自動(dòng)控制原理第五章

自動(dòng)控制原理第五章第一頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日1線(xiàn)性定常系統(tǒng)（傳函G(s)）x(t)y(t)5-1-1定義輸出幅值Y和相位差φ是輸入正弦信號(hào)頻率ω的函數(shù)。當(dāng)ω：0→∞，輸出穩(wěn)態(tài)分量ys與輸入x的復(fù)數(shù)比:ys(t)與輸入x(t)的幅值比,稱(chēng)為幅頻特性(振幅之比);ys(t)與輸入x(t)的相位差,稱(chēng)為相頻特性(相位之差)。稱(chēng)為頻率特性。旋轉(zhuǎn)矢量表示5-1頻率特性及其數(shù)學(xué)描述第二頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日2RCuiuc例5-1RC網(wǎng)絡(luò)如圖，當(dāng)，求輸出響應(yīng)。解：瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量第三頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日34)在傳遞函數(shù)中，令，則有：可見(jiàn)，1)線(xiàn)性定常系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是與輸入同頻率的正弦信號(hào)；

2)頻率響應(yīng)的幅值和相移均是輸入信號(hào)頻率ω的函數(shù)；

3)幅頻特性：

相頻特性：

注：復(fù)數(shù)的表示形式第四頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日4線(xiàn)性定常系統(tǒng)微分方程傳遞函數(shù)頻率特性對(duì)線(xiàn)性定常系統(tǒng)有：

對(duì)線(xiàn)性定常系統(tǒng)，有如下關(guān)系：5-1-2頻率特性、微分方程、傳遞函數(shù)之間的關(guān)系

證明方法：1)正弦信號(hào)的L變化；2)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；3)頻率特性的定義。第五頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日5在正弦作用下：穩(wěn)態(tài)分量暫態(tài)分量同理：G(jω)與G(-jω)模值相同，相角相反：證明：設(shè)第六頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日6于是：可見(jiàn)，ys(t)

也是與x(t)

同頻率的正弦信號(hào)振幅Y=XA(ω)(初)相位即與輸入信號(hào)的相位差第七頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日7例如幅頻：

相頻：

應(yīng)注意的問(wèn)題1頻率特性是一種數(shù)學(xué)模型，是傳遞函數(shù)的一種特殊形式；令：s=jω,即可由傳遞函數(shù)得到頻率特性；2頻率特性是從正弦的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求出的，但表示的是系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。3頻率特性是指ω：0→∞時(shí)的頻率響應(yīng)，在某一ω下的頻率響應(yīng)不能表示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。4從穩(wěn)態(tài)響應(yīng)測(cè)頻率特性，給實(shí)驗(yàn)獲取頻率特性提供了方便，但不穩(wěn)定系統(tǒng)頻率特性是觀察不到的。第八頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日8——相頻特性

——幅頻特性——實(shí)頻特性——虛頻特性

1）指數(shù)式：2）幅值、幅角：3）代數(shù)式：4）三角式：5-1-3頻率特性的數(shù)學(xué)表示法——對(duì)數(shù)幅頻特性

——對(duì)數(shù)相頻特性

幅相特性對(duì)數(shù)頻率特性第九頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日91極坐標(biāo)圖：5-2-1幅相頻率特性曲線(xiàn)（極坐標(biāo)圖）ω從0→∞，

的端點(diǎn)在極坐標(biāo)上的軌跡幅相圖可繪制在極坐標(biāo)紙上，也可繪制在直角坐標(biāo)紙上。

2繪制方法對(duì)應(yīng)，求出，繪點(diǎn)。2)直角坐標(biāo)紙：即以ω為參變量的與的關(guān)系圖。

1)極坐標(biāo)紙：求對(duì)應(yīng)的3)由零、極點(diǎn)分布圖繪制5-2頻率特性的幾何表示（圖示法）第十頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日10例5-2繪制極坐標(biāo)圖

解：1在極坐標(biāo)紙上K●0.707K●●2在直角坐標(biāo)紙上U(ω)V(ω)K●K/2-K/2●●第十一頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日113由零、極點(diǎn)分布圖繪制1)在[s]上標(biāo)出開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)；2)令s=jω,即s沿虛軸變化：[s]j●0●U(ω)V(ω)K●K/2-K/2●●第十二頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日121對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）以ω為變量的頻率特性圖

