2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.1.2類比推理學(xué)案含解析北師大版選修2-22017

2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.1.2類比推理學(xué)案含解析北師大版選修2-220170628111D23

由于兩類不同對象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類對象的其他特征，推斷另一類對象也具有類似的其他特征，我們把這種推理過程稱為類比推理.類比推理是兩類事物特征之間的推理.類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列性質(zhì)，你認為比較恰當(dāng)?shù)氖莀_______(填序號).①各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面二面角都相等；所成的③各個面都是全等的正三角形，同一的任兩條棱的夾角都相等.頂點上【解析】正四面體的面(或棱)可與正三角形的邊類比，正四面體的相鄰兩面成的二面角(或共頂點的兩棱的夾角)可與正三角形相鄰兩4邊的夾角類比，故①②③都對.【答案】①②③教材整理2合情推理閱讀教材P的最后4個自然段，完成下列問6題.合情推理是根據(jù)實驗和實踐的結(jié)果、個人的經(jīng)驗和直覺、已有的事實和正確的結(jié)論(定義、公理、定理等)，推測出某些結(jié)果的推理方式.合情推理的結(jié)果不一定正確.下列說法正確的是()A.由合情推理得出的B.合情推理必須有前提有結(jié)論C.合情推理不能猜想結(jié)論一定是正確的D.合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤【解析】根據(jù)合情推理可知，合情推理必須有前提有結(jié)論.【答案】B5[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]類比推理在數(shù)列中的應(yīng)用bTn在公比為4的等比數(shù)列{}中，若nTTTbn是數(shù)列{}的前項積，則有，，40也成等2030TTT30n1020比數(shù)列，且公比為4100；類比上述結(jié)論，相應(yīng)地6aSann在公差為3的等差數(shù)列{}中，若是{}的前nn項和.(1)寫出相應(yīng)的結(jié)論，判斷該結(jié)論是否正確，并加以證明；(2)寫出一個更為一般的結(jié)論(不必證明).【精彩點撥】結(jié)合已知等比數(shù)列的特征可類比等差數(shù)列每隔10項和的有關(guān)性質(zhì).SSSS20【自主解答】(1)數(shù)列－，－，201030SS－也是等差數(shù)列，且公差為300.該結(jié)論是3040正確的.證明如下：ad∵等差數(shù)列{}的公差＝3，nSSSSaaa30∴(－)－(－)＝(＋＋…＋)302020102122aaa20－(＋＋…＋)1112dddd＝10＋10＋…10＝100＝300，10個SSSS20同理可得：(－)－(－)＝300，403030SSSSSS30所以數(shù)列－，－，－是等差2010302040數(shù)列，且公差為300.7kSSS2kk3k(2)對于任意∈N，都有數(shù)列－，＋SSS3kkd2－，－是等差數(shù)列，且公差為.2k4k1.本題是等比數(shù)列與等差數(shù)列之間的類比推理，在等比數(shù)列與等差數(shù)列的類比推理中，要注意等差與等比、加與乘、減與除、乘法與乘方的類比特點.2.類比推理的思維過程觀察、比較→聯(lián)想、類推→猜測新的結(jié)論.即在兩類不同事物之間進行對比，找出若干其他方面相同或相似之處后，推測這兩類事物在的相同或相似之處.[再練一題]anSSn41.設(shè)等差數(shù)列{}的前項和為，則，nSSSSSS12－，－，－成等差數(shù)列.