基于lmi的魯棒控制理論

基于LMI（線性矩陣不等式）

的魯棒控制器設(shè)計(jì)7.0引言7.1奇異值、H2和H∞范數(shù)7.2Ｈ∞優(yōu)化與魯棒控制7.3標(biāo)準(zhǔn)Ｈ∞控制7.6線性矩陣不等式7.7永磁同步電動(dòng)機(jī)的魯棒控制控制領(lǐng)域發(fā)展現(xiàn)狀控制理論發(fā)展現(xiàn)代控制理論自20世紀(jì)50年代，現(xiàn)代控制理論飛速發(fā)展，在隨后應(yīng)用中（1）描述物理系統(tǒng)的解析模型復(fù)雜（2）模型不能精確刻畫對(duì)于此類復(fù)雜的不確定性系統(tǒng)的分析與綜合，引出一個(gè)全新的領(lǐng)域：不確定性系統(tǒng)的魯棒性能分析與綜合問題。它是近20年以來(lái)，國(guó)際自動(dòng)控制界最活躍的研究領(lǐng)域之一。提出諸如H無(wú)窮，H2,u方法等全新的結(jié)果。經(jīng)典控制理論魯棒性(Robustness)

所謂魯棒性，是指標(biāo)稱系統(tǒng)所具有的某一種性能品質(zhì)對(duì)于具有不確定性的系統(tǒng)集的所有成員均成立。如果所關(guān)心的是系統(tǒng)的穩(wěn)定性，那么就稱該系統(tǒng)具有魯棒穩(wěn)定性；如果所關(guān)心的是用干擾抑制性能或用其他性能準(zhǔn)則來(lái)描述的品質(zhì)，那么就稱該系統(tǒng)具有魯棒性能。系統(tǒng)的不確定性

參數(shù)不確定性，如二階系統(tǒng)：可以代表帶阻尼的彈簧裝置，RLC電路等。這種不確定性通常不會(huì)改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和階次。動(dòng)態(tài)不確定性也稱未建模動(dòng)態(tài)，我們通常并不知道它的結(jié)構(gòu)、階次，但可以通過頻響實(shí)驗(yàn)測(cè)出其幅值界限：加性不確定性：乘性不確定性：一個(gè)例子

設(shè)汽車質(zhì)量為M,路面摩擦系數(shù)為，汽車的力學(xué)模型如下圖所示：

其運(yùn)動(dòng)方程為：如果考慮到汽車的質(zhì)量M隨車載負(fù)荷發(fā)生變化，且也隨路面狀況不同而變化，則方程的系數(shù)就具有一定的不確定性，即，無(wú)法得到M和的精確值。假設(shè)M和的取值范圍給定如下：

Mvfv那么實(shí)際的被控對(duì)象就可以描述為如果用f到v的傳遞函數(shù)來(lái)描述，則有其中可以找到適當(dāng)?shù)慕绾瘮?shù)

魯棒控制理論是分析和處理具有不確定性系統(tǒng)的控制理論，包括兩大類問題：魯棒性分析及魯棒性綜合問題。魯棒性分析是根據(jù)給定的標(biāo)稱系統(tǒng)和不確定性集合，找出保證系統(tǒng)魯棒性所需的條件；而魯棒性綜合（魯棒控制器設(shè)計(jì)問題）就是根據(jù)給定的標(biāo)稱模型和不確定性集合，基于魯棒性分析得到的結(jié)果來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足期望的性能要求。主要的魯棒控制理論有：

H控制理論；結(jié)構(gòu)奇異值理論(理論)；

H2/H混合控制理論等。魯棒控制發(fā)展現(xiàn)狀求解方法存在問題克服Riccati缺陷Lyapunov

控制問題轉(zhuǎn)化求解提前設(shè)定參數(shù)控制問題轉(zhuǎn)化求解Matlab工具包Riccati方程（早期）LMI(20世紀(jì)90年代)在時(shí)域中研究此類魯棒不確定性問題，主要理論基礎(chǔ)是Lyapunov穩(wěn)定性理論魯棒控制發(fā)展現(xiàn)狀Riccati方程處理方法

