四年級奧數(shù)教材29790

--四年級奧數(shù)目錄（一）找規(guī)律★★（察力和計算能力的一個結合）①數(shù)列中的規(guī)律②圖形中的規(guī)律（二）數(shù)字謎★★★運用簡單的數(shù)字組成不同或相同的位數(shù)，使式子合理）①橫式字謎②豎式字謎（三）定義新運算★★（它的符號不同于課本上明確定義或已經(jīng)約定的符號，求出表示定義規(guī)則的一般表達式，方可進行運算（四雞兔同籠★★（據(jù)現(xiàn)實的例子進行推理和計算）（五）行程問題★★★（求路程的問題，公式的運用）①追及問題與相遇問②火車過橋（六）植樹問題★★（植樹問題，一般又可分為封閉型的和不封閉型的，每種法不一）（七）有趣的數(shù)陣圖★★（把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形這類問題叫數(shù)陣圖）---

--（八）枚舉法★★（過推測將所有的可能寫下來）（九）推理邏輯★★根據(jù)已知的條件，推出合理的答案）（十倒推法的妙用★（加的倒推成減減的倒推成加，以此更簡單快速地計出答案）（十一）火柴棍游戲★★（通過移動火柴變成另一個數(shù)字或圖形）（十二）巧求周長一）★★★★（一些不規(guī)則的比較復雜的幾何圖形，求周，可以運用平移的方法，把它轉化為標準的長方形或正方，然后利用周長公式進行計算）（十三）面積計算★★★（解答比較復雜的長方形、正方形的面積計算的問題，可以添加輔助線或運用割補、轉化等解題技巧）（十四）移多補少平數(shù)★★★（將多的一方分出一部分給少的，使多的和少的樣多）（十五）一筆畫★★類似于走迷宮）（一）找規(guī)律觀察是解決問題的根通過觀察得揭示出事物的發(fā)展和變化規(guī)律，在一情況下，我們可以從以下幾個方面來找規(guī)律：---

--1．根據(jù)每組相鄰兩個數(shù)之間關系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；2．根據(jù)相隔的每兩個數(shù)的關，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；3．要善于從整體上把握數(shù)據(jù)間的聯(lián)系，從而很快找出規(guī)律；4．數(shù)之間的聯(lián)系往往可以從同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規(guī)都可以認為是正確的。①數(shù)列中規(guī)律一、例題與方法指導例1：

先找出下列數(shù)排列的律根規(guī)律在括號里填上適當?shù)臄?shù)。1，47，，19思路導航：在這列數(shù)中，相鄰的個數(shù)的差都是3，即每個數(shù)加上3都等于后面的數(shù)。據(jù)這一規(guī)律，括號里應填的數(shù)為：10+3=13或163=13---

--像上面按照一定的順排列的一串數(shù)叫做數(shù)列。例2：當?shù)臄?shù)。

先找出下列數(shù)排列的律在括號里填上適1，2，4，716，22思路導航：在這列數(shù)中4個數(shù)每相鄰的兩個的差依次是13可以推算7比括號里的數(shù)少4里應填經(jīng)驗證，所填的數(shù)是確的。應填的數(shù)為：7+4=11或16-5=11例3：

先找出規(guī)律，然后在號里填上適當?shù)臄?shù)。234，20，，17，812思路導航：在這列數(shù)中一個減去3的差是第三個數(shù)二個加上2的是第四個數(shù)，第三個數(shù)減3的差是第五個數(shù)，第四個數(shù)加上2和是第六個數(shù)……依此規(guī)律，面的一個數(shù)為：17-3=14，面的數(shù)為8+2=10---

--二、鞏固訓練1.先出下列各列數(shù)的排列規(guī)律，然在括號里填上適當?shù)臄?shù)。（）2，6，1014，（）3，6，9，，21（），28，2313（），49，4331（）3，6，1248192（）2，6，18）（）1286432（）193173，，3，32.先出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在號里填上適當?shù)臄?shù)。（），11，13，16，2031（）1，4，9，，49，64（）3，2，5，2，，2112---

--（534436299，8（），64，49，36，1，0（）281261，，1，1（）302262，，2，2（）1，6，4，8，，，14三、拓展提升先找出規(guī)律，然后在號里填上適當?shù)臄?shù)。（）1，6，5，，9，14，13）（），，4，，6（）3，，4，，，，9，1814（），，5，，8）（）3220，291816，12（）2，9610181154，486（）1，5，2，8，，，，）---

--（3201160804027）②圖形中規(guī)律我們通常會碰到一些形，它們在某一方面，比如顏色，形狀，大小，結構，置或繁難等有些共同的特征或變化規(guī)律，你能通過觀察找律，并根據(jù)規(guī)律推斷出結果嗎？一、例題與方法指導例1.下哪個圖形和其他幾個不一樣你能找出來嗎？A思路導航：

BC

D題中幾個圖形的共同征是先連接各邊中點組成一個復合圖形。所不同的，B圖是一個三角形，而其他幾個圖形都是四邊形，這，只有B與幾個不一樣。例2.找下組圖形中不同的項。---

--ABCDE思路導航：題中只有D圖形不是由翻轉過來的，其他圖都是在同一個平面內(nèi)通過把A圖形轉而得到的故不同的選項應該為D例3.在面圖形中找出一個與眾不同.(1)(2)(3)(4)(5)思路導航：很容易看出題目圖中(1)時旋轉就(4),但是這---

--一來,(2)、(3)(5)都與它不同.題目上求找出一個.所以放棄這種想法圖2)順時針轉,且、小兩個矩形顏色互一下就得到(5).而圖(1)與3)的變化規(guī)律也是:順時針旋轉,大小兩部分顏色互換.因此(1)與3)配對,(2)與5)配對.解與眾不同的是題目圖中的4).例4.照下面圖中所給圖形的變化規(guī)在空格填圖.---

--思路導航：我們分花盆、花莖、葉、花朵四個部分逐步觀.(1)盆花盆的形狀每一行都是由同樣的種形狀組,所第三行所缺的形狀便應填的圖案中的花盆形狀;花盆顏色在同一行中都是由、白、(有斜線三色組成圖中第三行已有白、灰二色所以應填的花盆為黑(如下圖1));(2)花:如同上面一的分析.花莖形狀為魚鉤狀,方向右如下圖2));(3)花葉花葉量為兩朵,方向向左、右平展(如下圖3));(4)花朵形狀圓形(如圖4)).(1)(2)(3)(4):依照所給圖形的變化規(guī)律,空中應填的圖形如圖---

--(4).二、鞏固訓練1.按序觀察圖—2中形的變化一想按圖的變化規(guī)律，在帶“?”的空格處應畫什樣的圖形?分析觀察中，注意圖—1中每三角形的個數(shù)依次減少正方形的個數(shù)次增多且角形的個數(shù)按4X1順序變化顯然X應等于5—2中黑點的個從左到右逐次增多，且每一第一格除外)比面的一格多兩個事實上，本題中幾何形的變化僅表現(xiàn)在數(shù)量關系上，是一種較為基本的、簡單變化模式。解：在圖—2“”處是2.請察右圖中已有的幾個圖形，并規(guī)律填出空白處的圖形。---

--分析首先可以看出形的第一行、第二列都是由一個圓個三角形和一正方形所組成;其次在所給出的圖形中，我們發(fā)現(xiàn)各行各列均沒有重復的圖形，而且所給出的圖形中，只有圓、角形和正方形三種圖由我們知道這個圖的特點是：①僅由圓、三角形正方形組;②各行各列中，都有一個圓、一個三角形和一個正方形。因此，根據(jù)不重不漏原則，在第二行的空格中應填一個三角形，而第三行空格中應填一個正方形。解略。3.按序觀察下圖中圖形的變化規(guī)律并在?”處填上合適的圖形分析顯然，(a)圖b)中都是圓而圖(c)中卻不是圓;同時，(a)、(c)中都有3個圖，而b)只有兩個.由此可知：(a)到(b)變化律對應于圖c)到d)的變化規(guī)律再注意到圖a)圖b)中圖形在繁簡、多少位置幾方面的變化，---

--就容易得到圖d)中的圖形了。解：在上圖的“處應填如下圖形4.下中的圖形是按一定規(guī)律排列的請仔細觀察，并在?”處填上適當圖形.分析本題中，首先以注意到每個圖形都由大、小兩部分組成，而且，大小圖形都是由正方形、三角形和圓形組成，圖中的任意個圖形均不相.此，我們不妨試著把大、小圖形分開來慮，再一次觀察后我們可以發(fā)現(xiàn)：對于大圖形來說，每行列的圖形決不重復。因此，每行每列都只有一個大正方形一個大三角形和一個大圓，對于小圖形也是如此，這樣處的圖形就難得出。解中(f)圖形分別應填下面的圖甲乙、圖.---