類比以上結(jié)8412816bnTTn4論有：設(shè)等比數(shù)列{}的前項積為，則，n8T________，________，成等比數(shù)列.16T12【解析】等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時，和類比于積，減法類比于除法，可得類比結(jié)論為：TTbnTTn4設(shè)等比數(shù)列{}的前項積為，則，，，812TTn48TT16成等比數(shù)列.12TT【答案】812TT48類比推理在幾何中的應(yīng)用h如圖1-1-10所示，在平面上，設(shè)，ahhABCPABC，分別是△三條邊上的高，為△內(nèi)bcPppab任意一點，到相應(yīng)三邊的距離分別為，，ppppc，可以得到結(jié)論＋＋c＝1.abhhhcab9圖1-1-10證明此結(jié)論，通過類比寫出在空間中的類似結(jié)論，并加以證明.【精彩點撥】三角形類比四面體，三角形的邊類比四面體的面，三角形邊上的高類比四面體以某一面為底面的高.1BC·pp2Sa【自主解答】＝＝，a△PBChaS△ABC12BC·hapSpS同理，＝，＝△PAB.b△PACchShS△ABCb△ABCcSSSS△ABC∵＋＋＝，△PBC△PAC△PABpppSSS＋＋∴＋＋＝△PAB＝1.abc△PBC△PAChhhS△ABCabc類比上述結(jié)論得出以下結(jié)論：如圖所示，在ABCDhhhhabcd四面體中，設(shè)，，，分別是該四面P體的四個頂點到對面的距離，為該四面體內(nèi)任Pppab意一點，到相應(yīng)四個面的距離分別為，，10ppppdhhhhpp，，可以得到結(jié)論＋＋＋＝1.abccdabcd1Sp·p3V△BCDa證明如下：＝＝，aP-BCDhV13S·haA-BCD△BCDapVpVpV同理，＝，＝，＝P-ABC.bP-ACDcP-ABDdhVhVhVA-BCDbA-BCDcA-BCDdVVVVVA-BCD∵＋＋＋＝，P-BCDP-ACDP-ABDP-ABCppppdhhhh∴＋＋＋abcabcdVVVV＝1.P-ABC＋＋＋＝P-BCDP-ACDP-ABDVA-BCD1.一般地，平面圖形與空間圖形類比如下：平面圖形線線三角角點線邊長面積11形四二面空間線面面積體積面圖形角體2.類比推理的一般步驟(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；(2)用一類事物的性質(zhì)推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的結(jié)論.[再練一題]ABCab2.在上例中，若△的邊長分別為，，cABCabC，其對角分別為，，，那么由＝·coscB＋·cos可類比四面體的什么性質(zhì)？SS【解】在如圖所示的四面體中，，，12SS3PABPBCPCAABC，分別表示△，△，△，△的面積，12αβγPABPBC，，依次表示平面，平面，PCAABC平面與底面所成二面角的大小.SSαSβS猜想＝·cos＋·cos＋·cos123γ.[探究共研型]類比推理在其他問題中的應(yīng)用探究1魯班發(fā)明鋸子的的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開木材，它們在功能上是類似的.因此，它們在形狀“鋸子”應(yīng)該是齒形的.你認為該思維過程為：帶齒上也應(yīng)該類似，過程為歸納推理還是類比推理？【提示】類比推理.探究2已知以下過程可以求1＋2＋3＋…nnnn2＋的和.因為(＋1)2－＝2＋1，nnn－(－1)＝2(－1)＋1，22……22－12＝2×1＋1，13nnn有(＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋)＋，nnn＋2－2n所以1＋2＋3＋…＋＝＝2nn（＋1）.2n2類比以上過程試求12＋22＋32＋…＋的和.【提示】因為(＋1)3－＝33＋3＋1，nnnn2nnnn－(－1)＝3(－1)2＋3(－1)＋1，33…23－13＝3×12＋3×1＋1，nn有(＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋2)＋3(1＋2nn＋3＋…＋)＋，n所以12＋22＋…＋2nn3＋521nnn＝＋3＋3－3232nnnnnn2＋3＋（＋1）（2＋1）32＝＝.66已知橢圓具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C14P上關(guān)于原點對稱的兩個點，點是橢圓上任意一PMPNkkPMPN點，當(dāng)直線，的斜率，都存在時，那kkP么與之積是與點的位置無關(guān)的定值，試PMPNxy22ab寫出雙曲線－＝1(>0，>0)具有類似特征的ab22性質(zhì)，并加以證明.