20C90Y之前,絕大多數(shù)的控制問題都是通過Riccat方程或其不等式的方法來(lái)解決的。但是解Riccati方程或其不等式時(shí),有大量的參數(shù)和正定對(duì)稱矩陣需要預(yù)先調(diào)整。有時(shí),即使問題本身是有解的,也找不出問題的解。這給實(shí)際應(yīng)用問題的解決帶來(lái)極大不便,具有很大的保守性LinearMatrixInequality處理方法

線性矩陣不等式方法給出了問題可解的一個(gè)凸約束條件,因此,可以應(yīng)用求解凸優(yōu)化問題的有效方法來(lái)進(jìn)行求解,不需要預(yù)先調(diào)整任何參數(shù)和正定對(duì)稱矩陣,大大降低了間題求解的保守性和方便性。LinearMatrixInequalityLMI在控制領(lǐng)域的應(yīng)用7.1奇異值、H2和H∞范數(shù)假設(shè)矩陣A∈Cm×n的秩為r,將ATA的特征值的非負(fù)方根σi稱為矩陣A的奇異值,其排列次序?yàn)棣?≥σ2≥…≥σp,p=min(m,n)。如果r＜p,則矩陣A具有p-r個(gè)零奇異值,即對(duì)于任何矩陣A,有(7.1.1)其中，Σr=diag(σ1,σ2,…,σr)。式（7.1.1）稱為矩陣A的奇異值分解（SVD）,其中A的最大奇異值定義為如果矩陣A是n×n的方陣,則它的第n個(gè)奇異值,也就是最小奇異值，定義為奇異值通常具有以下的性質(zhì)這里的λi代表矩陣A的第i個(gè)特征值。(7.1.2)(7.1.3)屬性1在魯棒控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中很重要。因?yàn)樵搶傩苑从沉司仃嘇的最大奇異值與輸入向量x在所有可能方向上的矩陣增益的最大值之間的關(guān)系。如果如果存在存在H控制理論提出的背景加拿大學(xué)者Zames在1981年提出了著名的H控制思想?？紤]如下一個(gè)單輸入單輸出系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題：對(duì)于屬于一個(gè)有限能量的干擾信號(hào)集合，設(shè)計(jì)一個(gè)控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且干擾對(duì)系統(tǒng)期望輸出影響最小。由于傳遞函數(shù)的H范數(shù)可描述有限輸入能量到輸出能量的最大增益，所以用表示上述影響的傳遞函數(shù)的H范數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，就可使具有有限功率譜的干擾對(duì)系統(tǒng)期望輸出的影響最小。7.2Ｈ∞優(yōu)化與魯棒控制對(duì)于反饋系統(tǒng)如果P(s)具有誤差，那么相應(yīng)地開環(huán)和閉環(huán)頻率特性也具有誤差其中K(s)為控制器，w為干擾信號(hào)，r為參考輸入，u為控制輸入，e為控制誤差信號(hào)，y為輸出信號(hào)。系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)頻率特性為-ryP(s)kK(s)ewu其中體現(xiàn)了開環(huán)特性的相對(duì)偏差到閉環(huán)頻率特性的增益，因此，如果我們?cè)谠O(shè)計(jì)控制器K時(shí)，能夠使S的增益足夠小，即分別為開環(huán)和閉環(huán)頻率特性的標(biāo)稱函數(shù)，簡(jiǎn)單的推導(dǎo)可得而傳遞函數(shù)那么閉環(huán)特性的偏差將會(huì)抑制在工程允許的范圍內(nèi)。傳遞函數(shù)S(s)稱為系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)。實(shí)際上S(s)還等于干擾w到輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)，因此減小S(s)的增益就等價(jià)于減小干擾對(duì)控制誤差的影響。引入定義其中表示最大奇異值，即H控制問題即為對(duì)于給定的>0，設(shè)計(jì)控制器K使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且滿足H理論中考慮干擾信號(hào)是不確定的，而是屬于一個(gè)可描述集L2中包含的是能量有限的信號(hào)?？紤]抑制干擾wL2對(duì)系統(tǒng)性能的影響，為此引入表示干擾抑制水準(zhǔn)的標(biāo)量，求控制器K使得滿足z為輸出信號(hào)。定義其中Tzw(s)為由w至z的閉環(huán)傳遞函數(shù)，則上式等價(jià)于求使最小的控制器K就是H最優(yōu)設(shè)計(jì)問題。7.3標(biāo)準(zhǔn)Ｈ∞控制7.6

