石大數(shù)學文化課件02若干數(shù)學問題中的數(shù)學文化

1第二章若干數(shù)學問題中的

數(shù)學文化

第一節(jié)芝諾悖論與無限2

一、什么是悖論

悖論：從“正確”的前提出發(fā)，經(jīng)過“正確”的邏輯推理，得出荒謬的結論。

3

例如：“甲是乙”與“甲不是乙”這兩個命題中總有一個是錯的；但“本句話是七個字”與“本句話不是七個字”又均是對的，這就是悖論。4

再如：“萬物皆數(shù)”學說認為“任何數(shù)都可表為整數(shù)的比”；但以1為邊的正方形的對角線之長卻不能表為整數(shù)的比，這也是悖論。5

二、芝諾悖論

芝諾（前490？—前430？）是（南意大利的）愛利亞學派創(chuàng)始人巴門尼德的學生。他企圖證明該學派的學說：“多”和“變”是虛幻的，不可分的“一”及“靜止的存在”才是唯一真實的；運動只是假象。于是他設計了四個例證，人稱“芝諾悖論”。這些悖論是從哲學角度提出的。我們從數(shù)學角度看其中的一個悖論。

6

1.四個芝諾悖論之一：阿基里斯追不上烏龜。

72.癥結：無限段長度的和，可能是有限的；無限段時間的和，也可能是有限的。

3.芝諾悖論的意義：

1）促進了嚴格、求證數(shù)學的發(fā)展

2）較早的“反證法”及“無限”的思想

3）尖銳地提出離散與連續(xù)的矛盾：空間和時間有沒有最小的單位？8

芝諾的前兩個悖論是反對“空間和時間是連續(xù)的”，后兩個悖論則是反對“空間和時間是離散的”。在芝諾看來，這兩種理論都有毛??；所以，“運動只是假象，不動不變才是真實”。芝諾的哲學觀點雖然不對，但是，他如此尖銳地提出了空間和時間是連續(xù)還是離散的問題，引起人們長期的討論，促進了認識的發(fā)展，不能不說是巨大的貢獻。9

三、“有無限個房間”的旅館

1.“客滿”后又來1位客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2345┅k+1┅

空出了1號房間

10

2.客滿后又來了一個旅游團，旅游團中有無窮個客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2468┅2k┅

空下了奇數(shù)號房間

11

3.客滿后又來了一萬個旅游團，每個團中都有無窮個客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

10001200023000340004┅10001×k┅

給出了一萬個、又一萬個的空房間

12

4.[思]

該旅館客滿后又來了無窮個旅游團，每個團中都有無窮個客人，還能否安排？13

四、無限與有限的區(qū)別和聯(lián)系

1.區(qū)別

1）在無限集中，“部分可以等于全體”（這是無限的本質(zhì)），而在有限的情況下，部分總是小于全體。14

當初的伽利略悖論，就是因為沒有看到“無限”的這一個特點而產(chǎn)生的。

1234567891011…n…?????????????149162536496481100121…n2…

[該兩集合：有一一對應，于是推出兩集合的元素個數(shù)相等；但由“部分小于全體”，又推出兩集合的元素個數(shù)不相等。這就形成悖論。]15伽利略（GalileoGalilei，1564-1642），意大利物理學家、天文學家和哲學家，近代實驗科學的先驅(qū)者。

16

2.）

“有限”時成立的許多命題，對“無限”不再成立

（1）實數(shù)加法的結合律在“有限”的情況下，加法結合律成立:(a+b)+c=a+(b+c)，a，b，c

17

在“無限”的情況下，加法結合律不再成立。如18

有限半群若滿足消去律則一定是群。√

無限半群若滿足消去律則一定是群。×19

（2）有限級數(shù)一定有“和”?！?/p>

是個確定的數(shù)無窮級數(shù)一定有“和”?！?/p>

則不是個確定的數(shù)。稱為該級數(shù)“發(fā)散”。反之稱為“收斂”。20

2.聯(lián)系

在“有限”與“無限”間建立聯(lián)系的手段，往往很重要。

1）數(shù)學歸納法

通過有限的步驟，證明了命題對無限個自然數(shù)均成立。

2）極限

通過有限的方法，描寫無限的過程。

如：；自然數(shù)N，都，使時，。

21

3）無窮級數(shù)