對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性

橫軸以ω的對(duì)數(shù)分度縱軸是線(xiàn)性分度5-2-2對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（Bode

圖）第十三頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日13注意：1)ω=0時(shí)lgω=-∞，所以ω=0

不能標(biāo)在有限的坐標(biāo)系內(nèi)；2)坐標(biāo)軸交點(diǎn)處L=0dbω任意=00

ω任意3)為作圖方便，應(yīng)熟記：lg2=0.3lg4=lg22=0.6lg5=0.7lg8=lg23=0.94)做作業(yè)時(shí)，建議比例

3cm——十倍頻1cm——20dB1cm——900或按比例縮放。第十四頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日142）求對(duì)數(shù)幅頻特性及對(duì)數(shù)相頻特性2繪制Bode圖的一般步驟3特點(diǎn)

1）容易繪制（用折線(xiàn)代替曲線(xiàn)，復(fù)雜系統(tǒng)可分解為典型環(huán)節(jié)的疊加）；

2）頻率范圍寬，并可根據(jù)需要選頻段；

3）可明確表示零、極點(diǎn)的影響。1）將寫(xiě)成指數(shù)式（幅值、幅角形式）：3）以ω為變量，在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上繪制：對(duì)數(shù)幅頻特性圖：對(duì)數(shù)相頻特性圖：縱軸20lg|G(jω)|=L(ω)橫軸ω（對(duì)數(shù)坐標(biāo)）橫軸ω（對(duì)數(shù)坐標(biāo)）縱軸第十五頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日15例5-3

繪制Bode圖。

解：高頻段低頻段轉(zhuǎn)折頻率第十六頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日16200-20-40-6090450-45-900.010.1110100●●●●1/T第十七頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日171對(duì)數(shù)幅相圖

例5-4

繪制對(duì)數(shù)幅相圖0-10-20-30-40-900-45000注：一般利用Bode圖繪制

2特點(diǎn)1）用于確定閉環(huán)穩(wěn)定性2）較方便的解決了系統(tǒng)校正問(wèn)題5-2-3對(duì)數(shù)幅相圖（尼科爾斯圖）第十八頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日185-3-1典型環(huán)節(jié)1最小相位典型環(huán)節(jié)1)

比例環(huán)節(jié)G(s)=K2)

慣性環(huán)節(jié)3)

振蕩環(huán)節(jié)4)

一階微分環(huán)節(jié)5)二階微分環(huán)節(jié)6)積分環(huán)節(jié)7)微分環(huán)節(jié)

5-3典型環(huán)節(jié)及頻率特性曲線(xiàn)的繪制

第十九頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日192非最小相位環(huán)節(jié)

1)

比例環(huán)節(jié)2)一階慣性環(huán)節(jié)6)純滯后環(huán)節(jié)

5)二階微分G(s)=K(K<0)(T>0)3)振蕩環(huán)節(jié)4)一階微分(T>0)第二十頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日201比例環(huán)節(jié)即G(jω)的A(ω)和(ω)均為常值。

ReImK>0G(s)=K

G(jω)=K20lgK005-3-2最小相位典型環(huán)節(jié)的頻率特性特點(diǎn)：無(wú)相位滯后。

第二十一頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日210.111010000-900200-20ReIm-20db/dec對(duì)數(shù)幅頻特性：ω=1穿過(guò)0dB的-20dB/dec的直線(xiàn)；對(duì)數(shù)相頻特性：滯后900，與ω?zé)o關(guān)。2積分環(huán)節(jié)第二十二頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日220.1

1

10

100

00-900200-20900ReIm3純微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)與微分環(huán)節(jié)比較：-20db/dec20db/dec第二十三頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日231漸近對(duì)數(shù)幅頻特性0.1