線性矩陣不等式

7.6.1線性矩陣不等式的一般表示一個(gè)線性矩陣不等式是具有形式7.6.2可轉(zhuǎn)化成線性矩陣不等式表示的問題的可行性問題，而后者是一個(gè)關(guān)于矩陣變量P的線性矩陣不等式。7.6.3一些標(biāo)準(zhǔn)的線性矩陣不等式問題

7.6.4LMI工具箱介紹

線性矩陣不等式（LMI）工具箱是求解一般線性矩陣不等式問題的一個(gè)高性能軟件包。由于其面向結(jié)構(gòu)的線性矩陣不等式表示方式,使得各種線性矩陣不等式能夠以自然塊矩陣的的形式加以描述。一個(gè)線性矩陣不等式問題一旦確定，就可以通過調(diào)用適當(dāng)?shù)木€性矩陣不等式求解器來(lái)對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行數(shù)值求解。LMI工具箱提供了確定、處理和數(shù)值求解線性矩陣不等式的一些工具，它們主要用于： ●以自然塊矩陣形式來(lái)直接描述線性矩陣不等式； ●獲取關(guān)于現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)的信息； ●修改現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)； ●求解3個(gè)一般的線性矩陣不等式問題； ●驗(yàn)證結(jié)果。7.6.4.1線性矩陣不等式及相關(guān)術(shù)語(yǔ)

考慮H∞控制中的一個(gè)線性矩陣不等式：三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)問題：7.6.4.2線性矩陣不等式的確定

LMI工具箱可以處理具有以下一般形式的線性矩陣不等式。NTL（X1，…，Xk）N<MTR（X1，…，XK）M其中：X1…，XK是具有一定結(jié)構(gòu)的矩陣變量，左、右外因子N和M是具有相同維數(shù)的給定矩陣，左、右內(nèi)因子L（﹒）和R（﹒）是具有相同塊結(jié)構(gòu)的對(duì)稱塊矩陣。注意，在線性矩陣不等式的描述中，左邊總是指不等式較小的一邊，例如對(duì)線性矩陣不等式X>0，X稱為是不等式的右邊，0稱為是不等式的左邊，常表示成0<X。要確定一個(gè)線性矩陣不等式系統(tǒng)，需要做以下兩步：給出每個(gè)矩陣變量X1，…，XK的維數(shù)和結(jié)構(gòu)；描述每一個(gè)線性矩陣不等式中各個(gè)項(xiàng)的內(nèi)容。這個(gè)過程產(chǎn)生所描述線性矩陣不等式系統(tǒng)的一個(gè)內(nèi)部表示，它以一個(gè)單一向量的形式儲(chǔ)存在計(jì)算機(jī)內(nèi)，通常用一個(gè)名字例如lmisys來(lái)表示。該內(nèi)部表示lmisys可以在后面處理這個(gè)線性矩陣不等式時(shí)調(diào)用。下面將通過LMI工具箱中的一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明線性矩陣不等式系統(tǒng)的確定。用命令lmivar和lmiterm給出線性矩陣不等式系統(tǒng)（A.2.3）~（A.2.5）的內(nèi)部描述如下：setlmis([])X=lmivar(1,[61])S=lmivar(1,[20;21])﹪lstLMIlmiterm([111x],1,A,’s’)lmiterm([111s],c’,c)lmiterm([112x],1,B)lmiterm([122s],-1,1)﹪2ndLMIlmiterm([-211X],1,1)﹪3rdLMIlmiterm([-311s],1,1)lmiterm([3110],1)lmisys=getlmis其中：函數(shù)lmivar定義了兩個(gè)矩陣變量X和S，lmiterm則描述了每一個(gè)線性矩陣不等式中各項(xiàng)的內(nèi)容。getlmis回到了這個(gè)線性矩陣不等式系統(tǒng)的內(nèi)部表示lmisys，lmisys也稱為是儲(chǔ)存在機(jī)器內(nèi)部的線性矩陣不等式系統(tǒng)的名稱。以下將詳細(xì)介紹這幾個(gè)函數(shù)的功能和用法。setlmis和getlmis一個(gè)線性矩陣不等式系統(tǒng)的描述以setlmis開始，以getlmis結(jié)束。當(dāng)要確定一個(gè)新的系統(tǒng)時(shí)，輸入：setlmis([])如果需要將一個(gè)線性矩陣不等式添加到一個(gè)名為lmiso的現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)中,則輸入:setlmis(lmiso)

