第2章 信 號(hào) 分 析

第2章信號(hào)分析確知信號(hào)2.1隨機(jī)信號(hào)2.2信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)2.3 信號(hào)按照其頻率特性可以分為基帶信號(hào)和帶通信號(hào)兩類。 通信系統(tǒng)的輸入信號(hào)，即由信源產(chǎn)生的信號(hào)，都是基帶信號(hào)。

帶通信號(hào)是指帶寬有限，并且其頻譜低端遠(yuǎn)離零頻率的信號(hào)。 帶通信號(hào)通常是已調(diào)信號(hào)，它的各個(gè)頻率成分聚集在一個(gè)稱為載頻的中心頻率周圍。 若按照信號(hào)的確定性劃分，則它可以分為確知信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)。 若按照信號(hào)的能量劃分，則可以分為能量信號(hào)和功率信號(hào)。 若按照信號(hào)的周期性劃分，則可以分為周期性信號(hào)和非周期性信號(hào)。2.1確知信號(hào)

2.1.1什么是確知信號(hào) 確知信號(hào)是指在任何時(shí)間的取值都是確定的和可以預(yù)知的信號(hào)。 例如，一段確定的正弦波就是一個(gè)確知信號(hào)，如圖2-1所示。 此信號(hào)可以用下面的公式表示式中：A為振幅；為角頻率；t為時(shí)間。

（2-1）圖2-1一段正弦波 確知信號(hào)還可以分為周期性信號(hào)和非周期性信號(hào)兩種。 滿足下式的信號(hào)稱為周期性信號(hào)式中，T為常數(shù)。 滿足上式的最小T稱為信號(hào)的周期。

對(duì)于所有t

（2-2） 圖2-2所示單個(gè)矩形脈沖波形，顯然是非周期性信號(hào)。圖2-2矩形脈沖波形

2.1.2能量信號(hào)和功率信號(hào) 一個(gè)信號(hào)的能量是它的平均功率和其持續(xù)時(shí)間的乘積，即式中：E為信號(hào)能量；P為信號(hào)平均功率；T為信號(hào)持續(xù)時(shí)間。

（2-3） 信號(hào)的功率可以表示為式中：V為信號(hào)的有效電壓（V）；I為信號(hào)的有效電流（A）；R為電阻（）。

（2-4） 對(duì)于非周期性信號(hào)，若其能量為一個(gè)正的有限值，則稱其為能量信號(hào)。 例如，圖2-2中的矩形脈沖，其能量等于

（2-5）

2.1.3確知信號(hào)的性質(zhì)

1．頻域性質(zhì) 頻域是頻率域的簡(jiǎn)稱，頻域性質(zhì)指信號(hào)的頻率特性。（1）周期性確知功率信號(hào)的頻率特性。由傅里葉分析可知，任何一個(gè)滿足狄利克雷條件①的周期性信號(hào)都可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)，即一個(gè)周期性信號(hào)是由許多正弦波形組成的。

傅里葉級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)表示式可以用如下三角級(jí)數(shù)表示 （2-6）式中：s(t)為周期性信號(hào)；0=2/T=2F，0稱為信號(hào)基頻的角頻率；F=1/T，稱為信號(hào)的基頻；（2-7）a0、an、bn等稱為傅里葉系數(shù)，其表示式（2-7）中的上劃線表示取時(shí)間平均值，即 例如，若圖2-3所示的周期性矩形脈沖的一個(gè)周期定義如下（2-8）圖2-3周期性矩形脈沖 則此周期性矩形脈沖的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為（2-9） 式（2-9）中，，，n≠0當(dāng)T=4T1時(shí)，此波形是方波；式（2-9）中各傅里葉系數(shù)為 將這些系數(shù)an（n=0,1,2,…）的值和其對(duì)應(yīng)的諧波次數(shù)畫出，如圖2-4所示。圖2-4周期性方波的頻譜 下面介紹用指數(shù)函數(shù)表示傅里葉級(jí)數(shù)的方法。 式（2-6）中的每個(gè)n0