通過有限的步驟，求出無限次運算的結果，如

4）遞推公式,a1=*5）因子鏈條件（抽象代數(shù)中的術語）

22

3.數(shù)學中的無限在生活中的反映

1）大煙囪是圓的：每一塊磚都是直的（整體看又是圓的）

2）銼刀銼一個光滑零件：每一銼銼下去都是直的（許多刀合在一起的效果又是光滑的）23

3）

不規(guī)則圖形的面積：正方形的面積，長方形的面積三角形的面積，多邊形的面積，圓面積。規(guī)則圖形的面積→不規(guī)則圖形的面積？法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面積越準

24

法Ⅱ.首先轉(zhuǎn)化成求曲邊梯形的面積，（不規(guī)則圖形→若干個曲邊梯形），再設法求曲邊梯形的面積：劃分，求和，矩形面積之和~

曲邊梯形面積；越小，就越精確；再取極限，就得到曲邊梯形的面積。25

五、潛無限與實無限

1．潛無限與實無限簡史

潛無限是指把無限看成一個永無終止的過程，認為無限只存在于人們的思維中，只是說話的一種方式，不是一個實體。26

從古希臘到康托以前的大多數(shù)哲學家和數(shù)學家都持這種潛無限的觀點。他們認為“正整數(shù)集是無限的”來自我們不能窮舉所有正整數(shù)。例如，可以想象一個個正整數(shù)寫在一張張小紙條上，從1，2，3，…寫起，每寫一張，就把該紙條裝進一個大袋子里，那么，這一過程將永無終止。因此，把全體正整數(shù)的袋子看作一個實體是不可能的，它只能存在于人們的思維里。27

但康托不同意這一觀點，他很愿意把這個裝有所有正整數(shù)的袋子看作一個完整的實體。這就是實無限的觀點?？低械墓ぷ魇莿潟r代的，對現(xiàn)代數(shù)學產(chǎn)生了巨大的影響，但當時，康托的老師克羅內(nèi)克爾，卻激烈反對康托的觀點。所以康托當時的處境和待遇都不太好。

28康托GeorgFerdinandPhilipCantor(1845～1918)德國數(shù)學家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學,翌年轉(zhuǎn)入柏林大學,主修數(shù)學，從學于E.E.庫默爾、K.（T.W.）外爾斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克。1866年曾去格丁根學習一學期。1867年在庫默爾指導下以數(shù)論方面的論文獲博士學位。1869年在哈雷大學通過講師資格考試，后即在該大學任講師，1872年任副教授，1879年任教授。

29

2．無限集合也有“大小”

——從“一一對應”說起

實無限的觀點讓我們知道，同樣是無限集合，也可能有不同的“大小”。正整數(shù)集合是最“小”的無限集合。實數(shù)集合比正整數(shù)集“大”。實數(shù)集合上全體連續(xù)函數(shù)的集合又比實數(shù)集合更大。不存在最“大”的無限集合（即對于任何無限集合，都能找到更“大”的無限集合）。30

這需要“一一對應”的觀點。

1）“一一對應”——雙射（單射+滿射）

2）集合的勢|A|——集合中元素的多少

3）|N|=可數(shù)無窮勢a

，|Q|=a4）|R|=不可數(shù)無窮（稱連續(xù)統(tǒng)勢c）,

：無理數(shù)比有理數(shù)多得多。31

5）無窮集合可能有不同的勢，其中最小的勢是a；不存在最大的勢。

6）“連續(xù)統(tǒng)假設”長期未徹底解決“連續(xù)統(tǒng)假設”：可數(shù)無窮a是無限集中最小的勢，連續(xù)統(tǒng)勢c是（否？）次小的勢。

