD的棱長為，則點(diǎn)與角線所直線間的距離111是)

222222D．

B．a(chǎn)C.2【解析】如建立空間直角坐系，則(a,0，a，(，0)，C(0，，a)．11→→∴＝，a，－a，AB＝2，1→→BC＝(－，a，＝21點(diǎn)到的離＝錯誤!)1＝

a

6－＝2【答案】A圖2－如圖－6－已ABC－A是各條棱長均等于a的三棱柱D是側(cè)棱的111點(diǎn)，點(diǎn)到平面ABD的距離為()1

B

2C.aD【解析】∵ABB為正方形，B⊥AB，平面D⊥平面A，111111∴⊥面D，11→∴是平面ABD的個法向量，11由于CD＝CD，所以到平面D的離等于C到面D的離，11設(shè)點(diǎn)C平面AB的離為，則1

11111111111111→→→→→ACAB|ACA＋＝＝→aA1→→→→＝＝

A＋ACAB＋×a×60°|＝aa.【答案】A．正四棱柱ABCD－ABD中底面邊長為2，側(cè)棱長為，分為棱，11的中點(diǎn)EFBD＝G則棱錐－EFD的體積V等()1

316BC.3

D．16【解析】以D為標(biāo)原點(diǎn)如所示的直角坐標(biāo)系(22，1→E22，(2，22，DE＝(222－4)，1→→DF＝22－4)，B＝(22，，1→→→→DED∴cos<DE，F(xiàn)＝1DDF1＝

＝，26·→→∴D，F(xiàn)，113→→5所以eq\o\ac(△,S)EF＝DEDFD，F(xiàn)＝××26＝，12213又∵平面D的向量為n＝，2)，1→D|∴點(diǎn)到面DEF的離＝＝，1111616∴VB－EFD＝eq\o\ac(△,S)＝×5×＝.13133【答案】C

．△的點(diǎn)分別為(1，－，(5，－6,2)，(1,3，－1)則AC邊的高BD等于)A5BC．4．25→→【解析】設(shè)AD＝，(，，)．則x－，y＋，2)＝(0,4，－．∴x＝，y＝λ－1，＝－3，→∴＝－4,4＋，－λ．∴4(4λ＋－3(－3)＝0∴＝－→12∴＝－，，)，5→∴＝

＋＋＝【答案】A．正方體ABCDABCD的長為，則平面ABD與面的距離()111111aB．3C.

3D．3【解析】由方體的性質(zhì)易得面D∥面BDC，則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為11點(diǎn)B到面D的距離．1明顯，A⊥平面，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DD所直線分別為x軸111軸z軸立間直角標(biāo)系，則平面BD的個法向量為＝－(a,0,0)B，1→→n30)，＝，－0)，則兩平面間的距離＝BA＝＝33【答案】D二、填空題若平面∥面β直l且平面與β之的距離為d下給出了四個命題：①內(nèi)有且僅有一條直線與l的離等于d②內(nèi)所有直線與l的距離等于d③內(nèi)無數(shù)條直線與l距離等于；④內(nèi)所有的直線與的離都等于D

22211112221111其中正確的命題的序號為．【解析】由面平行的性質(zhì)可③④正確．【答案】③A(6,3,7)(－54,8)點(diǎn)D到面的離為________→→【解析】設(shè)面的向量＝(x，y，z，n＝，A＝0z＝，∴即0，x＝－z令z＝－，則＝，2)．y＝－→又AD＝(－，－∴點(diǎn)D到平面ABC的距離為d＝A

n|

＝

×49＝＝＋2＋17【答案】

17．設(shè)正方體ABCD－AC的棱長為，則點(diǎn)D到平面BD的距離．1111【解析】如建立空間直角坐系，則D，，，B，11→→→∴A＝(2,0,0)，DA＝(2,0,2)，＝(2,2,0)111設(shè)平面BD的向量＝，，，1則

→n＝2＋z＝0，1→n＝＋2＝0令x＝1，則＝，－1－，→DAn23∴點(diǎn)到面ABD的離＝＝＝|33【答案】

三、解答題

．已知正方體ABCD－ABCD的棱長為，點(diǎn)E是AD的點(diǎn)求點(diǎn)E到線111的距離．【解】建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)EFF為足，由于的置未確→→定，設(shè)D＝DBλ∈，則F(，，0)．→∵＝，，，→→→1∴EF＝DF－DE(－，，)．→→→∵EF⊥DBDB(1,1,0)→→∴EFDB，即(－)λ∴＝→∴EF＝－，，．4→6∴＝，故點(diǎn)E到線BD的離為.4．正方體ABCD－D的棱長為1EF分為CD的中點(diǎn)，試求點(diǎn)到111平面AE距離．11【解】取所在直線分別為x軸軸軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，1則A，E(1,0，1D，(，，D．1

11→∴＝，－，D＝．11設(shè)平面DE的個法向量為＝x，y，．1則

→nE＝0，1→n＝，11

x－z＝0，即y＝令z＝，則x＝∴＝．→又F，，－，12∴點(diǎn)到面D的離1→1－2|AF23＝＝＝|511－6已－ABCD是面邊長為1的四棱柱為C與D111111的交點(diǎn)．(1)設(shè)AB與面BCD所成角的大小為α角A－BD－的小β.證11111β＝2tan；(2)若點(diǎn)C到面ABD的離為，正四棱柱－AD的．113111圖2－【解】設(shè)四棱柱的高為h(1)證明：連，1∵AA⊥面ABCD，1111∴∠ABA是AB與面CD所成角，11111∴∠ABA＝11∵在等腰eq\o\ac(△,AB)eq\o\ac(△,)D中AO⊥D11又C，111∴∠AOA是面角A－BD－的個平面角，111∴∠AOA＝1

1AB1A1＋h＋1AB1A1＋h＋AA在eq\o\ac(△,Rt)中α＝＝；1111AA在eq\o\ac(△,Rt)A中β＝2111∴tan＝2tanα→(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，有A(0,0)B(1,0,0)D，，)，則A＝11→→(1,0－h(huán)，AD＝，－h(huán))＝．1設(shè)平面D的向量為n＝(u，)．→→∵⊥，⊥AD，11→→∴＝，AD＝11＋由＋得＝h，＝∴＝，h，)．令＝1，得＝(，h,1)．由點(diǎn)C平面AB的離為1→＋h4＝＝＝，|

解

得

高

h

＝(教師用書獨(dú)具在四棱錐O－ABCD中底邊長為2的方形，⊥底面，＝，，R分別為OA，，AD的點(diǎn)求：直線N平面OCD的離，平面與面OCD的離．【思路探究】由意得到MN平面，平面∥平面OCD將線面距離、面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離求解．【自主解答】因?yàn)镽分別為AO，