福建省福州市八縣(市、區(qū))一中2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題(含解析)

-24--24--24--24-福建省福州市八縣(市、區(qū))一中2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題(含解析)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.).已知命題P:3x0>1，使得lgx0 0，則「p為(Vx 1，總有l(wèi)gVx 1，總有l(wèi)gx>0Vx>1,總有l(wèi)gx>03x0J1，使得lgx0>0D.3x0 1，使得lgx0>0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題進(jìn)行求解即可．【詳解】命題是特稱(chēng)命題，則命題的否定是「P:Vx>1,總有l(wèi)gx>0成立,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查含有量詞的命題的否定，根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題.已知中心在原點(diǎn)的等軸雙曲線(xiàn)C：'—y2=1(a>0,b>0),右頂點(diǎn)為(；2,0)則雙曲線(xiàn)a2 b2C的焦距等于(22<244<222<244<2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等軸雙曲線(xiàn)的定義,右頂點(diǎn)以及雙曲線(xiàn)中a,b，c的關(guān)系式,計(jì)算可求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)C：三—y2=1(a>0,b>0)為等軸雙曲線(xiàn)，所以a=b,a2b2因?yàn)橛翼旤c(diǎn)為(<2,0)，所以a=b二<2,所以焦星巨2c=2、a+b2=2<2+2=4.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了等軸雙曲線(xiàn)的定義,雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.TOC\o"1-5"\h\z.不等式2x2+5x-3<0的一個(gè)必要不充分條件是( )A.-6<x<1 B.-3<x<1 C.-3<x<0 D.21 c--<x<32【答案】A【解析】【分析】乙 一…C 1 …… ………人、.…解一元二次不等式得-3<x<-,根據(jù)充分,必要條件的概念分析可求解.【詳解】由不等式2x2+5x-3<0得(2x-1)(x+3)<0,解得-3<x<1,因?yàn)?-3,1)=(-3,1),所以選項(xiàng)B為充要條件，因?yàn)?-3,0) (-3,1),所以選項(xiàng)C為充分不必要條件，因?yàn)?-1,3) (-3,1)，且(-3,1) (-1,3),所以選項(xiàng)D是既不充分也不必要條件,因?yàn)?-3,1) (-6,1),所以選項(xiàng)A是必要不充分條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了必要不充分條件,屬于基礎(chǔ)題.4.下列命題中正確的是( )A.命題“若x2-3x+2=0，則x=1”的否命題為“若x2-3x+2=0，則x豐1”B.命題“若平面向量a,b共線(xiàn)，則a,b方向相同”的逆否命題為假命題；C.命題“若a豐3或b中2，則a+b豐5”是真命題；D.命題“若a+b4，-則a、b中至少有一個(gè)大于等于2”的逆命題是真命題.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)寫(xiě)否命題時(shí),既要否定條件,又要否定結(jié)論可知，A不正確；

根據(jù)原命題為假命題且逆否命題與原命題同真假可知，B正確；根據(jù)逆否命題為假且原命題與逆否命題同真假可知，C不正確；根據(jù)否命題為假命題且逆命題與否命題同真假可知,，D不正確.【詳解】對(duì)于A，命題“若x2—3x+2=0，則x=1”的否命題為“若x2—3x+2中0，則x豐1”，故A不正確；對(duì)于B,因?yàn)閍=0時(shí)，滿(mǎn)足向量a,b共線(xiàn)，但是不能說(shuō)a,b方向相同，所以命題“若平面向量a,b共線(xiàn)，則a,b方向相同”是假命題,所以其逆否命題也是假命題，故B正確;對(duì)于C,因?yàn)槊}“若a中3或b2，則a+b豐5”的逆否命題”若a+b=5，則a=3且a=2”是假命題，所以原命題也是假命題，故C不正確；對(duì)于D,因?yàn)槊}“若a+b4，則a、b中至少有一個(gè)大于等于2”的否命題”若a+b<4,則a、b都小于2”是假命題，所以逆命題也是假命題，故D不正確.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了四種命題及其真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.x2 yx2 y2 x2 y2B.