頻率分量都包含正弦和余弦兩部分。 可以用直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)軸分別表示這兩個(gè)分量，如圖2-5所示。 并用一個(gè)矢量cn來(lái)表示，圖2-5信號(hào)的矢量表示法（2-10） 式（2-10）中（2-11）（2-12） 這樣，cn的實(shí)部an就表示此頻率分量的余弦部分大??；cn的虛部bn就表示此頻率分量的正弦部分大小；而就是此頻率分量的總振幅。 利用歐拉公式（2-13） 可以把式（2-6）作如下改變（2-14） 式（2-14）中（2-15）（2-16） 將式（2-7）代入式（2-16），得到（2-17）或（2-18） 式（2-16）中的cn和c－n之間為共軛復(fù)數(shù)關(guān)系，即（2-19） 而cn的模（幅度）等于（2-20） 負(fù)頻率沒有物理意義，或者說(shuō)在物理上不存在負(fù)頻率的信號(hào)。 但是，由三角公式（2-21） 可以看出：對(duì)于余弦波，數(shù)學(xué)上負(fù)頻率和正頻率代表的是同一個(gè)波形；而對(duì)于正弦波，負(fù)頻率僅表示相位反轉(zhuǎn)180°而已。圖2-6方波的雙邊頻譜圖 需要注意，一般來(lái)說(shuō)，cn是復(fù)數(shù)，但是，在此周期性方波的例子中，由于系數(shù)bn等于0，沒有余弦項(xiàng)，所以按照式（2-16）計(jì)算，cn為實(shí)數(shù)。 否則，此頻譜圖中畫出的僅是cn的模|cn|；還可以另外畫出相應(yīng)的cn的相位譜。 圖2-7（a）、（b）、（c）、（d）分別表示了雙邊譜和單邊譜的振幅和相位。圖2-7周期性信號(hào)的幅度譜和相位譜 在物理概念上，可以想象為，把單邊譜的每次諧波的振幅的一半分到負(fù)頻率上，就得到雙邊譜。 但是，按照式（2-16），需要把單邊譜的每個(gè)諧波的相位符號(hào)改變，才是雙邊譜中對(duì)應(yīng)負(fù)頻譜分量的相位。 在式（2-6）中右端的各項(xiàng)是互相正交的，故信號(hào)功率可以表示為（2-22）（2）能量信號(hào)的頻率特性。當(dāng)圖2-3中矩形脈沖的周期T保持不變而T1/T比值不同時(shí)，此周期性脈沖波形的頻譜圖如圖2-8所示。圖2-8不同T1值時(shí)，周期性脈沖的頻譜圖 譜線的第1個(gè)零點(diǎn)出現(xiàn)在n=T/2T1處，此處的頻率為（2-23） 若令

表示單個(gè)脈沖的寬度，則式（2-23）中nF

＝1/。 這就是說(shuō)，頻譜的第1個(gè)零點(diǎn)出現(xiàn)在1/

處。 另一方面，若周期性脈沖信號(hào)的周期T增大，而保持脈沖寬度

不變，則相鄰譜線的距離F＝1/T將縮小，如圖2-9所示。圖2-9不同周期T的方波波形和頻譜圖 信號(hào)能量在頻率軸上的分布曲線，即能量譜密度曲線S(

f

)，如圖2-9（c）所示。 此圖中已經(jīng)用一根連續(xù)曲線S(

f

)

表示此信號(hào)能量分布在不同頻率上的相對(duì)大小了。 推理可知，能量信號(hào)的其能量連續(xù)分布在頻率軸上。 圖2-9（c）中能量譜密度S

(

f

)

的單位是焦耳/赫茲（J/Hz）。 圖（2-10）中在f1和f2之間的陰影區(qū)f

＝f2?f1的面積表示在此頻率范圍內(nèi)信號(hào)的能量。圖2-10能量譜密度曲線 全部曲線下的面積就是此信號(hào)的能量，它可以寫為（2-24） 若用Ss(

f

)

表示雙邊能量譜，Sd(

f

)

