華師大初等數(shù)學講義11體驗不確定現(xiàn)象

第十一章體驗不確定現(xiàn)象TOC\o"1-3"\h\z日常生活中，我們會遇到各種各樣的事情，有的出現(xiàn)的機會很大，有的則很小。那么能否估計它們出現(xiàn)的機會大小呢？試試看，在反復的實驗中，不確定現(xiàn)象是否從整體上呈現(xiàn)出一定的規(guī)律?！?1.1可能還是確定1.不可能發(fā)生、可能發(fā)生和必然發(fā)生先讓我們兩人一組做一個“擲骰子”的游戲.每組準備一個普通的正方體骰子，它有六個面，每一面的點數(shù)分別是從1到6這六個數(shù)字中的一個.骰子的質地是均勻的，也就是說每個數(shù)字被擲得的機會都是一樣的.一個同學擲骰子，另一個同學做記錄，用“正”字法把每個點數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)記錄下來，填入下表.擲完20次以后，兩人交換角色.兩位同學的實驗數(shù)據(jù)都記錄在表11.1.1中.表11.1.1擲骰子40次骰子上每個點數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)表從每個小組的頻數(shù)表中，我們可以看到,不管如何，“點數(shù)7”出現(xiàn)的次數(shù)總是0.這并不是因為我們拋的時間還不夠長或擲的次數(shù)還不夠多，而是因為骰子上根本沒有“7”.所以，無論再擲多少次，“點數(shù)7”都不會出現(xiàn).對這種點數(shù)從1到6的普通骰子，我們可以說“擲得的點數(shù)是7”這件事是不可能發(fā)生的.在剛才的游戲中，還有什么事是不可能發(fā)生的?“不可能”發(fā)生就是指完全沒有機會發(fā)生，或者說，發(fā)生的機會是0.即使我們擲100次、1000次、1萬次甚至更多，它都一定不會發(fā)生，永遠不會發(fā)生.與之相反，“必然”發(fā)生是指一定發(fā)生，不可能不發(fā)生，或者說，發(fā)生的機會是100％.如果我們擲100次、1000次、10000次甚至更多，那么它就發(fā)生100次、1000次、10000次，甚至更多.在剛才的游戲中，“擲得的點數(shù)小于7”這個結果就是必然發(fā)生的，每次都發(fā)生的.以后我們稱那些無需通過實驗就能夠預先確定它們在每一次實驗中都一定會發(fā)生的事件為必然事件（CertainEvent），稱那些在一次實驗中都一定不會發(fā)生的事件為不可能事件（ImpossibleEvent），這兩種事件在實驗中是否發(fā)生都是我們能夠預先確定的，所以統(tǒng)稱為確定事件。如圖11.1.1，如果我們在數(shù)軸上表示機會的大小，那么，所有不可能發(fā)生的事情的機會都指向0這個數(shù)，所有必然發(fā)生的事情的機會都指向1(100%)這個數(shù).圖11.1.1機會的大小范圍“可能”發(fā)生是指有時會發(fā)生，有時不會發(fā)生，比如，“擲得的點數(shù)是2”就是一個可能發(fā)生的結果，它發(fā)生的機會在6萬次中約有1萬次.“擲得的點數(shù)是奇數(shù)”也是一個可能發(fā)生的結果，它發(fā)生的機會在6萬次中約有3萬次.像這樣無法預先確定在一次實驗中會不會發(fā)生的事件，我們稱它們?yōu)椴淮_定事件或隨機事件（ChanceEvent）。因為必然事件和不可能事件在每次實驗中發(fā)生的機會都已經(jīng)確定了，分別是100%和0，，所以，我們今后主要研究那些不確定事件，我們將設法了解那些不確定事件在每次實驗中的發(fā)生的機會。