--小結：對于較復雜的形來說，有時候需要把圖形分開幾部分來單獨考慮其化規(guī)律，從而把復雜問題簡單化。（二）字小朋友們都玩過字謎就一種文字游戲，例“空中碼頭一城市名底你還記得嗎？記不得也沒關系，想想“空中”指什么“天地名第個可能是天。“碼頭”指什么呢？頭又稱渡口，聯(lián)系這個地名開頭是“天”字，容易想到天津”這個地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。這謎底就出來了：天津。算式謎又被稱為“蟲算是說一道算式中的某些數(shù)字被蟲子吃掉了無辨認，需要運用四則運算各部分之間的關系，通過推理判被吃掉的數(shù)字，把算式還原蟲食算”主要指橫式算式和豎式算式謎，其中未知的數(shù)字常常用□eq\o\ac(△,、)、☆等圖形號或字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎的延伸，用文或字母來代替未知的數(shù)字，在同一道算式中不同的文字或母表示不同的數(shù)字，相同的數(shù)字或字---

--母表示同一個數(shù)字。字算式謎也是最難的一種算式謎。在數(shù)學里面字也以組成許許多多的數(shù)學游戲就讓我們一起來看看吧。①橫式字一、例題與方法指導例□□，□面的個框內(nèi)分別填恰當?shù)臄?shù)字，可以使得這3個的平均數(shù)是。么所填的個數(shù)字之和是多少？思路導航：150*3-8-97-5=340所以個數(shù)之和3+4+5=12例2在下列算式的□填上適當?shù)臄?shù)字使得等式成立：（）eq\o\ac(□,6)□4□eq\o\ac(□,0)，（）eq\o\ac(□,7)□8□eq\o\ac(□,1)，（）eq\o\ac(□,3)□3eq\o\ac(□,2)eq\o\ac(□,)，（）eq\o\ac(□,8)□58=□□6。---

--分析）6104/56=109（）7548/37=204（）3393/29=117（）8468/58=146例

在算式40796□□□□99……各個方框內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)字后就可以使其成為正確的等式。求其中的除數(shù)。分析：40796/102=399...98。例4

我學數(shù)學樂×我學數(shù)樂=數(shù)數(shù)學數(shù)數(shù)學學數(shù)學在上面的乘法算式中學、數(shù)、樂”分別代表的4個不同的數(shù)字。如果樂”代表9，那么“我數(shù)學”代表的三位數(shù)是多少？分析=1=8數(shù)=681619*81619=6661661161例5

eq\o\ac(□,（)÷□÷□=24式的4個框內(nèi)填入4個不同的一位數(shù)，左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小，并且等式成立。---

--思路導航：這樣我們可以先字母替數(shù)字，原等式寫成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(a<b<c<d)當a=1時，有6*8/2=24，8*9/3=24；當a=2時有4*9/3=12，6*8/4=12，8*9/6=12；所以滿足要求的等有（÷6÷8，1÷3÷89）=24，2÷3÷÷）=24÷÷6÷）2÷（6÷8÷）例6①□×□②12+□－□□至9這個數(shù)字分別填入上面?zhèn)€算式的各個方框中，使等式成立，這里有個字已經(jīng)填好。分析：根據(jù)第一個等，只有兩種可能：7*8=56，6*9=54；如果為7*8=56，余下的數(shù)字有：3、4、9，顯然不行；而當6*9=54時，余下的數(shù)有78那么，12+3-7=8或12+3-8=7都能滿。---

--二、訓練鞏固1.迎迎×春=杯迎迎杯，數(shù)數(shù)×學學數(shù)賽賽數(shù)，春春×春=迎迎賽賽在上面的3個算式中相同的漢字代相同的數(shù)字不同的漢字代表不同的數(shù)如果這式都成立那么+春杯+數(shù)學+賽”等于多少？分析：考察上面三個式，可以從最后一個等式入手：能夠滿足：春春×春=迎賽賽的只有8于是，春8，迎=7，賽=4；這樣不難得到第一個為：77*88=6776，第二個為：；所以，++杯數(shù)+學賽=。2.迎+春×=春杯）（迎+杯=杯在上面的兩個橫式中相同的漢字代表相同的數(shù)字不同的漢字代表不同的數(shù)。那么“+春+杯等于多少？分析：同樣可以從第個算式入手，發(fā)現(xiàn)滿足要求的只有8+1）（）=81，于是，迎8；這樣，第一個算式顯只有8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。---

--三、拓展提升1.下列各式eq\o\ac(□,的)中分別填入相同兩位數(shù)：(1)5×=2□；(2)6□＝eq\o\ac(□,3)。2.～中的數(shù)填入下各式，使算式成立，要求各式中無重復的數(shù)字：(1)□÷□□÷□；(2)□÷□＞□。3.下列各式eq\o\ac(□,的)中填入合適的數(shù)：(1)448÷□□；(2)2822÷□□□；(3)13×□□4eq\o\ac(□,6)eq\o\ac(□,)。4.下列各式eq\o\ac(□,的)中填入合適的數(shù)(1)□÷＝8……31；(2)573÷32＝……29；(3)4837□＝74…27。②豎式字謎一、例題與方法指導---

--例1在圖4-1所示的算式中一個漢字代一個數(shù)字，不同的漢字代表不同數(shù)字．那么“喜歡”這兩個漢字所代表的兩位數(shù)是多少？分析：首先看個位可以得到“歡”是0或5但是“歡”是第二個數(shù)十位，所以“歡”不能是0，只能是5。再看十位”是，加上個位有進1，那，加起來后得到“人應該偶數(shù)因為結果的百位也“人所以“人”只能是2由此可知”等于8。所以歡”這兩個漢字所代的兩位數(shù)就是85。例2在圖4-2所示的豎式中，相同的漢字表相同的數(shù)字，不同的漢字表示同的數(shù)字．如果：+解+數(shù)字謎=30，那么“數(shù)字謎”所代表三位數(shù)是多少？---

--分析：還是先看個位5個“謎”相加結果個位還是等于“謎定5（然以排出著看十位，四個“字”相再加上進位2結果尾數(shù)還是“字那說明“字”只能是6；再百位，三個“數(shù)”相加再上進位，結果尾數(shù)還是“數(shù)或9；再看千位）如果“數(shù)”為4，兩個“解”相加再上進位1，結果尾數(shù)還解解能是95+6+4+9=24，30-24=6”等于6與“字”等于6復，不能；（）如果“數(shù)”為9，兩“解”相加再加上進位，結果尾數(shù)還解能是85+6+9+8=2830-28=2，可以。所以“數(shù)字”代表的三位數(shù)是965例在圖4-3所示的加法式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字示不同的數(shù)字．請把這個豎式翻譯成數(shù)字算式．---

--分析：首先萬位上“=1；再看千位”只能是8或9，那么“人”就相應的能0或1。但是“華所以”就是；看百位”那么，十位上必須有進位，否則““”還是“港可知“回”比“港”大，這樣就說明“港”不9，百位向千位也沒有進位。于是可以確“香”等于9；再看十位”+“愛=“港”要有位的，而“回”比“港”大1那么“愛”就等于8；同時，個位必須有進；再個位，兩數(shù)相加至少至多13，即只能是5+76+7，顯然港”=5”=6”=7。這樣，整算式就是：9567+1085=10652。例4圖4-4是一個法豎式，其中，，，N，ORS，，XY分別表示從09的不同數(shù)，且，S等于零．那么這個算式結果是多少？---

--分析：先看個位和十N應，應；再看最高位上比F大1位上O最是但因為N于0，所以，能是1，能是；由于百位向千位進位是2，且不是0，因此決定了T、R只能是、這兩；如果T=7X=3這是只剩下了2三個數(shù)無法滿足S、F是兩個連續(xù)數(shù)的要。所以R=7由此得到那么F=2。所以，得到的算式結果31486。二、訓練鞏固1.在圖4-5所示的減法算式中，每個字母代表一個數(shù)字，不同的字母代表同的數(shù)字．那么D+G等于多少？---

