量子力學(xué)考試題

量子力學(xué)考試題（共五題，每題20分）1、扼要說明：束縛定態(tài)的主要性質(zhì)。 單價原子自發(fā)能級躍遷過程的選擇定則及其理論根據(jù)。2（厄米算符FGK＝（F K的本征值是實數(shù)。KFF

的任何本征態(tài)

K0。在任何態(tài)中F2G2K3、自旋/2的定域電子（不考慮“軌道”運動）受到磁場作用，已知其能量算符為?? Hν＝SHνz

+Sx

（，ν>0，?ν）求能級的精確值。νν視Sx

項為微擾，用微擾論公式求能級。4m的粒子在無限深勢阱（0<x<a）出能級和波函數(shù)，并計算平均值xpxxpx5、某物理體系由兩個粒子組成，粒子間相互作用微弱，可以忽略。3

(ra r

()，rcr

()，試分別就r以下兩種情況，求體系的可能（獨立）狀態(tài)數(shù)目。r無自旋全同粒子。自旋/2（例如電子。量子力學(xué)考試評分標(biāo)準1（b）各10分（a）能量有確定值。力學(xué)量（不顯含t）的可能測值及概率不隨時間改變。（nlmm）n’’’m）s ss＝1m＝0,1m＝0sr根據(jù)：電矩m矩陣元-e 0rn’l’m’ms’，nlmms2（a）6分（b）7分（c）7分

是厄米算符，所以其本征值必為實數(shù)。

＝

，

＝K＝

＝i

-

G＝i｛-G｝＝0G（c(

+i

)(

-i

)=2+2-(

+i

)(

-i

)=︱(

-i

)︱2≥0 <F2+

2-

>≥0，即F2G2K3(a)，(b10

1 0 0 1xx

＝z

+ν

＝2［0 12ν［1 0］＝2［a

］＝E，＝［b，令E＝2，則 a ［ ［b］0，︱22222

︱＝2-2-2＝022＝

，E＝-1

，E＝22222 2 22當(dāng)?ν，

＝（1+

）1/2（1+

）＝+ 2 2E-2［+E1

＝2［+］

++

H＝

＝H +H，H ＝νxνxz 0 0νxνx

，H’＝z1

1

1H 本征值為2 ，取0

（0）＝-2 1

（0）＝220 1 相當(dāng)本征函數(shù)（S表象）為 (0)＝[1]， (0)＝[ z 1 2則H’之矩陣元（Sz

表象）為H'=0，H11

'=0，22

'＝121

1'＝2211H'2121

224 1 1 2E＝E（0）+

'+E

E

＝-2

+0- ＝-2 -41 1 11

1 211H'21112 2E2

（0）+2

'+E22 2

E＝2 +41a2sinxa2sinxa2＝4、E＝

＝ 2ma2，1

0 xa1a 2a x a2dx xsi2 dx＝1x 0 ＝a0 a 2＝1a d 2a 1 xdx d()0px＝-i0

dx1

-ia 2 a0a xd

dx

axsin

x xd(sin)xp＝-i

1 dx1

a ax 0 01a xi xd(si2 )＝ a a0xa1 aa xaixsi2＝ aiha2

0-0i

dx]a＝0+2 1 2055（i）各10分（i）s＝0，為玻色子，體系波函數(shù)應(yīng)交換對稱。

)有：

)，1 2 1

1 a2[(r)2a 1

2 )2)b 1

c 1 c 2)]a 261

c c ac c b（i）＝2，單粒子態(tài)共6種：1 0a0，a1

1，b0

0，b1

1，c0

0，c1。任取兩個，可構(gòu)成體系（交換）反對稱態(tài)，如1 1 1(r)()1 ()1 ()12a 10b 20b 10a 201 2 1 21 112＝ [(()-((2