思考：如果用數(shù)字表示隨機事件發(fā)生的機會大小，那么這都是一些什么樣的數(shù)？練習：下列哪些事件是必然發(fā)生的必然事件，哪些事件是不可能發(fā)生的不可能事件，哪些事件是可能發(fā)生的隨機事件？為什么？打開電視機，它正在播廣告；拋擲10枚硬幣，結果3個正面朝上與8個反面朝上；黑暗中我從我的一大串鑰匙中隨便選中一把，用它打開了門；投擲一枚普通的正方體骰子，擲得的數(shù)不是奇數(shù)便是偶數(shù)；我將一粒種子埋在土里，給它陽光和水分，它會長出小苗?，F(xiàn)實生活中，為了充分強調(diào)某件事是一定會發(fā)生的，我們可能會夸張地說“它百分之兩百會發(fā)生”。在數(shù)學里，有沒有“機會是百分之兩百”這種說法？你同意以下的說法嗎?請說明理由.“擲得的數(shù)是奇數(shù)”是不可能發(fā)生的，因為骰子上不全是奇數(shù)，還有偶數(shù)；“擲得的數(shù)是奇數(shù)”是必然發(fā)生的，因為骰子上有奇數(shù)；“擲得的數(shù)不會超過7”是可能發(fā)生地，因為骰子上的數(shù)都沒有超過7。2.不太可能是不可能嗎現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常把不太可能發(fā)生的事情認為是不可能發(fā)生的.比如，我們從商店里買回一包零食，里面有張抽獎卡，卡上寫明只要將該卡填好寄至指定地點，就能參加幸運抽獎.對此，很多人都不屑一顧，他們認為參加抽獎的人太多，幸運根本就不可能降臨到自己頭上，何必費神.但是，從數(shù)學角度看，“不太可能”與“不可能”是不同的.不太可能是指發(fā)生的機會很小，可以小到不足萬分之一，但不是0.也就是說，不太可能的事情也許一萬次里也沒有發(fā)生過一次，但因為它是一個可能發(fā)生的事情，所以隨時都有發(fā)生的可能.讓我們繼續(xù)“擲骰子”的游戲，請準備三個普通的正方體骰子.這次，每組四個同學.一個同學一次同時擲出三個骰子的時候，兩個同學在旁監(jiān)督，另一個同學用“正”字法做記錄，如果擲出的是三個“6”，記錄在表11.1.2的第一個空格中，否則，記錄在第二個空格中.四個同學總共擲40次.表11.1.2擲三個骰子40次兩種結果出現(xiàn)的頻數(shù)表三個骰子的點數(shù)全是“6”不全是“6”出現(xiàn)的頻數(shù)這兩個結果中哪一個出現(xiàn)的頻數(shù)較多?你們小組有人擲出三個“6”嗎?你們班呢?一次擲出三個全是“6”地機會很小，只有千分之四多一點，但有人曾經(jīng)擲出過.如果你有足夠的耐心和時間，你也遲早能擲出三個“6”.這個例子說明可能性小并不意味著一定不會發(fā)生，“不太可能”不等于“不可能”.同樣道理，“很有可能”也不代表“必然”.練習1.在一個不透明的口袋中，裝著6個大小和外形一模一樣的小球，其中有3個紅球、2個藍球、1個白球。它們已經(jīng)在口袋中被攪勻了。在下列事件中，請說出哪些是確定事件，哪些是不確定事件？在確定的事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件？為什么？(1)從口袋中任意取出1個球，它恰是紅球；(2)從口袋中任意取出2個球，它們恰好全是白球；(3)從口袋中任意取出3個球，它們只有1個不是藍球；(4)從口袋中任意取出4個球，它們恰好是2個紅球、1個藍球和1個白球.2．根據(jù)下所示物體，分別判斷：以下四個事件中哪些是確定事件，哪些是不確定事件？在確定的事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件？為什么？（1）用力旋轉畫有紅、黃、藍、綠四色轉盤上的指針，指針會停在紅色上；

