2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市常熟中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期一月學(xué)業(yè)質(zhì)量校內(nèi)調(diào)研數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市高二上學(xué)期一月學(xué)業(yè)質(zhì)量校內(nèi)調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A． B．7 C．6 D．【答案】A【詳解】試題分析：由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，所以a4a5a6＝故答案為【解析】等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等知識(shí)，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．2．拋物線上一點(diǎn)到其對(duì)稱軸的距離為（

）A．4 B．2 C． D．1【答案】A【分析】利用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】把代入拋物線方程中，得，因?yàn)樵搾佄锞€的對(duì)稱軸為縱軸，所以拋物線上一點(diǎn)到其對(duì)稱軸的距離為4，故選：A3．直線x+y﹣1＝0被圓（x+1）2+y2＝3截得的弦長(zhǎng)等于（）A． B．2 C．2 D．4【答案】B【詳解】如圖,圓(x＋1)2＋y2＝3的圓心為M(?1,0)，圓半徑|AM|=，圓心M(?1,0)到直線x+y?1=0的距離：|，∴直線x+y?1=0被圓(x+1)2+y2=3截得的弦長(zhǎng)：.故選B.點(diǎn)睛:本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線和圓的位置關(guān)系.判斷直線與圓的位置關(guān)系一般有兩種方法：1．代數(shù)法：將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，再將二元方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，該方程解的情況即對(duì)應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系．這種方法具有一般性，適合于判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，但是計(jì)算量較大．2．幾何法：圓心到直線的距離與圓半徑比較大小，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系．這種方法的特點(diǎn)是計(jì)算量較小．當(dāng)直線與圓相交時(shí),可利用垂徑定理得出圓心到直線的距離,弦長(zhǎng)和半徑的勾股關(guān)系.4．圓C為過點(diǎn)的圓中最小的圓，則圓C上的任意一點(diǎn)M到原點(diǎn)O距離的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】要使圓最小則圓心為P、Q的中點(diǎn)，求出圓心坐標(biāo)及其半徑，由圓心到原點(diǎn)的距離結(jié)合圓的性質(zhì)即可確定圓C上的任意一點(diǎn)M到原點(diǎn)O距離的范圍.【詳解】以PQ為直徑的圓最小，則圓心為，半徑為，圓心到原點(diǎn)的距離為5，∴M到原點(diǎn)O距離的最小值為.故選：D．5．“天問一號(hào)”推開了我國(guó)行星探測(cè)的大門，通過一次發(fā)射，將實(shí)現(xiàn)火星環(huán)繞?著陸?巡視，是世界首創(chuàng)，也是我國(guó)真正意義上的首次深空探測(cè)．2021年2月10日，天問一號(hào)探測(cè)器順利進(jìn)入火星的橢圓環(huán)火軌道(將火星近似看成一個(gè)球體，球心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)).2月15日17時(shí)，天問一號(hào)探測(cè)器成功實(shí)施捕獲軌道“遠(yuǎn)火點(diǎn)(橢圓軌跡上距離火星表面最遠(yuǎn)的一點(diǎn))平面機(jī)動(dòng)”，同時(shí)將近火點(diǎn)高度調(diào)整至約265公里．若此時(shí)遠(yuǎn)火點(diǎn)距離約為11945公里，火星半徑約為3395公里，則調(diào)整后“天問一號(hào)”的運(yùn)行軌跡(環(huán)火軌道曲線)的離心率約為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題中的信息列出關(guān)于的方程，然后解方程并求離心率即可．【詳解】設(shè)橢圓的方程為()，由橢圓的性質(zhì)可得橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，最大值為，根據(jù)題意可得近火點(diǎn)滿足，，解得，，所以橢圓的離心率為，故選：A．6．直三棱柱中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的法向量為，根據(jù)向量夾角公式得到正弦值為，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到最值.【詳解】如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取得到，，直線與平面所成角的正弦值為，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，有最大值為，當(dāng)時(shí)有最小值為.故選：A.7．已知是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，是線段上點(diǎn)，若，則當(dāng)面積最大時(shí)，雙曲線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】在和分別利用余弦定理得，再在利用余弦定理，消去，根據(jù)均值不等式求面積最大時(shí)的關(guān)系，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖所示設(shè)，，，，則，，在中由余弦定理得①，在中由余弦定理得②，得③，在中由余弦定理得④，③④聯(lián)立消去得，因?yàn)?，?dāng)面積最大時(shí)即最大，由均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，取得最大值，此時(shí)由④解得，所以，所以，即為直角三角形，且，所以在中，解得，由雙曲線的性質(zhì)可得，解得，所以雙曲線的方程為，故選：C8．已知數(shù)列滿足，且前項(xiàng)和為，若，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用遞推關(guān)系可得，即數(shù)列是等差數(shù)列，結(jié)合條件得，再利用等差數(shù)列求和公式即得.【詳解】∵，當(dāng)時(shí)，，又①，∴②，由①－②，得，即，∴數(shù)列是等差數(shù)列.由，設(shè)為公差，則，解得，則.故選：A.9．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，故選：C10．已知等差數(shù)列滿足，則的值為（

