2018-2019學(xué)年江蘇省淮安市高中校協(xié)作體高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）

第1頁（共1頁）2018-2019學(xué)年江蘇省淮安市高中校協(xié)作體高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上）1．（5分）已知，則z＝2．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模為．3．（5分）甲、乙、丙、丁四人站成一排，甲不站在排尾的站法共有種．（用數(shù)字作答）4．（5分）的二項(xiàng)展開式中x3的系數(shù)為．5．（5分）設(shè)（2x+1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，則a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝．6．（5分）由①正方形的對角線相等；②矩形的對角線相等；③正方形是矩形．寫一個(gè)“三段論”形式的推理，則作為大前提、小前提和結(jié)論的依次為（寫序號）．7．（5分）用數(shù)學(xué)歸納法證明“，第一步，左邊是8．（5分）用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n?1?3…（2n﹣1）（n∈N*）時(shí)，從“n＝k”到“n＝k+1”的證明，左邊需增添的代數(shù)式是．9．（5分）已知平面α，β，且α∥β，若＝（1，λ，2），＝（﹣3，6，﹣6）分別是兩個(gè)平面α，β的法向量，則實(shí)數(shù)λ的值為．10．（5分）已知＝（2，﹣1，2），＝（﹣1，3，﹣3），＝（13，6，λ），若向量，共面，則λ＝．11．（5分）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若由向量確定的點(diǎn)P與A，B，C共面，那么λ＝．12．（5分）若＝（1，λ，2），＝（2，﹣1，1），與的夾角為60°，則λ的值為．13．（5分）已知數(shù)列{an}滿足，通過計(jì)算a1，a2，a3，a4可猜想an＝．14．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，（n∈N*，n≥2），令，類比課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得＝．二、解答題：（本大題共6小題，共計(jì)90分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，并請將答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上.）15．（14分）已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z＝1﹣3i（i是虛數(shù)單位）（1）求復(fù)數(shù)z的虛部；（2）若復(fù)數(shù)（1+ai）z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；（3）若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，求復(fù)數(shù)的模．16．（14分）（1）已知x，y∈（0，+∞），且x+y＞2，求證：與中至少有一個(gè)小于2；（2）設(shè)a＞0，b＞0，且a+b＝10，求證：17．（14分）先解答（1），再通過結(jié)構(gòu)類比解答（2）：（1）求證：；（2）已知函數(shù)f（x）滿足（x∈R），試問：f（x）是周期函數(shù)嗎？證明你的結(jié)論．18．（16分）已知四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M是PB的中點(diǎn)．（1）求AC與PB所成的角余弦值；（2）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．19．（16分）（1）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）若的展開式中x3的系數(shù)是﹣84，求a的值；（3）求證：9n+1﹣8n﹣9能被64整除（n∈N*）．20．（16分）觀察下列各不等式：1+＜，1++＜，1+++＜，1++++＜，…（1）由上述不等式，歸納出一個(gè)與正整數(shù)n（n≥2）有關(guān)的一般性結(jié)論；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你得到是結(jié)論．

2018-2019學(xué)年江蘇省淮安市高中校協(xié)作體高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上）1．（5分）已知，則z＝﹣i【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義求解即可．【解答】解：∵，∴＝＝i，∴z＝﹣i，故答案為：﹣i．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)，屬基礎(chǔ)題．2．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模為．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【解答】解：∵z＝＝，∴復(fù)數(shù)z的模為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．