？32

康托1882年曾認為他證明了這一假設，后來發(fā)現(xiàn)證明有錯。直到現(xiàn)在，這一問題仍吸引著一些數(shù)學家的興趣。33

六．哲學中的無限

1．哲學對“無限”的興趣

哲學是研究整個世界的科學。自從提出“無限”的概念，就引起了哲學家廣泛的關注和研究。現(xiàn)在我們知道哲學中有下邊一些命題：

34

物質(zhì)是無限的；時間與空間是無限的；物質(zhì)的運動形式是無限的。一個人的生命是有限的；一個人對客觀世界的認識是有限的。35

2．數(shù)學對“無限”的興趣

數(shù)學則更嚴密地研究有限與無限的關系，大大提高了人類認識無限的能力。在有限環(huán)境中生存的有限的人類，獲得把握無限的能力和技巧，那是人類的智慧；在獲得這些成果過程中體現(xiàn)出來的奮斗與熱情，那是人類的情感；對無限的認識成果，則是人類智慧與熱情的共同結晶。一個人，若把自己的智慧與熱情融入數(shù)學學習和數(shù)學研究之中，就會產(chǎn)生一種特別的感受。如果這樣，數(shù)學的學習不僅不是難事，而且會充滿樂趣。36思考題解答37

[思]

該旅館客滿后又來了無窮個旅游團，每個團中都有無窮個客人，還能否安排？38

答：能。法I.將所有旅游團的客人統(tǒng)一編號排成下表，按箭頭進入1，2，3，4，5，…各號房間順序入住，則所有人都有房間住。一團：1.1→1.21.31.4……↙↙↙

二團：2.12.22.32.4……↙↙

三團：3.13.23.33.4…………39

法II.

讓每個旅游團占據(jù)某固定素數(shù)的方冪由于素數(shù)有無窮多個，正整數(shù)又“唯一析因”，知，能安排住下，且還有空房，一團……

二團……

三團………………

附：證明“素數(shù)有無窮多個”（反證法）40

[思]構造一個無窮多個運動員百米賽跑，但結果沒有第一名的例子。（要求表達出每一個運動員的百米成績，且要求接近實際：不能跑進9秒）41解答運動員1234…百米成績10秒9.9秒9.89秒9.889秒…另解…42

[思]：構造一個“部分到整體的一一對應”：從[0，1）→[0，+∞）。43

答：

即

44

的圖像45象棋殘局中的數(shù)學文化46第二章若干數(shù)學問題中的

數(shù)學文化

第二節(jié)有限與無限的問題

47高等數(shù)學與初等數(shù)學的區(qū)別？48學生的回答：關于“高等數(shù)學與初等數(shù)學的區(qū)別？”更加全面；更加深刻；更加細微；更加本質(zhì)；更加理論化；更加系統(tǒng)化；…………49高等數(shù)學與初等數(shù)學的區(qū)別？從研究“常量”發(fā)展到研究“變量”從研究“有限”發(fā)展到研究“無限”50

一、什么是悖論

悖論：從“正確”的前提出發(fā)，經(jīng)過“正確”的邏輯推理，得出荒謬的結論。

51

例如：“甲是乙”與“甲不是乙”這兩個命題中總有一個是錯的；但“本句話是七個字”與“本句話不是七個字”又均是對的，這就是悖論。52

再如：“萬物皆數(shù)”學說認為“任何數(shù)都可表為整數(shù)的比”；但以1為邊的正方形的對角線之長卻不能表為整數(shù)的比，這也是悖論。53

二、芝諾悖論

芝諾（前490？—前430？）是（南意大利的）愛利亞學派創(chuàng)始人巴門尼德的學生。他企圖證明該學派的學說：“多”和“變”是虛幻的，不可分的“一”及“靜止的存在”才是唯一真實的；運動只是假象。于是他設計了四個例證，人稱“芝諾悖論”。這些悖論是從哲學角度提出的。我們從數(shù)學角度看其中的一個悖論。

