石大數(shù)學(xué)文化課件02若干數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)學(xué)文化

1第二章若干數(shù)學(xué)問(wèn)題中的

數(shù)學(xué)文化

第一節(jié)芝諾悖論與無(wú)限2

一、什么是悖論

悖論：從“正確”的前提出發(fā)，經(jīng)過(guò)“正確”的邏輯推理，得出荒謬的結(jié)論。

3

例如：“甲是乙”與“甲不是乙”這兩個(gè)命題中總有一個(gè)是錯(cuò)的；但“本句話是七個(gè)字”與“本句話不是七個(gè)字”又均是對(duì)的，這就是悖論。4

再如：“萬(wàn)物皆數(shù)”學(xué)說(shuō)認(rèn)為“任何數(shù)都可表為整數(shù)的比”；但以1為邊的正方形的對(duì)角線之長(zhǎng)卻不能表為整數(shù)的比，這也是悖論。5

二、芝諾悖論

芝諾（前490？—前430？）是（南意大利的）愛(ài)利亞學(xué)派創(chuàng)始人巴門尼德的學(xué)生。他企圖證明該學(xué)派的學(xué)說(shuō)：“多”和“變”是虛幻的，不可分的“一”及“靜止的存在”才是唯一真實(shí)的；運(yùn)動(dòng)只是假象。于是他設(shè)計(jì)了四個(gè)例證，人稱“芝諾悖論”。這些悖論是從哲學(xué)角度提出的。我們從數(shù)學(xué)角度看其中的一個(gè)悖論。

6

1.四個(gè)芝諾悖論之一：阿基里斯追不上烏龜。

72.癥結(jié)：無(wú)限段長(zhǎng)度的和，可能是有限的；無(wú)限段時(shí)間的和，也可能是有限的。

3.芝諾悖論的意義：

1）促進(jìn)了嚴(yán)格、求證數(shù)學(xué)的發(fā)展

2）較早的“反證法”及“無(wú)限”的思想

3）尖銳地提出離散與連續(xù)的矛盾：空間和時(shí)間有沒(méi)有最小的單位？8

芝諾的前兩個(gè)悖論是反對(duì)“空間和時(shí)間是連續(xù)的”，后兩個(gè)悖論則是反對(duì)“空間和時(shí)間是離散的”。在芝諾看來(lái)，這兩種理論都有毛??；所以，“運(yùn)動(dòng)只是假象，不動(dòng)不變才是真實(shí)”。芝諾的哲學(xué)觀點(diǎn)雖然不對(duì)，但是，他如此尖銳地提出了空間和時(shí)間是連續(xù)還是離散的問(wèn)題，引起人們長(zhǎng)期的討論，促進(jìn)了認(rèn)識(shí)的發(fā)展，不能不說(shuō)是巨大的貢獻(xiàn)。9

三、“有無(wú)限個(gè)房間”的旅館

1.“客滿”后又來(lái)1位客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2345┅k+1┅

空出了1號(hào)房間

10

2.客滿后又來(lái)了一個(gè)旅游團(tuán)，旅游團(tuán)中有無(wú)窮個(gè)客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2468┅2k┅

空下了奇數(shù)號(hào)房間

11

3.客滿后又來(lái)了一萬(wàn)個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)團(tuán)中都有無(wú)窮個(gè)客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

10001200023000340004┅10001×k┅

給出了一萬(wàn)個(gè)、又一萬(wàn)個(gè)的空房間

12

4.[思]

該旅館客滿后又來(lái)了無(wú)窮個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)團(tuán)中都有無(wú)窮個(gè)客人，還能否安排？13

四、無(wú)限與有限的區(qū)別和聯(lián)系

1.區(qū)別

1）在無(wú)限集中，“部分可以等于全體”（這是無(wú)限的本質(zhì)），而在有限的情況下，部分總是小于全體。14

當(dāng)初的伽利略悖論，就是因?yàn)闆](méi)有看到“無(wú)限”的這一個(gè)特點(diǎn)而產(chǎn)生的。

1234567891011…n…?????????????149162536496481100121…n2…

[該兩集合：有一一對(duì)應(yīng)，于是推出兩集合的元素個(gè)數(shù)相等；但由“部分小于全體”，又推出兩集合的元素個(gè)數(shù)不相等。這就形成悖論。]15伽利略（GalileoGalilei，1564-1642），意大利物理學(xué)家、天文學(xué)家和哲學(xué)家，近代實(shí)驗(yàn)科學(xué)的先驅(qū)者。

