一元線性回歸模型的應(yīng)用

一元線性回歸模型的應(yīng)用第一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日一、區(qū)間估計(jì)有關(guān)知識(shí)的回顧1、點(diǎn)估計(jì)根據(jù)總體參數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，然后由樣本資料計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的值，并直接作為相應(yīng)的總體參數(shù)值得替代。常見(jiàn)的點(diǎn)估計(jì)有最小二乘估計(jì)、極大似然估計(jì)、矩估計(jì)等。2、區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)就是用兩個(gè)估計(jì)值所構(gòu)成的實(shí)軸區(qū)間作為總體參數(shù)取值的可能范圍。設(shè)和是的兩個(gè)估計(jì)量，用或直接替換就是點(diǎn)估計(jì)，若用（，）估計(jì)，這就是區(qū)間估計(jì)。

第二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日舉例說(shuō)明一大型超市為研究顧客的購(gòu)買(mǎi)額，抽取了100個(gè)客戶作樣本，這些顧客平均花費(fèi)水平為80元，標(biāo)準(zhǔn)差是25元，試求總體平均購(gòu)買(mǎi)額的變化范圍（）解：根據(jù)題意，n=100,=80，S=25，由統(tǒng)計(jì)學(xué)原理知，在原假設(shè)成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量

服從自由度為25的t分布，其分布圖象大致是第三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日t統(tǒng)計(jì)量的值落在與之間的概率是，所以有下面的等式成立代入有關(guān)數(shù)據(jù)，查課本370頁(yè)的t分布表，找到=2.06，并計(jì)算得

上述區(qū)間[74.85，85.15]稱為的置信度為95%的置信區(qū)間，0.95稱為置信水平或置信度。該區(qū)間表示意義是我們以95%的概率斷定這個(gè)大型超市全體消費(fèi)者的平均購(gòu)買(mǎi)額落在區(qū)間[74.85，85.15]內(nèi)。

第四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日二、總體條件均值與個(gè)別值的預(yù)測(cè)值1、總體條件均值E(Y|X)的預(yù)測(cè)值含義在總體回歸函數(shù)為的情況下，Y在時(shí)，條件均值為

其含義是當(dāng)研究的總體的自變量X的取值為時(shí)，該總體因變量的均值是，在例2.1.1中，當(dāng)X=4000時(shí)，E(Y|X=4000）=3004.8表示當(dāng)這個(gè)社區(qū)有一部分居民的月收入達(dá)到4000元時(shí)，該社區(qū)這一部分居民平均消費(fèi)水平將達(dá)到3004.8元。第五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日總體均值的區(qū)間估計(jì)含義：在例中，當(dāng)X=4000時(shí)，E(Y|X)的95%置信區(qū)間是[3004.8-1.96×115.76，3004.8+1.96×115.76]=[2777.9，3231.69]，其含義是當(dāng)這個(gè)社區(qū)有一部分居民收入達(dá)到4000元時(shí)，我們以95%的概率斷定這一部分居民平均月消費(fèi)額在2777.9元至3231.69元之間。2、個(gè)別預(yù)測(cè)值的含義個(gè)別預(yù)測(cè)值表示當(dāng)總體回歸函數(shù)為的情況下，Y在時(shí)，條件均值為

其含義是當(dāng)研究的總體中有一個(gè)個(gè)體，其自變量X的取值為時(shí)，該個(gè)體的因變量預(yù)測(cè)值是

第六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日在例2.1.1中，當(dāng)總體自變量X的取值為4000時(shí)，個(gè)別值的預(yù)測(cè)值的點(diǎn)估計(jì)是3004.8元。表示當(dāng)該社區(qū)居民中，若有一個(gè)居民其月收入達(dá)到4000元時(shí)，估計(jì)他（或她）的月消費(fèi)額是3004.8元。個(gè)別值的區(qū)間估計(jì)含義若在該社區(qū)中，有一個(gè)居民其月收入達(dá)到4000元時(shí)，他（或她）的月消費(fèi)額的95%置信區(qū)間是[3004.8-1.96×163.71，3004.8+1.96×163.71]，也就是[2683.93，3325.67]。表示意義是我們可以以95%的概率斷定他（或她）的月消費(fèi)額在2683.93至3325.67元之間。從上面的分析知道，對(duì)同一個(gè)總體，當(dāng)自變量時(shí)，其總體均E(Y|X=)預(yù)測(cè)值和個(gè)別值的預(yù)測(cè)值的點(diǎn)估計(jì)是相同的(都是），但是，它們的區(qū)間估計(jì)是不同的。這是因?yàn)樗鼈兊姆讲畈煌?。它們的方差分別是