—+--1或一+--136 4 4 36D.三+22-1或￡ +土2-136 32 36 32Ax2,y2,1A.1-1364Cx2,y2,1c.1-13632【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得到a2-36,c2-4,b2-32后，討論焦點(diǎn)的位置可得橢圓方程.【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng),短半軸長(zhǎng),半焦距分別為a,b,c,因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，2a所以2a-12,2c—-,所以a-6,c-2，所以b2-a2-c2-36-4-32,當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2-1,3632-24--24--24--24--當(dāng)焦點(diǎn)在》軸上時(shí)，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程匕+J=1,二故選:D,故選:D,M是A1D.如圖所示，在平行六面體ABCD—ABCD中，AB=a,AD=b,AA=。1111 1的中點(diǎn)，點(diǎn)N是C的中點(diǎn)，點(diǎn)N是C^上的點(diǎn)，且CN：NA1=1：4.用a,b,c表示向量MN的結(jié)果是（ ）B.-a+-b+4cC.31010【答案】DC.31010【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形,向量減法的三角形法則可得.【詳解】如圖所示:【詳解】如圖所示:因?yàn)镸N=AN-AM=AC+CN-AA-AM--=AC+-CA-AA--AD5 - -2=AC+|(AA^-AC)-耳-2^AD '441二一AC--AA--ADTOC\o"1-5"\h\z5 5i24 41二一(AB+AD)--AA—AD5 5i24?3?4?=_AB+—AD——AA5 10 5i4-3—4——a+—b——c5 10 5.故^：^ —一【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形，向量減法的三角形法，屬于基礎(chǔ)題.7.空間四邊形ABCD中若AB±BD,CD1BD,AC―2,BD―1,則ac.bd=()_A.- B.1 C.<3 D.0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則以及平面向量的數(shù)量積計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)锳C-BD=(AB+BC)BD=(AB+BD+DC)，BD—AB?BD+BD2+DC-BD,因?yàn)锳B1BD,DC1BD，所以AB?BD=0,DC-BD=0,所以AC-BD=0+12+0=1,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的三角形法則以及平面向量的數(shù)量積,屬于基礎(chǔ)題..已知點(diǎn)P為拋物線(xiàn)y=1X2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在X軸上的射影為點(diǎn)H，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(12,6),4則pa+|PH|的最小值是()A.13 B.12 C.11 D.10【答案】B【解析】【分析】利用拋物線(xiàn)的定義,得?PA?+1PH1=1PA?+?PH?+1—1=?PA?+1PF?—1，再利用兩點(diǎn)之間

連線(xiàn)段最短可得.【詳解】如圖所示:設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，則F（0」），因?yàn)镮PAI+1PHI=1PAI+1PH1+1—1=IPAI+1PFI-1>1AFI-1\：'(12-0)2+(6-1)2-1=12,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F三點(diǎn)共線(xiàn),且P在線(xiàn)段AF上時(shí)，取得等號(hào)故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的定義,屬于基礎(chǔ)題..如圖，在正方體ABCD-ABCD中，M、N分別為AB、cc的中點(diǎn)，p為AD上一1111 11 1動(dòng)點(diǎn)，記a為異面直線(xiàn)PM與DN所成的角，則a的集合是（）--24--24--24-A.11)B.C.D.TOC\o"1-5"\h\z「5 」兀、B.C.D.{aI—<a<—}6 2「一?！关！aI—<a<—}4 2,G, ,兀、{aI—<a<—}3 2小Z)1 C1【答案】A【解析】分別以邊DA,DC,DD1所在直線(xiàn)為x軸，）軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系:小Z)1 C1設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1,P（x,0,0）（0<x<1），并能確定以下幾點(diǎn)坐標(biāo):)(0,0,1)1)(0,0,1)1,N0,1,-；V2APMAPM=j,-,1,DN=0,1,-7 1V2APM?DN=0 , 1APM1DN1故選A.