當(dāng)線性矩陣不等式系統(tǒng)被完全確定好后，輸入：lmisys=getlmis該命令返回這個(gè)線性矩陣不等式系統(tǒng)的內(nèi)部表示lmisys。lmivar函數(shù)lmivar用來(lái)描述出現(xiàn)在線性矩陣不等式系統(tǒng)中的矩陣變量，每一次只能描述一個(gè)矩陣變量。矩陣變量的描述包括該矩陣變量的結(jié)構(gòu)。該函數(shù)的一般表達(dá)是：X=lmivar(type,struct)這一函數(shù)定義了一個(gè)新的矩陣變量X。函數(shù)中的第一個(gè)輸入量type確定了矩陣變量X的類型，第二個(gè)輸入量struct進(jìn)一步根據(jù)變量X的類型給出該變量的結(jié)構(gòu)。變量的類型分成三類：在確定了矩陣變量之后，還需要確定每一個(gè)線性矩陣不等式中各項(xiàng)的內(nèi)容。線性矩陣不等式的項(xiàng)指構(gòu)成這個(gè)線性矩陣不等式的塊矩陣中的求和項(xiàng)。這些項(xiàng)可以分成三類：常數(shù)項(xiàng)；變量項(xiàng)，即包含了矩陣變量的項(xiàng)，例如（A.1.3）式中的ATX和CTSC。一般的變量項(xiàng)具有形式PXQ，其中的X是一個(gè)變量，P和Q是給定的矩陣，分別稱為該變量項(xiàng)的左系數(shù)和右系數(shù)；外因子：在描述一個(gè)具有多個(gè)塊的線性矩陣不等式時(shí)，LMI工具箱提供了這樣的功能，即只需要確定對(duì)角線上和對(duì)角線上方的項(xiàng)的內(nèi)容，或者只描述對(duì)角線上和對(duì)角線下方的項(xiàng)的內(nèi)容，其他部分項(xiàng)的內(nèi)容可以根據(jù)線性矩陣不等式的對(duì)稱性得到。這些命令依次描述了項(xiàng)ATX+XA、CTSC、XB和-S。在每一條命令中，第1項(xiàng)是一個(gè)4元向量，它刻畫了所描述的項(xiàng)所在的位置和特征，其中：第1個(gè)元表示所描述的項(xiàng)屬于哪一個(gè)線性矩陣不等式。值m表示第m個(gè)不等式的左邊，-m表示第m個(gè)不等式的右邊。第2和第3個(gè)元表示所描述的項(xiàng)所在塊的位置。例如，向量[1121]表示所描述的項(xiàng)位于第一個(gè)線性矩陣不等式左邊內(nèi)因了的塊（1，2）中。第2和第3個(gè)元均取零表示所描述的項(xiàng)在外因子中。最后一個(gè)元表明了所描述的項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)還是變量項(xiàng)。如果是變量項(xiàng)，則進(jìn)一步說(shuō)明涉及哪一個(gè)變量。0表示常數(shù)項(xiàng)，k表示所描述的項(xiàng)包含第k個(gè)矩陣變量Xk，-k則表示包含矩陣變量Xk的轉(zhuǎn)置（在例1中，X是第1個(gè)變量，S是第2個(gè)變量，它們按確定的先后順序排列）。lmiterm的第2項(xiàng)和第3項(xiàng)包含了數(shù)據(jù)（常數(shù)項(xiàng)的值，外因子，變量項(xiàng)PXQ或PXTQ中的左、右系數(shù)）。第4項(xiàng)是可選擇的，且只能是’s’。在描述項(xiàng)的內(nèi)容時(shí)，有一些簡(jiǎn)化的方法。零塊可以省略描述。可以通過在命令lmiterm中外加一個(gè)分量’s’，使得可以只用一條命令lmiterm就能描述一個(gè)變量項(xiàng)與該變量項(xiàng)的轉(zhuǎn)置的和。例如，上面的第一條命令描述了ATX+XA?？梢杂靡粋€(gè)標(biāo)量值來(lái)表示一個(gè)數(shù)量矩陣，即用α表示數(shù)量矩陣αI，其中α是一個(gè)標(biāo)量。如例1中的第3個(gè)不等式S>I被描述成 lmiterm([-311S],1,1) lmiterm([3110],1)7.6.4.3線性矩陣不等式求解器