（2）擲一枚正方體骰子，點數(shù)“2”會朝上；

（3）閉上眼睛從裝有紅色、白色、黑色等幾種顏色小球的缸里隨機地取一個球，該球是紅色的；

（4）馬上就要下雨了，中間那塊紅地磚會最早滴到雨點.

習題11.11.判斷下列事件各是什么事件，并說明理由。(1)從一副洗好的只有數(shù)字1到10的40張撲克牌里任意抽出一張牌，它比6??；(2)從一副洗好的只有數(shù)字1到10的40張撲克牌里一次任意抽出兩張牌，它們的和是30；(3)從一副洗好的只有數(shù)字1到10的40張撲克牌里一次任意抽出兩張牌，它們的和是15；(4)投擲兩枚普通的正方體骰子，擲得得兩數(shù)之和為1；(5)閉上眼睛，從裝有一萬只標號為1～10000的小球的口袋中任意摸出3只球，它們的標號恰為9、99、999.2.下列說法正確嗎?(1)如果一件事發(fā)生的機會只有十萬分之一，那么它就不可能發(fā)生；(2)如果一件事發(fā)生的機會達到99.9％，那么它就必然發(fā)生；(3)如果一件事不是不可能發(fā)生的,那么它就必然發(fā)生；(4)如果一件事不是必然發(fā)生的,那么它就不可能發(fā)生；如你面前放著一個正四面體的骰子，它有四個頂點，每一頂點的點數(shù)分別是從1到4這四個數(shù)字中的一個.在你還沒開始擲骰子之前，你能預言一個不可能事件、一個必然事件和一個隨機事件嗎？現(xiàn)有三個普通的正方體骰子，投擲這三個骰子，請說出三個確定事件和三個不確定事件。§11.2機會的均等與不等有人說，“不確定現(xiàn)象發(fā)生的機會都是50％”，讓我們經(jīng)過自己的嘗試來判斷這一說法是否正確。1．成功與失敗在一次實驗中，不確定事件是否會發(fā)生是無法預料的，如果發(fā)生了，我們就說它在這次實驗中成功了；反之，我們就說它在這次實驗中失敗了．做一做：準備三張大小一樣印有不同圖案的紙片（如照片、明信片、自己手畫的圖片等），把每張紙片都對折，剪成大小一樣的兩張。將這六張小紙片有圖案的一面朝下，然后混合，讓你的同伴閉上眼睛，隨便抽出兩張小紙片。你認為抽出的那兩張小紙片正好能成功拼成原圖的大小嗎？猜一猜，大概是平均幾次里會有一次成功呢？做一做，看你和你的同伴在20次嘗試中各成功了幾次。和全班同學交流一下實驗的結果，看看大多數(shù)同學在20次中成功了幾次，你們可能會有所發(fā)現(xiàn)。（在嘗試之前先設計一張記錄表?。┧伎迹哼@個游戲中你們關注的是哪一個不確定事件？在總的實驗次數(shù)中，你觀察到它成功的次數(shù)多還是失敗的次數(shù)多？成功的機會是50％嗎？你覺得這個觀察結果合乎情理嗎？2．游戲的公平與不公平一個公平的游戲應該是游戲雙方各有50％贏的機會.下面再給出三個游戲，你認為它們公平嗎？

游戲1

由兩個人玩的“搶30”游戲，也許你以前曾經(jīng)玩過．這個游戲的規(guī)則是這樣的：

第一個人先說“1”或“1、2”，第二個人要接著往下說一個或兩個數(shù)，然后又輪到第一個人，再接著往下說一個或兩個數(shù)，這樣兩人反復輪流，每次每人說一個或兩個數(shù)都可以，但是不可以連說三個數(shù)．誰先搶到30，誰就得勝．

和你的同伴玩一玩這個“搶30”游戲，不過，在游戲開始前，建議你們雙方先考慮一下有沒有克敵制勝的策略．游戲開始后，雙方報數(shù)要快，不允許拖拉．

提示：這是一個偏向第_______個報數(shù)人的游戲，你發(fā)現(xiàn)了嗎？

在分析獲勝策略的時候，你是不是這樣想的：要搶到30，先要搶到____；要搶到______，先要搶到______；要搶到______，先要……

游戲2

這是一個拋擲兩個籌碼的游戲．準備兩個籌碼，一個兩面都畫上“×”；另一個一面畫上“×”，另一面畫上“○”．甲、乙各持一個籌碼，拋擲手中的籌碼．

游戲規(guī)則：擲出一對“×”，甲得1分；

擲出一個“×”一個“○”，乙得1分．

如果你覺得這個游戲不公平，那么，你認為甲和乙誰贏的機會大呢？如果你覺得它公平，說說你的理由．和你的同伴玩幾回，看看你的感覺對不對．游戲3

這是一個拋擲三個籌碼的游戲．準備三個籌碼，第一個一面畫上“×”，另一面畫上“○”；第二個一面畫上“○”，另一面畫上“＃”；第三個一面畫上“?！?，另一面畫上“×”．甲、乙兩人中一人拋擲三個籌碼，一人記錄每次游戲誰贏．