3．（5分）甲、乙、丙、丁四人站成一排，甲不站在排尾的站法共有18種．（用數(shù)字作答）【分析】先從其余的3個(gè)人中選一個(gè)安排在排尾，有3種方法，其余的人任意排在其余的3個(gè)位上，方法有種，再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果．【解答】解：甲、乙、丙、丁四人站成一排，甲不站在排尾，則先從其余的3個(gè)人中選一個(gè)安排在排尾，有3種方法，其余的人任意排在其余的3個(gè)位上，方法有＝6種．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，甲不站在排尾的站法共有3×6＝18種，故答案為18．【點(diǎn)評】本題主要考查排列組合、兩個(gè)基本原理的實(shí)際應(yīng)用，注意特殊位置和特殊元素要優(yōu)先排列，屬于中檔題．4．（5分）的二項(xiàng)展開式中x3的系數(shù)為．【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式寫出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為3求出展開式中x3的系數(shù)．【解答】解：設(shè)求的項(xiàng)為Tr+1＝C5r（x）5﹣r＝C5rx5﹣r今r＝2，∴T3＝C52x3＝x3．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的工具．5．（5分）設(shè)（2x+1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，則a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝1．【分析】根據(jù)所給的等式，給變量賦值，當(dāng)x為﹣1時(shí)，即可得到所求的值．【解答】解：∵（2x+1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，令x＝﹣1，則（﹣1）4＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝1故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理的性質(zhì)，考查的是給變量賦值的問題，結(jié)合要求的結(jié)果，觀察所賦得值，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）由①正方形的對角線相等；②矩形的對角線相等；③正方形是矩形．寫一個(gè)“三段論”形式的推理，則作為大前提、小前提和結(jié)論的依次為②③①（寫序號）．【分析】由題意，根據(jù)三段論的形式“大前提，小前提，結(jié)論”直接寫出答案即可【解答】解：用三段論的形式寫出的演繹推理是：大前提②矩形的對角線相等，小前提③正方形是矩形，結(jié)論①正方形的對角線相等，故答案為：②③①【點(diǎn)評】本題考查演繹推理﹣﹣三段論，解題的關(guān)鍵是理解三段論的形式，本題是基礎(chǔ)概念考查題．7．（5分）用數(shù)學(xué)歸納法證明“，第一步，左邊是【分析】由不等式的特點(diǎn)，左邊第一項(xiàng)的分母為n+1，最后一項(xiàng)分母為3n+1，可得n＝1的左邊．【解答】解：由數(shù)學(xué)歸納法可得n＝1時(shí)，不等式的左邊為++，故答案為：++．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的步驟，考查分析能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n?1?3…（2n﹣1）（n∈N*）時(shí)，從“n＝k”到“n＝k+1”的證明，左邊需增添的代數(shù)式是2（2k+1）．【分析】分別求出n＝k時(shí)左邊的式子，n＝k+1時(shí)左邊的式子，用n＝k+1時(shí)左邊的式子，除以n＝k時(shí)左邊的式子，即得所求．【解答】解：當(dāng)n＝k時(shí)，左邊等于（k+1）（k+2）…（k+k）＝（k+1）（k+2）…（2k），當(dāng)n＝k+1時(shí)，左邊等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故從“k”到“k+1”的證明，左邊需增添的代數(shù)式是＝2（2k+1），故答案為2（2k+1）．【點(diǎn)評】本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，用n＝k+1時(shí)，左邊的式子除以n＝k時(shí)，左邊的式子，即得所求．9．（5分）已知平面α，β，且α∥β，若＝（1，λ，2），＝（﹣3，6，﹣6）分別是兩個(gè)平面α，β的法向量，則實(shí)數(shù)λ的值為﹣2．【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理、向量共線定理即可得出．【解答】解：∵α∥β，＝（1，λ，2），＝（﹣3，6，﹣6）分別是兩個(gè)平面α，β的法向量，∴，∴存在實(shí)數(shù)k使得，∴，解得，λ＝﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評】本題考查了面面平行的性質(zhì)定理、向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）已知＝（2，﹣1，2），＝（﹣1，3，﹣3），＝（13，6，λ），若向量，共面，則λ＝3．