1

10

100

00-450200-20450900-90040-40ReIm1/TT變化，曲線(xiàn)平移低頻段：高頻段：轉(zhuǎn)折頻率：-20db/dec4一階慣性環(huán)節(jié)-450/dec第二十四頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日24ReIm1U(ω)≡1，V(ω)隨ω的增加而增加，最大超前相角為900。一階慣性環(huán)節(jié)與一階微分環(huán)節(jié)比較：1）傳遞函數(shù)互為倒數(shù)；2）幅相圖：0.1

1

10

100

00-450200-204501/T3）Bode圖：20db/dec-20db/dec5一階微分環(huán)節(jié)第二十五頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日25●PAB6振蕩環(huán)節(jié)第二十六頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日261）幅相圖令，則有即無(wú)論ζ取何值，當(dāng)u=1(ω=ωn)時(shí)，幅相曲線(xiàn)與負(fù)虛軸相交，交點(diǎn)坐標(biāo)：ReIm1.0..第二十七頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日27對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性當(dāng)時(shí),即2）

Bode圖當(dāng)即時(shí),（-40db/dec）當(dāng)時(shí)

轉(zhuǎn)折點(diǎn)交接頻率

一般并不是最大誤差點(diǎn)（低頻段）（高頻段）第二十八頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日280.1

1

10

100

00-900200-209001800-1800-4040ωn-40db/dec0<ζ<0.707，存在Mrζ>0.707，不存在Mrζ↓→(ω)曲線(xiàn)越陡，工程上，常用折線(xiàn)加修正繪制Bode圖A(ω)對(duì)ω求導(dǎo)得：轉(zhuǎn)折點(diǎn)ωr——諧振頻率A(ω)取極大值Mr——諧振峰值，與ζ有關(guān)，ζ↓→Mr↑ζ→0，曲線(xiàn)→折線(xiàn)第二十九頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日29二階振蕩環(huán)節(jié)的倒數(shù)1）繪制幅相圖ReIm1.2ζ.

7二階微分環(huán)節(jié)第三十頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日302）對(duì)數(shù)頻率特性圖0.111010000-900200-209001800-1800-4040ωn40db/dec對(duì)數(shù)幅頻特性：與二階振蕩環(huán)節(jié)的bode圖關(guān)于0db線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；對(duì)數(shù)相頻特性：與二階振蕩環(huán)節(jié)的bode圖關(guān)于00線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。-40db/dec與二階振蕩環(huán)節(jié)一樣，當(dāng)0<ζ<0.707，存在諧振。第三十一頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日31特點(diǎn)：與最小相位典型環(huán)節(jié)中的某參數(shù)反號(hào)-K1比例環(huán)節(jié)

G(s)=-K(K>0)

G(jω)=-K

ReIm0.111010000-900200-209001800-1800-404020lgK5-3-3非最小相位環(huán)節(jié)的頻率特性曲線(xiàn)第三十二頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日32與一階滯后環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻相同，相頻相反。

ReIm0.1

1

10

100

00-450200-20450900-90040-401/T-20db/dec1思考題：繪制頻率特性曲線(xiàn)。2慣性環(huán)節(jié)(T>0)

第三十三頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日333一階微分(T>0)由上述曲線(xiàn)可知，最小相位與非最小相位的頻率特性有如下關(guān)系：①對(duì)數(shù)幅頻特性（L(ω)）相同；②相頻特性相反,在對(duì)數(shù)相頻特性圖上，關(guān)于0度線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；ReIm10.1

1

10

100

00-450200-204501/T20db/dec③幅相圖對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。適用于二階振蕩環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)第三十四頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日340.111010000-900200-209001800-1800-4040-40db/decReIm1.0..ωn4振蕩環(huán)節(jié)第三十五頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日350.111010000-900200-209001800-1800-4040ωn40db/decReIm1.2ζ.5二階微分第三十六頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日36可見(jiàn)，增加純滯后環(huán)節(jié)，幅頻特性不變，相頻特性隨頻率增加，影響增大(相角滯后加大)。ReIm0.1110100200-2000-900-1800-2700-3600-4040（弧度）6純滯后環(huán)節(jié)

第三十七頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日37開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)的繪制3)曲線(xiàn)變化范圍：