LMI工具箱提供了用于求解以下三個(gè)問題的線性矩陣不等式求解器（其中x表示決策變量向量，即矩陣變量X1…，Xk中的獨(dú)立變?cè)獦?gòu)成的向量）。1.可行性問題尋找一個(gè)x∈RN(或等價(jià)的：具有給定結(jié)構(gòu)的矩陣X1…，Xk)，使得滿足線性矩陣不等式系統(tǒng)A（x）<B(x)相應(yīng)的求解器是feasp。feasp求解器feasp的一般表達(dá)式如下：[tmin,xfeas]=feasp(lmisys,options,target)求解器feasp是通過求解如下的一個(gè)輔助凸優(yōu)化問題mints.t.A(x)-B(x)≤tI來(lái)求解線性矩陣不等式系統(tǒng)lmisys的可行性問題。這個(gè)凸優(yōu)化問題的全局最優(yōu)值用tmin表示，作為求解器feasp輸出的第一個(gè)分量。如果tmin<0，則系統(tǒng)lmisys是可行的。當(dāng)系統(tǒng)lmisys為可行時(shí)，求解器feasp輸出的第二個(gè)分量xfeas給出了該線性矩陣不等式系統(tǒng)決策變量的一個(gè)可行解。進(jìn)而，應(yīng)用dec2mat可以得到系統(tǒng)lmisys矩陣變量的一個(gè)可行解。options(4)：該項(xiàng)參數(shù)用于加快迭代過程的結(jié)束，它提供了反映優(yōu)化過程中迭代速度和解的精度之間的一個(gè)折衷指標(biāo)。當(dāng)該參數(shù)取值為一個(gè)正整數(shù)J時(shí)，表示在最后的J次迭代中，如果每次迭代后t的減小幅度不超過1%，則優(yōu)化迭代過程就停止。該參數(shù)的默認(rèn)值是10。●options(5)：options(5)=1表示不顯示迭代過程中的數(shù)據(jù)，options(5)=0（默認(rèn)值）則相反。將options(i)設(shè)置為零相當(dāng)于將相應(yīng)的控制參數(shù)設(shè)置為默認(rèn)值，也可以通過忽略該輸入變量來(lái)接受默認(rèn)值。在求解這個(gè)可行性問題的過程中，也可以附加一些約束，例如，要求矩陣P的Frobenius范數(shù)不超過10，且tmin≤-1。可以通過調(diào)用[tmin,xfeas]=feasp(lmis,[0,0,10,0,0],-1)來(lái)滿足這些附加要求。相應(yīng)的結(jié)果是tmin=-1.1745，相應(yīng)的矩陣P的最大特征值是λmax(P)=9.6912。求解器mincx的一般表達(dá)式如下：