雙曲線與橢圓中的結(jié)論【精彩點撥】→橢圓類比雙曲線中的→理論證明→相應(yīng)結(jié)論MN【自主解答】類似性質(zhì)：若，為雙曲xy22ab線－＝1(>0，>0)上關(guān)于原點對稱的兩個ab22PPMPN點，點是雙曲線上任意一點，當(dāng)直線，kkkkPMPN的斜率，都存在時，那么與之積是與PMPNP點的位置無關(guān)的定值.MPmn證明如下：設(shè)點，的坐標分別為(，)，xy(，)，則NmnMmn(－，－).因為點(，)是雙曲線上的15點，bb22a22nmbyxb2所以＝－.同理＝－，2222a2ynynynbxm2－＋－－2222kk則·＝·＝＝·xmxmxmaxm2－＋－－PMPN2222b2＝(定值).a21.兩類事物能進行類比推理的關(guān)鍵是兩類對象在某些方面具備相似特征.2.進行類比推理時，首先，找出兩類對象之間可以確切表達的相似特征.然后，用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得到一個猜想.[再練一題]3.(2016·溫州高二檢測)如圖1-1-11所→→FFBAB示，橢圓中心在坐標原點，為左焦點，當(dāng)⊥165－1時，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金2橢圓”.類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙e曲線”的離心率等于________.圖1-1-11x2【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線方程為－a2y2b2ab＝1(>0，>0)，F(xiàn)cBbAa則(－，0)，(0，)，(，0)，→→FBcbABab所以＝(，)，＝(－，).→→FBAB又因為⊥，→→FBABbac所以·＝－＝0，217caacee2所以－－＝0，所以－－1＝0，221＋51－5ee所以＝或＝(舍去).221＋5【答案】2[構(gòu)建·體系]1.下面使用類比推理恰當(dāng)?shù)氖?)ababA.“若·3＝·3，則＝”類比推出“若abab·0＝·0，則＝”abcacbcabcB.“(＋)＝＋”類比推出“(·)acbc＝·”abacc＋abcacbcC.“(＋)＝＋”類比推出“＝bcc＋(≠0)”18abababannD.“()＝”類比推出“(＋)＝＋nnnbn”【解析】由實數(shù)運算的知識易得C項正確.【答案】Clr2.已知扇形的弧長為，半徑為，類比三底×高S角形的面積公式＝，可知扇形面積公式2為()r2A.2l2B.2lrC.2D.無法確定【解析】扇形的弧長對應(yīng)三角形的底，扇形的半徑對應(yīng)三角形的高，因此可得扇形面積公lrS式＝2.【答案】C3.在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為191∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________.【解析】由平面和空間的知識，可知面積之比與邊長之比成平方關(guān)系，在空間中體積之比與棱長之比成立方關(guān)系，故若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積之比為1∶8.【答案】1∶8nn1×2＋2×3＋…＋(＋1)”4.在計算“時，有如下方法：1kkkkkk先改寫第項：(＋1)＝[(＋1)(＋2)3kkk－(－1)(＋1)]，由此得11×2＝3(1×2×3－0×1×2)，12×3＝3(2×3×4－1×2×3)，……201nnnnnnnn(＋1)＝[(＋1)(＋2)－(－1)(＋31)]，1nnn2×3＋…＋(＋1)＝(＋3相加得1×2＋n1)(＋2).類比上述方法，請你計算“1×3＋2×4＋…nnn＋(＋2)”，其結(jié)果寫成關(guān)于的一次因式的積的形式為________________.1【解析】1×3＝×(1×2×9－0×1×7)，612×4＝×(2×3×11－1×2×9)，613×5＝×(3×4×13－2×3×11)，6……1nnnnnnnn(＋2)＝[(＋1)(2＋7)－(－1)(26＋5)]，各式相加，得1×3＋nn2×