5-4-1開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)的繪制——由表達(dá)式取點(diǎn)，計(jì)算，描點(diǎn)。概略曲線(xiàn)——工程方法。精確曲線(xiàn)概略幅相曲線(xiàn)的三要素：1）起點(diǎn)：終點(diǎn)：2)與實(shí)軸交點(diǎn)及交點(diǎn)處的頻率，稱(chēng)為穿越頻率ωx；象限，單調(diào)性。5-4開(kāi)環(huán)頻率特性的繪制

第三十八頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日38

——對(duì)應(yīng)的

1起點(diǎn)K2終點(diǎn)

——對(duì)應(yīng)的

第三十九頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日39

3與實(shí)軸的交點(diǎn)4曲線(xiàn)變化范圍（象限及單調(diào)性）

——穿越頻率當(dāng)G(jω)H(jω)包含非最小相位環(huán)節(jié)或一階、二階微分環(huán)節(jié)時(shí)，幅相曲線(xiàn)上會(huì)有凹凸點(diǎn)，即相角不會(huì)單調(diào)減少。第四十頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日401）起點(diǎn)：

起點(diǎn)處漸近線(xiàn):

2）終點(diǎn)：

3）變化范圍：積分環(huán)節(jié):-900→-900兩個(gè)一階環(huán)節(jié):00→-18004）與實(shí)軸的交點(diǎn)：

根據(jù)兩角和的正切公式:

求A(ωx

)：

Ⅲ象限→Ⅱ象限●j例5-5繪制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的幅相圖第四十一頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日41概略幅相曲線(xiàn)。

解：慣性環(huán)節(jié)角度變化為

Ⅳ,Ⅲ象限

1）Ⅲ,Ⅱ象限

2）Ⅱ,Ⅰ象限

3）Ⅰ,Ⅳ象限

4）④③②①j例5-6繪制第四十二頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日42解：

起點(diǎn)：

終點(diǎn)：

與實(shí)軸的交點(diǎn)：令虛部為零，得：變化范圍：Ⅲ、Ⅱ象限變化范圍：即Ⅲ象限或Ⅳ、Ⅲ象限。j例5-7繪制概略幅相曲線(xiàn)。與實(shí)軸無(wú)交點(diǎn)第四十三頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日43解：例5-8繪制的概略幅相曲線(xiàn)。

起點(diǎn)：

終點(diǎn)：

與實(shí)軸的交點(diǎn)：令虛部為零，得：變化范圍：?jiǎn)握{(diào)變化，即Ⅲ、Ⅱ象限。j-Kτ第四十四頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日44即總的曲線(xiàn)等于各典型環(huán)節(jié)的疊加。

1)分解2步驟1思路：將復(fù)雜的G(s)H(s)分解為典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)比例積分、微分一階慣性、一階微分二階振蕩、二階微分2)求各環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率，并從小到大排列：最小的轉(zhuǎn)折頻率ωmin和最大的ωmax。5-4-2開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率曲線(xiàn)(Bode圖)的繪制第四十五頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日453)低頻段位置確定：(三種方法)③取由K和積分環(huán)節(jié)決定.ω<ωmin：①在ω<ωmin上任取ω0，計(jì)算4)ωmin<ω<ωmax：按轉(zhuǎn)折頻率對(duì)應(yīng)的環(huán)節(jié)繪制5)必要時(shí)作修正.②第四十六頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日46解:1)

2)轉(zhuǎn)折頻率

1，2，20；K=103)低頻段：4)時(shí)例5-10繪制對(duì)數(shù)頻率特性圖(漸近特性曲線(xiàn))。

第四十七頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日475）作圖范圍：20400-20-1800-2250-2700-3150-3600-4060-60-40500.111010010000.01-40db/dec-60db/dec2-40db/dec-80db/dec-450/dec-900/dec-450/dec-900/dec6）校正

202000.218.7第四十八頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日482）轉(zhuǎn)折頻率：,10,30解:1）