【分析】由于向量，共面，利用向量共面定理可得：存在唯一一對實(shí)數(shù)m，n使得，解出即可．【解答】解：∵向量，共面，∴存在唯一一對實(shí)數(shù)m，n使得，∴，解得．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查了向量共面定理，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若由向量確定的點(diǎn)P與A，B，C共面，那么λ＝．【分析】由題意，可由四點(diǎn)共面的向量表示的條件對四個(gè)條件進(jìn)行判斷，判斷標(biāo)準(zhǔn)是驗(yàn)證三個(gè)向量的系數(shù)和是否為1，若為1則說明四點(diǎn)M，A，B，C一定共面，由此規(guī)則即可找出正確的條件．【解答】解：由題意A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O是平面ABC外一點(diǎn)，若由向量確定的點(diǎn)P與A，B，C共面，∴解得λ＝故答案為：【點(diǎn)評】本題考查平面向量的基本定理，利用向量判斷四點(diǎn)共面的條件，解題的關(guān)鍵是熟練記憶四點(diǎn)共面的條件，利用它對四個(gè)條件進(jìn)行判斷得出正確答案，本題考查向量的基本概念，要熟練記憶．12．（5分）若＝（1，λ，2），＝（2，﹣1，1），與的夾角為60°，則λ的值為﹣17或1．【分析】利用空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求得cos60°＝＝＝，從而可求得λ的值．【解答】解：∵＝（1，λ，2），＝（2，﹣1，1），∴||＝，||＝，?＝4﹣λ，又與的夾角為60°，∴cos60°＝＝＝，解得：λ＝﹣17或1．故答案為：﹣17或1【點(diǎn)評】本題考查空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，熟練掌握空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式是關(guān)鍵，屬于中檔題．13．（5分）已知數(shù)列{an}滿足，通過計(jì)算a1，a2，a3，a4可猜想an＝．【分析】由已知中數(shù)列{an}滿足，通過計(jì)算a2，a3，a4，分析分子分母的變化規(guī)律，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足，當(dāng)n＝1時(shí)，＝，當(dāng)n＝2時(shí)，＝，當(dāng)n＝1時(shí)，＝，…歸納可得：an＝．故答案為：【點(diǎn)評】歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．14．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，（n∈N*，n≥2），令，類比課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得＝n+2．【分析】本題先要對題干中公式進(jìn)行變形，然后針對Tn的算式類比課本中推導(dǎo)類比課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的錯(cuò)位相減方法采用錯(cuò)位相加的方法即可得出結(jié)果．【解答】解：由題意，可知：∵（n∈N*，n≥2），∴（an﹣1+an）?3n＝1，（n∈N*，n≥2）．∵，∴3Tn＝a1?32+a2?33+…+an﹣2?3n﹣1+an﹣1?3n+an?3n+1．兩式錯(cuò)位相加，可得：4Tn＝a1?3+（a1+a2）?32+（a2+a3）?33+…+（an﹣2+an﹣1）?3n﹣1+（an﹣1+an）?3n+an?3n+1．＝1?3+1+1+…+1+1+an?3n+1．＝3+1×（n﹣1）+an?3n+1．＝n+2+an?3n+1．∴4Tn﹣an?3n+1＝n+2．故答案為：n+2．【點(diǎn)評】本題主要考查類比求等比類比課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的錯(cuò)位相減方法采用錯(cuò)位相加的方法．本題屬中檔題．二、解答題：（本大題共6小題，共計(jì)90分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，并請將答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上.）15．（14分）已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z＝1﹣3i（i是虛數(shù)單位）（1）求復(fù)數(shù)z的虛部；（2）若復(fù)數(shù)（1+ai）z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；（3）若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，求復(fù)數(shù)的模．【分析】（1）由（1+i）z＝1﹣3i，得，然后由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z得答案；（2）把復(fù)數(shù)z代入（1+ai）z化簡，再由已知條件列出方程組，求解可得答案；（3）由復(fù)數(shù)z求出，然后代入復(fù)數(shù)化簡，再由復(fù)數(shù)求模公式計(jì)算得答案．