表示單邊能量譜，則有Sd(

f

)=2Ss(

f

)，如圖2-11所示。圖2-11雙邊和單邊能量譜（3）非周期性功率信號(hào)的頻率特性。 設(shè)圖2-12所示的非周期性功率信號(hào)n1(t)從?∞延伸到+∞?，F(xiàn)在定義一個(gè)新的信號(hào)n2(t)，它在－T和＋T之間與n1(t)相同；在此區(qū)間之外等于0。圖2-12非周期性功率信號(hào) 這樣，由于n2(t)是一個(gè)能量信號(hào)，故可以按照式（2-24）計(jì)算其能量為（2-25） 式中：E2為n2(t)的能量；為n2(t)的能量譜密度函數(shù)在一小區(qū)間內(nèi)的平均值。 將非周期性功率信號(hào)n1(t)的功率P定義為其能量E被時(shí)間除，即（2-26） 并將功率譜密度定義為

（2-27） 式（2-26）可以改寫為

（2-28） 式（2-28）中，為G(f)在區(qū)間f=f2–f1上的平均值。

G(f)的曲線，如圖2-13所示。

G(f)曲線下的面積等于此信號(hào)的總功率。圖2-13功率譜密度曲線（4）離散譜和連續(xù)譜的關(guān)系。周期性功率信號(hào)的頻譜是一根根離散的譜線Cn，如圖2-8所示，我們將其稱為離散譜。能量信號(hào)和非周期性功率信號(hào)在頻域中呈現(xiàn)為連續(xù)的能量譜密度S(f

)或功率譜密度G(f

)曲線，稱為連續(xù)譜。 在數(shù)學(xué)上用單位沖激函數(shù)（

函數(shù)）來(lái)表示離散譜的譜密度。

函數(shù)的定義如下（2-29） 在物理概念上，可以把

函數(shù)想象成一個(gè)極窄的脈沖，它的寬度趨于0，高度趨于無(wú)限大，面積等于1。 圖2-14（a）所示為一個(gè)周期性正弦波，圖2-14（b）所示為它的功率譜密度G(

f

)（2-30）圖2-14周期性信號(hào)的功率譜密度 若信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示式如式（2-14） 則其功率譜密度可以表示為（2-31） 在物理上常把

函數(shù)稱為單位沖激脈沖，簡(jiǎn)稱沖激脈沖。

2．時(shí)域性質(zhì)

時(shí)域性質(zhì)主要包括自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)。 自相關(guān)函數(shù)R()的定義是信號(hào)和其位移時(shí)間

后的信號(hào)的乘積的時(shí)間平均值，即

（2-32） 圖2-15所示舉例給出兩個(gè)周期性信號(hào)的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)。圖2-15兩個(gè)周期性信號(hào)的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù) 維納－辛欽關(guān)系可以用傅里葉積分表示為 （2-33）

（2-34）2.2隨機(jī)信號(hào)

2.2.1隨機(jī)信號(hào)與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程是一連串隨機(jī)事件動(dòng)態(tài)關(guān)系的定量描述。 在概率論概念中，隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)函數(shù)的集合。 若一隨機(jī)系統(tǒng)的樣本點(diǎn)是隨機(jī)函數(shù)，則稱此函數(shù)為樣本函數(shù)，實(shí)際應(yīng)用中，樣本函數(shù)一般定義在時(shí)間域或者空間域。 這些隨機(jī)時(shí)間函數(shù)的集合稱為隨機(jī)過(guò)程，而圖2-16中每條曲線則稱為隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本。圖2-16大量相同噪聲產(chǎn)生器輸出電壓波形的集合 在隨機(jī)過(guò)程中有一類常見的、重要的隨機(jī)過(guò)程稱為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，這種過(guò)程不因時(shí)間的推移而改變其任何統(tǒng)計(jì)特性。 對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程而言，其統(tǒng)計(jì)平均值與測(cè)量的時(shí)間無(wú)關(guān)

（2-35） 我們用表示隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本的時(shí)間平均值。 無(wú)論隨機(jī)過(guò)程是否平穩(wěn)，其集合平均值的時(shí)間平均值都等于其時(shí)間平均值的集合平均值，即