3）低頻段：ω<<1.414ω=1時(shí)：4）ω=1.414—30例5-11繪制

的對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線(xiàn)。橫坐標(biāo)范圍：ω=0.1~1000第四十九頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日496）修正：20400-20-900-1350-1800-2250-2700-4060-60-31500.111010010000.011.41430-20db/dec-60db/dec-80db/dec-60db/dec-900/dec-1350/dec-900/dec450/dec5）作圖1.414~30范圍：第五十頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日501幅頻特性←→相頻特性,即由幅頻特性→相頻特性、傳遞函數(shù)2最小相位系統(tǒng)是穩(wěn)定的，因此可用實(shí)驗(yàn)方法獲得其頻率特性。例5-12

已知某最小相位系統(tǒng)近似幅頻曲線(xiàn)，求G(s)，并繪制相頻曲線(xiàn)。

3020100-10-20-9000.111010027-20-40-20最小相位系統(tǒng)的特點(diǎn)：15第五十一頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日51-40dB/dec0201220db/dec1ω1ω2100解:1)由低頻段確定比例環(huán)節(jié)和積分或微分的個(gè)數(shù):20dB/dec——一個(gè)微分環(huán)節(jié)

2)確定傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)形式：

ω1處：-20dB/dec——一階慣性環(huán)節(jié)

ω2處：-40dB/dec——二階振蕩環(huán)節(jié)例5-13

實(shí)驗(yàn)方法測(cè)得某對(duì)象的頻率特性曲線(xiàn)(該對(duì)象為

最小相位環(huán)節(jié))，試確定該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。待定參數(shù)：第五十二頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日52低頻段：，有直線(xiàn)方程：由圖知：

3)確定參數(shù)第五十三頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日53，有直線(xiàn)方程：取又第五十四頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日545-5-1輔助函數(shù)及圍線(xiàn)映射原理構(gòu)造輔助函數(shù),利用圍線(xiàn)映射原理，將s域內(nèi)“用閉環(huán)極點(diǎn)分布判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性”轉(zhuǎn)換為在頻域內(nèi)“用開(kāi)環(huán)頻率特性曲線(xiàn)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性”。1輔助函數(shù)

F(s)(1)定義：H(s)G(s)_R(s)C(s)(2)輔助函數(shù)的特點(diǎn)

1)

F(s)零點(diǎn)是閉環(huán)極點(diǎn)，F(xiàn)(s)極點(diǎn)是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)；

2)

F(s)的零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同；

3)

F(s)與G(s)H(s)只差常數(shù)1，5-5頻率域穩(wěn)定判據(jù)即[F]的原點(diǎn)是[GH]的(-1,j0)點(diǎn)。第五十五頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日55s1●F(s1)

●當(dāng)

F(s1)稱(chēng)為s1在[F(s)]上的映射。設(shè)s為復(fù)變量，F(xiàn)(s)為s的有理分式函數(shù)：s沿Γs(Γs不穿過(guò)F(s)的零極點(diǎn))連續(xù)變化一圈時(shí)，ΓsF(s)在[F(s)]上也形成一條封閉曲線(xiàn)ΓF.3

幅角原理Γs順時(shí)針包圍零點(diǎn)zi一圈，設(shè)：ΓF

順時(shí)針包圍[F(s)]原點(diǎn)一圈Γs順時(shí)針包圍極點(diǎn)pk一圈，ΓF

反時(shí)針包圍原點(diǎn)一圈。[s]j[F(s)]j2

復(fù)平面圍線(xiàn)映射概念第五十六頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日56如果[s]上Γs(不穿過(guò)F(s)的零、極點(diǎn))包圍F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，Γs在[F(s)]上的映射為封閉曲線(xiàn)ΓF,ΓF包圍原點(diǎn)的圈數(shù)R，即在[GH]上的映射ΓGH包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)R為R=P-ZR>0——逆時(shí)針；R<0——順時(shí)針；R=0——不包圍。（閉環(huán)極點(diǎn)）（開(kāi)環(huán)極點(diǎn)）Γs包圍的F(s)的零點(diǎn)數(shù)Γs包圍的F(s)的極點(diǎn)數(shù)可見(jiàn)，如果Γs包圍[s]整個(gè)右半平面，則ΓF在[F(s)]上也是一封閉曲線(xiàn)，且Γs包圍F(s)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)決定ΓF在[F(s)]包圍原點(diǎn)的方向和次數(shù),即決定ΓGH在[GH]上包圍(-1,j0)的方向和次數(shù)。將系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件轉(zhuǎn)換到頻域。幅角原理：

