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學必求其心得,業(yè)必貴于專精學必求其心得,業(yè)必貴于專精學必求其心得,業(yè)必貴于專精新教材2020-2021學年高中數學人教A版必修第二冊學案:8.4.1平面含解析8.4空間點、直線、平面之間的位置關系8.4。1平面[目標]1。理解平面的概念,會畫一個平面及會表示平面;2。掌握三個基本事實及推論并會簡單應用.[重點]平面的畫法、表示;三個基本事實及推論的簡單應用.[難點]三個基本事實及推論的簡單應用.要點整合夯基礎知識點一平面的概念[填一填]1.概念:平面是從生活中抽象出來的,具有以下特點:①平;②無限延展;③沒有厚?。?.畫法(1)我們常用矩形的直觀圖,即平行四邊形表示平面.(2)當平面水平放置時,常把平行四邊形的一邊畫成橫向;當平面豎直放置時,常把平行四邊形的一邊畫成豎向.3.表示法:我們常用希臘字母α,β,γ等表示平面,如平面α、平面β、平面γ等,并將它寫在代表平面的平行四邊形的一個角內;也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點,或者相對的兩個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱.[答一答]1.課桌面、黑板面、海面是平面嗎?提示:雖然課桌面、黑板面、海面給我們以平面的形象,但是平面是無限延展的,所以它們不是平面.2.如下圖所示,平面(1)和平面(2)哪個大?提示:平面無厚薄、無大小,是無限延展的,所以兩個平面之間無法比較大?。?.我們常用平行四邊形表示平面,所以平行四邊形就是一個平面,這句話對嗎?提示:不對,我們通常用平行四邊形表示平面,但平面是無限延展的,所以平行四邊形不是一個平面.[填一填][答一答]4.如圖,點A∈平面ABC;點A?平面BCD;BD?平面ABD;平面ABC∩平面BCD=BC。知識點三平面的基本性質[填一填]1.平面基本性質的三種表示及主要作用(1)基本事實1(2)基本事實2(3)基本事實32.推論(1)推論1:經過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面.(2)推論2:經過兩條相交直線,有且只有一個平面.(3)推論3:經過兩條平行直線,有且只有一個平面.[答一答]5.如果線段AB在平面α內,那么直線AB在平面α內嗎?為什么?提示:直線AB在平面α內.因為線段AB在平面α內,所以線段AB上的所有點都在平面α內,故線段AB上A,B兩點一定在平面α內,由基本事實2可知直線AB在平面α內.6.經過三點有多少個平面?提示:當三點不共線時,由基本事實1可知,經過這三點有且只有一個平面.而當三點共線時,經過這三點有無數個平面.7.若兩個平面相交,則有幾條交線?若點P是這兩個平面的公共點,那么點P在哪里?提示:兩個平面相交只有一條交線,點P在交線上.典例講練破題型類型一平面的概念、畫法及表示[例1](1)給出下列命題:①書桌面是平面;②8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚;③有一個平面的長是50m,寬為20m;④平面是絕對平的、無厚度、可以無限延展的抽象的數學概念.其中正確命題的個數為________.(2)下圖中的兩個相交平面,其中畫法正確的是_______________________________.[分析]根據平面的特征及表示來判斷.[解析](1)由平面的概念知,平面是平滑、無厚度、可無限延展的,可以判斷命題④正確,其余的命題都不符合平面的概念,所以命題①②③都不正確.(2)對于①,圖中沒有畫出平面α與平面β的交線,另外圖中的實線、虛線也沒有按照畫法原則去畫,因此①的畫法不正確.同樣的道理,也可知②③圖形的畫法不正確,④中圖形畫法正確.[答案](1)1(2)④1平面是無限延展的,不能度量其面積;平面沒有厚薄之分,不能度量其體積;平面可以用任意平面圖形來表示。2在平面幾何中,凡是所引的輔助線都要畫成虛線,但在立體幾何中,能看見的線要畫成實線,看不見的線要畫成虛線.[變式訓練1]如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為(A)A.平面MN B.平面NQPC.平面α D.平面MNPQ解析:MN是平行四邊形MNPQ的一條邊,不是對角線,所以不能記作平面MN。1用文字語言、符號語言表示一個圖形時,首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何,試著用文字語言表示,再用符號語言表示。2要注意符號語言的意義.如點與直線的位置關系只能用“∈"或“?”,直線與平面的位置關系只能用“?”或“?”。[變式訓練2]把下列符號敘述所對應的圖形的序號填在題后的橫線上:(1)A?α,a?α:③。(2)α∩β=a,P?α,且P?β:④。(3)a?α,a∩α=A:①.(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:②.