16

2.）

“有限”時(shí)成立的許多命題，對(duì)“無(wú)限”不再成立

（1）實(shí)數(shù)加法的結(jié)合律在“有限”的情況下，加法結(jié)合律成立:(a+b)+c=a+(b+c)，a，b，c

17

在“無(wú)限”的情況下，加法結(jié)合律不再成立。如18

有限半群若滿足消去律則一定是群?！?/p>

無(wú)限半群若滿足消去律則一定是群?！?9

（2）有限級(jí)數(shù)一定有“和”?！?/p>

是個(gè)確定的數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)一定有“和”?！?/p>

則不是個(gè)確定的數(shù)。稱為該級(jí)數(shù)“發(fā)散”。反之稱為“收斂”。20

2.聯(lián)系

在“有限”與“無(wú)限”間建立聯(lián)系的手段，往往很重要。

1）數(shù)學(xué)歸納法

通過(guò)有限的步驟，證明了命題對(duì)無(wú)限個(gè)自然數(shù)均成立。

2）極限

通過(guò)有限的方法，描寫(xiě)無(wú)限的過(guò)程。

如：；自然數(shù)N，都，使時(shí)，。

21

3）無(wú)窮級(jí)數(shù)

通過(guò)有限的步驟，求出無(wú)限次運(yùn)算的結(jié)果，如

4）遞推公式,a1=*5）因子鏈條件（抽象代數(shù)中的術(shù)語(yǔ)）

22

3.數(shù)學(xué)中的無(wú)限在生活中的反映

1）大煙囪是圓的：每一塊磚都是直的（整體看又是圓的）

2）銼刀銼一個(gè)光滑零件：每一銼銼下去都是直的（許多刀合在一起的效果又是光滑的）23

3）

不規(guī)則圖形的面積：正方形的面積，長(zhǎng)方形的面積三角形的面積，多邊形的面積，圓面積。規(guī)則圖形的面積→不規(guī)則圖形的面積？法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面積越準(zhǔn)

24

法Ⅱ.首先轉(zhuǎn)化成求曲邊梯形的面積，（不規(guī)則圖形→若干個(gè)曲邊梯形），再設(shè)法求曲邊梯形的面積：劃分，求和，矩形面積之和~

曲邊梯形面積；越小，就越精確；再取極限，就得到曲邊梯形的面積。25

五、潛無(wú)限與實(shí)無(wú)限

1．潛無(wú)限與實(shí)無(wú)限簡(jiǎn)史

潛無(wú)限是指把無(wú)限看成一個(gè)永無(wú)終止的過(guò)程，認(rèn)為無(wú)限只存在于人們的思維中，只是說(shuō)話的一種方式，不是一個(gè)實(shí)體。26

從古希臘到康托以前的大多數(shù)哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家都持這種潛無(wú)限的觀點(diǎn)。他們認(rèn)為“正整數(shù)集是無(wú)限的”來(lái)自我們不能窮舉所有正整數(shù)。例如，可以想象一個(gè)個(gè)正整數(shù)寫(xiě)在一張張小紙條上，從1，2，3，…寫(xiě)起，每寫(xiě)一張，就把該紙條裝進(jìn)一個(gè)大袋子里，那么，這一過(guò)程將永無(wú)終止。因此，把全體正整數(shù)的袋子看作一個(gè)實(shí)體是不可能的，它只能存在于人們的思維里。27

但康托不同意這一觀點(diǎn)，他很愿意把這個(gè)裝有所有正整數(shù)的袋子看作一個(gè)完整的實(shí)體。這就是實(shí)無(wú)限的觀點(diǎn)?？低械墓ぷ魇莿潟r(shí)代的，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響，但當(dāng)時(shí)，康托的老師克羅內(nèi)克爾，卻激烈反對(duì)康托的觀點(diǎn)。所以康托當(dāng)時(shí)的處境和待遇都不太好。

28康托GeorgFerdinandPhilipCantor(1845～1918)德國(guó)數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17歲時(shí)入瑞士蘇黎世大學(xué),翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué),主修數(shù)學(xué)，從學(xué)于E.E.庫(kù)默爾、K.（T.W.）外爾斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克。1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年在庫(kù)默爾指導(dǎo)下以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位。1869年在哈雷大學(xué)通過(guò)講師資格考試，后即在該大學(xué)任講師，1872年任副教授，1879年任教授。