第五十七頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日571G(s)H(s)在原點(diǎn)及虛軸無(wú)極點(diǎn)(不包含積分及等幅振蕩環(huán)節(jié)）1)Nyquist圍線(xiàn)（軌線(xiàn)）：ΓN包圍整個(gè)右半平面j[s]奈氏圍線(xiàn)ΓN2)ΓN數(shù)學(xué)描述：3)ΓN的映射ΓGH負(fù)頻特性一點(diǎn)結(jié)論:ΓN

在[GH]上的映射ΓGH為ω:-∞→+∞時(shí)的開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)，5-5-2奈氏穩(wěn)定判據(jù)稱(chēng)為Nyquist曲線(xiàn)。第五十八頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日581系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：ω：-∞→+∞的開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)在[GH]上逆時(shí)針包圍（-1,j0）圈數(shù)R等于開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定極點(diǎn)個(gè)數(shù)P。2當(dāng)系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)，右半平面特征根數(shù)Z=P-R。

例5-15已知，試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

解：繪出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)的Nyquist圖：(-1,j0)j[GH]●-2開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定極點(diǎn)數(shù)：P=1，曲線(xiàn)繞（-1,j0）點(diǎn)逆轉(zhuǎn)1圈，即R=1Z=P-R=0，故系統(tǒng)穩(wěn)定。驗(yàn)證：特征方程s-1+2=0s=-1即：Z=04）Nyquist判據(jù)第五十九頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日59(b)ω=0-ω=∞--1(a)ω=0+ω=∞+j-1j例5-16已知開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)，試?yán)L制Nyquist圖,并計(jì)算R。第六十頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日601)Nyquist圍線(xiàn)（軌線(xiàn)）在原點(diǎn)處有極點(diǎn)—ΓN繞過(guò)原點(diǎn)，包圍整個(gè)右半平面。2)ΓN數(shù)學(xué)描述3)ΓGH繪制

當(dāng)：?！薹?G(s)H(s)包含積分環(huán)節(jié)

j[s]×即當(dāng)ω從0-→0+時(shí)，ΓGH半徑為∞，順時(shí)針轉(zhuǎn)ν×1800的圓弧。

第六十一頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日61,試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。0++∞解：由GH

知：系統(tǒng)不穩(wěn)定，右半平面根個(gè)數(shù)：Z=2。起點(diǎn)終點(diǎn)G(jω)H(jω)與實(shí)軸無(wú)交點(diǎn)0-(-1,j0)j例5-17？第六十二頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日62(b)(a)①③②①

R=-2;(c)(d)R=-3②R=0;③R=-20+0-0+0-0+0-0+0--1j-1jj-1j例5-18已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn),繪制Nyquist圖,并計(jì)算R。

第六十三頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日63定義：GH(jω)包圍(-1,j0)點(diǎn)圈數(shù)R等于GH(ω:0→0+→∞)時(shí)，在(-1,j0)點(diǎn)左側(cè)穿過(guò)負(fù)實(shí)軸的次數(shù),系統(tǒng)穩(wěn)定←→Z=P-R=0負(fù)穿越:從下向上正穿越:從上向下圖a①：N+=0，N-=1，R=-2②：N+=0，N-=0，R=0圖b①：N+=0，N-=1，R=-2②：N+=0，N-=0，R=0圖c①：N+=0，N-=1,R=-2②：N+=1，N-=1，圖d：③：N+=1，N-=2，①③②R=-2R=-3即R=2(N+-N-)●ω=03Nyquist判據(jù)的另一種形式N+=0，N-=1.5，R=0-1j-1jj-1j第六十四頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日64解:方法1繪制完整的Nyquist曲線(xiàn)方法2利用正負(fù)穿越：