）A．－3 B．3 C．－12 D．12【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)若則可得.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，，解得，∵，∴．故選：B11．已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在處有極值”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可得到方程組，解得、再檢驗(yàn)，最后根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，解得或；?dāng)時(shí)，，即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，故舍去；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足函數(shù)在處取得極值，所以，所以由推不出函數(shù)在處有極值，即充分性不成立；由函數(shù)在處有極值推得出，即必要性成立；故“”是“函數(shù)在處有極值”的必要不充分條件；故選：B12．如圖，正方形數(shù)表中對(duì)角線的一列數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意得出數(shù)列的遞推公式，再通過累加法得出數(shù)列的通項(xiàng)，即可得出答案.【詳解】由題意得數(shù)列的遞推公式為：，則，，……，累加得：，則，n=1成立則，故選：D.13．設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)得到的單調(diào)性，再變形不等式由單調(diào)性求解即可.【詳解】由題知，函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，即，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，解得，所以不等式的解集為，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.14．若函數(shù)在區(qū)間上既有極大值又有極小值，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求函數(shù)的極值點(diǎn)，由條件列不等式，求的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即時(shí)函數(shù)取最大值，當(dāng)時(shí)，即時(shí)函數(shù)取最小值，故函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上既有極大值又有極小值，所以，故，所以的取值范圍為.故選：A.15．已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若在上，方程有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意求出的解析式，再畫出圖形，轉(zhuǎn)化成與的交點(diǎn)問題即可得出答案.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以即在上，方程有三個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)與函數(shù)與函數(shù)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)圖像如下由圖像可得，當(dāng)直線過點(diǎn)M時(shí)，直線與恰有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)當(dāng)直線與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為則切線斜率為，所以切線方程為因?yàn)樵撉芯€過原點(diǎn)，所以此時(shí)所以當(dāng)時(shí)，直線與恰有兩個(gè)交點(diǎn),又當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，即直線與恰有交點(diǎn)時(shí)，必與有交點(diǎn)，綜上.故選:D.16．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得，，，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即得.【詳解】∵，，，∴，對(duì)于函數(shù)，，令，，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，即，在上單調(diào)遞減，∴，即，∴，∴.故選：B.二、多選題17．在等差數(shù)列中，已知，，是其前項(xiàng)和，則（