類型三基本事實的運用命題視角1:共面問題[例3]過直線l外一點P引兩條直線PA,PB和直線l分別相交于A,B兩點,求證:三條直線PA,PB,l共面.[分析]根據條件點P,A,B確定一個平面,再證直線l,PA,PB在這個平面內.[證明]如圖.∵點P,A,B不共線,∴點P,A,B確定一個平面α.∴P∈α,A∈α,B∈α.∴PA?α,PB?α.又A∈l,B∈l,∴l(xiāng)?α。∴PA,PB,l共面.證明點、線共面的兩種方法方法一:先由確定平面的條件確定一個平面,然后再證明其他的點、線在該平面內.方法二:先由有關點、線確定一個平面α,再由其余元素確定一個平面β,然后根據有關定理,證明這兩個平面重合.[變式訓練3]已知A、B、C、D、E五點中,A、B、C、D共面,B、C、D、E共面,則A、B、C、D、E五點一定共面嗎?解:(1)如果B、C、D三點不共線,則它們確定一個平面α.因為A、B、C、D共面,所以點A在平面α內,因為B、C、D、E共面,所以點E在平面α內,所以點A、E都在平面α內,即A、B、C、D、E五點一定共面.(2)如果B、C、D三點共線于l,若A、E都在l上,則A、B、C、D、E五點一定共面;若A、E中有且只有一個在l上,則A、B、C、D、E五點一定共面;若A、E都不在l上,則A、B、C、D、E五點可能不共面.命題視角2:共線與共點問題[例4]如圖,E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上的點,且直線EH與直線FG交于點O。求證:B,D,O三點共線.[分析]解答本題只要證明點O在平面ABD與平面CBD的交線BD上即可.[證明]∵E∈AB,H∈AD,∴E∈平面ABD,H∈平面ABD?!郋H?平面ABD?!逧H∩FG=O,∴O∈平面ABD.同理O∈平面BCD,即O∈(平面ABD∩平面BCD),∴O∈BD,即B,D,O三點共線.1證明三點共線的常用方法:方法一:首先找出兩個平面,然后證明這三點都是這兩個平面的公共點。根據基本事實3知,這些點都在交線上。方法二:選擇其中兩點確定一條直線,然后證明另一點也在其上。2證明三線共點的思路是:先證兩條直線交于一點,再證明第三條直線經過這點,把問題轉化為證明點在直線上的問題。[變式訓練4]如圖,已知空間四邊形ABCD中,E、H分別為BC、AB的中點,F在CD上,G在AD上,且有DFFC=DGGA=12。求證:直線EF、BD、HG交于一點.證明:連接EH、FG.∵E、H分別為BC、AB的中點,∴EH∥eq\f(1,2)AC?!逥FFC=12,DGGA=12,∴FG∥AC,FG=eq\f(1,3)AC,∴EH∥FG且EH≠FG,∴E、F、G,H四點共面且EF不平行于GH.∴EF與GH相交.設EF∩GH=O,則O∈GH,O∈EF?!逩H?平面ABD,EF?平面BCD,∴O∈平面ABD,O∈平面BCD?!咂矫鍭BD∩平面BCD=BD,∴O∈BD,即直線EF、BD、HG交于一點.課堂達標練經典1.若一直線a在平面α內,則正確的圖形是(A)解析:選項B、C中直線a在平面α外,選項D中直線a與平面α相交,選項A中直線a在平面α內.2.若點Q在直線b上,b在平面β內,則Q,b,β之間的關系可記作(B)A.Q∈b∈β B.Q∈b?βC.Q?b?β D.Q?b∈β解析:∵點Q(元素)在直線b(集合)上,∴Q∈b.又∵直線b(集合)在平面β(集合)內,∴b?β,∴Q∈b?β.3.已知空間四點中無任何三點共線,那么這四點可以確定平面的個數是1或4.解析:其中三個點可確定唯一的平面,當第四個點在此平面內時,可確定1個平面,當第四個點不在此平面內時,則可確定4個平面.4.給出下列命題:①A,B,C三點確定一個平面;②若直線a∩直線b=A,則直線a與b能夠確定一個平面;③已知平面α,直線l和點A,B,若A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,則l?α.其中正確命題的序號是②③.解析:①中,只有不共線的三點才可以確定一個平面,因此①錯誤;②中,由于兩條直線相交,則必然確定一個平面,因此②正確;③中,由于點A,B既在直線l上又在平面α內,即直線l上的兩點在平面α內,所以直線l在平面α內,即l?α,因此③正確.綜上,可知正確命題的序號是②③。5.如圖,已知D,E分別是△ABC的邊AC,BC上的點,平面α經過D,E兩點.(1)作直線AB與平面α的交點P;(2)求證:D,E,P三點共線.解:(1)延長AB交平面α于點P,如圖所示.(2)證明:∵平面ABC∩平面α=DE,P∈AB,AB?平面ABC,∴P∈平面ABC.又∵P∈α,∴P在平面α與平面ABC的交線DE上,即P∈DE,∴D,E,P三點共線.—-本課須掌握的兩大問題1.解決立體幾何問題首先應過好三大語言關,即實現這三種語言的相互轉換,正確理解集合符號所表示的幾何圖形的實際意義,恰當地用符號
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