--分析：先從最高位看顯，B=0E=9；接著看十位為E等于9明個位有借位所以F能是8；由F=8可，C=7；這樣，D、2、4，3、和46三種可能。所以，D＋就以等于，或10。2.王老師家的電話號碼是一個七位數(shù)把它前四位組成的數(shù)與后三位組成的相加得9063，把它前三位數(shù)組的數(shù)與后四位數(shù)組成的相加得2529．求王老師家的電號碼．分析：我們可以用abcdefg來表示個七位數(shù)電話號碼。由題意知，abcd+efg=9063，abc+defg=2529首先從第一個算式可看出a=8從第二個算式可以出，d=1；再回到第一個算g=2，掉到第二個式c=7又回到第一個算式掉到第二個算式b=3那么e=6。所以，王老師家的電號碼是8371692。3.將一個四位數(shù)的各位順序顛倒過來得到一個新的四位數(shù)．如果新數(shù)比原大7902，那么在所有符合這樣件的四位數(shù)中，原數(shù)最是多少？---

--分析：用abcd表示愿四位數(shù)，那么新位數(shù)為，dcba-abcd=7902由最高為看起最大為，則d=9；但個位上10+a-d=2所a能是1接下來看百位，最大是9那么，c=8正能滿足要求。所以，原四位數(shù)最大是1989。三、拓展提升1.知圖4-6所示乘法豎式成立．那么多少？分析：由1/7的點易知，ABCDE=42857142857*3=428571。2.某個自然數(shù)的個位數(shù)字是4，將這個移到左邊位數(shù)字的前面，所構成新數(shù)恰好是原數(shù)的4倍．原數(shù)最小是多少？---

--分析：由個位起逐個推4*4=16，原十位為6；4*6+1=25，百位為；原千位2；4*2+2=10，萬位為01*4=4，正好所以，原數(shù)最小是1025643.在圖4-7所示的豎式中同的字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同數(shù)字．則符合題意的數(shù)“迎春杯競賽贊”是多少？分析同第10題一樣也利用特點因為每個字母代表不同的字，因此“好”只有3和6可選：好3則：142857*3=428571好6，則：142857*6=857142；兩個都能滿足，所以，符合題意數(shù)“迎春杯競賽贊”可是或857142（三）義運算定義新運算通常是用殊的符號表示特定的運算意義的符號不同于課本上確定義或已經(jīng)約定的符號，例如+---

---、×、>、<”。表示運算意義的表達式，通常使用四則運算符號，例ab=3a-3b，新運算使用的符號☆，而等號右邊表示運算意義的則是四則運算符號。正確解答定義新運算類問題的關鍵是要確切理解新運算的意義，嚴格按照定的法則進行運算。如果沒有給出用字母表示的規(guī)則，則通過給出的具體的數(shù)字表達式，先求出表示定義規(guī)則的一表達式，方可進行運算。值得注意的是義新算一般是不滿足四則運算中的運算律和運算性質，所，不能盲目地運用定律和運算性質解題。一、例題與方法指導例1.設ab都表示數(shù)，規(guī)定eq\o\ac(△,a)表示a的4倍減b的倍，即b=4××試計算eq\o\ac(△,5)6，eq\o\ac(△,6)。解5△6-5×4-6×3=20-18=2eq\o\ac(△,6)5=6×3=24-15=9說明數(shù)交換。

例義的△沒有交換律算中不得△前后的---

--例2.對兩個數(shù)、b,規(guī)定☆表示×試計算5☆6）☆☆（☆7思路導航：先做括號內(nèi)的運算。解（☆6（×3+6×27=277=27×3+7×5☆6☆7）=5（××）=5☆32=5××2=79說明

本題定義的運算不滿結合律與常規(guī)的運算有區(qū)別的。例3.已eq\o\ac(△,2)×3，eq\o\ac(△,4)×5，一般地，對自然數(shù)ab，eq\o\ac(△,a)b表示×…（a+b-1）計算（eq\o\ac(△,6)3）eq\o\ac(△,5)2思路導航：原式=6×7--5=336-30規(guī)定a=a+(a+1)+(a+2)+…（a+b-1,其中a,b表---

--自然數(shù)。例4.求1100的值。已知eq\o\ac(△,x)10=75,求思路導航：（式=1+2+3+…（1+100100÷（）式即x+(x+1)+(x+2)+…+X+9=75,所以10X+(1+2+3+…+9)=7510x+45=7510x=30x=3二、鞏固訓練1.若所有b,ab×x,x是一個與b關的常數(shù)；☆b=(a+b)÷2,且eq\o\ac(△,1)3）☆3=1△（33---

--2.如規(guī)定：××4，=3×45，××6，……，⑨=8××10求⑨+⑧⑦⑥-⑤④的值。三、能力提升---

--（四）兔籠雞兔同籠問題是指雞兔同在一個籠中知雞與兔的總頭數(shù)以及雞與兔的總數(shù)，求雞和兔各是多少只的應用題。這種類型題是古代趣，在現(xiàn)實生活和生產(chǎn)中應用廣泛，有著十分重要的使用價。---

--雞兔問題，也叫簡換題。解答時，一般采用假設法，即假定全部的只數(shù)都是或者是兔，算出假定情況下的足數(shù)和實際上的足數(shù)和、足差，然后推算出雞和兔的只數(shù)。計算時的主要數(shù)量關是：1.果假定全部是兔，則雞的只=每只兔足數(shù)×總頭數(shù)－總足數(shù)）÷（每一只雞與兔足數(shù)的差）簡單理解就是：雞的只=4×總數(shù)－總足數(shù)）÷兔的只=頭數(shù)－的只數(shù)2.果假定全部是雞，則兔的只（總足數(shù)每只雞的足數(shù)×總頭數(shù)）÷（每一只雞與兔足數(shù)的差）簡單寫就是兔的只=總足數(shù)×總頭數(shù)）÷2雞的只=頭數(shù)－的只數(shù)一、例題與方法指導---

--例1.雞兔同籠，共有100個頭，320腳，問雞和兔各是多少只？思路導航：雞有只腳，兔有4只腳，果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來，當成一只，兩只后腳也用繩子捆起來，當成一只腳，那么兔子和雞樣，都是只腳。雞和兔的總腳數(shù)就是1002=200（只但實際320只腳要少320－（什么會少了120只腳呢？是因為每只兔子只算一只前腳只后少算了一只前腳和一只后腳。也就是說每只兔子都算了兩只腳，一共少算了120只，所以兔子應該有1202=60只解法一：

解法二：2×100=200只）×100=400只）－（只）400－320=80（只）÷2=60（只）802=40（只）－（只）100－40=60（只）---

--答：雞有只兔有60只例2.5元幣和元紙幣總張數(shù)是200張，已知們的總面值是940元，這兩紙幣各多少張？思路導航：（）設200張紙幣全是2元，共值：2×200=400（元）（）實際少：－400=540（元）（）2換成5元，每張增加：5－（元）（）5紙幣有：÷（張）（）2紙幣有：－張）答：有張520張2元紙幣。例3.雞兔同籠，雞比兔多25只，數(shù)共176只，雞、兔各多少只？思路導航：---

--假設去掉多的25只，則一共去掉2×25=50（只）腳，那么176－50=126（只）腳是雞和兔一樣多的腳的總數(shù)量，而一對雞兔共2＋4=6（只）腳，可求出去掉25只雞以后一共多少對和兔，然后再加上去掉的只。2×25=50（只）－50=126只）2＋4=6（只）÷6=21（對）‥‥‥雞、兔各21+25=46（只）‥‥‥雞的只數(shù)答：雞有46只兔有。二、鞏固訓練1.兔同籠，共有頭，腳252只雞兔各多少只？---

--2.兔同籠，共有頭，雞的數(shù)比兔的腳數(shù)多40，雞兔各多少只？3.30枚硬由2和5分組成，共值角9，兩種硬幣各多少枚？三、拓展提升1.兔共100，雞的腳數(shù)比兔少40，雞兔各多只？---

--2.46人去船，一共乘坐船，其中大船坐7，小船坐人，大小船各多少條？3.車棚共停放三輪車和自行車共39輛種車輪總和96個，三輪車和自行車多少輛？（五）程題行程問題是小學奧數(shù)變化最多的一個專題論在奧數(shù)---

--競賽中還是在“小升”的升學考試中，都擁有非常重要的地位。行程問題中包：火車過橋、流水行船、沿途數(shù)車、獵狗追兔、環(huán)形行程多人行程，等等。每一類問題都有自己的特點，解決方法有所不同，但是，行程問題無論怎么變化，都離不開“三量，三個關系這三個量是：路程(s)、速度v)、時間t)三個關系：簡行程：路程=速度×時2.相遇問題：路程和=速度和×時間3.追擊問題：路程差=速度差×時間牢牢把握住這三個量及它們之間的三種關系，就會發(fā)現(xiàn)解決行程問題還是很多方法可循的。①追擊及問題一、例題與方法指導例1.有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā)繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走---