54

1.四個芝諾悖論之一：阿基里斯追不上烏龜。

552.癥結：無限段長度的和，可能是有限的；無限段時間的和，也可能是有限的。

3.芝諾悖論的意義：

1）促進了嚴格、求證數(shù)學的發(fā)展

2）較早的“反證法”及“無限”的思想

3）尖銳地提出離散與連續(xù)的矛盾：空間和時間有沒有最小的單位？56

芝諾的前兩個悖論是反對“空間和時間是連續(xù)的”，后兩個悖論則是反對“空間和時間是離散的”。在芝諾看來，這兩種理論都有毛病；所以，“運動只是假象，不動不變才是真實”。芝諾的哲學觀點雖然不對，但是，他如此尖銳地提出了空間和時間是連續(xù)還是離散的問題，引起人們長期的討論，促進了認識的發(fā)展，不能不說是巨大的貢獻。57

三、“有無限個房間”的旅館

1.“客滿”后又來1位客人（“客滿”）

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2345┅k+1┅

空出了1號房間

58

2.客滿后又來了一個旅游團，旅游團中有無窮個客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2468┅2k┅

空下了奇數(shù)號房間

59

3.客滿后又來了一萬個旅游團，每個團中都有無窮個客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

10001200023000340004┅10001×k┅

給出了一萬個、又一萬個的空房間

60全面、深刻地揭示本質(zhì)的回答

是容易推廣的。61

2.客滿后又來了一個旅游團，旅游團中有無窮個客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2468┅2k┅

空下了奇數(shù)號房間

62

3.客滿后又來了一萬個旅游團，每個團中都有無窮個客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

10001200023000340004┅10001×k┅

給出了一萬個、又一萬個的空房間

63是否有人想提什么問題？64

4.[思]

該旅館客滿后又來了無窮個旅游團，每個團中都有無窮個客人，還能否安排？65

四、無限與有限的區(qū)別和聯(lián)系

1.區(qū)別

1）在無限集中，“部分可以等于全體”（這是無限的本質(zhì)），而在有限的情況下，部分總是小于全體。66

當初的伽利略悖論，就是因為沒有看到“無限”的這一個特點而產(chǎn)生的。

1234567891011…n…?????????????149162536496481100121…n2…

[該兩集合：有一一對應，于是推出兩集合的元素個數(shù)相等；但由“部分小于全體”，又推出兩集合的元素個數(shù)不相等。這就形成悖論。]67伽利略（GalileoGalilei，1564-1642），意大利物理學家、天文學家和哲學家，近代實驗科學的先驅(qū)者。

68

[思]：構造一個“部分到整體的一一對應”：從[0，1）→[0，+∞）。69

2.）

“有限”時成立的許多命題，對“無限”不再成立

（1）實數(shù)加法的結合律在“有限”的情況下，加法結合律成立:(a+b)+c=a+(b+c)，

a，b，c

70

在“無限”的情況下，加法結合律不再成立。如71

有限半群若滿足消去律則一定是群?！?/p>

無限半群若滿足消去律則一定是群。×72

（2）有限級數(shù)一定有“和”?！?/p>

是個確定的數(shù)無窮級數(shù)一定有“和”。×

則不是個確定的數(shù)。稱為該級數(shù)“發(fā)散”。反之稱為“收斂”。73

2.聯(lián)系

在“有限”與“無限”間建立聯(lián)系的手段，往往很重要。

1）數(shù)學歸納法

通過有限的步驟，證明了命題對無限個自然數(shù)均成立。

2）極限

通過有限的方法，描寫無限的過程。

如：；自然數(shù)N，都，使時，。

74

3）無窮級數(shù)

通過有限的步驟，求出無限次運算的結果，如

4）遞推公式,a1=*5）因子鏈條件（抽象代數(shù)中的術語）

75

3.數(shù)學中的無限在生活中的反映

1）大煙囪是圓的：每一塊磚都是直的（整體看又是圓的）

2）銼刀銼一個光滑零件：每一銼銼下去都是直的（許多刀合在一起的效果又是光滑的）76

3）

不規(guī)則圖形的面積：正方形的面積，長方形的面積三角形的面積，多邊形的面積，圓面積。規(guī)則圖形的面積→不規(guī)則圖形的面積？法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面積越準