）．A． B． C． D．【答案】ACD【解析】根據(jù)已知條件得出、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由已知條件得，解得.對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，，所以，，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.18．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．過點(diǎn)，的直線的傾斜角為30°B．若直線與直線垂直，則C．直線與直線之間的距離是D．已知，，點(diǎn)P在x軸上，則的最小值是5【答案】ABC【分析】由斜率公式求出直線AB的斜率即可判斷A，根據(jù)兩條直線垂直求出a，進(jìn)而判斷B，利用平行線間的距離公式即可求出答案，進(jìn)而判斷C，作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C，進(jìn)而利用對(duì)稱性得到答案，進(jìn)而判斷D.【詳解】對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若兩條直線垂直，則2a-3=0，得，故錯(cuò)誤；對(duì)C，直線可化為，則兩條直線間的距離，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，如圖，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C（-1，-1），則，當(dāng)且僅當(dāng)A,P,C三點(diǎn)共線時(shí)取“=”，故D正確.故選：ABC.19．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交橢圓于和兩點(diǎn)，若的最大值為5，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．橢圓的短軸長(zhǎng)為B．當(dāng)最大時(shí)，C．橢圓的離心率為D．的最小值為3【答案】BCD【分析】通過橢圓的定義得到，即，進(jìn)而判段當(dāng)軸時(shí)，最小，此時(shí)最大，求出，，即可對(duì)選項(xiàng)一一進(jìn)行判定得出答案.【詳解】由題意可得：，根據(jù)橢圓定義可得，的最大值為5，的最大值為5，根據(jù)橢圓性質(zhì)，當(dāng)軸時(shí)，最小，此時(shí)最大，此時(shí)直線的方程為，將代入橢圓方程得：，即，則，則，，則對(duì)于選項(xiàng)A：短軸長(zhǎng)為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)最大時(shí)，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：最大值為5，則的最小值為3，故選項(xiàng)D正確；綜上所述，選項(xiàng)BCD正確，故選：BCD.20．如圖直角梯形，，，．E為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且，則（

）A．平面平面B．C．二面角的大小D．與平面所成角的正切值為【答案】AC【分析】A選項(xiàng)中，利用折前折后不變的量及勾股定理的逆定理，可證線線垂直，從而證得線面垂直，進(jìn)而證明面面垂直；B選項(xiàng)中,先假設(shè)，從而證得,再根據(jù)不是直角即可推出矛盾，從而得出結(jié)論；C選項(xiàng)中，利用定義找出二面角的平面角,從而求其值，即可得出結(jié)論；D選項(xiàng)中,利用線面所成角的定義得出與平面所成角為,計(jì)算其正切值即可.【詳解】A選項(xiàng)中，,在中,,，易知,且,平面,平面,平面平面,故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)中,先假設(shè)，易知,,可得平面,則，而,顯然矛盾，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)中，易知二面角的平面角為,根據(jù)折疊前后位于同一平面上的線線位置關(guān)系不變知,故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)中,由上面的分析知，為與平面所成角，在中，,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選:AC21．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的值可能是（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】BC【分析】利用導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行求解即可.【詳解】的定義域?yàn)?，所以，A錯(cuò)誤；由題意可得，令解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，所以，即，選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，正確；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，所以，正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；故選：BC22．已知，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】由賦值法以及求導(dǎo)運(yùn)算依次判斷即可.【詳解】對(duì)于A，令可得，A正確；對(duì)于B，對(duì)兩邊求導(dǎo)得，令可得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令得，令得，兩式相加得，則，C正確；對(duì)于D，令可得，D正確.故選：ACD.23．已知數(shù)列中，成等差數(shù)列，且.若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】首先設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出，從而得到在上恒成立，即可得到，化簡(jiǎn)得到，，再依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】設(shè)，則，令，解得.當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).所以，即在上恒成立.所以，即.所以，即，.因?yàn)?，所以?若，則.根據(jù)得到因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)，，與已知條件矛盾，不成立.所以，，又因?yàn)?，所以，故A正確，B錯(cuò)誤.因?yàn)?，，，所以，即，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD24．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)任意恒成立C．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則D．當(dāng)時(shí)，若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】BCD【分析】選項(xiàng)A分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合題意判斷即可，選項(xiàng)B由選項(xiàng)A可知，當(dāng)時(shí)，由，整理可得，對(duì)任意恒成立，選項(xiàng)C利用對(duì)數(shù)運(yùn)算，換元，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，利用分析法證明即可，選項(xiàng)D，不等式變形得到，令，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求的最小值即可.【詳解】選項(xiàng)A，由，令，設(shè)，則，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，，當(dāng)，，所以的圖形如圖所示：由圖可知，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，即與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)，故A不正確，選項(xiàng)B，由選項(xiàng)A，，當(dāng)時(shí)，，即對(duì)任意恒成立，故B正確，選項(xiàng)C，由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即為方程的兩根，即，所以，令且，則，所以，欲證，即證，即證明，只需證明，只需證明，即，設(shè)，則，令，所以，所以在上為增函數(shù)，又，所以，綜上所述，原不等式成立，故，故C正確，選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，則不等式對(duì)恒成立，即，即，即，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以對(duì)任意恒成立，即求在上的最小值，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)在時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，由，得，而，所以，所以的取值范圍是：，故選：BCD.三、填空題25．若，則與向量反方向的單位向量的坐標(biāo)為__________.【答案】【分析】先求出與向量同向的單位向量，在反方向的單位向量即可.【詳解】，則與向量反方向的單位向量的坐標(biāo)為.故答案為：.26．已知拋物線，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為_____________．【答案】【詳解】試題分析：由，準(zhǔn)線【解析】拋物線方程及性質(zhì)27．已知數(shù)列滿足，且，則的值為__________.【答案】2【分析】首先判斷數(shù)列的周期，再根據(jù)周期求.【詳解】由題意得，，，，，，∴數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列，∴.故答案為：．28．已知直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若橢圓的離心率，則的最大值為___________．【答案】【分析】將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得，由離心率的取值范圍，即可求得的最大值.【詳解】解：設(shè)，由，消去y，可得，∴則，由，整理得..（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），可得，，即，化簡(jiǎn)得..整理得.，∴代入上式，化簡(jiǎn)得，.，平方得，，可得