--40米乙每分鐘走38米，丙每分鐘走。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇圃的周長是多少米？思路導航：這個三人行程的問題兩個相遇一個追擊組成題目中所給的條件只有三個的速度以及一“分鐘的時。第一個相遇：在3分的時間里，甲、丙的路程和為（3=228（米）第個追擊：這228是由于在開始到甲、乙相的時間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過，可求出甲、乙相遇的時間為228÷（38-36）=114（分鐘）第二個相遇：在114鐘里，甲、乙二人一走完了全程所以花圃周長為（40+38）×114=8892（）我們把這樣一個抽象三人行程問題分解為三個簡單的問題，使解題思路更清晰。例2.東兩地間有一條公路長217.5甲車以每小時25米的速從東到西地，1.5時后，乙車從西地出---

--發(fā)，再經(jīng)過小時兩車還相距15千。乙車每小時行多少千米？思路導航：從圖中可以看出，要乙車每小時行多少千米，關鍵要知道乙車已經(jīng)行多少路程和行這段路程所用的時間。解甲車一共行多少小時1.5+3=4.5（小時）（甲車一共行多少千米路25×4.5=112.5（千米）（）車一共行多少千米路？217.5-112.5=105千米）（）乙車每小時行多少千米(105-15)3=30（千米）答：乙車每小時行30千米。例3.兄二人同時從家里出發(fā)到學校，家與學校相距1400。哥哥騎自行車每分鐘行200米，妹妹每分鐘走---

--80米哥哥剛到學校就立即回來在途中與妹妹相遇。從出發(fā)到相遇，妹妹走幾分鐘？相遇處離學校有多少米？思路導航：從圖中可以看出，哥妹妹相遇時他們所走的路程的和相當于從家到學校距離的2。因此本題可以轉化為“哥哥妹相距2800兩同時出向而哥哥每分鐘行米，妹妹每分鐘行80，經(jīng)過幾分鐘相遇？”的問題解答就容易了。到學校的距離的14002=2800（米）（）出發(fā)到相遇所需的時2800÷（200+80）=10（）（）遇處到學校的距離1400-8010=600（米）答：從出發(fā)到相遇，妹走了10鐘，相遇處離學校有600米二、鞏固訓練---

--1.兩市相距328千，甲、乙兩人自行車同時從兩城出發(fā)，相向而行。每小時行28千米，乙每小時行22千乙在中途修車誤1小然繼續(xù)行與甲相遇，求出發(fā)到相遇經(jīng)過多時間？2.快和慢車同時從甲乙兩地相對開，已知快車每小時行米，經(jīng)過3小時快已過中點12米與慢車相遇，慢車每小時行多千米？---

--3.小和小明同時從甲、乙兩城相向行，在離甲85千米處相遇，到達對城市后立即以原速沿原路返回，又在離甲城千米處相遇，兩相距多少千米？三、拓展提升1.客和貨車同時從甲、乙兩地相對出，客車每小時行54米，貨每小時行千米，兩車相后又以原來的速度繼續(xù)前進，客到達乙站后立即返回，貨車到達甲站后也立即返回，兩車次相遇時，客車比貨車多行216千米。求甲乙兩站相距少千米？---

--2.甲乙、丙三輛車同時從A出發(fā)到B地去甲、乙兩車速度分別為每小60千米48千米，有一輛迎面開來的卡車分別在他們發(fā)后小時7小時、小時先后與甲、乙、丙三車相遇求丙車的速度。:3.列火車從某站相背而行，甲車每時行58千米，開出小時后車以每小時62千米才出，乙車開出5小時后，兩列火車相距多千米？②火車過---

--過橋問題也是行程問的一種。首先要弄清列車通過一座橋是指從車頭上橋車尾離橋。列車過橋的總路程是橋長加車長這是解決過橋問題的關鍵。過橋問題也要用到一般行程問的基本數(shù)量關系：過橋問題的一般數(shù)量系是：因為：

過橋的路程=橋長+車所以有：通過橋的時=（橋+車）÷車速車速=（橋+車長）÷過橋時間公式的變形：橋長=車速過橋時間車長車長=車速過橋時間—橋長后三個都是根據(jù)第二關系式逆推出的?；疖囃ㄟ^隧道的問題過橋問題的道理是一樣的，也要通過上面的數(shù)量關系來解。一、例題與方法指導例1.一客車經(jīng)過南京長江大橋，大長6700米，列客車長100米，火車每鐘行400米這列客車經(jīng)過長江大橋需要多少分鐘---

--思路導航：從火車頭上橋，到火尾離橋，這之間是火車通過這座大橋的過程，也就是橋的路程是橋長+車長。通過“過橋的路程”和“車速就可以求出火車過橋的時間。（）橋路程：6700100=6800（米）（）橋時間：6800÷=17（分）答：這列客車通過南長江大橋需要17分。例2.

一列火車長160米全車通過440米的橋需要30秒，這列火車每秒行多米？思路導航：要想求火車過橋的速，就要知道“過橋的路程”和過橋的時間。（）橋的路程：+440=600（米）（）車的速度：600÷=20米）答：這列火車每秒行20米。---

--例3.某火車通過360米的第個隧道用了24秒，接著通過第二個長米隧道用了16鐘求這列火車的長度？思路導航：火車通過第一個隧道通過第二個隧道多用了，為什么多用秒？原因是第一個隧道第二個隧道長216=144米144米正好和秒相對，這樣可以求出車速?；疖?4行進的路程包括隧道長和火車長，減去已知的隧道長，就火車長。（）一個隧道比第二個長少米？360216=（米（）車通過第一個隧道比二個多用幾秒？24—=8（）（）車每秒行多少米？144=18米）（）車行多少米？18×=432米）（）車長多少米？432360=米）---

--答：這列火車長72米二、鞏固訓練1.某火車通過342米的隧道了，接著通過234米隧道用了秒，這列火車與另一列長米，速度為每秒米列車錯車而過，問需要幾秒鐘？2.一火車全長265米，每秒駛，全車要通過一座985米長的大橋，問要多少秒鐘？3.

一列長50的火車過200米長的山洞用了25秒鐘，這列火車每秒多少米？---

--三、拓展提升1.一長240米的火車以每秒30米的速度過座橋，從車頭上橋到車尾離用了分鐘求這座橋長多少米？2.一貨車全長240米，每秒駛，全車連續(xù)通過一條隧道和一座橋共用秒鐘，橋長150米，問這條隧道長多少米---

--3.一火車開過一座長1200米的大橋，需要75鐘，火車以同樣的速度開路旁的電線桿只需15鐘，求火車長多少米？4.在下行軌道上列火車相對開列火車長米，每秒行米，一列火車每秒行，兩列火錯車而過用了秒鐘求另一列火車長多少米？（六）樹題只要我們稍加留意，會看到在馬路兩旁一般都種有樹木。細心觀察，這些木的間距一般都是等距離種植的。路長、間距、棵數(shù)之間在著確定的關系，我們把這種關系叫做“植樹問題而樹問題，一般又可分為封閉型的和不---

--封閉型的（開放型的封閉型的和不封閉型植樹問題別在于間隔數(shù)）與棵數(shù)的關系：1不閉型的（多為直線上情為兩端植樹如下圖所示，其路長、距、棵數(shù)的關系是：但如果只在一端植樹如右圖所示，這時路長、間距、棵數(shù)的關系就是：如果兩端都不植樹，么棵數(shù)比一端植樹還要再少一棵，其路長、間距、棵數(shù)關系就是：2、封閉型的情況（多為圓周下圖所示，那么：---

--植樹問題的三要素：總路線長、間距距長、數(shù)．只要知道這三個要素任意兩個要素，就可以求出第三個．植樹問題的分類：⑴直線型的植樹問題⑵閉型植樹問題⑶特殊類型的植樹問題一、例題與方法指導例有一條公路長米在公路的一側每隔5米栽一棵垂柳，可種植垂多少棵?思路導航：每隔米栽一棵垂柳即以兩棵垂柳之間的距離米為一段。公路的全長米分成米一段，么里包含有10005=200段。由于公路的兩端都要求種樹，所以種植的棵數(shù)比分成的段多1以種植垂柳200+1=201棵。---