77

法Ⅱ.首先轉(zhuǎn)化成求曲邊梯形的面積，（不規(guī)則圖形→若干個曲邊梯形），再設法求曲邊梯形的面積：劃分，求和，矩形面積之和~

曲邊梯形面積；越小，就越精確；再取極限，就得到曲邊梯形的面積。78

五、潛無限與實無限

1．潛無限與實無限簡史

潛無限是指把無限看成一個永無終止的過程，認為無限只存在于人們的思維中，只是說話的一種方式，不是一個實體。79

從古希臘到康托以前的大多數(shù)哲學家和數(shù)學家都持這種潛無限的觀點。他們認為“正整數(shù)集是無限的”來自我們不能窮舉所有正整數(shù)。例如，可以想象一個個正整數(shù)寫在一張張小紙條上，從1，2，3，…寫起，每寫一張，就把該紙條裝進一個大袋子里，那么，這一過程將永無終止。因此，把全體正整數(shù)的袋子看作一個實體是不可能的，它只能存在于人們的思維里。80

但康托不同意這一觀點，他很愿意把這個裝有所有正整數(shù)的袋子看作一個完整的實體。這就是實無限的觀點?？低械墓ぷ魇莿潟r代的，對現(xiàn)代數(shù)學產(chǎn)生了巨大的影響，但當時，康托的老師克羅內(nèi)克爾，卻激烈反對康托的觀點。所以康托當時的處境和待遇都不太好。

81康托GeorgFerdinandPhilipCantor(1845～1918)德國數(shù)學家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學,翌年轉(zhuǎn)入柏林大學,主修數(shù)學，從學于E.E.庫默爾、K.（T.W.）外爾斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克。1866年曾去格丁根學習一學期。1867年在庫默爾指導下以數(shù)論方面的論文獲博士學位。1869年在哈雷大學通過講師資格考試，后即在該大學任講師，1872年任副教授，1879年任教授。

82

2．無限集合也有“大小”

——從“一一對應”說起

實無限的觀點讓我們知道，同樣是無限集合，也可能有不同的“大小”。正整數(shù)集合是最“小”的無限集合。實數(shù)集合比正整數(shù)集“大”。實數(shù)集合上全體連續(xù)函數(shù)的集合又比實數(shù)集合更大。不存在最“大”的無限集合（即對于任何無限集合，都能找到更“大”的無限集合）。83

這需要“一一對應”的觀點。

1）“一一對應”——雙射（單射+滿射）

2）集合的勢|A|——集合中元素的多少

3）|N|=可數(shù)無窮勢a

，|Q|=a4）|R|=不可數(shù)無窮（稱連續(xù)統(tǒng)勢c）,

：無理數(shù)比有理數(shù)多得多。84

5）無窮集合可能有不同的勢，其中最小的勢是a；不存在最大的勢。

6）“連續(xù)統(tǒng)假設”長期未徹底解決“連續(xù)統(tǒng)假設”：可數(shù)無窮a是無限集中最小的勢，連續(xù)統(tǒng)勢c是（否？）次小的勢。

？85

康托1882年曾認為他證明了這一假設，后來發(fā)現(xiàn)證明有錯。直到現(xiàn)在，這一問題仍吸引著一些數(shù)學家的興趣。86

六．哲學中的無限

1．哲學對“無限”的興趣

哲學是研究整個世界的科學。自從提出“無限”的概念，就引起了哲學家廣泛的關注和研究?，F(xiàn)在我們知道哲學中有下邊一些命題：

87

物質(zhì)是無限的；時間與空間是無限的；物質(zhì)的運動形式是無限的。一個人的生命是有限的；一個人對客觀世界的認識是有限的。88

2．數(shù)學對“無限”的興趣

數(shù)學則更嚴密地研究有限與無限的