已知雙曲線(xiàn)上-二=1（〃>0,b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)F與拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)相a2b2同，點(diǎn)A是兩曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，且AF垂直x軸，則雙曲線(xiàn)的離心率為（ ）

<21+%2A.<3<21+%2A.<3【答案】C【解析】【分析】b2p分別在雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)中求出A的坐標(biāo)為（c,—）和（5,p）,由此列式可求得.1+<3a2【詳解】不妨設(shè)A在第一象限內(nèi),a2 b2 a則在雙曲線(xiàn)上—y2=1(〃>0,b>0)中，F(xiàn)(c,0),A(ca2 b2 a在拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)中f(p,0),A(p,p),p b2p b2所以c==，且一=p,2〃cc所以b2=2〃c,所以c2-〃2=2〃c,所以（一）2-1=2-,〃〃所以e2-2e-1=0,所以e=1+%2或e=1=2（舍）.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.TOC\o"1-5"\h\zx2 y2 x2 y2.已知橢圓—+上=1與雙曲線(xiàn)--y=1有公共焦點(diǎn)F,F,且兩條曲線(xiàn)在第一象限的〃216 m25 12交點(diǎn)為P點(diǎn)，則△PF1F2的面積為（ ）A.■— B.—~ C.4%；5 D.8y5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)方程可知焦點(diǎn)在x軸上,所以〃2-16=m2+5，再聯(lián)立橢圓與雙曲線(xiàn)方程解得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值,然后利用面積公式7?ffIIy?可求得.12

【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)二-22二1的焦點(diǎn)在1軸上,m25Y2V2所以橢圓一+上=1的焦點(diǎn)在X軸上,。2 16所以〃2—16=加2+5,即。2=加2+21,聯(lián)立X2V2——+=1Q216X2y2聯(lián)立X2V2——+=1Q216X2y2 - -1,m2 5，所以Q2y2X2+ =Q216 ，所以Q2一機(jī)2y2X2 =m21516?I?I/Q2根2所以七+二))2=Q2一加2,16 521又\FFI二12所以1m二所以△分;故選:C點(diǎn)睛】本12.已知橢江所以“Q2一根21又\FFI二12所以1m二所以△分;故選:C點(diǎn)睛】本12.已知橢江所以“Q2一根2 加2+21—加21|FF||y|=lx2^m2+51 16加2+5加2+10580的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為/丁M,dm2+521x80802加2+105m2+5雙曲線(xiàn)共焦點(diǎn)問(wèn)題,三角形面積公式,屬于中檔題.>0）的內(nèi)接AABC的頂點(diǎn)6為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，右焦點(diǎn)F,線(xiàn)段線(xiàn)段A8中點(diǎn)為K,且。尸=2尸K,則橢圓離心率的取值范圍為（A.C.D.A.C.D.【答案】A【解析】【分析】

設(shè)4、yjC(x2,y2)，所以K(§,2產(chǎn))，根據(jù)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得弦AC的中點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)弦AC的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)列不等式可解得.【詳解】設(shè)A（x1，yi）,C（x2，y2）,因?yàn)锽（0,b）,F（c,0），所以K（J,胃）,x+2xx_2 2-1+2-“y+x+2xx_2 2-1+2-“y+by+2xt——2 21+2x+x=3c，化簡(jiǎn)得J\2小