--例某一淡水湖的周長1350米在湖邊每隔9米種柳樹一株兩株柳樹間種植2株夾枝栽柳樹多少株可栽夾枝桃多少株?兩株夾枝桃之間相多少米?思路導航：在圓周上植樹時可栽的株數(shù)等于分成的段數(shù)以，可栽柳=1350÷株兩柳樹之間等距離地栽株夾枝桃，而間隔數(shù)段數(shù)）為150，所以栽夾枝桃的株數(shù)=2150=300株；隔9米種柳樹株，在兩株夾枝桃之間等距地栽株夾枝桃，這就變成兩都不植樹的情形，即2株等距離栽在9的直線上，不含兩端，所以，每兩之間的距=9÷(2+1)=3(米。例3一條街上，一旁每隔8米一個廣告牌，從頭到尾有16個廣牌，現(xiàn)在要進行調(diào)整，變成每12米有一廣告牌。那么除了兩端廣告牌外，中間還有幾個牌不需要移動？思路導航：16個廣告牌，每相鄰的兩個廣告牌的間隔為8米，則有16-1=15個間隔街的長度為×＝（米---

--現(xiàn)在要調(diào)整為每12一個廣告牌，那么不移動的牌離點的距離一定既是8的倍數(shù)，時也是12的倍數(shù)；××，也就說，每24米及倍數(shù)處的廣告牌可以不需要移動；12024＝，即段為5個但要扣除兩端的2個，所以，中間不需移動的有5-1=4個事實上，所謂植樹問只是我們對這一種類型問題的總稱，并不單指植樹問。例如，與之類似的還有爬樓（梯）問題、隊列問題、敲問題、鋸木頭問題的等。所以，植樹問題又稱上樓梯問題二、鞏固訓練1某人要到一座高層的第辦事，不巧停電，電梯停開。如果他從層走到4層需要48請問以同樣的速度走到八層，還需要少秒？---

--2光華路小學三年級生有125人參加運動會入場式，他們每人行，前后每行間隔為2米，主席長42米，他們以每分鐘45米速度通過主席臺需要多少分?3下圖是五個大小相的鐵環(huán)連在一起的圖形的長度是多少？十個這樣的環(huán)連在一起有多長？4一個木工把一根長的木條鋸成了米長的小段每鋸斷一次要用5鐘，共需多少分鐘---

--三、能力提升1、一個街心花園如圖所示，它由四個大小相等的等邊三角形組成。已知從每小三角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有9花問大三角形邊上栽多少棵花？整個花園中共栽多少棵花？2、時鐘點敲下，用12秒敲完。那么6點鐘敲6，幾秒鐘敲完？---

--3鐵路旁每隔米有一根電桿，某旅客為了計算火車速度，測量出從經(jīng)過第1根電線桿起到經(jīng)過第37根電線桿止共用了分火車的速度是多少？（七）趣數(shù)陣圖把一些數(shù)字按照一定要求排成各種各樣的圖形這類問題叫數(shù)陣.數(shù)陣是一種由幻方演變來的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多，這里只大家介紹三種數(shù)陣圖，即封閉型數(shù)陣圖射型數(shù)陣圖和合型數(shù)陣圖為讓同學們學會解數(shù)陣圖的分析思考方法，們舉例說.一、例題與方法指導---

--例1.在圖的九個方格中填入不大于12且互不相同九個自然數(shù)（其中已好一個數(shù)得任一行、任一列及兩條對角線上的三個之和都等于21。思路導航：由上一講例4知中間方格中的數(shù)為7設右下角的數(shù)為x，然后根據(jù)任一行、任列及每條對角線上的三個數(shù)之和都等于，下圖所示填上各數(shù)（含x因為九個數(shù)都不大于12，由－12知4x，由x+212知≤10，即4≤x≤10考慮到5，，已填好，所以只能取68或。驗證，x＝或時，九個數(shù)中均有兩數(shù)相同，不合題意；當x＝4或時可得兩個解（見下兩個解實際上一樣，只是方向不同而已。---

--例2.將個數(shù)填入下圖的空格中，使每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)和都相等，則一定有證明：思路導航：設中心數(shù)為。由上講例4知每行、每列、每條對角線的三個數(shù)之和都等于3d由計算出第一行中間的數(shù)為2d—b，右下角的數(shù)2d-c（見下圖根據(jù)第一行和第三列可以求出上圖中★處的數(shù)由此得到3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c3d-c-2d＋b＝cd——b＝d——＋，2cab，a＋b＝。---

--值得注意的是論對于a和b并沒什么限制，可以是自然數(shù)，也可是分數(shù)、小數(shù)；可以相同，也可以不同。例3.在頁右上圖的空格中填入七個然數(shù)，使得每一行、每一列及每一條角線上的三個數(shù)之和都等于。思路導航：由上一講例4知中心數(shù)為90÷3＝30由本講例2，右上角的數(shù)為（23＋57）÷240（左下圖它數(shù)依次可填（見右下圖例4.在圖的每個空格中填入個自然，使得每一行、每一列及每條對角線的三個數(shù)之和都相等。思路導航：由例知，右角的數(shù)為---

--（＋）÷2=9；由上一講例4知，中心數(shù)為（5＋（見左圖行、每列、每條對角線上的三數(shù)之和都等于×。由此可得如圖的填法。二、鞏固訓練1.將1~6分填在圖中,使每邊上的三個○內(nèi)的數(shù)的和相.2.把1~8個數(shù)分別填○中,使每條邊上三個數(shù)的和相等---

--3.把1~9個數(shù)分別填○中,使每條邊上四個數(shù)的和相等4.把1~10填入圖,使五條邊上三個○內(nèi)數(shù)的和相等5.將1~8個分別填入圖中使每個圓圈上五數(shù)和分---

--別為20,21,22.練習1.把1~7填入下圖,使每條線段上三○內(nèi)的數(shù)的和相.---

--2.把1~16入下圖,使每條邊上4個的和相等,兩個八邊形上8數(shù)的和也相等3.把4~9填入下圖中使每條線上三個數(shù)的和相等都18.---

--4.把1~8這個數(shù)入下圖,使每邊上的加、減、乘、除成立-=÷=

+=×=5.把0~9填10個小角形中使每4個小角形組成的大三角形的和相等---

--6.把1~11填入圖中,使每條線上三個數(shù)的和相等7.把1~8,填入圖,使每條線及正形四個頂點上的數(shù)的和相.---

--8.把1~9,填入下圖中,每條線段三個數(shù)和及四個頂點的和也相等9.把17,23,25,31,46,53,58,66,72,88,94,100十二數(shù)填入下圖使任意三個相鄰數(shù)相加的和除以7的余數(shù)相等---

--（八）舉一般地，根據(jù)問題要一枚舉問題的解答，或者為了解決問題的方便問題為不重復不遺漏的有限種情況，一一枚舉各種情況，加以解決，最終達到解決整個問題的目的。這種分析問題解決問題的方法，稱之為枚舉法。枚舉法是一種常見的數(shù)方法，當然枚舉法也存在一些問題，那就是容易遺漏掉一情況，所以應用枚舉法的時候選擇什么樣的標準尤其重要一、例題與方法指導例1.一本書共100頁，在排頁碼時要用多少個數(shù)字是---

--6的鉛字？思路導航：解：把個位是6和位是6的一個一個地列舉出來，數(shù)一數(shù)。個位是6的數(shù)字有、16263646、、、768696，共10個。十位是的數(shù)字：6061、6263、、65、、676869，共10個。總共10+10=20（個）答：在排頁碼時要用20數(shù)字是6的鉛字。例2.從市到B有條B到C有條路。從市經(jīng)過B市C市有幾種走？（適于三年級程度）思路導航：解：作圖3-1，然后把每一種法一一列舉出來。第一種走法：A①BC第二種走法：A①BC---

--第三種走法：A②BC第四種走法：A②BC第五種走法：A③BC第六種走法：A③BC答：從市經(jīng)過市到C市共有6種走法。例3.印刷工人在排印一本書的頁時共用1890個數(shù)碼，這本書有多少頁思路導航：（）碼一共有10：、1、2……、9。不能用于表示頁碼，所以頁是一位數(shù)的頁有9，用數(shù)碼個。（）碼是兩位數(shù)的從第10頁到第。為99-9=90，所以，頁碼是兩數(shù)的頁有90頁，用數(shù)碼：2×90=180（個）（）剩下的數(shù)碼：---