ω=0點(diǎn)位于負(fù)實(shí)軸，負(fù)穿越0.5次，R=2(N+-N-)=-1Z=P-R=1-(-1)=2系統(tǒng)不穩(wěn)定。ω=0+ω=+∞ω=0-ω=-∞GH(jω)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1800R=-1(順時(shí)針包圍(-1,j0)一次)Z=P-R=21）繪制GH的負(fù)頻幅相曲線(xiàn)2）繪制完整的Nyquist曲線(xiàn)系統(tǒng)不穩(wěn)定。-1j例20已知某系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)，υ=1,P=1,判斷穩(wěn)定性。υ≠0時(shí)GH(j0)點(diǎn)的位置：從GH(j0+)半徑∞，逆時(shí)針υ×900第六十五頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日65解：

在[GH]上為順時(shí)針內(nèi)螺旋線(xiàn)

只有R=0系統(tǒng)才穩(wěn)定，即解得：

試用奈氏判據(jù)確定閉環(huán)穩(wěn)定的τ的范圍。

-1j例5-22已知延遲系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)處于臨介穩(wěn)定狀態(tài)。第六十六頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日66-2-1.5-0.5-1解：G(jω)在(-1,j0)左側(cè)與負(fù)實(shí)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，K=10時(shí)：,可得相應(yīng)的K值：令-1-1-1N-=1，N+=1，R=P=0,故系統(tǒng)穩(wěn)定。確定K的穩(wěn)定范圍N-N+由題知穿越頻率：ω1、ω2、ω3

jj例5-23已知開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)如圖,判斷閉環(huán)的穩(wěn)定性。第六十七頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日67——Nyquist穩(wěn)定判據(jù)在Bode圖上的推廣1→Bode圖在[GH]上在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的轉(zhuǎn)換無(wú)積分環(huán)節(jié)：有積分環(huán)節(jié)：有等幅振蕩環(huán)節(jié)：Bode圖+向上補(bǔ)做的虛直線(xiàn)+向上補(bǔ)做的虛直線(xiàn)至5-5-3對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)第六十八頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日682

穿越點(diǎn)確定穿過(guò)負(fù)實(shí)軸

3

穿越次數(shù)計(jì)算：N=N+-N-正穿越1次：[GH]：從上向下→Bode圖：L(ω)>0，φ(ω)從下向上負(fù)穿越1次：[GH]：從下向上→Bode圖：L(ω)>0，φ(ω)從上向下正穿越半次：[GH]：從上向下止于負(fù)實(shí)軸或從負(fù)實(shí)軸向下Bode圖：從下向上止于(2k+1)π線(xiàn)，或從(2k+1)π線(xiàn)向上負(fù)穿越半次：[GH]：從下向上止于負(fù)實(shí)軸，或從負(fù)實(shí)軸向上Bode圖：從上向下止于(2k+1)π線(xiàn)，或從(2k+1)π線(xiàn)向下注意：補(bǔ)做的虛直線(xiàn)所產(chǎn)生的穿越均為負(fù)穿越。截止頻率4判據(jù)：，且L(ω)>0時(shí)，Z=P-2N=0——系統(tǒng)穩(wěn)定第六十九頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日69解：——1次負(fù)穿越——半次負(fù)穿越N-=1.5，N=N+-N-=-1.5Z=P-2N=31800-1800-900ω1ωcω2圖中時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定低頻段向上2700補(bǔ)做的虛直線(xiàn)5

條件穩(wěn)定系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)

開(kāi)環(huán)P=0時(shí),其閉環(huán)穩(wěn)定性與某參數(shù)有關(guān),稱(chēng)為條件穩(wěn)定系統(tǒng)；開(kāi)環(huán)P=0,但其閉環(huán)總不穩(wěn)定，稱(chēng)為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。例5-24開(kāi)環(huán)Bode圖如下,試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第七十頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日70——反映系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的概念①

不穩(wěn)定5-6-1定義當(dāng)時(shí),設(shè):當(dāng)時(shí)，

臨界穩(wěn)定穩(wěn)定截止頻率，或剪切頻率

相角交接頻率,穿越頻率

1截止頻率與穿越頻率但②的穩(wěn)定程度高②5-6穩(wěn)定裕度

-1j-1j-1j●ωc●ωx●ωc=ωx●ωcωx

●●ωcωx●第七十一頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日71相角裕度：幅值裕度：含義：對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)的相頻特性含義：對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果開(kāi)環(huán)幅頻特性A(ω)再增加h倍，系統(tǒng)就處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，即如果L(ω)再向上平移h(db)系統(tǒng)就處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。●ωcγωx●1/h再滯后度，系統(tǒng)就處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。2相角裕度與相位裕度-1j第七十二頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日72