y+y=-b12_ _ 0二由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得，<0=3cb所以弦AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(另，--),TOC\o"1-5"\h\z3c b(——)2(-—)2根據(jù)弦AC的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)可得+2<1,a2 b293 1所以4e2V4,所以e2<Q,又離心率eE。1)，所以e￡(。，I I故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì),定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式,點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系,橢圓的離心率,屬于中檔題.第n卷二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填在答題卡相應(yīng)位置．).命題“vx￡R,mx2-2mx+1>0”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【答案】0mV1【解析】【分析】依題意列式m=0或m>0且(-2m)2-4m<0,可解得.【詳解】因?yàn)槊}“Vx￡R,mx2-2mx+1>0”是真命題,所以mx2-2mx+1〉0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，所以m=0或m〉0且（-2m）2-4m<0,-24--24--24--24-所以m=0或0<m<1,綜上所述:實(shí)數(shù)m的取值范圍是0<m<1.故答案為：0<m<1【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式恒成立,分類(lèi)討論思想,屬于基礎(chǔ)題..雙曲線(xiàn)x2-4y2=4的一條弦恰被點(diǎn)P(8,1)平分，則這條弦所在的直線(xiàn)方程是【答案】2x-y-15=0【解析】【分析】設(shè)弦為AB,4(\?1),B(x2,y2),將A,B的坐標(biāo)代入橢圓方程作差,可求出弦的斜率,再由點(diǎn)斜式可解得.【詳解】設(shè)弦為AB,A(x1,y1),B(x2,y2),TOC\o"1-5"\h\z所以x2-4y2=4,x2-4y2=4,11 22所以x2-x2=4(y2-y2),12 12所以y-y 2x所以y-y 2x-x12 1 2—4(y+y)12又弦AB的中點(diǎn)為(8,1),所以x+x=2*8=16y+y=2義1=21 2 ,1 2 ,所以kABy所以kABy-y―k x-x14162=2由點(diǎn)斜式得弦AB所在直線(xiàn)的方程為：y-1=2(x-8),故答案為：2x-y-15=0.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)差法求弦的斜率,直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式,屬于基礎(chǔ)題..已知人B是過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，滿(mǎn)

足"二2FB，SO.B=<31陰，則P的值為【答案】3<6△【解析】【分析】由題意首先求得傾斜角的三角函數(shù)值，然后結(jié)合面積公式和三角函數(shù)的定義可得P的值.【詳解】設(shè)焦點(diǎn)弦的傾斜角為a，由拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦的焦半徑公式可知：|AF|=1一p—，怛尸|=T-p—，-cosa 1+cosaTOC\o"1-5"\h\z一P p_『 1一. 2J2故：； =2x： ，解得：cos。=彳，故sina= ，-cosa 1+cosa 3 3設(shè)原點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為h，則Soab=J3|AB|=2x|AB|xh,/.h=2J2，由三角函數(shù)的定義可得：sina=至2<2 4<3 .由三角函數(shù)的定義可得：p，即--—— ，解得：p—3X-6.3P【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的焦半徑公式，拋物線(xiàn)中的三角形問(wèn)題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16.如圖所示，在直四棱柱ABCD—A1B1clD1中，底面ABCD為菱形，/ABC=60且AA=AB，M為側(cè)棱AA的中點(diǎn)，E,F分別是線(xiàn)段BB和線(xiàn)段CC上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且1 11滿(mǎn)足BE=C1F，當(dāng)E,F運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中正確的序號(hào)是.A BA B①在△MEF內(nèi)總存在與平面ABCD平行的線(xiàn)段;②平面MEF,平面BCC1B1；③三棱錐41-MEF的體積為定值；?△MEF可能為直角三角形.