游戲規(guī)則：擲出的三個籌碼中有一對的（“××”或“○○”或“＃?！保?，甲方贏；否則，乙方贏．

這個游戲是否公平比較難判斷，我們可以通過實驗來估計甲、乙雙方各自的成功率．和你的同伴玩16次游戲，前8次由你拋擲，后8次由你的同伴拋擲．將你們的游戲結果記錄在表11.2.1的前面三欄中．

請小組長和班長組織同學將全組和全班同學的游戲結果匯總在一起，再填入上表內(nèi)．你們發(fā)現(xiàn)誰的成功率高？誰贏的機會大？思考現(xiàn)在請你判斷“不確定現(xiàn)象發(fā)生的機會都是50％”的說法的正確與否。習題11.2拋擲四枚普通的硬幣20次，你認為正好擲得四個正面朝上的頻率高還是擲不到四個正面朝上的頻率高？設計一張統(tǒng)計表，填入你的實驗結果，并據(jù)此得出你的結論．某位同學拋擲兩枚硬幣，分10組實驗，每組20次，下面是共計200次實驗中記錄下的結果．（1）在他的每次實驗中，拋出________、________和_______都是不確定事件；

（2）在他的10組實驗中，拋出“兩個正面”成功次數(shù)最多的是他第__組實驗，拋出“兩個正面”失敗次數(shù)最多的是他的第___組實驗；

（3）在他的第1組實驗中，拋出“兩個正面”的成功率是_____，在他的前兩組（第1組和第2組）實驗中，拋出“兩個正面”的成功率是______，在他的前七組（從第1組至第7組）實驗中，拋出“兩個正面”的成功率是_______，在他的前八組（從第1組至第8組）實驗中，拋出“兩個正面”的成功率是_______．

（4）在他的10組實驗中，拋出“兩個正面”的成功率是________，拋出“一個正面”的成功率是________，拋出“沒有正面”的成功率是_________，這三個成功率的和是．準備三張紙片，兩張紙片上各畫一個三角形，另一張紙片畫一個正方形．如果將這三張紙片放在一個盒子里攪勻，那么，隨機地抽取兩張紙片，可能拼成一個菱形（取出的是兩張畫三角形的紙片），也可能拼成一個房子（取出的是一張畫三角形、一張畫正方形的紙片）．這個游戲的規(guī)則是這樣的：若拼成一個菱形，甲贏；若拼成一個房子，乙贏．你認為這個游戲是公平的嗎？請玩一玩這個游戲，用你的數(shù)據(jù)說明你的觀點．閱讀材料攪勻對保證公平很重要據(jù)高等教育出版社和施普林格出版社聯(lián)合出版的《統(tǒng)計學》一書介紹，在越南戰(zhàn)爭中，美國政府為了準備好足夠的兵源，制定了一個“抓鬮”的征兵計劃．該計劃是將一年中的每一天按時間順序編為1～366個號碼，準備366個乒乓球，在每個乒乓球上標一個號碼，代表一年中的一天．

抓鬮的時候，工作人員將這些乒乓球全部倒入一個大箱子中．從中隨機地取出第一個乒乓球，假設它是30號球，那么它代表1月30日，于是，所有年滿18歲生日是1月30日的合格青年都將成為第一批被征召的軍人．然后，再從大盒子中隨機地取出第二個乒乓球，所有年滿18歲且生日與這個乒乓球所示的號碼吻合的合格青年都將成為第二批應征的軍人．依此規(guī)則，繼續(xù)下去．

這種抓鬮的方法按理說應該對每個人都公平，但是，當?shù)诙旃剂怂凶ヴb出來的號碼時，統(tǒng)計學家們對抓鬮的公平性提出了懷疑．因為他們發(fā)現(xiàn)有73個號碼位于上半年，有110個號碼位于下半年，和大家期待的“大致各占一半”相距甚遠!