--1890-9-180=1701個）（為頁碼是三位數(shù)的頁每頁用3個數(shù)碼100頁到999頁999-99=900，而剩下的數(shù)碼除以3時，商不足600，即商小900所以頁最高是3數(shù)，不必考慮是4位數(shù)了看1701數(shù)碼可以排多少頁。1701÷3=567（頁）（）本書的頁數(shù)：9+90+567=666（頁）二、鞏固訓練1.圖9-108卡片面分別寫著自然數(shù)1至。從中取出3，要使這張卡片上的字之和為。有多少種不同的取法？---

--2.至8這個然數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)相加，要使它們的和大10，共有少種不同的取法？3.現(xiàn)在1、分和5分的硬幣各4，用其中的一些硬幣支付23分錢，一共多少種不同的支付方法？4.媽買來7個雞蛋，每天至少吃個，吃完為止，多少種不同的吃法？5.個工廠訂300份吉林日報個工廠最少訂99，最多101份問一共有多少種不同的法？---

--三、能力提升1.甲乙、丙、丁名同學排成行。從左到右數(shù)，如果甲不排在第一個位置，乙不排在第二個位置上，丙不排在第三個位置上，丁不在第四個位置上，那么不同的排法共有多少種？2.abcd代一個四位數(shù)，其中a，，c，均為，2，34中某個數(shù)字，但彼此不同，例如2134請寫出所有滿足關系a＜b，b＞＜的四位數(shù)abcd。---

--3.一個兩位數(shù)乘以5，所得積的結果是一個三位數(shù)，且這個三位數(shù)的個位百位數(shù)字的和恰好等于十位上的數(shù)字。問一共有多少個樣的數(shù)？4.3運動衣上的號碼分別1，2，3，甲、乙、丙3人各穿一件?，F(xiàn)在25個小球，首先發(fā)給甲個球，2個球，丙個球。規(guī)定3從余下的球中各取球一次，其穿1號衣的人取他手中數(shù)的1倍穿2號衣的取他手中球數(shù)的3倍號衣的人取他中球數(shù)的倍取走之后還剩下兩個球。那么，穿的運動衣的號碼是多少？---

--5.甲、乙兩人打乒乓球，誰先勝兩局贏；如果沒有人連勝兩局，則誰先勝局誰贏，打到?jīng)Q出輸贏為止。那么一共有多少種可能的情？（九）輯理曾經(jīng)愛因斯坦出過一測試題,他說世界上有98%的人回答不!!我們一來看看是什么題呢。在一條街上有5座色不同的房子，住著5個不同國家的人，他們抽著種不同的煙，喝著5不同的飲料，著5種不同的寵物。有面15個已知條，求解。1、英國人住紅色房子。2、瑞典人養(yǎng)狗。---

--3、丹麥人喝茶。4、綠色房子在白色房子左面5、綠色房子主人喝咖啡。6、抽PallMall香煙人養(yǎng)鳥。7、黃色房子主人抽Dunhill煙。8、住在中間房子的人喝牛奶9、挪威人住第一間房。10抽Blends香的人住在養(yǎng)貓的人隔壁。11養(yǎng)馬的人住抽Dunhill煙的人壁。12抽BlueMaster的人喝啤。13德國人抽Prince香。14挪威人住藍色房子隔壁。15抽Blends香的人有一個喝水的鄰居。問哪個國家的人養(yǎng)魚這道題為什么會難倒么多人呢首先我們就來研究一下關于他的最基本的輯問題吧。一、例題與方法指導---

--例1.某質學院的學生對一種礦石進觀察和鑒別：甲判斷：不是鐵，也是銅。乙判斷：不是鐵，而錫。丙判斷：不是錫，而鐵。經(jīng)化驗證明：有一個的判斷完全正確，有一個人說對了一半，而另一個人全說錯了。你知道三人中誰是對的，誰是錯的，誰是只對半的嗎？思路導航：丙全說對了，甲說對一半，乙全說錯了。先設甲全對，推出矛盾后，再設乙對，又推出矛盾，則說明丙全對，甲說對了一半，乙全說了。例2.數(shù)競賽后，小明、小華和小強獲得一枚獎牌，其中一人得金牌一得銀牌一得銅牌老師猜測明得金牌，小華不得牌，小強不得銅牌”結果老師只猜對了一個，那么誰得牌，誰得銀牌，誰得銅牌？思路導航：小華得金牌，小強得牌，小明得銅牌。（）小明得金牌，小華一“不得金牌與“老師只---

--猜對了一個”相矛盾不合題意。（）若小華得金牌，那么“小明得金牌”與小華不得金牌”這兩句都是錯的那么“小強不得銅牌”應是正確的，那么小強得銀牌，小得銅牌。例3.一法官在審理一起盜竊案中，涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁行了審問。四人分別供述如下：甲說犯在乙、、丁三人之中乙說沒有做案是丙偷的丙說甲和丁中有一人是罪犯丁說說的是事經(jīng)過充分的調(diào)查，證這四人中有兩人說了真話，另外兩人說的是假話。同學們，請你做一名正的法官，對此案進行裁決，確認誰是罪犯？思路導航：乙和丁是盜竊犯甲說的是假話那么剩下三人中有一人說的也是假話，外兩人說的是真話。可是乙和丁兩人的觀點一致，所以在下的三人中只能是丙說了假話，乙和---

--丁說的都是真話。即丙是盜竊犯這樣一來，甲說的也是對的，不是假話。樣，前后就產(chǎn)生了矛盾。所以甲說的不可能是假話，只能真話。同理，剩下的三人中只能是丙說真話。乙和丁說的假話，即丙不是罪犯，乙是罪犯。又由甲所述為真話，即不是罪犯。再由丙所述為真話，即丁是罪犯。二、鞏固訓練1.小、小張、小李三人在一起，其一位是工人，一位是戰(zhàn)士，一位是大生。現(xiàn)在知道：小李比戰(zhàn)士年齡大，小王和大學生不同歲大學生比小張年齡小。那么三人各是什么職?2.甲乙、丙分別是來自中國、日本英國的小朋友。---

--甲不會英文乙不懂語卻與英國小朋友熱烈交談問甲、乙、丙分別是哪國的朋友？3.徐王、陳、趙四位師傅分別是工的木工、車工、電工和鉗工，他們都象棋迷。（）車工只和電工下棋；（）王、陳兩位師傅經(jīng)常與工下棋；（）徐師傅與電工下棋互有負；（）陳師傅比鉗工下得好。問：徐、王、陳、趙位師傅各從事什么工種？（十）推的妙用---

--師說里有10張紙，依次寫著1-10我閉上眼睛，你任意抽一張出來抽好了回答道把你的那張牌上的數(shù)乘上6加9然后除以再加上2好后告訴我得數(shù)是幾任意找學抽卡片）乙又說數(shù)是23那她抽的那一張是幾？這個數(shù)是9我們怎么知道？同學們你們都知道其中的奧秘嗎？讓這節(jié)課來告訴大家，利用倒推法，倒推法根據(jù)加法與減法、乘法與除法互相逆運算的關系，從最后的數(shù)出發(fā)。因為加上2后得到，就要減去2，得21；以3后得到的，要乘上，得6363是加上9后得到，就就要減去9得；54是乘6得到的，就要除以，得。所以乙抽到的那一一定是。一游戲，只要你知道其中的奧秘，你就不會大驚小怪了。---

--一、例題與方法指導例喜迎奧運，猜年齡劉翔的年齡除以4再減去2,乘25正好是100.你道劉翔今幾歲嗎？思路導航：①100÷25+24②100÷(25+24)③÷25+2)×4到底是哪個呢？倒推法的方法：從結出發(fā)，從后向前運算，并且每個運算變成它的逆運算。正確案③例2.籃子里有一些梨小剛取走總數(shù)的一半多.小明取走余下的一半多1個小取走了小明取走后剩下一半多一.這時籃里還剩梨1.問：籃子里原有梨多少？思路導航：依題意，畫圖進行分.解：列綜合算式：---

--1）×21］×＋1｝×2＝個）答：籃子里原有梨22個例3.菜站原有冬貯大白菜若千.第一天賣出原有大白菜的一半第二天運進200千克.第三天賣出現(xiàn)有白菜一半又克結果剩余白菜的3是1800千克原有冬貯大白菜多少千克？思路導航：解題時用倒推法進行析根據(jù)題目已知條件畫線段圖（見下圖數(shù)量系清晰的展現(xiàn)出.解：①剩余的白菜是少千克？1800÷3＝（千）②第二天運進200千后的一半是多少千克600＋＝630（千）③第二天運進200千后有白菜多少千克？630×21260（千克）---