【答案】①②③【解析】【分析】對(duì)于①，取EF的中點(diǎn)G,則可證MG就是滿(mǎn)足條件的線(xiàn)段；對(duì)于②，可證MG與平面BCC1B1垂直，再由平面與平面垂直的判定定理可證；對(duì)于③，可用等體積法求得三棱錐41-MEF的體積為定值；對(duì)于④，設(shè)414=AB=a,BE=t，可求得三角形三邊長(zhǎng),再用余弦定理判斷三角形不可能是直角三角形.【詳解】如圖所示:取EF的中點(diǎn)G,BC的中點(diǎn)H,AB的中點(diǎn)N，連GH,MG,AH,AC,CN,111對(duì)于①,根據(jù)梯形中位線(xiàn)有GH=-(BE+CF)=-(C1F+CF)=萬(wàn)CC1=AM，又乙 乙 乙GH//BE//AM，所以GH//AM,所以四邊形AHGM為平行四邊形，所以MG//AH,又AHu平面ABCD,MG亡平面ABCD,所以MG//平面ABCD,故①正確；對(duì)于②，在直四棱柱ABCD-A1B1C1。1中，底面ABCD為菱形，/ABC=60，所以AH1BC,又直四棱柱的側(cè)面與底面垂直，所以AH1平面BCC1B1，而MG//AH，所以MG1平面BCC1B1,因?yàn)镸Gu平面MEF,所以平面MEF，平面BCC1B1,故②正確,對(duì)于③，設(shè)A1A=AB=a，則7MEF=JA,ME=!CN.S從￡=3義堂a乂a乂a=警為定值，故③正確;△對(duì)于④，設(shè)A1A=AB=a,BE=t，則EF=(：(a-2t)2+a2,ME=(2a-1)2+a2,MF=：a2+(2a-1)2,因?yàn)镸E=EF=(：(a-2t)2+a2,ME=又ME2+MF2-EF2=2a2+2(-!-a-1)2-(a-21)2-a2=1(a2+4at-4t2)22=-2(t2—at)+—a2=-2(t——a)2+a222因?yàn)?<t<a，所以t=0或t=a時(shí)，-2(t-1a)2+a2取得最小值,最小值為1a2,所以ME2+MF2-EF2>1a2>0,乙ME2+MF2-EF2所以cosZEMF= >0，所以ZEMF恒為銳角，不可能為直角，故④不正2ME?MF確.故答案為:①②③【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，等體積法求體積，余弦定理判斷三角形形狀，屬于中檔題.三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)17,若命題p:實(shí)數(shù)X滿(mǎn)足元2-4元0，命題中實(shí)數(shù)X滿(mǎn)足(X-1+a)(x-1-a)0(a>0).(1)當(dāng)a=2且Paq為真命題唉求實(shí)數(shù)x的取值范圍;(2)若P是F的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.-24--24--24--24---24-【答案】(1)3x4(2)0<a<1【解析】【分析】p八q為真命題時(shí)，p與q都是真命題，用0x4和尢-1或X>3取公共部分即可得到;⑵利用真子集關(guān)系列式即可得到.【詳解】解：(1)由p:X(x-4；0，得0X4,當(dāng)a—2時(shí)，由q：(x—1+2)(x—1—2)A??.q:x—1或x>3, vPAq為真命題，'P真且q真，A...3x4,工實(shí)數(shù)x的取值范圍為3x4.(2)因?yàn)閍>0，由「q:(x—1+a)(x—1—a)<0,得1—a<x<1+a(a>0),&&設(shè)A―{x10x4},B―{x11—a<x<1+a,a>0},p是F的必要不充分條件，，BA,J1-a0。11+a4,又a>??,.0<a<1,???實(shí)數(shù)a的取值范圍為0<a<1.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法,命題的真假,必要不充分條件,屬于中檔題.18.(1)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),(0,—<3),且漸近線(xiàn)方程為y-土、/2x，求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在圓x2+y2―3上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線(xiàn)段PD,D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在該圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線(xiàn)段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程.x2y2一…、一y2 — ——+———1【答案】(1)——x2—1(2)3 32 4【解析】