同時(shí)，即使它們的點(diǎn)估計(jì)是相同的，但是所表示的意義是不同的，請(qǐng)同學(xué)們注意這個(gè)問(wèn)題。第七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例2.5.1講解從總體上考察中國(guó)居民收入與消費(fèi)支出的關(guān)系。下表給出了以１９９０年不變價(jià)測(cè)算的中國(guó)人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（ＧＤＰＰ）與以居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（1990年為100）縮減的人均居民消費(fèi)支出（CONSP）兩組數(shù)據(jù)。這兩組數(shù)據(jù)是1978-2000年的時(shí)間序列數(shù)據(jù)（timeseriesdata),即觀測(cè)值是連續(xù)不同年份中的數(shù)據(jù)，該表的數(shù)據(jù)與表2.1.1中的數(shù)據(jù)不同，表2.1.1中的數(shù)據(jù)涉及的是同一年份中不同居民家庭的可支配收入與消費(fèi)支出，因此也稱為截面數(shù)據(jù)（cross-sectiondata).第八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日年份人均居民消費(fèi)支出人均GDP19781979198019811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199819992000395.8437.0464.1501.9533.5572.8635.6716.0746.5788.3836.4779.7797.1861.4966.61048.61108.71213.11322.81380.91460.61564.41690.8675.1716.9763.7792.4851.1931.41059.21185.21269.61393.61527.01565.91602.31727.21949.82187.92436.12663.72889.13111.93323.13529.33789.7第九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日解法1（手工算）解題思路：根據(jù)一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)表達(dá)式其中第十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日第十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日解法2（用EViews軟件）DependentVariable:CONSP Method:LeastSquares Date:10/02/07Time:23:47 Sample:19782000 Includedobservations:23

Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob.

C 201.1189 14.88402 13.51241 0.0000 GDPP 0.386180 0.007222 53.47471 0.0000

R-squared 0.992710

Meandependentvar 905.3304 AdjustedR-squared 0.992363

S.D.dependentvar 380.6334 S.E.ofregression 33.26450

Akaikeinfocriterion 9.929800 Sumsquaredresid 23237.06

Schwarzcriterion 10.02854 Loglikelihood -112.1927

F-statistic 2859.544 Durbin-Watsonstat 0.550636

Prob(F-statistic) 0.000000

第十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日DependentVariable:CONSP Method:LeastSquares Date:10/02/07Time:23:47 Sample:19782000 Includedobservations:23

Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob.

C 201.1189 14.88402 13.51241 0.0000 GDPP 0.386180 0.007222 53.47471 0.0000

R-squared 0.992710

Meandependentvar 905.3304 AdjustedR-squared 0.992363

S.D.dependentvar 380.6334 S.E.ofregression33.26450

Akaikeinfocriterion 9.929800 Sumsquaredresid 23237.06

Schwarzcriterion 10.02854 Loglikelihood -112.1927

F-statistic 2859.544 Durbin-Watsonstat 0.550636

Prob(F-statistic) 0.000000

第十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日幾個(gè)概念：S.E.ofregression回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差，計(jì)算方法是其中表示殘差列向量，T為樣本容量，k為被估計(jì)參數(shù)的個(gè)數(shù)。Sumsquaredresid殘差平方和，計(jì)算方法是

第十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日Log

likelihood對(duì)數(shù)似然函數(shù)，計(jì)算方法是Meandependentvar因變量均值A(chǔ)kaikeinfocriterion赤池信息準(zhǔn)則，計(jì)算方法

第十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日Schwarzcriterion施瓦茨準(zhǔn)則，計(jì)算方法Prob(F-statistic)=pro(F>),即回歸方程的p值第十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日解法3（用SPSS軟件）第十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日第十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日四、作業(yè)下表是10個(gè)品牌啤酒的廣告費(fèi)用和銷售量的數(shù)據(jù)，請(qǐng)你做以下工作：（1）、用廣告費(fèi)用作自變量x，銷售額作因變量y,求出估計(jì)的回歸方程。（2）、簡(jiǎn)要概括一下你的發(fā)現(xiàn)。第十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日啤酒品牌廣告費(fèi)（萬(wàn)元）銷售量（萬(wàn)箱）ABCDEFGHIJ120.068.7100.176.68.71.021.51.45.31.736.320.715.913.28.17.15.64.44.44.3第二十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日五、附錄：有關(guān)公式的推導(dǎo)1、一元線性回歸模型的最小二乘估計(jì)設(shè)有一元線性回歸模型，其樣本數(shù)據(jù)分別是，i=1，2，…，n.根據(jù)最小二乘估計(jì)原理，使為最小。由微積分學(xué)原理，有

（1）

第二十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日化簡(jiǎn)（1），得正規(guī)方程組解正規(guī)方程組得

（2）第二十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日化簡(jiǎn)（2），得離差形式的估計(jì)其中

2、參數(shù)和的最小二乘估計(jì)的性質(zhì)（1）線性性由和的最小二乘估計(jì)的表達(dá)式知，、是的線性函數(shù)，故線性性顯然。（2）無(wú)偏性第二十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日第二十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日同理可證，因此和是和的無(wú)偏估計(jì)。（3）有效性

第二十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日而因此，令