（2-36）

2.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征

1．均值 隨機(jī)過(guò)程n(t)的統(tǒng)計(jì)平均值又常用E[n(t)]表示，簡(jiǎn)稱均值，又稱數(shù)學(xué)期望。 一般說(shuō)來(lái)，它和時(shí)間有關(guān)，如圖2-17所示。圖2-17隨機(jī)過(guò)程的均值 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，均值與時(shí)間無(wú)關(guān)，是一個(gè)常數(shù)，即

E[n(t)]=a(t)=a （2-38）

2．方差 隨機(jī)過(guò)程n(t)

的方差D[n(t)]定義為

（2-39） 式（2-39）表示隨機(jī)過(guò)程的方差等于它與其均值之差的平方的均值，常記為

2(t)。 式（2-39）可以化簡(jiǎn)為 （2-40）或 （2-41） 即方差等于該隨機(jī)變量平方的均值減其均值的平方。

3．自相關(guān)函數(shù) 隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)特殊的、很重要的統(tǒng)計(jì)平均值就是在相隔

秒的時(shí)間t1和t2上兩個(gè)取值乘積的統(tǒng)計(jì)平均值，此值稱為自相關(guān)函數(shù)，即

（2-42） 若隨機(jī)信號(hào)是平穩(wěn)的和各態(tài)歷經(jīng)的，則自相關(guān)函數(shù)僅與兩個(gè)取樣時(shí)間的間隔有關(guān)，即

（2-43） 顯然，當(dāng)

=0時(shí)的R(

)就等于此隨機(jī)信號(hào)的平均功率，即

（2-44） 若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的均值和方差與時(shí)間無(wú)關(guān)，且自相關(guān)函數(shù)和時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，則稱其為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，或稱寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。 相對(duì)于寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程而言，前述平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程可以稱為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。 寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程之間的關(guān)系如圖2-18所示。圖2-18幾種隨機(jī)過(guò)程的關(guān)系 在通信系統(tǒng)理論中，一般認(rèn)為，隨機(jī)信號(hào)和噪聲都是寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。 隨機(jī)信號(hào)有功率，自然也有功率譜密度G(

f

)。

2.2.3幾種重要的概率分布

1．二項(xiàng)式分布（2-46）稱為二項(xiàng)式分布。 二項(xiàng)式分布函數(shù)的定義是：，式中Pk是k個(gè)產(chǎn)生器輸出1伏電壓的概率。 在圖2-19中畫出了n=5，p=1/6時(shí)的二項(xiàng)式分布函數(shù)F(m)的曲線。圖2-19二項(xiàng)式分布的分布函數(shù) 每個(gè)脈沖產(chǎn)生器的輸出電壓均值為p，所以此二項(xiàng)式分布的均值為

（2-47） 每個(gè)產(chǎn)生器輸出電壓的方差等于輸出電壓平方的均值（現(xiàn)在等于p）減均值的平方，即p–p2。 所以總輸出電壓的方差為

（2-48）

2．正態(tài)分布（2-51）

稱為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布概率密度函數(shù)。 按照式（2-50），畫出正態(tài)分布概率密度曲線，如圖2-20所示。圖2-20正態(tài)分布概率密度曲線下的面積 正態(tài)分布有如下性質(zhì)。（1）p(x)曲線對(duì)稱于直線x=a，即

（2-52）（2）p(x)曲線在x＝a時(shí)達(dá)到其最高點(diǎn)；在x=a點(diǎn)兩側(cè)，曲線單調(diào)下降。當(dāng)時(shí)，。（3）p(x)曲線下面的總面積等于1。這一點(diǎn)從概念上很容易理解，即x取所有可能值的總概率等于1。（4）若干正態(tài)分布獨(dú)立隨機(jī)變量之和也是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

2.2.4高斯隨機(jī)過(guò)程 將概率密度服從式（2-50）的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程稱為高斯隨機(jī)過(guò)程。 高斯隨機(jī)過(guò)程又稱正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。 對(duì)于不同的值畫出的高斯隨機(jī)過(guò)程概率密度曲線如圖2-21所示。 由此圖可見，標(biāo)準(zhǔn)偏離越小，曲線越瘦高，即x值偏離其均值的概率越小，且x值越集中在其均值的周圍。圖2-21正態(tài)分布概率密度曲線