【分析】⑴根據(jù)C=<3,a=質(zhì),,聯(lián)立解方程組可解得a=22,b=1,從而可得；b⑵設(shè)出M的坐標(biāo)為G,y）,根據(jù)中點(diǎn)公式可得p的坐標(biāo),再將p的坐標(biāo)代入橢圓方程可得.【詳解】解：（1）依題可知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上， y2x2則設(shè)其方程為：———=1（a>0,b>0），且c=。3①a2b2雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±姮x，即a=、：2②b又a2+b2=c2③，由①②③得a=V2,b=1得雙曲線(xiàn)方程為：=-x2=12（2）設(shè)軌跡上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y），點(diǎn)p的坐標(biāo)為（x0,y0），則依題意可知d點(diǎn)坐標(biāo)為（0,y0）xvPD的中點(diǎn)為M，二"x=vPD的中點(diǎn)為M，二"x=2x0y=y02,即＜y=y0???點(diǎn)P圓x2+y2=3上運(yùn)動(dòng)，x2+y2=3，所以(2x)2+y2=3,經(jīng)檢驗(yàn)所求方程符合題意,x2y2+—=1?二點(diǎn)M的軌跡方程為3 34【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,代入法求曲線(xiàn)的軌跡方程,屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=<2，AF=1，M是線(xiàn)段EF的中點(diǎn).⑴求證：AM//平面BDE；⑵求二面角A—DF—B的大小.【答案】（I）見(jiàn)解析（II）60【解析】 °試題分析：（1）證明線(xiàn)面平行常用方法：一是利用線(xiàn)面平行的判定定理，二是利用面面平行的性質(zhì)定理，三是利用面面平行的性質(zhì)；（2）把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;（3）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問(wèn)題代數(shù)化．同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫(xiě)出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備．試題解析：（I）記AC與BD的交點(diǎn)為。，連接OE,???O、M分別是AC,EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形??四邊形AOEM是平行四邊形，??.AM//OE,vOEu平面BDEAM亡平面BDE，二AM〃平面BDE6分（II）在平面AFD中過(guò)A作AS1DF于S，連接BS,:AB1AF,AB1AD,ADcAF=A??AB1平面ADF，二AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂線(xiàn)定理點(diǎn)得BS1DF??/BSA是二面角A—DF—B的平面角，在RtAASB中，AS=—,AB=21,3??tan/ASB=33,/ASB=60o二面角A—DF—B的大小為608分另解：以C為原點(diǎn)，CD所在直線(xiàn)為x軸，CB所在直線(xiàn)為>軸，CE所在直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0),D(<2,0,0),A(v2,v2,0),B(0,<2,0),E(0,0,1),f(v12,v2,i)M(上2,±2,0),設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O,則二匹匹;2 2 二二 J2 —五◎(I)易得：二丁二一二.一二.1,二三二一半則用「〃5！，由OEu面BDE，故AM〃面BDE；(II)取面ADF的一個(gè)法向量為三二二二?，面BDF的一個(gè)法向量為三二一亞，… -丁. 1貝U::巧■:;二.：==——二一，田一網(wǎng)2故二面角A—DF—B的大小為60.考點(diǎn)：證明線(xiàn)面平行及求二面角°20.已知拋物線(xiàn)C的方程為J2=2px(P>0)，C上一點(diǎn)M[3,m]到焦點(diǎn)的距離為2.V27(1)求拋物線(xiàn)C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于點(diǎn)A,B，與y軸交于點(diǎn)Q，設(shè)QA八PA,QB二日PB，求證：九十四是定值..3【答案】(1)W=2x，M-,土石(2)證明見(jiàn)解析——- -——- ——- V2 7【解析】【分析】3⑴利用拋物線(xiàn)的定義列式可解得p=1,可得拋物線(xiàn)C:W=2x,令x=-，可得m的值；(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x-D(k豐0)，并代入拋物線(xiàn)，由韋達(dá)定理以及向量關(guān)系可解得.p【詳解】解：(1)依題意得拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為x=-y，.13 1 - 3p.丫拋物線(xiàn)上一點(diǎn)M-,m到焦點(diǎn)的距離為2，由拋物線(xiàn)的定義可得弓+t=2，.二p=1，V27 22--24--24--24-?二拋物線(xiàn)的方程為y2=2x,一“3.m2=2x—，.