，因此，可得的最大值為，滿足條件，∴當(dāng)橢圓的離心率時(shí)，的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.29．已知函數(shù)，則過（1,1）的切線方程為__________．【答案】【詳解】由函數(shù)，則，當(dāng)點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，則，即切線的斜率，所以切線的方程為，即，當(dāng)點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，則，即，解得或（舍去），所以所以切線的方程為，即.30．已知函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù).當(dāng)實(shí)數(shù)取最大值時(shí)，若存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)的直線與曲線圍成兩個(gè)封閉圖形，且這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出的最大值，結(jié)合過點(diǎn)的直線與曲線圍成兩個(gè)封閉圖形，且這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等，判斷函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得，是上的增函數(shù)，在上恒成立，即：在上恒成立.設(shè)，，，設(shè)，，，函數(shù)在單調(diào)遞增，.即，，又，.的最大值為3.故得.將函數(shù)的圖像向上平移3個(gè)長(zhǎng)度單位，所得圖像相應(yīng)的函數(shù)解析式為：，由于，為奇函數(shù)，故的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由此即得函數(shù)的圖像關(guān)于成中心對(duì)稱.這表明存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)的直線與曲線圍成兩個(gè)封閉圖形，且這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等.故答案為：.31．“牛頓迭代法”是牛頓在17世紀(jì)提出的一種近似求方程根的方法.如圖，設(shè)是的根，選取作為初始近似值，過點(diǎn)作的切線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，稱是的一次近似值；過點(diǎn)作的切線，則該切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的二次近似值；重復(fù)以上過程，得到的近似值序列為“牛頓數(shù)列”，即.已知函數(shù)，數(shù)列為“牛頓數(shù)列”，設(shè)，且.數(shù)列的前項(xiàng)和__________.【答案】##【分析】求出代入計(jì)算，再計(jì)算得，左右兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得到，即是等比數(shù)列，進(jìn)而求得的前n項(xiàng)和.【詳解】∵，∴，∴，∴又∵∴又∵，∴，又∵，∴是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴的前n項(xiàng)和，故答案為：.32．已知函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)、、，且滿足，則的值為__________.【答案】【分析】由可得，令，可得出，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可知關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根、，設(shè)，且有，，利用韋達(dá)定理可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由可得，令，可得，即，?gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：若使得方程由三個(gè)不等的實(shí)根、、，且滿足，則關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根、，設(shè)，由韋達(dá)定理可得，則，由圖可知，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵在于通過換元，通過分析函數(shù)的單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合思想將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.四、解答題33．已知圓C的方程為.(1)直線l1過點(diǎn)P(3，1)，傾斜角為45°，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)；(2)求過點(diǎn)P(3，1)且與圓C相切的直線l2的方程.【答案】(1)(2)x=3或【分析】（1）首先利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，最后利用垂直定理、勾股定理計(jì)算可得；（2）依題意可得點(diǎn)在圓外，分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)直線的斜率不存在直線得到直線方程，但直線的斜率存在時(shí)設(shè)直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到方程，解得，即可得解；【詳解】（1）解：根據(jù)題意，直線的方程為，即，