2.2.5窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程 若一個(gè)隨機(jī)信號(hào)的帶寬f比中心頻率f0小很多，即若f<<f0，則稱其為窄帶隨機(jī)過(guò)程或窄帶隨機(jī)信號(hào)，如圖2-22所示。圖2-22窄帶隨機(jī)信號(hào) 窄帶隨機(jī)過(guò)程可用數(shù)學(xué)公式表述為

（2-54） 式中：A(t)表示隨機(jī)起伏的包絡(luò)，(t)表示隨機(jī)相位，兩者都是隨機(jī)過(guò)程；0是窄帶隨機(jī)過(guò)程的中心角頻率。 可以證明，A(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性不服從高斯分布，而是具有如下概率密度

（2-58）

（2-59） 式（2-58）中的概率密度函數(shù)稱為瑞利分布，而式（2-59）中的概率密度函數(shù)稱為均勻分布，圖2-23和圖2-24所示分別為它們的曲線。圖2-23瑞利分布概率密度函數(shù)曲線圖2-24均勻分布概率密度函數(shù)曲線

2.2.6正弦波加窄帶高斯隨機(jī)過(guò)程 設(shè)正弦波加窄帶噪聲的表示式為

（2-60） 式中，A為正弦波的確知振幅；0為正弦波的角頻率；為正弦波的隨機(jī)相位；n(t)為窄帶高斯噪聲。 則可以證明，r(t)的包絡(luò)的概率密度為（2-61） 式中，

2為n(t)的方差；

I0(·)為零階修正貝塞爾函數(shù)，它的數(shù)值可以查表找到，并有I0(0)=1。 對(duì)于最簡(jiǎn)單的情況，令

=0，可以計(jì)算出

（2-62） 式中，；稱為誤差函數(shù)，其值可以查數(shù)學(xué)用表得到。 按照式（2-61）和式（2-62）畫出的曲線如圖2-25所示。圖2-25萊斯分布曲線2.3信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)

疊加性：若系統(tǒng)對(duì)于激勵(lì)和之和的響應(yīng)等于各個(gè)激勵(lì)所引起的響應(yīng)之和，即滿足（2-63）則稱該系統(tǒng)是可加的。 對(duì)于線性系統(tǒng)，如有激勵(lì)和及任意常數(shù)和，則滿足

（2-64）

2.3.1確知信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)

1．疊加性 設(shè)一個(gè)線性系統(tǒng)的輸入是沖激函數(shù)(t)，則其輸出將是沖激響應(yīng)h(t)，如圖2-26所示。圖2-26信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng) 利用疊加性，若一個(gè)線性系統(tǒng)的輸入為f(t)，則其輸出為

（2-65） 輸出的頻域表示式為

（2-66）

2．無(wú)失真?zhèn)鬏?無(wú)失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，只有幅度的大小不同和出現(xiàn)時(shí)間的滯后，而沒有波形上的變化。 若系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為，則無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件是：在信號(hào)頻譜的范圍內(nèi)，有（1）（2） 即系統(tǒng)的幅頻特性為一常數(shù)K，而相頻特性應(yīng)為通過(guò)原點(diǎn)的直線。 無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)姆l、相頻特性如圖2-27所示。圖2-27無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)姆l、相頻特性

理想低通濾波器是指它將低于某一角頻率的信號(hào)無(wú)失真地傳送，而阻止角頻率高于的信號(hào)通過(guò)，其中稱為截止角頻率。 能使信號(hào)通過(guò)的頻率范圍稱為通帶，阻止信號(hào)通過(guò)的頻率范圍稱為阻帶。設(shè)理想低通濾波器的截止角頻率為，通帶內(nèi)幅頻特性為，相頻特性為，則此低通濾波器的幅頻、相頻特性如圖2-28所示。圖2-28理想低通濾波器的幅頻、相頻特性

3．系統(tǒng)帶寬 圖2-29所示為一個(gè)實(shí)際低通濾波器的幅度特性，分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率。圖2-29低通濾波器的技術(shù)指標(biāo) 在實(shí)際應(yīng)用中，通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用