[copt,xopt]=mincx(lmisys,c,options,xinit,target)問題中的線性矩陣不等式系統(tǒng)由lmisys表示，向量C和決策變量向量x有相同的維數(shù)。對(duì)于由矩陣變量表示的線性目標(biāo)函數(shù)，可以應(yīng)用函數(shù)defcx來(lái)得到適當(dāng)?shù)南蛄緾。函數(shù)mincx返回到目標(biāo)函數(shù)cTx的全局最優(yōu)值copt和決策變量的最優(yōu)解xopt，相應(yīng)的矩陣變量的最優(yōu)解可以應(yīng)用函數(shù)dec2mat從xopt得到。函數(shù)mincx的輸入量中除lmisys和c以外，其他的輸入是可選擇的。xinit是最優(yōu)解xopt的一個(gè)初始猜測(cè)（可以從矩陣變量X1，…，Xk的給定值，通過使用mat2dec來(lái)導(dǎo)出xinit）。當(dāng)輸入的xinit不是一個(gè)可行解時(shí)，它將被忽略；否則，則有可能加快問題求解的過程。target是目標(biāo)函數(shù)的一個(gè)設(shè)定目標(biāo)，只要某個(gè)可行的x滿足cTx≤target，求解過程就停止。options是一個(gè)5維向量，用來(lái)描述優(yōu)化迭代過程中的一些控制參數(shù)：●opitons(1)：該參數(shù)確定了最優(yōu)值copt所要求的精度（默認(rèn)值是10-2）●opitons(2)：該參數(shù)設(shè)定優(yōu)化迭代過程中允許的最大迭代次數(shù)（默認(rèn)值是100）?！駉pitons(3)：該參數(shù)設(shè)定了可行域的半徑。與求解器feasp中的相應(yīng)參數(shù)相同?！駉pitons(4)：該參數(shù)用于加快迭代過程的結(jié)束。當(dāng)該參數(shù)取值為一個(gè)正整數(shù)J時(shí)，表示在最后的J次迭代中。如果每次迭代后，目標(biāo)函數(shù)cTx的減小幅度在給定的精度內(nèi)，則優(yōu)化迭代過程就停止。該項(xiàng)參數(shù)的默認(rèn)值是5?！駉pitons(5)：opitons(5)=1表示不顯示迭代過程中的數(shù)據(jù)，opitons(5)=0(默認(rèn)值)則相反。將option(i)設(shè)置為零相當(dāng)于將相應(yīng)的控制參數(shù)設(shè)置為默認(rèn)值，也可以通過忽略該輸入變量來(lái)接受默認(rèn)值。以下的例子說(shuō)明了求解器mincx的使用方法。由于Trace(X)是X的元的一個(gè)線性函數(shù)，因此以上的優(yōu)化問題是一個(gè)具有線性矩陣不等式約束的線性目標(biāo)函數(shù)的最小化問題，從而可以應(yīng)用求解器mincx來(lái)求解這個(gè)問題。以下給出用mincx來(lái)求解該問題的過程。定義線性矩陣不等式約束setlmis([])X=lmivar(1,[31])﹪變量X，滿對(duì)稱的lmiterm([111X],1,A,’s’)lmiterm([1110],Q)lmiterm([1220],-1)lmiterm([121X],B’,1)LMIs=getlmis2、將目標(biāo)函數(shù)Trace(X)寫成cTx，其中x是矩陣變量X中的獨(dú)立元所構(gòu)成的向量。由于引進(jìn)向量C的目的是要選擇X的對(duì)角元，因此它可以作為相應(yīng)于X=I的決策向量得到，即c=mat2dec(LMIs,eye(3))事實(shí)上，函數(shù)defcx將提供一個(gè)確定這樣的目標(biāo)函數(shù)的更加系統(tǒng)化的方法。3調(diào)用mincx計(jì)算最小值xopt，目標(biāo)函數(shù)的全局最小值copt=c’*xopt。