--④原來的一半是多少克？1260—200（克）⑤原有貯存多少千克106022120（千克）答：菜站原來貯存大菜2120克綜合算式：1800÷＋30）×—200］×＝（千克）答：菜站原有冬貯大菜2120克通過以上例題說明，倒推法解題時要注意：①從結果出發(fā)，逐步前一步一步推.②在向前推理的過程，每一步運算都是原來運算的逆運.③列式時注意運算順，正確使用括號二、鞏固訓練---

--1.次數(shù)學考試后，軍問于昆數(shù)學考試得多少于昆說得的分數(shù)減加上再以7最后乘以4得56.”朋友，你知道于昆得多少分嗎？2.小虎做一道整數(shù)法題時，把減數(shù)個位上的1成7，把減數(shù)十位上的7看成，結果得出差是111.問正確答案應是幾？3.林中的三棵樹上落著48只鳥.如果從第一棵樹飛走8只到第二棵樹上從第二棵上飛走只落到第三棵樹上時三棵樹鳥的只數(shù)相.問原來每棵樹上各落多少只鳥？---

--三、拓展提升1.一數(shù)學考試后，李軍問于昆數(shù)學試得多少.于昆說得的數(shù)減去8上，再除7最后乘以4，得56.”小朋友，知道于昆得多少分嗎？2.馬虎做一道整數(shù)減法題時，把減個位上的1看成7，把減數(shù)十位上的7看成，結果得出差是111.問正確答案應是幾？---

--3.林中的三棵樹上共落著只鳥如果從一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上從第二棵樹上飛走6只落到第三樹上，這時三棵樹上鳥只數(shù)相等問：原來多少只鳥？4.子里有一些梨剛取走總數(shù)的一半多一個小明取走余下的一半多個.小軍取走了小明取走后剩下一半多一.這時籃子里還剩梨1.問籃子里原有梨多少個？5.甲兩個油桶各裝了15千克油.售員賣了14千.后來，售貨員從剩下多油的甲桶倒一部分給乙桶使乙桶油增加一倍；然后從乙倒一部分給甲桶，使甲桶油也增加一---

--倍時甲桶油恰好乙桶油的3倍問售員從兩個桶里各賣了多少千克油？（十一）火柴棍游戲①擺圖形戲一、例題與方法指導例1.用8根火柴可以擺成一個正方形。現(xiàn)添兩根，用10火柴能出與這個正方形同樣大小的圖形嗎？思路導航：8根火柴擺一個正方，每邊必是兩根火柴。它可以分成四個小正方形如右圖)此只要用火柴擺出有個---

--同樣大小的小正方形圖形即可。下面的四個圖形都符合題意。例2.用火柴棍擺出八個大小一樣三角形和兩個一樣大小的正方形。思路導航：4根火柴可擺出一個方形4根火又可擺出一個同樣大小的正方形。把兩個正方形如右圖所示交叉放在一起，就形成八個相同三角形。②移動火柴，變換形游戲---

--一、例題與方法指導例1.右是用10根火柴棍擺成的一座房子。請移動2根火柴，使房子改變向。思路導航：如左下圖所示表示的2根火柴外火柴是左、右對稱的，所以改變子的方向與這些火柴無關，應移動虛線表示的2火柴見右下圖。例2.在下圖中移動根火柴棍使圖形成為只有三個正方形的圖形。思路導航：因為只能移動根火柴，所以圖中較長的邊3或4---

--火柴的)不能動中里面的4火柴移補到右上圖的相關位置上即可。例3.在下圖中移動根火柴棍變?nèi)切危⑶疫@個角形的面積之和與原來的六邊形面積相同思路導航：原圖中有6個三角形，變化剩下個三角形，這3個三角形與原來的6三角形的面積相同必然有一個三形的面積要增大。如右圖所示，移動虛線表示的火柴。圖中下面的大三角形積等于小三角形面積的倍。③去掉火，變換圖形游戲一、例題與方法指導例1.在下圖中去掉盡量少的火柴棍使得圖中不存在任何正方形。---

--思路導航：拿掉的火柴應能盡量的“破壞”正方形。如右上圖，拿掉虛線處的根火柴即可。拿法不唯。例2.

在左下圖中去掉4火柴棍使它變兩個完全相同的圖形組合。思路導航：左上圖的面積等于七邊長為1根柴棍的小正方形的面積之和。要達到規(guī)要求，必須去掉一個小正方形。剩下的部分劃分成兩個面等于三個小正方形面積的圖形。去掉右上圖中虛線所示的柴棍即可。（十二）巧求周長一）專題簡析：一個圖形的周長是指成它的所有線段的長度和。我們---

--已經(jīng)學會了求長方形正方形這些標準圖形的周長，那么怎樣運用長方形、正方的周長計算公式，巧妙地求一些復雜圖形的周長呢？對于一些不規(guī)則的比復雜的幾何圖形，要求它們的周長，我們可以運用平的方法，把它轉化為標準的長方形或正方形，然后再利用長公式進行計算。將一個大長方形或正形分割成若干個長方形和正方形，那么圖形周長就增加幾個長或寬；反之，將若干個小長方形或正方形合成個大長方形或正方形，圖形周長就會減少幾個長或寬。例題

下圖是一個樓梯的側圖，求此圖形的周長。2思路導航：如果把每臺階的寬度向上移到和最上層臺階同樣高的地方，把層臺階的高度向右移到和最下層的臺階長度一致的地方（下圖，這樣樓梯側面圖就轉化為一個長方形，然后我們用長方形周長計算公式求出此圖形的周長。---

--2米3米（＋3）×2=10米。練

習

一1下圖是一個樓梯的側面，如果在階上鋪地毯，要計算地毯的長度，可怎樣測量？2如下圖所示，小明和小玲同時從學到少兒書店，小明沿路線行走沿B線行走兩速度一樣，誰先到少兒書店？為么？學校A

B3，下圖是一個“凹”字形的園，求花園的周長位：米）---

例題

--12123060下圖是由個邊厘米的方形拼成的這個圖形的周長是多少米？思路導航：這題我們以用平移的方法將它轉化為一個長方形，如下圖：這個長方形的長含有4個小正方形的邊長×4=8厘米；寬含有2個方形的邊長，寬為2×2=4厘米。這個長方形的周長為×4＋2×2）×2=24米。練

習

二1，下圖是由個邊長為3厘為的正方形組成的圖形，求此圖形的周長。---

--2，下圖是由個邊長為2厘米的正方形組成的，求此圖形的周長。3，用24個邊長是厘米的正方形拼成一個長方形，這個長方形的周長是少厘米？例題3

兩個大小相同的正方拼成一個長方形后，周長比原來兩個正方形長的和減少了厘米來一個正方形的周長是多少厘米思路導航：根據(jù)題意畫出下圖。當兩個正方形拼成一長方形時，組成兩個正方形的8條邊就減少了2而知兩條邊的和是6厘米那么條邊長就是÷2=3米。所以，原來正方形周長是3×---

--4=12厘米。練

習

三1把兩個大小相同的正方形拼成一個方形后，周長比原來兩個正方的周長和減少10厘米。原來一個正方形的周長是多少？2把一個正方形剪成兩個大小相同的方形后，兩個長方形的周長和比原正方形的周長增加28分米。原來正方形的周長是多少？3邊長是48米的正方形成三個同樣大小的長方形，算一算，每個長形的周長是多少厘米？---

例題

--一個正方形，邊長是5厘為將個這樣的正方形如下圖一樣拼成個大正方形，問：拼成的大正方形的周長是多少？思路導航：從圖上可看出9個小正方形拼成的大正方形共有3每排由3個小正方形組成已知小正方的邊長是5厘，所以大正方形的邊長就是5×3=15厘米，大正方形的周長就是154=60厘米。練

習

四1，把16個邊長為厘米的小正方形拼成一個大正方形，這個大正方形的長是多少厘米？2，把6個邊長為厘米的小正方形如下圖拼成一個長方形，這個長方形的長為多少厘米？---

--3，把6個長為3厘米、寬為2厘米的小長方如下圖拼成一個大長方形，個大長方形的周長是多少？例題5

將一張邊長為厘米的正方形紙，剪成4完全一樣的小正方形片4個小正方形周長的和比來的正方形周長增加了少厘米？思路導航：將邊長36厘米的正方形，沿豎直方向剪一刀，周長的和就比原大正方形周長增加2個邊；再沿水平方向剪一刀，又增個邊長，一共增加2×個邊長。所以這4個小正方周長的和比原來的正方形周長增加了364=144米。---