則圓心到直線的距離為

故；（2）解：根據(jù)題意，點(diǎn)在圓外，分兩種情況討論：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)的直線方程是，此時(shí)與圓C：相切，滿足題意；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，

直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離為

解得

此時(shí)，直線的方程為，

所以滿足條件的直線的方程是或.34．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)與的關(guān)系可得，從而確定數(shù)列為等比數(shù)列，即可求通項(xiàng)公式；(2)根據(jù)錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）由得即，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）得，前項(xiàng)和，，兩式相減得，即，所以.35．已知四棱錐，底面ABCD為菱形，，H為PC上的點(diǎn)，過AH的平面分別交PB，PD于點(diǎn)M，N，且平面AMHN．(1)證明；；(2)若H為PC的中點(diǎn)，，PA與平面ABCD所成的角為60°，求AD與平面AMHN所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）令，連接，利用線面平行的性質(zhì)證得，再由已知證得平面即可推理作答.（2）證明兩兩垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解作答.【詳解】（1）連接MN，令，連接，如圖，因平面AMHN，平面平面，而平面，則，菱形中，，O為BD的中點(diǎn)，而，則，平面，則平面，又平面，有，所以.（2）令，則，由（1）知，O為AC的中點(diǎn)，有，而平面，即平面，因PA與平面ABCD所成的角為60°，則，是正三角形，，顯然射線兩兩垂直，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，射線分別為軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，因H為PC的中點(diǎn)，則點(diǎn)G是的重心，，，，令平面的一個(gè)法向量，則，令，得，而，設(shè)AD與平面AMHN所成的角為，，所以AD與平面AMHN所成角的余弦值.36．已知橢圓的下焦點(diǎn)為、上焦點(diǎn)為，其離心率．過焦點(diǎn)且與x軸不垂直的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)求△ABO(O為原點(diǎn))面積的最大值．【答案】(1)2；(2)﹒【分析】(1)根據(jù)已知條件得，，結(jié)合離心率，即可解得答案．(2)設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式以及三角形的面積公式，基本不等式即可得出答案．【詳解】（1）由題意可得，，，∵離心率，∴，∵，∴，解得．（2）由(1)知，橢圓，上焦點(diǎn)，設(shè)，，，，直線的方程為：，聯(lián)立，得，∴，，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴為原點(diǎn))面積的最大值為．37．已知數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)是否存在正實(shí)數(shù)a，使得不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)【分析】（1）通過構(gòu)造新數(shù)列求解；（2）由（1）得，再研究其單調(diào)性，從而得到最值，再解不等式即可求解.【詳解】（1）由，假設(shè)其變形為，則有，所以，又.所以，即.（2）由（1），所以，令，則，所以，所以是遞減數(shù)列，所以，所以使得不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立，則，即，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以.38．已知，分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，直線（不與坐標(biāo)軸垂直）過點(diǎn)，且與雙曲線交于，兩點(diǎn).