雖然抓鬮出來的結果是隨機事件，可能不是上半年的號碼和下半年的號碼恰好各占一半，會有一些差異，但是，統(tǒng)計學家的計算表明73對110這樣的差異實在太大了，有理由懷疑這次抓鬮征兵過程的公平性．后來才發(fā)現(xiàn)，原來這種不公平是由于在每次抓鬮之前沒有充分地將乒乓球攪勻造成的．

§11.3 在反復實驗中觀察不確定現(xiàn)象在前面投擲骰子、拼圖片等活動中，我們對不確定現(xiàn)象的不確定性已經(jīng)有所體驗。我們看到，即使我們盡量保持投擲骰子的姿勢、力量、高度等條件不變，也不可能預測出擲得的結果。不確定現(xiàn)象似乎完全沒有規(guī)則，捉摸不定。可是，會不會在“沒有規(guī)則”的背后，隱含著某種規(guī)律呢？比如做拼圖片活動時，我們班同學基本上都是成功少，失敗多。歷史上一些著名的科學家已經(jīng)想到要在反復實驗中觀察不確定現(xiàn)象，以發(fā)現(xiàn)我們隱含的規(guī)律。表11.3.1歷史上拋擲硬幣實驗的若干結果實驗者拋擲硬幣次數(shù)（n）出現(xiàn)正面次數(shù)（m）出現(xiàn)正面概率（m/n）德莫根(Demorgan)204810610.5181蒲豐(Buffon)404020480.5069費勒(Feller)1000049790.4979皮爾遜(Pearson)1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005下面是一位同學在拋擲硬幣時獲得的數(shù)據(jù)，他已經(jīng)將這些數(shù)據(jù)填入統(tǒng)計表（表11.3.2），并繪制了折線圖（圖11.3.1）表11.3.2“出現(xiàn)正面”頻數(shù)、頻率統(tǒng)計表拋擲次數(shù)50100150200250300350400出現(xiàn)正面的頻數(shù)26537294116142169193出現(xiàn)正面的頻率52.0%53.0%48.0%47.0%46.4%47.3%48.3%48.3%拋擲次數(shù)450500550600650700750800出現(xiàn)正面的頻數(shù)218242269294321343369395出現(xiàn)正面的頻率48.4%48.4%48.9%49.0%49.4%49.0%49.2%49.4%思考由圖11.3.1，可以看到，當實驗次數(shù)比較多的時候，“出現(xiàn)正面”的頻率變動明顯減小，表現(xiàn)為“風平浪靜”，“出現(xiàn)正面”的頻率在0.5附近波動！如果換成其他的實驗，是否也能發(fā)現(xiàn)類似的現(xiàn)象呢？實驗1與你的同伴合作，做一做拋擲兩枚硬幣的游戲，每人各拋20次，一位同學拋的時候，另一位同學幫著記錄實驗結果。匯集全班同學的記錄，完成表11.3.2和圖11.3.2（建議用兩種不同顏色畫兩條折線以示區(qū)別），看看當拋擲次數(shù)很多以后，“出現(xiàn)兩個正面”和“出現(xiàn)一正一反”這兩個不確定事件的頻率是否也會比較穩(wěn)定。注意：開始游戲之前，全班先統(tǒng)一一下拋擲硬幣的方法。表11.3.2兩個隨機事件頻數(shù)、頻率統(tǒng)計表拋擲次數(shù)20406080100120140160180200出現(xiàn)兩個正面的頻數(shù)出現(xiàn)一正一反的頻數(shù)出現(xiàn)兩個正面的頻率出現(xiàn)一正一反的頻率拋擲次數(shù)220240260280300320340360380400出現(xiàn)兩個正面的頻數(shù)出現(xiàn)一正一反的頻數(shù)出現(xiàn)兩個正面的頻率出現(xiàn)一正一反的頻率思考（1）在實驗中，“出現(xiàn)兩個正面”的頻率穩(wěn)定在％附近，“出現(xiàn)一正一反”的頻率穩(wěn)定在％附近。（2）如果將實驗中的硬幣換成瓶蓋，你覺得頻率也會逐漸穩(wěn)定嗎？如果是，那么穩(wěn)定的數(shù)值會和（1）中一致嗎？