00a 1 b

b 1 a

1 2體系態(tài)共有C26

15種a b 或：， ， a b 1[2+(2+a 1 1[

()2

(b 1

()]2

及一種反對稱態(tài)2(2a 1

()-2 -

(

()]，前者應(yīng)與自旋單態(tài)x2

相乘，而構(gòu)成體系反對稱態(tài)，共3種。后者應(yīng)與自旋三重態(tài)x，x 相乘而構(gòu)33＝9種。

11 10

1-1但軌道對稱態(tài)還有

()a 1

(r)型，共種型，各與自旋單態(tài)配合，3a 2333+3+9＝15種。量子力學(xué)習(xí)題第一章緒論m由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對應(yīng)的波長m與溫度T成反比，即T=常量；m并近似計算b的數(shù)值，準確到二位有效數(shù)字。0K3eV，求其德布羅意波長。E=3kT/（k為玻耳茲曼常數(shù)T=1K德布羅意波長。利用玻爾－索末菲的量子化條件，求：一維諧振子的能量；在均勻磁場中作圓周運動的電子軌道的可能半徑。BH=10M=9×10-24/特斯拉，試計算動能B的量子化間隔E，并與T=4K及T=100K的熱運動能量相比較。等，問要實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，光子的波長最大是多少？第二章波函數(shù)和薛定諤方程2由下列兩定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度：21(1)1

=eikr/r, (2)

=e-ikr/r.從所得結(jié)果說明1

表示向外傳播的球面波，2

表示向內(nèi)（即向原點）傳播的球面波。一粒子在一維勢場

,

x0U(x)0xa, xa中運動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。一粒子在一維勢阱U(x) 00,

xax中運動，求束縛態(tài)(0<E<U0)的能級所滿足的方程。n對于一維無限深勢阱(0<x<a)(x)，求x、x2x，并與經(jīng)典n力學(xué)結(jié)果比較。粒子在勢場

,V(x)V,

x00x 00,

ax中運動，求存在束縛態(tài)(E<0)的條件(，m，a，V0關(guān)系)以及能級方程。1求二維各向同性諧振子[V2k(x2+y2)]的能級，并討論各能級的簡并度。粒子束以動能E=2k22m從左方入射，遇勢壘0,V(x)

x0V, x00求反射系數(shù)、透射系數(shù)。E<V0及E>V0情形分別討論。m（

H

2 d2n2mR2d2，nn為旋轉(zhuǎn)角。求能級(En

)

()，討論各能級的簡并度。第三章基本原理(x)

e2x2it一維諧振子處在基態(tài)

2 212 ，求： 1 U勢能的平均值T動能的平均值

2x22 ；p22；動量的幾率分布函數(shù)。t=0時，粒子的狀態(tài)為1(x)=A[sin2kx+2coskx]，求此時粒子的平均動量和平均動能。a波函數(shù)(x)=Ax(a-x)描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子能量的幾率分布和能量的平均值。<xpx>=i與無關(guān)，則rr>=3/2 。計算對易式[x,

,

]，并寫出類似的下標(biāo)輪換式(xy,yz,zx)。y證明算符關(guān)系

z x

2iriF為非厄米算符(F+F)FA+iBB為厄A、BF、F+之關(guān)系。1一維諧振子(V12kx2)處于基態(tài)。設(shè)勢場突然變成V2=kx2，即彈性力增大一倍。求粒子在V2場中的能級以及此粒子在新勢場的基態(tài)中出現(xiàn)的幾率。LL、M、K，[L,M]=1，K=LM。K的本征函數(shù)、本征值記為Ln

(n=1,2,M及

存在，則它們也是K的本征函數(shù)，nn本征值為(1)。nnn

2/，則對于任何束縛態(tài)

>=。=2/2qt=0x=pxp0，x(t)px(t)。z=(0,0,=2/2mL=qB/2m。zt=0時

p,0,0t>0時

。0V)m無關(guān)。證明：如m束縛態(tài)能級下降。0第四章中心力場證明氫原子中電子運動所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是Jer=Je=0,Je

em =rsin

2nlm 由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的。求一圓周電流的磁矩。證明氫原子磁矩為mez MM z 2c原子磁矩與角動量之比為