--練

習

五1，將一張邊長為12米的方形紙，剪成個完全一樣的小正方形這4小正方形周長之比原來的大正方形的周長增加了少厘米？2，把一個邊長為20米的方形，如下圖剪成個完全一樣的小長方形這個小長方周長的和與原來的正方形相比，增加了多厘米？3，將一個長為8分米，寬為分的長方形如下圖剪成個完全樣的小長方形6小長方形周長之和原來的正方形周長增加多少分米？（十三）

巧求周長（二）專題簡析：在解答比較復雜的關長方形、正方形周長計算的問題---

--時，生搬硬套公式往行不通，這時靈活地運用所學知識在解題中顯得相當?shù)闹?。解答稍復雜的有關長形、正方形周長的問題，首先要仔細觀察，認真思考想想已知條件和要求問題之間有什么聯(lián)系，應該先求什么再求什么，然后靈活運用長方形、正方形周長公式進行計。例題

把長130厘的鐵絲圍成一個長方形接頭處重合2厘使長比寬多18厘米寬各是多少厘米？思路導航把長130厘米鐵絲圍成一個長方形去掉接頭處重合的2厘米可知圍成的長方形的周長為－2=128厘。因為長方形的周=（長＋寬）2所以與寬的和為1282=64厘米。又因為題目中告訴長與寬的差為厘米，因此這道可以轉化為和差應用題來解。13-2=128厘÷2=64厘米長＋）÷厘米÷厘米練習

一

寬－）1如圖已知這個長方形的長為38米陰影部分---

--為正方形，求長方形長和寬。5厘米2小華家給長方形的院子裝上了籬笆，由于門寬2米所以籬笆墻共長16而這個長形的寬是長的一半。長和寬各是多少米？3個周長為米的正方形從中間剪開成為兩個大小相等的長方形。兩個長方形周長共多少厘米？例題2

一根鐵絲長厘米，圍成一個邊長為米的正方形，余下的鐵圍成一個長為14厘米的長方形。這個長方形的寬是多少米？思路導航：要求長方的寬是多少，必須先求出這個長方形的周長是多少，就是這根鐵絲余下的長度。（）正方形的周長8×4=32厘米（）方形的周長：－32=48厘（）方形的寬：÷2－14=10厘米練

習

二1，一根鐵絲長100厘，成一個邊長為10厘米的---

--正方形，余下的鐵絲成一個寬為10厘的長方形。這個長方形的長是多少厘？2，一根繩子長78米，圍成一個長12米，寬9厘米的長方形，余下的成一個正方形。這個正方形的邊長是多少厘米？3，一根鐵絲圍成一個邊長為7厘米的正方形，余下的正好圍成一個長為12厘、寬為10厘米的長方形。這根鐵絲長多少厘米？---

例題

--一個長方形的周長是方形的2倍，方形的邊長與長方形的寬都厘。長方形的長是多少厘米？思路導航：根據(jù)長方的周長是正方形的倍，我們就應先求出正方形的周，然后根據(jù)它們之間的關系，求出長方形的周長，再求出方形的長。（）方形的周長：4×4=16米（）方形的周長：16×2=32米（）方形的長：÷2－4=12厘米。練

習

三1，一個長方形的周長是正方的倍，正方形邊長與長方形的寬為6米。長方形長多少厘米？2，一個長方形的周長是正方的倍，正方形的邊長與長方形的寬為10米。長方形的長是多少厘米？---

--3，一張長方形紙，長米，寬厘米，剪下一個最大的正方形后，余的長方形紙周長是多少？例題4

三個同樣大小的長方正好拼成一個正方形，正方形的周長是48米，求每個長方形的周長。思路導航：要求每個方形的周長必須先求出每個長方形的長和寬，長方形長正好是正方形的邊長，寬是把正方形的邊長平均分成3份其中的1份根正方形的周長是48米，可求出它的邊長為48÷4=12厘米那么長方形的周長是（＋4）×2=32米。練

習

四1四個同樣大小的長方形正好拼成一正方形，正方形的周長為厘米長方形周長是多少？---

--2六個同樣大小的長方形正好拼成一如下圖的正方形，正方形周長為48米，每個長方形周長是多少？3明明用學具盒里的三個同樣大小的方形拼成了一個大長方形，已知大方形的周長是60厘米，長是寬的倍，求小長方形的周。例題

一張長方形的紙28米15厘米，先剪下一個最大的正形，再從余下的紙片中，再剪下一個最大的正方形。最后下的長方形周長是多少？思路導航據(jù)題中要求我們可以畫出一張示意圖。厘米第二次剪下

第一次剪下

厘米觀察圖形，我們發(fā)現(xiàn)第一次剪下的以寬為標準的邊長為15厘米的正方形，這時長邊還剩28－厘；---

--第二次剪下的以長邊下的13米為邊長的正方形，這時最后剩下的長方形寬13=2厘米，長為13厘米，即周長是＋）×2=30厘米。練

習

五1，一張長為25厘米，寬為10米的長方形，先剪下一個最大的正方形，下的長方形的周長是多少？2，一張長方形紙，長為厘米，寬為15米，先剪下一個最大的正方形再從余下的紙片中，又剪下一個最大的正方形，最后余下長方形周長是多少？（十四）面積計算專題簡析：---

--我們已經(jīng)學會了計算方形、正方形的面積，知道長方形的面=×寬，方形的面=長×邊長利用這些知識我們能解決許多有面積的問題。在解答比較復雜的關長方形、正方形的面積計算的問題時，生搬硬套公式往不能奏效，可以添加輔助線或運用割補、轉化等解題技。因此，敏銳的觀察力和靈活的思維在解題中十分重要。例題

把一張長為4米，寬為3的長方形木板，剪成一個面積最大的正形。這個正方形木板的面積是多少平方米？思路導航：要使剪成正方形面積最大，就要使它的邊長最長（如圖那只能選原來的長方形寬為邊長，即正方形的邊長是3。4米3米正方形的面積：×3=9米。練

習

一1，把一張長厘米，寬4厘米的長方形紙剪成一個面---

--積最大的正方形，這正方形紙的面積是多少平方厘米？2，把一塊長米、寬6分米的方形鐵板切割成一個面積最大的正方形，個正方形鐵板的面積是多少？3，將一張長10厘米、寬8厘的長方形紙片剪成一個面積最大的正方形那么剪下的另一個小長方形的面積是多少？例題

學校里有一個正方形壇周種了一圈綠籬，綠籬總長米花壇的面積是多少平方米？思路導航：要求正方花壇的面積，必須知道花壇的邊長是多少根據(jù)綠籬長是20可求出花壇的邊長為20---

--÷，所以花壇的面積是×5=25平方。練

習

二1個正方形的周長為厘那么這個正方形的面積是多少平方厘米？2運動場有一個正方形的游泳池，在泳池四周粘上瓷磚，瓷磚總長400米，求游泳池的面積是少平方米。3在公園里有兩個花圃，它們的周長等。其中長方形花圃長米寬20，求另一個方形花圃的面積。例題

求下面圖形的面積位：厘米）---

--142

3思路導航：這個圖形法直接求出它的面積，我們可以畫一條輔助線，將這圖形分割成兩個長方形。如下圖：142

3從圖上可以看出左長方形的長為4米寬為2厘米，面積為×2=8平方厘米；右邊長方形的長為3米，寬為1厘，面積為3×平方厘米。所以，這個圖形的面為：8＋3=11平方厘米。想一想：這道題還可怎樣畫輔助線，分割后求面積呢？練

習

三計算下面圖形的面積位厘米）40(1)20

3015---

--2(2)

2

(3)

4

11153

1

1

12例題

有兩個相同的長方形長是厘米，是厘米。如果把它們按下疊放，這個圖形的面積是多少？思路導航：如果兩個方形沒有疊放，那么它們的面積就8×3×2=48方厘米兩個長形重疊了一部分，重疊部分是個邊長3厘米正方形面積是×3=9平方厘米，因此，這個圖形面積是489=39平厘米。練

習

四1，兩張邊長8厘米的正方形，一部分疊在一起放在桌上如下圖，桌面被蓋住的面積是多少？8

44

888---

--2，求下圖中陰影部分的面積位：分米）77

22553，一個長方形與一個正方形分重合（如下圖沒有重合的陰影部分面相差多少？（單位：厘米）95

6例題5

5一個長方形若長增加2厘米，面積就增加10平方厘米，若寬減少3厘米，面積就減少18平方厘米。求原來長方形的面積。厘

從圖上可以看出，長加2厘，面積就增加方厘米，說明原來長方的寬是10÷2=5厘為；寬減少---

--米面積就減少方厘米說明原來長方形的