概括在前面的實驗中，我們可以發(fā)現(xiàn)，雖然每次拋擲的結果是隨機的、無法預測的，但隨著實驗次數(shù)的增加，隱含的規(guī)律逐漸顯現(xiàn)，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某一個數(shù)值。正因為不確定現(xiàn)象發(fā)生的頻率有這樣趨于穩(wěn)定的特點，我們可以用平穩(wěn)時的頻率估計這一隨機事件在每次實驗時發(fā)生的機會的大小。實驗2用力旋轉圖11.3.3所示的轉盤甲和轉盤乙的指針，如果你想讓指針停在藍色上，那么選哪個轉盤能使你成功的機會比較大？分析如果隨著旋轉次數(shù)的增加，兩個轉盤的指針停在藍色上的頻率都逐漸穩(wěn)定下來，那么就容易選擇了。請你和同學們一起做這個實驗，將實驗結果填入表11.3.4，并在圖11.3.4中用不同顏色的筆分別畫出相應的兩條折線。表11.3.4兩個轉盤指針停在藍色上的頻數(shù)、頻率統(tǒng)計表旋轉次數(shù)50轉100轉150轉200轉250轉300轉350轉400轉450轉小轉盤停在藍色上的頻數(shù)大轉盤停在藍色上的頻數(shù)小轉盤停在藍色上的頻率大轉盤停在藍色上的頻率我們發(fā)現(xiàn)_______________________________________________。思考從實驗結果中你得出了哪些結論？有同學說，轉盤乙大，相應地，藍色部分的面積也大，所以選轉盤乙成功的機會比較大。你同意嗎？還有同學說，每個轉盤只有兩種顏色，指針不是停在紅色上就是停在藍色上，成功的機會都是50％，所以隨便選哪個轉盤都可以。你同意嗎？如果不做實驗，你能語言圖11.3.5所示的轉盤指針停在紅色上的機會嗎？通過一系列的實驗和觀察，我們已經(jīng)知道：實驗是估計機會大小的一種方法。在前面的一些問題中，即使不做實驗，也可以設法預先推測出事件發(fā)生的機會，為什么還要花大量的事件去進行實驗呢？下面讓我們看另一類問題：一枚圖釘被拋起后釘尖觸地的機會有多大？這可能就很難預測了，只能讓實驗來幫忙。通過小組合作，分別記錄拋擲40次、80次、120次、160次、200次、240次、280次、320次、360次、400次、440次、480次后出現(xiàn)釘尖觸地的頻數(shù)和頻率，列出統(tǒng)計表，繪制折線圖。請根據(jù)你們小組的實驗結果估計一下釘尖觸地的機會是百分之幾？和同學們進行交流，看看不同小組得出的結果是否一樣？為什么？思考如果你和同桌使用的圖釘形狀分別是如圖11.3.6所示的兩種，那么兩種圖釘釘尖觸地的機會相同嗎？能把你們兩個人的實驗數(shù)據(jù)合起來進行統(tǒng)計嗎？從上面的問題可以看出：（1）通過實驗的方法用穩(wěn)定時的頻率估計機會的大小，必須要求實驗是在相同條件下進行的。比如，以同樣的方式拋擲同一種圖釘。（2）在相同的條件下，實驗次數(shù)越多，就越有可能得到較好的估計值，但不同小組實驗所得的值也并不一定相同。那么，總共要做多少次實驗才認為得出的結果比較可靠呢？表11.3.5和圖11.3.7是某班同學在拋圖釘?shù)膶嶒炛挟嫵龅慕y(tǒng)計表和折線圖。表11.3.5釘尖觸地頻數(shù)、頻率表拋圖釘?shù)拇螖?shù)4080120160200240280320360釘尖觸地的頻數(shù)2037506988105125146163釘尖觸地的頻率50.0％46.3％41.7％43.1％44.0％43.8％44.6％45.6％45.3％拋圖釘?shù)拇螖?shù)40044048052056060064068070釘尖觸地的頻數(shù)183196219228248269285305328釘尖觸地的頻率45.8％44.5％45.6％43.8％44.3％44.8％44.5％44.9％45.6％拋圖釘?shù)拇螖?shù)76080084088092096010001040釘尖觸地的頻數(shù)347366383401421445463481釘尖觸地的頻率45.7％45.8％45.6％45.6％45.8％46.4％46.3％46.3％可以看出，當實驗進行到720次以后，所得頻率值就在46％上下浮動，且相差不過0.5％，我們可以取46％作為這個事件發(fā)生機會的估計值。