options=[le-5,0,0,0,0][copt,xopt]=mincx(LMIs,c,options)其中l(wèi)e-5給定了所要求的關(guān)于copt的計(jì)算精度。作為求解器mincx運(yùn)行的結(jié)果，以下的信息將出現(xiàn)在屏幕上：迭代的次數(shù)和當(dāng)前這次迭代時(shí)cTx的最佳值分別在左列和右列中。注意，在第一次迭代中沒有一個(gè)對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，這表明滿足約束條件的可行解x只是在第二迭代時(shí)才被找到。gevp求解器gevp的一般表達(dá)式如下：[lopt,xopt]=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target)如果問題的線性矩陣不等式約束是可行的，由gevp給出了優(yōu)化問題的全局最小值lopt和決策向量x的最優(yōu)解xopt。相應(yīng)的矩陣變量的最優(yōu)解可以應(yīng)用dec2mat得到。輸入分量lmisys表示當(dāng)λ=1時(shí)由（A.4.1）~(A.4.3)構(gòu)成的線性矩陣不等式系統(tǒng)。包含λ的線性矩陣不等式系統(tǒng)稱為線性分式約束。線性分式約束（A.4.3）的個(gè)數(shù)用nlfc表示，其他的輸入分量都是可選擇的。如果（λ0，x0）是一個(gè)可行解，則通過令linit=λ0、xinit=x0，將（λ0，x0）設(shè)置為gevp的初始值。當(dāng)（λ0，x0）不是可行解時(shí)，這樣的初始值設(shè)置不會(huì)被接受。target的設(shè)定值表明了只要當(dāng)一個(gè)可行解（λ，x）滿足λ≤target時(shí)，迭代過程就停止。可選擇輸入量options是一個(gè)5維向量，用來(lái)描述優(yōu)化迭代過程中的一些控制參數(shù)：●options(1):該參數(shù)設(shè)定了最優(yōu)值lopt所要求的精度（默認(rèn)值是10-2）。●options(2):該參數(shù)設(shè)定優(yōu)化迭代過程中允許的最大迭代次數(shù)（默認(rèn)值是100）?！駉ptions(3):該參數(shù)設(shè)定了可行域的半徑。與求解器feasp中的相應(yīng)參數(shù)相同?！駉ptions(4):該參數(shù)用于加快迭代過程的結(jié)束。當(dāng)該參數(shù)取值為一個(gè)正整數(shù)J時(shí)，表示在最后的J次迭代中，如果每次迭代后λ的減小幅度在給定的精度內(nèi)，則優(yōu)化迭代過程就停止。該參數(shù)的默認(rèn)值是5?！駉ptions(5):options(5)=1表示不顯示迭代過程中的數(shù)據(jù)options(5)=0（默認(rèn)值）則相反。將options(i)設(shè)置為零相當(dāng)于將相應(yīng)的控制參數(shù)設(shè)置為默認(rèn)值，也可以通過忽略該輸入變量來(lái)接受默認(rèn)值。對(duì)廣義特征值的最小化問題，在調(diào)用求解器gevp時(shí)，須遵循以下規(guī)則：●確定包含λ的線性矩陣不等式：A(x)<B(x)（注意沒有λ）；●總是把A（x）<B（x）放在線性矩陣不等式系統(tǒng)的最后；●要求有約束0<B（x），或者保證0<B（x）成立的任何其他約束。setlmis([])P=lmivar(1,[21])lmiterm([1110],1)﹪P>I：Ilmiterm([-111P],1,1)﹪P>I：Plmiterm([211P],1,A1,’s’)﹪LFC#1(lhs)lmiterm([-211P],1,1)﹪LFC#1(rhs)lmiterm(311P],1,A2,’s’)﹪LFC#2(lhs)lmiterm([-311P],1,1)