(SI)(CGS) eM ezeL

(SI)(CGS)z 2c這個比值，稱為回轉(zhuǎn)磁比率。設(shè)氫原子處于狀態(tài)(r,,)1R

(r)Y

,) R

(r)Y

,),32 21 103

2

11z這些力學(xué)量的平均值。利用測不準關(guān)系估計氫原子的基態(tài)能量。100對于類氫離子的基態(tài) ，求概然半徑（最可幾半徑）及r,r2。100nlm

態(tài)，證明1n<T>=2<V>=E。n100100

，計算x,px

，驗證不確定關(guān)系xpx2。單價原子中價電子（最外層電子）所受原子實（原子核及內(nèi)層電子）庫侖作用勢可以近似表示成V(r)e2

e2a0,

01r r2n的修正數(shù)公式。[V(r)中第二項與離心勢合并，記成l(l1)2/2r2，計算ll)之值，...]。第五章表象理論n5.1設(shè)n

>與kk對易。證明kk

F

>=0。nV(x)表象中求和規(guī)則n (Enn

E)nk

xk

2222 (為實數(shù))。對于一維諧振子的能量本征態(tài)n><T><V>x、p。

為角動量，n為常矢量，證明 [J,n·J]=in×J jm 2 2 2

的 態(tài)（

,J共同本征態(tài)，計算JJJ J 等平z x y x yJx

、J。y

jm設(shè)n（單位矢量zJ的

態(tài)，計算<J>n（即·J的平均值。lm 以 表示，Lz

共同本征態(tài)矢。在l=1 子空間中，取基矢為11, 10,

11,建立

LL，L，L

的矩陣表示3階，并求其本征值及本征態(tài)矢（取=。*5.8對于諧振子相干態(tài)(a=,為實數(shù))，計算n，n，E，E，x，x，p，p。第六章微擾理論r0計算這種效應(yīng)對類氫原子基態(tài)能量的一級修正。ID小，用微擾法求轉(zhuǎn)子基態(tài)能量的二級修正。

，現(xiàn)在受到微擾?'的作用。微擾矩陣元為H’12=H’21=a,H’11=H’22=b;a,b都是實數(shù)。用微擾公式求能量至二級修正值。ex方向：用微擾法求能量至二級修正；求能量的準確值，并和(1)所得結(jié)果比較。t=0時，氫原子處于基態(tài)，以后由于受到單色光的照射而電離。設(shè)t基態(tài)氫原子處于平行板電場中，若電場是均勻的且隨時間按指數(shù)下降，即 t

t0;t00e,0求經(jīng)過長時間后氫原子處在2p態(tài)的幾率。計算氫原子由第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的自發(fā)發(fā)射幾率。求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。n粒子（質(zhì)量在無限深勢阱0<x<a中運動，處于能量本征態(tài)n

。后受到微擾作用，H’=x,求躍遷選擇定律(，n’n=?)；n n’En

的一級修正。1(V=e2/r)(V=2的基態(tài)能量近似值（二者選一。r)=Aexp(r);r)=Bexp(2r2)。V(x)=kx4k>0)中作一維運動。試用變分法求基態(tài)能量近似值。建議取試探波函數(shù)(,r)=Aexp(2r2)。1t>0’(x,t(t/，1n試證明：長時間后(t)n

(x)的幾率為F2/[(En

E)2 2/2]1第七章自旋xy 7.1證明xy

i。

(s1 z2

和y和

的測不準關(guān)系：xSxx

2Sy

2?x

0 121 0

y

0 i2i 0求

及

的本征值和所屬的本征函數(shù)。求自旋角動量在方向的投影coscoscosn x y z的本征值和所屬的本征函數(shù)。在這些本征態(tài)中，測量有哪些可能值？這些可能值各以多大的幾率出z現(xiàn)？S?的平均值是多少？z設(shè)氫原子的狀態(tài)是23R 1 (r)Y23R

21 11R (r)Y21

。,)z zzz 求總磁矩?e ?e?2 (SI)z分量的平均值（用玻爾磁子表示。