當我們只需粗略地知道該事件發(fā)生的機會時，就可以在實驗200次后，得到“機會大約是百分之四十幾”的粗略估計。通常情況下，靠一個人的力量要得到十分可靠的估計值需要花費大量的事件。如果把小組內(nèi)10個成員的實驗數(shù)據(jù)累加起來，每人做50次，一共做了500次，頻率已經(jīng)比較穩(wěn)定了。做一做如果一枚骰子質量分布均勻，那么拋擲后每個點數(shù)出現(xiàn)的機會均等。請一位同學動手做一個質量分布不均勻的骰子，使得某個點數(shù)出現(xiàn)的機會大于其他點數(shù)。然后讓其他同學猜猜看這個點數(shù)是幾？你猜對了嗎？用實驗數(shù)據(jù)幫你說話，再請做骰子的同學對你的結論作出評判。練習1．下面是兩位同學對拋硬幣問題的不同說法，你認為有道理嗎？為什么？（1）拋一枚質量分布均勻的硬幣，是“正”是“反”無法預測，全憑運氣。因此，拋1000次的話也許只有200次“正”，也許會有700次“正”，沒有什么規(guī)律；（2）拋一枚質量分布均勻的硬幣，出現(xiàn)“正面”和出現(xiàn)“反面”的機會均等。因此，拋1000次的話一定會有500次“正”，500次“反”。2．某彩票的中獎機會是1％，買1張一定不會中獎嗎？買100張一定會中獎嗎？談談你的看法。習題15.1某校（1）班40個同學每10人一組，每人做10次拋擲兩枚硬幣的實驗，想想看“出現(xiàn)兩個正面”的頻率是否會逐漸穩(wěn)定下來，得到了下面40個實驗結果。第一組學生學號101102103104105106107108109110兩個正面成功次數(shù)1233333633第二組學生學號111112113114115116117118119120兩個正面成功次數(shù)1132342333第三組學生學號121122123124125126127128129130兩個正面成功次數(shù)1031333222第四組學生學號131132133134135136137138139140兩個正面成功次數(shù)2214243233學好為113的同學在他10次實驗中，成功了幾次？成功率是多少？他是他所在小組同學中成功率最高的人嗎？學號為116和136的兩位同學在10次實驗中成功率一樣嗎？如果他們兩人再做10次實驗，成功率依然會一樣嗎？怎么計算每一組學生的集體成功率？哪一組成功率最高？累計每個學生的實驗結果，完成下面的“出現(xiàn)兩個正面”的頻數(shù)、頻率隨拋擲次數(shù)變化統(tǒng)計表，如果把這張表畫成相應的圖，你會看到什么？拋擲次數(shù)50100150200250300350400出現(xiàn)兩個正面的頻數(shù)出現(xiàn)兩個正面的頻率以下是擲一枚正四面體骰子200次所得朝上頂點的點數(shù)的記錄（5個數(shù)為一組）12314,13231,32211,34223,12123,24143,23211,13141,32324,43314,34442,34112,11424,21123,22244,32342,14434,33433,22141,21441,33311,21421,31221,32244,44344,41434,14231,24231,11124,41342,22431,23442,33414,13114,12312,11322,41123,42324,31144,11131.（1）將整個數(shù)據(jù)整理后填入下表：投擲次數(shù)1510152025304050607080出現(xiàn)1點的頻數(shù)出現(xiàn)1點的頻率投擲次數(shù)9010011012013014015016017060180200出現(xiàn)1點的頻數(shù)出現(xiàn)1點的頻率（2）根據(jù)表中所填數(shù)據(jù)繪制折線圖；（3）投擲5次和投擲10次后所得頻率值的差是多少？25次和30次之間呢？30次和40次之間、90次和100次之間、190次和200次之間呢？從中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？（4）仿照上面的方法對其他點數(shù)出現(xiàn)的頻率進行觀察，你又發(fā)現(xiàn)了什么？