29

2．無(wú)限集合也有“大小”

——從“一一對(duì)應(yīng)”說(shuō)起

實(shí)無(wú)限的觀點(diǎn)讓我們知道，同樣是無(wú)限集合，也可能有不同的“大小”。正整數(shù)集合是最“小”的無(wú)限集合。實(shí)數(shù)集合比正整數(shù)集“大”。實(shí)數(shù)集合上全體連續(xù)函數(shù)的集合又比實(shí)數(shù)集合更大。不存在最“大”的無(wú)限集合（即對(duì)于任何無(wú)限集合，都能找到更“大”的無(wú)限集合）。30

這需要“一一對(duì)應(yīng)”的觀點(diǎn)。

1）“一一對(duì)應(yīng)”——雙射（單射+滿射）

2）集合的勢(shì)|A|——集合中元素的多少

3）|N|=可數(shù)無(wú)窮勢(shì)a

，|Q|=a4）|R|=不可數(shù)無(wú)窮（稱連續(xù)統(tǒng)勢(shì)c）,

：無(wú)理數(shù)比有理數(shù)多得多。31

5）無(wú)窮集合可能有不同的勢(shì)，其中最小的勢(shì)是a；不存在最大的勢(shì)。

6）“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”長(zhǎng)期未徹底解決“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”：可數(shù)無(wú)窮a是無(wú)限集中最小的勢(shì)，連續(xù)統(tǒng)勢(shì)c是（否？）次小的勢(shì)。

？32

康托1882年曾認(rèn)為他證明了這一假設(shè)，后來(lái)發(fā)現(xiàn)證明有錯(cuò)。直到現(xiàn)在，這一問(wèn)題仍吸引著一些數(shù)學(xué)家的興趣。33

六．哲學(xué)中的無(wú)限

1．哲學(xué)對(duì)“無(wú)限”的興趣

哲學(xué)是研究整個(gè)世界的科學(xué)。自從提出“無(wú)限”的概念，就引起了哲學(xué)家廣泛的關(guān)注和研究?，F(xiàn)在我們知道哲學(xué)中有下邊一些命題：

34

物質(zhì)是無(wú)限的；時(shí)間與空間是無(wú)限的；物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)形式是無(wú)限的。一個(gè)人的生命是有限的；一個(gè)人對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)是有限的。35

2．?dāng)?shù)學(xué)對(duì)“無(wú)限”的興趣

數(shù)學(xué)則更嚴(yán)密地研究有限與無(wú)限的關(guān)系，大大提高了人類認(rèn)識(shí)無(wú)限的能力。在有限環(huán)境中生存的有限的人類，獲得把握無(wú)限的能力和技巧，那是人類的智慧；在獲得這些成果過(guò)程中體現(xiàn)出來(lái)的奮斗與熱情，那是人類的情感；對(duì)無(wú)限的認(rèn)識(shí)成果，則是人類智慧與熱情的共同結(jié)晶。一個(gè)人，若把自己的智慧與熱情融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究之中，就會(huì)產(chǎn)生一種特別的感受。如果這樣，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅不是難事，而且會(huì)充滿樂(lè)趣。36思考題解答37

[思]

該旅館客滿后又來(lái)了無(wú)窮個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)團(tuán)中都有無(wú)窮個(gè)客人，還能否安排？38

答：能。法I.將所有旅游團(tuán)的客人統(tǒng)一編號(hào)排成下表，按箭頭進(jìn)入1，2，3，4，5，…各號(hào)房間順序入住，則所有人都有房間住。一團(tuán)：1.1→1.21.31.4……↙↙↙

二團(tuán)：2.12.22.32.4……↙↙

三團(tuán)：3.13.23.33.4…………39

法II.