5-6-2

在開(kāi)環(huán)頻率特性圖上的表示

1幅相圖-1j●ωcγωx●1/h

2

Bode

圖00-1800ωω-9000dbL(ω)(ω)ωcγωxh(db)可見(jiàn)，穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng):

為了獲得比較好的過(guò)渡過(guò)程，通常要求：第七十三頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日73解：例5-25已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),當(dāng)K=4,10時(shí),求γ,h。

第七十四頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日74試求取K=5和K=20時(shí)的h和γ。

例5-26已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)解:1)繪制K=1時(shí)的Bode圖40200-20-40-60-90-135-180-225-2700.010.111010010002)K=5時(shí),向上平移20lg53)K=20時(shí),向上移20lg204)由L(ω)=0確定ωc——確定γ5)由φ(ω)=-1800

確定ωx——確定h一般，K↑→L(ω)上移→ωc↑→

γ↓，h↓，穩(wěn)定性下降；K↓→L(ω)下移→ωc↓→γ↑，h↑，相對(duì)穩(wěn)定性↑，但K↓→穩(wěn)態(tài)誤差增大。第七十五頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日755-7-1確定閉環(huán)頻率特性的圖解法

工程上常由開(kāi)環(huán)G(jω)確定閉環(huán)(jω)等M、等N圓尼科爾斯圖計(jì)算機(jī)繪圖1單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性G(s)-R(s)C(s)閉環(huán)頻率特性：

設(shè)：

其中：

M(ω)：閉環(huán)幅頻特性；(ω)：閉環(huán)相頻特性。5-7閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性及頻域性能指標(biāo)第七十六頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日76（1）等M、等N圓等M圓等N圓其中：上述方程與G(s)的具體形式無(wú)關(guān)，即適于任何單位反饋系統(tǒng)。

M=1M=0.8M=0.4M=0.2M=1.3M=1.4M=3200-200600-600jj第七十七頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日77利用歐拉公式1）等線(xiàn)取為某一常數(shù)，即20lgA~的單值函數(shù)改變值——等線(xiàn)簇G(s)-R(s)C(s)在等

線(xiàn)中，等線(xiàn)與等-

線(xiàn)關(guān)于

=-1800對(duì)稱(chēng)。則在[20lgA~]上得到一條線(xiàn)——等線(xiàn)。令（2）尼科爾斯(Nichols)圖

第七十八頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日782)等M線(xiàn)

化簡(jiǎn)得

取M為某一常數(shù)，令上的一條等M線(xiàn)。

等M線(xiàn)關(guān)于線(xiàn)對(duì)稱(chēng)

當(dāng)當(dāng)

Nichols圖的坐標(biāo)范圍：縱-30dB~30dB橫-3600~0第七十九頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日79第八十頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日80（3）尼科爾斯圖應(yīng)用例5-28已知開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)及Bode圖，試?yán)媚峥茽査箞D繪制閉環(huán)對(duì)數(shù)幅相圖。

解：1）根據(jù)Bode圖，在尼科爾斯圖上繪制開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅相曲線(xiàn)21.31511.56.32.5-0.3-1-2.5-5.2-9.2-14.5-99-106.5-114.5-130-144.5-153.5-156.3-162-170-183-198123578.591011.71520ω20lgA(ω)第八十一頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日81●●●●●●●第八十二頁(yè)，共九十三頁(yè)，2022年，8月28日82ω123578.591011.7152020lgA21.31511.56.32.5-0.3-1-2.5-5.2-9.2-14.5(ω)-99-106.5-114.5-130-144.5-153.5-156.3-162-170-183-19820lgM(ω)M0.10.30.672.24.86.56.961.5-5.5-12.8-4-10-14-28-49-82-95-124-158-184-209.51.011