【解答】解：（1）由（1+i）z＝1﹣3i，得＝，∴復(fù)數(shù)z的虛部為：﹣2；（2）（1+ai）z＝（1+ai）（﹣1﹣2i）＝2a﹣1﹣（2+a）i，∵復(fù)數(shù)（1+ai）z是純虛數(shù)，∴，解得a＝．∴實(shí)數(shù)a的值為：；（3）由z＝﹣1﹣2i，得．則＝＝，∴|z|＝．∴復(fù)數(shù)的模為：．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是中檔題．16．（14分）（1）已知x，y∈（0，+∞），且x+y＞2，求證：與中至少有一個(gè)小于2；（2）設(shè)a＞0，b＞0，且a+b＝10，求證：【分析】（1）利用反正法假設(shè)假設(shè)與都不小于2，然后推出矛盾結(jié)論即可；（2）利用分析法證明不等式即可；【解答】證明：（1）（反證法）假設(shè)與都不小于2，即，，又x，y∈（0，+∞），∴1+x≥2y，1+y≥2x，將兩式相加得：2+x+y≥2x+2y，即x+y≤2，這與已知x+y＞2矛盾，故與中至少有一個(gè)小于2；（2）∵a＞0，b＞0，∴要證，只要證，即證，又a+b＝10∴只要證，即證（1+3a）（1+3b）≤256，即證ab≤25，∵a＞0，b＞0，∴，∴ab≤25成立，∴．【點(diǎn)評】本題考查了利用分析法和反正法證明不等式，屬中檔題．17．（14分）先解答（1），再通過結(jié)構(gòu)類比解答（2）：（1）求證：；（2）已知函數(shù)f（x）滿足（x∈R），試問：f（x）是周期函數(shù)嗎？證明你的結(jié)論．【分析】本題第（1）題可直接用兩角差的正切公式來進(jìn)行計(jì)算即可證明；本題第（2）題證明周期性可用迭代的方法，對于公式（x∈R），可用x+1代替等式中的x，得到一個(gè)等式，再用x+2代替得到的等式，即可證明出f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．【解答】（1）證明：由題意，可知：．（2）結(jié)論：f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．證明如下：證明：由題意，可知：∵函數(shù)f（x）滿足（x∈R），∴可用x+1代替等式中的x，得：，再用x+2代替上式中的x，得，，∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．【點(diǎn)評】本題第（1）題主要考查利用兩角差的正切公式來進(jìn)行計(jì)算；本題第（2）題主要考查采用迭代的方法來證明周期性．本題屬中檔題．18．（16分）已知四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M是PB的中點(diǎn)．（1）求AC與PB所成的角余弦值；（2）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．【分析】由“PA⊥底面ABCD，且∠DAB＝90°”可知，此題建立空間直角坐標(biāo)系相當(dāng)方便．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD長為單位長度，分別以AD、AB、AP為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算各題．（1）利用余弦定理可知：．所以，AC與PB所成的角余弦值為．（2）在MC上取一點(diǎn)N（x，y，z），要使AN⊥MC，只需，所以N點(diǎn)坐標(biāo)為，∠ANB為所求二面角A﹣MC﹣B的平面角，則，所以所求二面角的余弦值為．另解：可以計(jì)算兩個(gè)平面的法向量分別為：平面AMC的法向量，平面BMC的法向量為，＝，所求二面角A﹣MC﹣B的余弦值為﹣．【解答】證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）解：因，故，所以．所以，AC與PB所成的角余弦值為．（2）解：在MC上取一點(diǎn)N（x，y，z），則存在使，，∴．要使AN⊥MC，只需即，解得．可知當(dāng)時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為，能使．此時(shí)，，有，由得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB為所求二面角A﹣MC﹣B的平面角．∵．∴．故所求的二面角的余弦值為．【點(diǎn)評】本小題考查空間中的異面直線所成的角、二面角、解三角形等基礎(chǔ)知識考查空間想象能力和思維能力．19．（16分）（1）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）若的展開式中x3的系數(shù)是﹣84，求a的值；（3）求證：9n+1﹣8n﹣9能被64整除（n∈N*）．【分析】（1）在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)．（2）在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于3，求出r的值，即可求得x3的系數(shù)．（3）把9n+1﹣8n﹣9利用二項(xiàng)式定理化為9（8n+?8n﹣1+?8n﹣2+…+?82）+64，即可證得結(jié)論．【解答】解（1）求的展開式的通項(xiàng)公式為，令18﹣3r＝0，得r＝6，即第7項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，T7＝?＝．（2）的展開