讓每個(gè)旅游團(tuán)占據(jù)某固定素?cái)?shù)的方冪由于素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，正整數(shù)又“唯一析因”，知，能安排住下，且還有空房，一團(tuán)……

二團(tuán)……

三團(tuán)………………

附：證明“素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)”（反證法）40

[思]構(gòu)造一個(gè)無(wú)窮多個(gè)運(yùn)動(dòng)員百米賽跑，但結(jié)果沒(méi)有第一名的例子。（要求表達(dá)出每一個(gè)運(yùn)動(dòng)員的百米成績(jī)，且要求接近實(shí)際：不能跑進(jìn)9秒）41解答運(yùn)動(dòng)員1234…百米成績(jī)10秒9.9秒9.89秒9.889秒…另解…42

[思]：構(gòu)造一個(gè)“部分到整體的一一對(duì)應(yīng)”：從[0，1）→[0，+∞）。43

答：

即

44

的圖像45象棋殘局中的數(shù)學(xué)文化46第二章若干數(shù)學(xué)問(wèn)題中的

數(shù)學(xué)文化

第二節(jié)有限與無(wú)限的問(wèn)題

47高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的區(qū)別？48學(xué)生的回答：關(guān)于“高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的區(qū)別？”更加全面；更加深刻；更加細(xì)微；更加本質(zhì)；更加理論化；更加系統(tǒng)化；…………49高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的區(qū)別？從研究“常量”發(fā)展到研究“變量”從研究“有限”發(fā)展到研究“無(wú)限”50

一、什么是悖論

悖論：從“正確”的前提出發(fā)，經(jīng)過(guò)“正確”的邏輯推理，得出荒謬的結(jié)論。

51

例如：“甲是乙”與“甲不是乙”這兩個(gè)命題中總有一個(gè)是錯(cuò)的；但“本句話是七個(gè)字”與“本句話不是七個(gè)字”又均是對(duì)的，這就是悖論。52

再如：“萬(wàn)物皆數(shù)”學(xué)說(shuō)認(rèn)為“任何數(shù)都可表為整數(shù)的比”；但以1為邊的正方形的對(duì)角線之長(zhǎng)卻不能表為整數(shù)的比，這也是悖論。53

二、芝諾悖論

芝諾（前490？—前430？）是（南意大利的）愛(ài)利亞學(xué)派創(chuàng)始人巴門尼德的學(xué)生。他企圖證明該學(xué)派的學(xué)說(shuō)：“多”和“變”是虛幻的，不可分的“一”及“靜止的存在”才是唯一真實(shí)的；運(yùn)動(dòng)只是假象。于是他設(shè)計(jì)了四個(gè)例證，人稱“芝諾悖論”。這些悖論是從哲學(xué)角度提出的。我們從數(shù)學(xué)角度看其中的一個(gè)悖論。

54

1.四個(gè)芝諾悖論之一：阿基里斯追不上烏龜。

552.癥結(jié)：無(wú)限段長(zhǎng)度的和，可能是有限的；無(wú)限段時(shí)間的和，也可能是有限的。

3.芝諾悖論的意義：

1）促進(jìn)了嚴(yán)格、求證數(shù)學(xué)的發(fā)展

2）較早的“反證法”及“無(wú)限”的思想

3）尖銳地提出離散與連續(xù)的矛盾：空間和時(shí)間有沒(méi)有最小的單位？56

芝諾的前兩個(gè)悖論是反對(duì)“空間和時(shí)間是連續(xù)的”，后兩個(gè)悖論則是反對(duì)“空間和時(shí)間是離散的”。在芝諾看來(lái)，這兩種理論都有毛??；所以，“運(yùn)動(dòng)只是假象，不動(dòng)不變才是真實(shí)”。芝諾的哲學(xué)觀點(diǎn)雖然不對(duì)，但是，他如此尖銳地提出了空間和時(shí)間是連續(xù)還是離散的問(wèn)題，引起人們長(zhǎng)期的討論，促進(jìn)了認(rèn)識(shí)的發(fā)展，不能不說(shuō)是巨大的貢獻(xiàn)。57

三、“有無(wú)限個(gè)房間”的旅館

1.“客滿”后又來(lái)1位客人（“客滿”）

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2345┅k+1┅

空出了1號(hào)房間

58

2.客滿后又來(lái)了一個(gè)旅游團(tuán)，旅游團(tuán)中有無(wú)窮個(gè)客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2468┅2k┅

空下了奇數(shù)號(hào)房間

59

3.客滿后又來(lái)了一萬(wàn)個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)團(tuán)中都有無(wú)窮個(gè)客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