（1）若，求直線的方程；（2）若直線與相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.【答案】（1）或；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)直線的方程為并聯(lián)立雙曲線根據(jù)韋達(dá)定理可得與關(guān)系，結(jié)合可得，從而求得值得直線方程；（2）列出直線與方程，并求點(diǎn)坐標(biāo)得，故得證.【詳解】解：設(shè)直線的方程為，設(shè)，，把直線與雙曲線聯(lián)立方程組，，可得，則，（1），，由，可得，即①，②，把①式代入②式，可得，解得，，即直線的方程為或．（2）直線的方程為，直線的方程為，直線與的交點(diǎn)為，故，即，進(jìn)而得到，又，故，解得故點(diǎn)在定直線上．【點(diǎn)晴】方法點(diǎn)晴：直線與圓錐曲線綜合問題，通常采用設(shè)而不求，結(jié)合韋達(dá)定理求解.39．已知函數(shù)的所有正數(shù)零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用輔助角公式化簡(jiǎn)得到，從而得到正數(shù)零點(diǎn)，從而得到為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為，得到通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1），令，解得：，故當(dāng)時(shí)，為數(shù)列的首項(xiàng)，由于，故為等差數(shù)列，公差為1，故；（2），故①，則②，①-②得：，則.40．甲、乙兩人進(jìn)行下象棋比賽（沒有平局）．采用“五局三勝”制．已知在每局比賽中，甲獲勝的概率為，．(1)設(shè)甲以3：1獲勝的概率為，求的最大值；(2)記（1）中，取得最大值時(shí)的值為，以作為的值，用表示甲、乙兩人比賽的局?jǐn)?shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)題意列出的解析式，通過求導(dǎo)即可得到的最大值.（2）由（1）得到的值，再根據(jù)的可能取值為3,4,5，分別求出其所對(duì)應(yīng)概率即可得出分布列，再由公式求得期望即可.【詳解】（1）甲以3：1獲勝，則前三局中甲勝兩局?jǐn)∫痪?，第四局甲必須獲勝，所以，，，令，得；令，得；令，得．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為．（2）由（1）知，由題意，知X的所有可能取值為3、4、5，相應(yīng)的概率為，，，所以X的分布列為X345PX的數(shù)學(xué)期望．41．如圖，有一景區(qū)的平面圖是一半圓形，其中直徑長(zhǎng)為和兩點(diǎn)在半圓弧上，滿足.設(shè).(1)現(xiàn)要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條觀光道路，由線段和組成，則當(dāng)為何值時(shí)，觀光道路的總長(zhǎng)最長(zhǎng)，并求的最大值；(2)若要在景區(qū)內(nèi)種植鮮花，其中在和內(nèi)種滿鮮花，在扇形內(nèi)種一半面積的鮮花，則當(dāng)為何值時(shí)，鮮花種植面積最大？【答案】(1)時(shí)，觀光道路的總長(zhǎng)最長(zhǎng)，的最大值為5(2)當(dāng)時(shí)，鮮花種植面積最大【分析】（1）作出輔助線，表達(dá)出，，從而求出，配方后得到當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為5；（2）表達(dá)出，，扇形COD的面積，從而求出故，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，在當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，得到答案.【詳解】（1）取BC的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)N，連接OM，ON，由垂徑定理可得：OM⊥BC，ON⊥AD，由題意得：，，故，則，因?yàn)?，所以，，故?dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為5；（2），，扇形COD的面積，故，則，因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最