新教材2021-2022學(xué)年人教a版數(shù)學(xué)必修第二冊課時檢測632-633平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量加減運算的坐標(biāo)表示W(wǎng)ORD版含解析

課時跟蹤檢測(七)平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示[A級基礎(chǔ)鞏固]1．(多選)下面幾種說法中正確的有()A．相等向量的坐標(biāo)相同B．平面上一個向量對應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)C．一個坐標(biāo)對應(yīng)唯一的一個向量D．平面上一個點與以原點為始點、該點為終點的向量一一對應(yīng)解析：選ABD由向量坐標(biāo)的定義不難看出一個坐標(biāo)可對應(yīng)無數(shù)個相等的向量，故C錯誤，A、B、D正確．2．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)與eq\o(AB,\s\up6(→))相等，且A(1，3)，B(2，4)，則x的值為()A．1 B．1或4C．0 D．－4解析：選A由已知得，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2－1，4－3)＝(1，1)，∵a＝(2x－1，x2＋3x－3)與eq\o(AB,\s\up6(→))相等，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1＝1，,x2＋3x－3＝1，))解得x＝1.故選A.3．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0，1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a，b)，則a＋b＝()A．－1 B．0C．1 D．2解析：選Aeq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，1)－(1，1)＝(－1，0)，故a＝－1，b＝0，a＋b＝－1.4．已知四邊形ABCD的三個頂點A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，則頂點D的坐標(biāo)為()A．(4，5) B．(5，－4)C．(3，2) D．(1，3)解析：選A設(shè)D點坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4，3)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x，y－2)，由eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝x，,3＝y(tǒng)－2，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝5，))∴D(4，5)．5．已知平行四邊形ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3，7)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，3)，對角線為eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，則eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝()A．(1，10) B．(5，4)C．(－4，6) D．(－5，2)解析：選C∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1，10)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，4)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝(1，10)－(5，4)＝(－4，6)．6．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是()A．(2，2) B．(－2，－2)C．(1，1) D．(－1，－1)解析：選D因為A(2，2)，B(1，1)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)．故選D.7．已知點A(2，1)，B(－2，3)，O為坐標(biāo)原點，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，則點C的坐標(biāo)為________．解析：設(shè)C(x，y)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x＋2，y－3)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，1)．由eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，則x＝0，y＝4.∴點C的坐標(biāo)為(0，4)．答案：(0，4)8．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝________．解析：法一：由題意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，3)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，3)＋(－3，3)＝(－1，6)．法二：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，6)．答案：(－1，6)9.如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點B和點D的坐標(biāo)和eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))的坐標(biāo)．解：由題知B，D分別是30°，120°角的終邊與單位圓的交點．設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函數(shù)的定義，得x1＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，y1＝sin30°＝eq\f(1,2)，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).x2＝cos120°＝－eq\f(1,2)，y2＝sin120°＝eq\f(\r(3),2)，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).10．已知a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，B點坐標(biāo)為(1，0)，b＝(－9，12)，c＝(－2，2)，且a＝b－c，求點A的坐標(biāo)．解：∵b＝(－9，12)，c＝(－2，2)，∴b－c＝(－9，12)－(－2，2)＝(－7，10)，即a＝(－7，10)＝eq\o(AB,\s\up6(→)).又B(1，0)，設(shè)A點坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－x，0－y)＝(－7，10)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x＝－7，,0－y＝10))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝－10，))即A點坐標(biāo)為(8，－10)．[B級綜合運用]11．如果將eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，繞原點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°得到eq\o(OB,\s\up6(→))，則eq\o(OB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))C．(－1，eq\r(3)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))解析：選D設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))繞原點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°得到的eq\o(OB,\s\up6(→))的坐標(biāo)為(x，y)，則x＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|cos(120°＋30°)＝－eq\f(\r(3),2)，y＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|·sin(120°＋30°)＝eq\f(1,2)，由此可知B點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，故eq\o(OB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))).故選D.12．(多選)已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，關(guān)于坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量a，給出下列四個結(jié)論，正確的結(jié)論有()A．存在唯一的一對實數(shù)x，y，使得a＝(x，y)B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2且y1≠y2C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的起點不一定是原點D．若x，y∈R，a≠0，且a的終點坐標(biāo)是(x，y)，則a＝(x，y)解析：選AC由平面向量基本定理，可知A正確；例如，a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故B錯誤；因為向量可以平移，所以a＝(x，y)與a的起點是不是原點無關(guān)，故C正確；當(dāng)a的終點坐標(biāo)是(x，y)時，a＝(x，y)是以a的起點是原點為前提的，故D錯誤．13．已知點A(3，－4)與B(－1，2)，點P在直線AB上，且|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|，則點P的坐標(biāo)為________．解析：設(shè)P點坐標(biāo)為(x，y)，|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|.當(dāng)P在線段AB上時，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→)).∴(x－3，y＋4)＝(－1－x，2－y)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝－1－x，,y＋4＝2－y，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))∴P點坐標(biāo)為(1，－1)．當(dāng)P在線段AB延長線上時，eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\o(PB,\s\up6(→)).∴(x－3，y＋4)＝－(－1－x，2－y)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝1＋x，,y＋4＝－2＋y，))此時無解．綜上所述，點P的坐標(biāo)為(1，－1)．答案：(1，－1)14．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．(1)若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，求點P的坐標(biāo)；(2)若eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，求eq\o(OP,\s\up6(→))的坐標(biāo)．解：(1)因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，1)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，即點P的坐標(biāo)為(3，3)．(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，因為eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，又eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6－3x＝0，,6－3y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))所以點P的坐標(biāo)為(2，2)，故eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2，2)．[C級拓展探究]15．已知平面上三點的坐標(biāo)分別為A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求點D的坐標(biāo)，使這四點構(gòu)成平行四邊形的四個頂點．解：設(shè)D點的坐標(biāo)為(x，y)，當(dāng)平行四邊形為ABCD時，由eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3－x，4－y)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得D