10001200023000340004┅10001×k┅

給出了一萬(wàn)個(gè)、又一萬(wàn)個(gè)的空房間

60全面、深刻地揭示本質(zhì)的回答

是容易推廣的。61

2.客滿后又來(lái)了一個(gè)旅游團(tuán)，旅游團(tuán)中有無(wú)窮個(gè)客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2468┅2k┅

空下了奇數(shù)號(hào)房間

62

3.客滿后又來(lái)了一萬(wàn)個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)團(tuán)中都有無(wú)窮個(gè)客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

10001200023000340004┅10001×k┅

給出了一萬(wàn)個(gè)、又一萬(wàn)個(gè)的空房間

63是否有人想提什么問(wèn)題？64

4.[思]

該旅館客滿后又來(lái)了無(wú)窮個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)團(tuán)中都有無(wú)窮個(gè)客人，還能否安排？65

四、無(wú)限與有限的區(qū)別和聯(lián)系

1.區(qū)別

1）在無(wú)限集中，“部分可以等于全體”（這是無(wú)限的本質(zhì)），而在有限的情況下，部分總是小于全體。66

當(dāng)初的伽利略悖論，就是因?yàn)闆](méi)有看到“無(wú)限”的這一個(gè)特點(diǎn)而產(chǎn)生的。

1234567891011…n…?????????????149162536496481100121…n2…

[該兩集合：有一一對(duì)應(yīng)，于是推出兩集合的元素個(gè)數(shù)相等；但由“部分小于全體”，又推出兩集合的元素個(gè)數(shù)不相等。這就形成悖論。]67伽利略（GalileoGalilei，1564-1642），意大利物理學(xué)家、天文學(xué)家和哲學(xué)家，近代實(shí)驗(yàn)科學(xué)的先驅(qū)者。

68

[思]：構(gòu)造一個(gè)“部分到整體的一一對(duì)應(yīng)”：從[0，1）→[0，+∞）。69

2.）

“有限”時(shí)成立的許多命題，對(duì)“無(wú)限”不再成立

（1）實(shí)數(shù)加法的結(jié)合律在“有限”的情況下，加法結(jié)合律成立:(a+b)+c=a+(b+c)，

a，b，c

70

在“無(wú)限”的情況下，加法結(jié)合律不再成立。如71

有限半群若滿足消去律則一定是群?！?/p>

無(wú)限半群若滿足消去律則一定是群?！?2

（2）有限級(jí)數(shù)一定有“和”?！?/p>

是個(gè)確定的數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)一定有“和”?！?/p>

則不是個(gè)確定的數(shù)。稱為該級(jí)數(shù)“發(fā)散”。反之稱為“收斂”。73

2.聯(lián)系

在“有限”與“無(wú)限”間建立聯(lián)系的手段，往往很重要。

1）數(shù)學(xué)歸納法

通過(guò)有限的步驟，證明了命題對(duì)無(wú)限個(gè)自然數(shù)均成立。

2）極限

通過(guò)有限的方法，描寫(xiě)無(wú)限的過(guò)程。

如：；自然數(shù)N，都，使時(shí)，。

74

3）無(wú)窮級(jí)數(shù)

通過(guò)有限的步驟，求出無(wú)限次運(yùn)算的結(jié)果，如

4）遞推公式,a1=*5）因子鏈條件（抽象代數(shù)中的術(shù)語(yǔ)）

75

3.數(shù)學(xué)中的無(wú)限在生活中的反映

1）大煙囪是圓的：每一塊磚都是直的（整體看又是圓的）

2）銼刀銼一個(gè)光滑零件：每一銼銼下去都是直的（許多刀合在一起的效果又是光滑的）76

3）

不規(guī)則圖形的面積：正方形的面積，長(zhǎng)方形的面積三角形的面積，多邊形的面積，圓面積。規(guī)則圖形的面積→不規(guī)則圖形的面積？法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面積越準(zhǔn)

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法Ⅱ.首先轉(zhuǎn)化成求曲邊梯形的面積，（不規(guī)則圖形→若干個(gè)曲邊梯形），再設(shè)法求曲邊梯形的面積：劃分，求和，矩形面積之和~

曲邊梯形面積；越小，就越精確；再取極限，就得到曲邊梯形的面積。78

五、潛無(wú)限與實(shí)無(wú)限

1．潛無(wú)限與實(shí)無(wú)限簡(jiǎn)史

潛無(wú)限是指把無(wú)限看成一個(gè)永無(wú)終止的過(guò)程，認(rèn)為無(wú)限只存在于人們的思維中，只是說(shuō)話的一種方式，不是一個(gè)實(shí)體。79