（5）你能根據(jù)以上數(shù)據(jù)對不同點數(shù)出現(xiàn)的寄回進行估計嗎？對下列說法談談你的看法：一名籃球運動員能否投中某個三分球受很多因素的影響，根本不可能預測，所以教練預測他有40％的機會命中這個球肯定是無稽之談；班級里分到一張參加現(xiàn)場演唱會的門票，為公平起見，班長讓每個人來抽簽，這樣每個人都有50％的機會；天氣預報說今天下雨的機會是95％，所以今天一定會下雨，我得帶上傘。有若干個大小相同的黑球和白球，請他人協(xié)助在一個不透明口袋中放入3個小球。你能通過摸球實驗（每次攪勻后摸出1個，放回后再摸第2個，次數(shù)可以不限），推斷這3個小球的顏色嗎？說說你的想法，具體實驗一下，看看最后的結果。自制一個轉盤，像扇形統(tǒng)計圖那樣將它的各個部分分別涂上不同的顏色，通過實驗的方法估計，用力旋轉后指針正好指向你最喜歡的顏色區(qū)域的機會有多大。一副沒有大小王的撲克，共52張，抽出一張恰為黑桃的機會有多大？你能預測嗎？請用實驗的方法檢驗你的猜想。閱讀材料 計算機幫我們處理數(shù)據(jù)在前面的實驗中，我們常常要根據(jù)實驗次數(shù)和某事件出現(xiàn)的頻數(shù)計算該事件出現(xiàn)的頻率，并繪制折線圖。當實驗次數(shù)很多時，計算頻率和手工繪圖都相當繁瑣。此時，就可以請計算機來幫忙。圖1打開Excel并輸入實驗次數(shù)和某事件出現(xiàn)的頻數(shù)（圖1）?，F(xiàn)在我們需要將“B3單元格中的數(shù)據(jù)”除以“B2中的數(shù)據(jù)”所得的商填入B4中。先選中B4單元格，并單擊“＝”；再單擊B3單元格，鍵入“/”，單擊B2單元格；最后單擊“確定”或按回車鍵，計算結果就出現(xiàn)在B4單元格中（圖2）。圖2接下來就無需在每次計算時輸入公式了，只需將鼠標指針指向B4單元格的右下角，其形狀將變成黑色十字（＋），按住鼠標左鍵向右托拽至Q4，松開鼠標后，在選中的單元格中將出現(xiàn)我們希望得到的計算結果。我們已經(jīng)知道，選中數(shù)據(jù)，利用“圖表向導”就能繪制統(tǒng)計圖，但是如果你接下去選擇了“折線圖”，卻往往得不到想要的統(tǒng)計圖。這是為什么呢？因為在這個軟件中“折線圖”的橫坐標通常是事先按1，2，3，……均勻地設定好的。當我們想根據(jù)需要的橫坐標、縱坐標畫出相應的折線圖時，可以在標準類型中選擇“散點圖”（圖3、4）。圖3圖4嘗試一下，相信你會越來越多地發(fā)現(xiàn)計算機帶給我們的便利。小結一、知識框圖事件事件確定的事件不確定的事件必然事件不可能事件機會的均等與不等頻率會趨于穩(wěn)定用平穩(wěn)時的頻率估計機會的大小公平的游戲不公平的游戲二、概述本章學習分三步走．首先，學會區(qū)分確定的現(xiàn)象和不確定的現(xiàn)象，會判斷、例舉不可能事件、必然事件和不確定事件．特別要注意在不能確定的情況下，要使用“可能”這個詞。然后，通過游戲，體會機會有時是均等分配的，有時卻不是，有的隨機時間發(fā)生的機會大于50％，有的則小于50％。最后，通過記錄實驗數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)隨機事件發(fā)生的頻率隨實驗次數(shù)增大有趨于穩(wěn)定的特點，于是，就用穩(wěn)定的頻率來估計隨機事件發(fā)生的機會的大小。三、注意事項實驗前同學們要在老師的組織下做好實驗準備工作，如討論如何記錄數(shù)據(jù)、小組成員如何分工等等，保證實驗有序地展開。為了得到大數(shù)次的實驗結果，建議依靠集體的力量，把每個同學的數(shù)據(jù)匯集起來，但是為了保證實驗盡可能在相同的條件下進行，實驗開始前，同學們有必要先規(guī)定實驗用的器材、拋硬幣的方式等等細節(jié)。用穩(wěn)定的頻率估計機會的大小，得到的可能只是近似值，但比主觀猜想可靠，在我們不知道如何計算機會大小的情況下，這是一個非常有效的求機會大小的方法。這里的說理依賴于數(shù)據(jù)，所以一定要真實地記錄數(shù)據(jù)，養(yǎng)成崇尚科學的良好品