二m=2(2)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)不符合題意，故直線(xiàn)l的斜率k必存在且不為0.二直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(1,0),?二設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x-i)(k豐0)，當(dāng)x=0時(shí)，y=-k，點(diǎn)Q坐標(biāo)(0,-k)，設(shè)A(xi，yi),B(x2,y2),Iy=kx-k y2由］y2=2x ，得y二k亍-k,整理得62-2y-2k=0,2k豐0,「.A=4+8k2>0，y+y2=-,yg=-2,fv「.QA=(x,y+k)，PA=(x-1,y),?「 ii iiQA二九PA,/.(x,y+k)=X(x-1,y)，ii iiy+k:二yi+k二九y/即九=T—,同理可得日=,1、y+ky+k 2yy+k(y+y)工,.?.九+N=4——+2_2——=--1-2 11_=2+k工=1,yyyy -21 2 12【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的定義,直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系,韋達(dá)定理，向量的線(xiàn)性運(yùn)算,屬于中檔題.21.如圖所示，等腰梯形ABCD中，AB^CD,AD=AB=BC=2,CD=4,E為CD中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)O，aADE沿AE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置(P注平面ABCE).p(1)證明：平面POB，平面ABCE；（2）若PB=<6，試判斷線(xiàn)段PB上是否存在一點(diǎn)Q（不含端點(diǎn)），使得直線(xiàn)PC與平面AEQ所成角的正弦值為二5，若存在，求出PQ的值;若不存在，說(shuō)明理由.5 QB【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在點(diǎn)Q為PB的中點(diǎn)時(shí)，使直線(xiàn)PC與平面AEQ所成角的正弦值為二5，PQ=15 QB【解析】【分析】⑴利用線(xiàn)面垂直的判定定理證AE，平面POB,利用面面垂直的判定定理證平面POB，平面ABCE可得；⑵利用OP2+OB2=PB2證明OPLOB,然后以。為原點(diǎn)，OE,OB,OP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-WZ，利用向量可求得直線(xiàn)PC與平面AEQ所成角的正弦值，根據(jù)已知列等式可解得. ——————【詳解】解：（1）證明：連接BE，在等腰梯形ABCD中，AD=AB=BC=2，CD=4，E為CD中點(diǎn)，，四邊形ABED為菱形，BD±AE，:.OB1AE,OD1AE，即OB±AE,OP±AE，且OBOP=O,OBu平面POB,OPu平面POB，??4￡，平面POB n又AEu平面ABCE，?.?平面POB，平面ABCE.（2）由（1）可知四邊形ABED為菱形，，AD=DE=2,在等腰梯形ABCD中

AE=BC=2,APAE正三角形OP=<3,同理OB=<3PB=<6，.二OP2+OB2=PB2,AOP±OB,由(1)可知OP1AE,OB1AE，以O(shè)為原點(diǎn)，OE,OB,OP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,由題意得，各點(diǎn)坐標(biāo)為P(),0,<3由題意得，各點(diǎn)坐標(biāo)為P(),0,<3),A(-1,0,0),~B口時(shí)),C),E(1,0,0),???PB=(0,J3,—%”),PC=(2,<3,-..-3),AE=(2,0,0),設(shè)PQ=九PB(0<X<1),AQ=AP+PQ=AP+九PB=(1,0,<3)+(0八以,-%3九)=(1,、永,%3-/),設(shè)平面AEQ的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),"2x=b九1—1),x+0入y九1—1),八, 九取x=01y=1，得z=---，所以n=(0,1,人一1設(shè)直線(xiàn)PC與平面AEQ所成角為0,0e0,5則sin0=cos<則sin0=cos<PC,n>PCn<15=刀一，即書(shū)+邪上1一人M吾J15化簡(jiǎn)得：4九2-4X+1=0，解得九二1,2??存在點(diǎn)Q為PB的中點(diǎn)時(shí)，使直線(xiàn)PC與平面AEQ所成角的正弦值為今【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)與平面垂直的判定,平面與平面垂直的判定,線(xiàn)面角的向量求法,屬于中檔題.22.已知橢圓C:上+y2=1(〃>b>0)的離心率為豆，橢圓C截直線(xiàn)x=1所得線(xiàn)段的長(zhǎng)a2 b2 2度為72.過(guò)橢圓