從古希臘到康托以前的大多數(shù)哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家都持這種潛無(wú)限的觀點(diǎn)。他們認(rèn)為“正整數(shù)集是無(wú)限的”來(lái)自我們不能窮舉所有正整數(shù)。例如，可以想象一個(gè)個(gè)正整數(shù)寫(xiě)在一張張小紙條上，從1，2，3，…寫(xiě)起，每寫(xiě)一張，就把該紙條裝進(jìn)一個(gè)大袋子里，那么，這一過(guò)程將永無(wú)終止。因此，把全體正整數(shù)的袋子看作一個(gè)實(shí)體是不可能的，它只能存在于人們的思維里。80

但康托不同意這一觀點(diǎn)，他很愿意把這個(gè)裝有所有正整數(shù)的袋子看作一個(gè)完整的實(shí)體。這就是實(shí)無(wú)限的觀點(diǎn)?？低械墓ぷ魇莿潟r(shí)代的，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響，但當(dāng)時(shí)，康托的老師克羅內(nèi)克爾，卻激烈反對(duì)康托的觀點(diǎn)。所以康托當(dāng)時(shí)的處境和待遇都不太好。

81康托GeorgFerdinandPhilipCantor(1845～1918)德國(guó)數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17歲時(shí)入瑞士蘇黎世大學(xué),翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué),主修數(shù)學(xué)，從學(xué)于E.E.庫(kù)默爾、K.（T.W.）外爾斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克。1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年在庫(kù)默爾指導(dǎo)下以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位。1869年在哈雷大學(xué)通過(guò)講師資格考試，后即在該大學(xué)任講師，1872年任副教授，1879年任教授。

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2．無(wú)限集合也有“大小”

——從“一一對(duì)應(yīng)”說(shuō)起

實(shí)無(wú)限的觀點(diǎn)讓我們知道，同樣是無(wú)限集合，也可能有不同的“大小”。正整數(shù)集合是最“小”的無(wú)限集合。實(shí)數(shù)集合比正整數(shù)集“大”。實(shí)數(shù)集合上全體連續(xù)函數(shù)的集合又比實(shí)數(shù)集合更大。不存在最“大”的無(wú)限集合（即對(duì)于任何無(wú)限集合，都能找到更“大”的無(wú)限集合）。83

這需要“一一對(duì)應(yīng)”的觀點(diǎn)。

1）“一一對(duì)應(yīng)”——雙射（單射+滿射）

2）集合的勢(shì)|A|——集合中元素的多少

3）|N|=可數(shù)無(wú)窮勢(shì)a

，|Q|=a4）|R|=不可數(shù)無(wú)窮（稱連續(xù)統(tǒng)勢(shì)c）,

：無(wú)理數(shù)比有理數(shù)多得多。84

5）無(wú)窮集合可能有不同的勢(shì)，其中最小的勢(shì)是a；不存在最大的勢(shì)。

6）“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”長(zhǎng)期未徹底解決“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”：可數(shù)無(wú)窮a是無(wú)限集中最小的勢(shì)，連續(xù)統(tǒng)勢(shì)c是（否？）次小的勢(shì)。

？85

康托1882年曾認(rèn)為他證明了這一假設(shè)，后來(lái)發(fā)現(xiàn)證明有錯(cuò)。直到現(xiàn)在，這一問(wèn)題仍吸引著一些數(shù)學(xué)家的興趣。86

六．哲學(xué)中的無(wú)限

1．哲學(xué)對(duì)“無(wú)限”的興趣

哲學(xué)是研究整個(gè)世界的科學(xué)。自從提出“無(wú)限”的概念，就引起了哲學(xué)家廣泛的關(guān)注和研究。現(xiàn)在我們知道哲學(xué)中有下邊一些命題：

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物質(zhì)是無(wú)限的；時(shí)間與空間是無(wú)限的；物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)形式是無(wú)限的。一個(gè)人的生命是有限的；一個(gè)人對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)是有限的。88

2．?dāng)?shù)學(xué)對(duì)“無(wú)限”的興趣

數(shù)學(xué)則更嚴(yán)密地研究有限與無(wú)限的